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帮我求下列极限:lim(x趋向于正无穷）（x/1+x）^x;得有过程
shangyajun197e
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x/(x+1)=(x+1-1)/(x+1)=(x+1)/(x+1)-1/(x+1)=1-1/(x+1)令1/a=-1/(x+1)则a趋于无穷x+1=-ax=-a-1原式=(1+1/a)^(-a-1)=(1+1/a)^-a÷(1+1/a)=[(1+1/a)^a]^(-1)÷(1+1/a)a趋于无穷(1+1/a)^a极限是e,1+1/a极限是1所以原来极限=e^(-1)=1/e
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扫描下载二维码概率论第1-3章课后习题答案
概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1．?略.见教材习题参考答案. 2.设 A，B，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件：? （1） A 发生，B，C 都不发生； （2） A 与 B 发生，C 不发生；? （3） A，B，C 都发生； （4） A，B，C 至少有一个发生；? （5） A，B，C 都不发生； （6） A，B，C 不都发生；? （7） A，B，C 至多有 2 个发生； （8） A，B，C 至少有 2 个发生.? 【解】 （1） A BC （2） AB C （3） ABC （4） A∪B∪C= AB C∪ A B C ∪A BC ∪ A BC∪A B C∪AB C ∪ABC= ABC (5) ABC = A ? B ? C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C ∪ AB C∪A BC ∪ A B C ∪ ABC = ABC = A ∪ B ∪ C (8) AB∪BC∪CA=AB C ∪A B C∪ A BC∪ABC 3.?略.见教材习题参考答案? 4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求 P（ AB ）.? 【解】 P（ AB ）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6 5.设 A，B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：? （1） 在什么条件下 P（AB）取到最大值？? （2） 在什么条件下 P（AB）取到最小值？? 【解】 （1） 当 AB=A 时，P（AB）取到最大值为 0.6. （2） 当 A∪B=Ω 时，P（AB）取到最小值为 0.3.16.设 A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0， ? P（AC）=1/12，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)1 1 1 1 3 = 4 + 4 + 3 ? 12 = 47.?从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率 是多少？ 【解】 p=5 3 3 2 C13C13C13C13 / C13 528.?对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】 （1） 设 A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故1 1 5 P（A1）= 7 =（ 7 ）5（亦可用独立性求解，下同）（2） 设 A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为 65，故65 6 5 P（A2）= 7 =( 7 )5(3) 设 A3={五个人的生日不都在星期日}1 P（A3）=1?P(A1)=1?( 7 )59.?略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（n&N）.试求其中恰有 m 件（m ≤M）正品（记为 A）的概率.如果：? （1） n 件是同时取出的； （2） n 件是无放回逐件取出的；? （3） n 件是有放回逐件取出的.? 【解】 （1） P（A）=Cm Cn??m / Cn M N M Nn PN 种，n 次抽取中有 m 次为正(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有 品的组合数为Cm 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从 M 件正品中取 m 件的排列 n2数有m n PM 种，从 N?M 件次品中取 n?m 件的排列数为 PN?m 种，故 ?Mm n Cm PM PN?m n ?M n PN P（A）=由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成Cm Cn??m M N M Cn N P（A）=可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有 N 种取法，故所有可能的取法总数为 Nn 种，n 次抽 取中有 m 次为正品的组合数为Cm 种， n 对于固定的一种正、 次品的抽取次序， 次取得正品， m都有 M 种取法，共有 Mm 种取法，n?m 次取得次品，每次都有 N?M 种取法，共有（N?M）n?m 种取法，故P( A) ? Cm M m ( N ? M )n?m / N n nM 此题也可用贝努里概型，共做了 n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为 N ，则取得 m 件正品的概率为n ?m?M ? ? M ? P( A) ? Cm ? ? ?1 ? ? n N? ?N? ?m11.?略.见教材习题参考答案. 12.? 50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上，每个部件用 3 只铆钉.其中有 3 个铆钉强度太 弱.若将 3 只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强 度太弱的概率是多少？ 【解】设 A={发生一个部件强度太弱}P( A) ? C1 C3 / C3 ? 10 3 501 196013.?一个袋内装有大小相同的 7 个球，其中 4 个是白球，3 个是黑球，从中一次抽取 3 个， 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设 Ai={恰有 i 个白球}（i=2,3） ，显然 A2 与 A3 互斥.P( A2 ) ?C2C1 18 4 3 ? , C3 35 7P( A3 ) ?C3 4 4 ? 3 C7 35P( A2 ? A3 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 22 35故14.?有甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.8 和 0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：3（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设 Ai={第 i 批种子中的一粒发芽}， （i=1,2） (1) (2) (3)P( A1 A2 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? 0.7 ? 0.8 ? 0.56 P( A1 ? A2 ) ? 0.7 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.8 ? 0.94P( A1 A2 ? A1 A2 ) ? 0.8? 0.3 ? 0.2 ? 0.7 ? 0.3815.?掷一枚均匀硬币直到出现 3 次正面才停止. （1） 问正好在第 6 次停止的概率； （2） 问正好在第 6 次停止的情况下，第 5 次也是出现正面的概率.1 1 1 5 p1 ? C52 ( ) 2 ( )3 ? 2 2 2 32 【解】 （1）1 1 1 C1 ( )( )3 4 2 2 4?2 p2 ? 5 / 32 5 (2)16.?甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为 0.7 及 0.6，每人各投了 3 次，求二人进球 数相等的概率. 【解】 设 Ai={甲进 i 球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进 i 球},i=0,1,2,3,则P ( ? Ai Bi 3 ) ? (0.3)3 (0.4)3 ? C1 0.7 ? (0.3) 2 C1 0.6 ? (0.4) 2 ? 3 3i ?032 2 C3 (0.7)2 ? 0.3C3 (0.6)2 0.4+(0.7)3 (0.6)3=0.32076 17．?从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，求这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.p ? 1?【解】4 C5 C1 C1 C1 C1 13 2 2 2 2 ? 4 C10 2118.?某地某天下雪的概率为 0.3，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为 0.1,求： （1） 在下雨条件下下雪的概率； （2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设 A={下雨}，B={下雪}.p( B A) ?（1）P( AB) 0.1 ? ? 0.2 P( A) 0.5（2） p( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.1 ? 0.7 19.?已知一个家庭有 3 个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男 为女是等可能的）.4【解】 设 A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为 23=8，故P( B A) ?P( AB) 6 / 8 6 ? ? P( A) 7 / 8 76 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为 7.P ( B A) ?20.?已知 5%的男人和 0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是 男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设 A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式P( A B ) ?P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)? 0.5 ? 0.05 20 ? 0.5 ? 0.05 ? 0.5 ? 0.0025 2121.?两人约定上午 9∶00~10∶00 在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题 21 图 题 22 图 【解】 设两人到达时刻为 x,y,则 0≤x,y≤60.事件 “一人要等另一人半小时以上” 等价于|x?y|&30. 如图阴影部分所示.P?302 1 ? 602 422.?从（0，1）中随机地取两个数，求：6 （1） 两个数之和小于 5 的概率；51 （2） 两个数之积小于 4 的概率.【解】 设两数为 x,y，则 0&x,y&1.6 （1） x+y& 5 .1 4 4 17 p1 ? 1 ? 2 5 5 ? ? 0.68 1 251 (2) xy=& 4 .1 ? 1 ? 1 1 p2 ? 1 ? ? ?1 dx ? 1 dy ? ? ? ln 2 4x ? 4 ? 4 223.?设 P（ A ）=0.3,P(B)=0.4,P(A B )=0.5，求 P（B｜A∪ B ）P( B A ? B ) ?【解】P( AB ) P A ? P AB ) ( ) ( ? P( A ? B) P( A) ? P( B) ? P( AB)0.7 ? 0.5 1 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 4?24.?在一个盒中装有 15 个乒乓球，其中有 9 个新球，在第一次比赛中任意取出 3 个球，比 赛后放回原盒中； 第二次比赛同样任意取出 3 个球， 求第二次取出的 3 个球均为新球的概率. 【解】 设 Ai={第一次取出的 3 个球中有 i 个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的 3 球均为新 球} 由全概率公式，有P( B) ? ? P( B Ai ) P( Ai )i ?03?2 3 2 C3 C3 C1 C6 C8 C9 C1 C3 C3 C3 6 ? 39 ? 9 3 ? 3 ? 3 6 ? 37 ? 39 ? 36 3 C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15 ? 0.08925. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学 生有 90%的可能考试不及格.据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设 A={被调查学生是努力学习的}，则 A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知 P （A） =0.8， （ A ） P =0.2， 又设 B={被调查学生考试及格}.由题意知 P （B|A） =0.9， （ B | A ） P6=0.9，故由贝叶斯公式知P( A B ) ?（1）P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)? 0.2 ? