求两极限不存在的几种情况的极限

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求极限的8种方法 极限的多种求法
极限的多种求法何向荣　　承德民族师专数学系　　０６７０００每项或每个因子极限存在才能适用。例３、求３２．利用重要极限和求极限时，往往要利用与其等价的变式、，有时也需用三解：因２?２－２＋１＝１３≠０，则＝对于“”、“＝．”、“∞－∞”一、利用初等函数的连续性求极限由一切初等函数在其定义区间内连续，因此求初等函数在其定义区间内的点ｘ０处的极限，直接可用示。例１、求．来表等情况，不能直接用运算法则，必须用因式分解、有理化分子或分母、三角函数有关公式以及变量代换等方法，对函数进行恒等变形以约去零因子，使各项极限都存在再利用运算法则求极限。例４、求解：令１＋２ｘ＝ｔ４，则当ｘ→０时，ｔ→１．于是＝．，角公式、变量代换、倒代换等方法对函数进行变形，化成公式的标准形式，再利用重要极限公式来求极限。值得注意的是，能用重要极限求极限的题，大部分也能用洛必达法则解决，选用什么方法视具体情况而定。例６、求解：＝例７、求解：．解：由ｙ＝ｃｏｓ　ｕ，ｙ＝ｌｎ　ｖ的连续性，＝＝三、利用左右极限求极限＝对于求分段函数在分段点处的极限时，通常要分别讨论它的左右极限。当左右极限存在且相等时，函数的极限等于这个值；当左右极限不等或至少有一个不存在时，原极限不存在。例５、求函数ｘ＝１处的极限．解：，在分段点例８、求解：令ｌｎｓ－ｌｎａ＝ｔ，显然ｘ→ａ时，ｔ→０。解得ｘ＝ａｅｔ，于是．ｃｏｓ（ｌｎ　１）＝ｃｏｓ　０＝１．但当ｘ→ｘ０时，函数ｆ（ｘ）在ｘ０点是间断的，不能直接代入数值计算，应根据具体函数的特性，对它进行适当地变形，设法消去分子、分母相同的无穷小量后，成为新的连续函数，再利用函数连续性求出函数的极限。例２、求解：＝．再令ｅｔ－１＝ｕ，ｔ→０时，ｕ→０，解得ｔ＝ｌｎ（１＋ｕ）。因此，原式＝对于无穷多项的和或无穷多个因子积的极限，常用恒等变形化为有限项的和或有限个因子积的极限。例９、求极限．，因为在。，故不存二、利用极限的运算法则求极限运用极限的运算法则求极限，条件是四、利用两个重要极限求极限由于底是无穷多项和，因此要“裂项”将底化为有限项的形式，得不等式“１”型，再利用重要极限公式来求。解：＝例１２、已知＝．求　解：因为α＝－１不合题意，舍去。从而＝．＝１。，上例中使用的求极限的方法，只有在已知数列的极限存在的前提下才能使用，否则可能导致很荒谬的结论。比如：令αｎ＝（－１）ｎ，有αｎ＋１＝－αｎ，从而αｎ，得到αｎ＋１＝－αｎ＝０的错误结论。五、利用无穷小与有界量的积为无穷小的性质求极限利用有界量与无穷小的积为无穷小这一性质求极限时，关键是合理选择谁是无穷小量谁是有界变量，并掌握一定量的缩放方法和技巧。例１０、求解：＝２，其中而．这样由于当ｘ→＋∞时，．，所以，是无穷小。故是有界量，，所以八、利用夹逼准则求极限，且从而～．，又当ｘ→０时，用夹逼准则求极限，关键在于视具体问题选择灵活的方法对变量进行合理的缩放。例１５、求解：当０≤ｘ≤１时，有．当１＜ｘ＜２时，有，ｘ≥０ｘ３－１～ｘｌｎ３，ｓｉｎ　ｘ～ｘ，所以原式＝故　例１３、求，解：ｘ→π时ｓｉｎ　ｎｘ→０，ｓｉｎ　ｍｘ→０，但ｘ不是无穷小，因此ｓｉｎ　ｍｘ与ｍｘ不是等价无穷小，ｓｉｎ　ｎｘ与ｎｘ也不是等价无穷小。令ｘ＝π－ｔ，则ｘ→π时，ｔ→０，故ｓｉｎ　ｍｔ～ｍｔ，ｓｉｎ　ｎｔ～ｎｔ，故＝当２≤ｘ＜∞时，有根据夹逼准则，已知，则．＝．六、利用等价无穷小代换求极限掌握一些常见的等价无穷小，利用等价无穷小代换，可以对函数进行化简。作无穷小代换时，只能对无穷小是因式积的形式代换，无穷小是代数和的形式则不能轻易作代换，必须化为因式积的形式。一些常见的等价无穷小：当ｘ→０时，ｓｉｎ　ｘ～ｘ，ｔａｎ　ｘ～ｘ，ａｒｃｓｉｎ　ｘ～ｘ，ａｒｃａｎ　ｘ～ｘ，１－ｃｏｓ　ｘ～，ｌｎ（１＋ｘ）～ｘ，αｘ－１～ｘｌｎα，ｅｘ－１～ｘ，（１＋ｘ）－１～μｘ（μ∈Ｒ）等等。例１１、求解：＝．μ七、　利用单调有界性准则求极限九、　利用中值定理求极限利用拉格朗日中值定理求极限，但适应面较窄。例１６、解：对ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎ　ｘ在区间上用拉格朗日中值定理，得，。因为ζｎ＝０，所以例１４、数列｛ｘｎ｝有极限，并求。证明证明：先证．１（１）ｎ＝１时，ｘ＝２＞１，结论成立，（２）　设ｎ＝ｋ时，ｘｋ＞１，当ｎ＝ｋ＋１时，，因此，　再证｛ｘｎ｝单调减少。由＋１；．有＜ｘｎ，即｛ｘｎ｝单调减少．由以上两方面的证明，得数列｛ｘｎ｝是单调减少且有下界，从而是有界的，存在。设＝α（≥１），对＝由于当ｘ→０时，ｔａｎ　ｘ～ｘ，１－ｃｏｓｘ～，ｌｎ（１－ｘ）～－ｘ，上式用等价无穷小代换得有十、利用洛必达法则求极限的两边取极限，，即α２＝１，α＝±１，∴，在三角形中，由题设可知：∴∴，∴，∴α＝β，，对于基本不定式“”型和“”解：本题可用洛必达法则求解（较繁琐），在这里可应用泰勒公式求解．考虑到极限式的分母为ｘ４，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取ｎ＝４）得，∴Ｂ＝Ｃ即△ＡＢＣ为等腰三角形。方法三：利用平面解析几何知识证明　证明：如图３所示，在△ＡＢＯ中，角平分线｜ＯＤ｜＝｜ＢＣ｜，Ｏ为原点，设Ｂ点的坐标为（０，ｂ），ＡＯＢ＝２α，ＡＢＯ＝２β则由已知条件可知：直线ＯＡ的方程为：ｙ＝ｘ?ｔαｎ　２α……（１）直线ＯＤ的方程为：ｙ＝ｘ?ｔαｎα……（２）直线ＢＣ的方程为：ｙ＝－ｘ?ｔαｎβ＋ｂｔαｎβ……（３）直线ＡＢ的方程为：ｙ＝－ｘ?ｔαｎ２βｂｔαｎ２β……（４）联立方程（２）和（４）解得Ｄ点的坐标为：；型可直接用洛必达法则求极限，而对于“０?∞０∞”、“∞－∞”、“１”、“０”、“∞０”型的不定式，可以经过倒代换、通分、取对数等适当的变形，转化为基本不定式，然后再用洛必达法则计算。用洛必达法则求极限出现震荡而失效时，应选用其它方法求极限。因而求得例１７、求解：原式＝．．＝十三、　利用数项收敛的必要性求极限十一、用定积分求极限根据变量的特征，借助定积分的几何意义，获得简捷的解题方法。例１８、求解：求正无穷小量的极限时，采用此方法较简便。例２１、解：设。由于故级数＝０。例１９、求极限解：对于一个具体求极限的问题，可能有多种方法都能解决，这就要求我们选择恰当的方法，以取得事半功倍的效果。收敛。因此，，考察正项级数，联立方程（１）和（３）解得Ｃ点的坐标为：所以；；又因为｜ＯＤ｜＝｜ＢＣ｜，所以有｜ＯＤ｜２＝｜ＢＣ｜２，即　＝＝＝＝，化解得：，最后整理＝．得：ｓｉｎ　２αｓｉｎ（２β＋α）＝ｓｉｎ　２βｓｉｎ（β＋２α）此时读者可以按照方法二继续证完。十二、利用泰勒公式求极限用麦克劳林公式计算某些不定式极限时十分有效，它不象洛必达法则，分子、分母每求一次导数，分子、分母的无穷小阶数都只减少一次，而利用麦克劳林公式可以马上得到分子、分母的无穷小阶数，然后可直接迅速地得到答案。例２０、求极限．百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆
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推荐： 　　　何种情况下用洛比达法则求函数极限较合适--《考试周刊》2014年76期
何种情况下用洛比达法则求函数极限较合适
【摘要】：洛比达法则是高等数学中的重要内容之一,是解决某些极限问题的重要方法.熟练掌握洛比达法则求极限的方法,对学好高等数学有十分重要的意义.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O171【正文快照】：
极限是微分学的基础,它贯穿微分学的始终,求极限是高等数学中的重要章节,洛比达法则是求极限方法中的一种重要方法,它能使运算过程简单化,但由于求极限的方法较多,本来可以用洛比达法则解决的问题,有的学生却不知该如何入手,采用什么方法解决问题.笔者就自己的教学工作经验,论
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例谈两种不同情况下含参积分的极限求法
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&&文章提出了在一致收敛和非一致收敛两种不同情况下含参积分极限的解题方法,同时指出在含参积分的极限计算中除了要掌握两种不同情况下解题方法外,更要注意每种情况下的条件要求。
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左右极限怎么求
这个X到0- 和0+ 怎么求
都是对上面的式子求极限，1/x分为±无穷大两种情况，也就意味着分母部分分为1和无穷大两种情况
求极限？还是求导
分等于0和不等于0两个求导
但是不等于0的那个式子需要左右极限相等也就是函数连续才能有导数吧
现在左右极限不会求
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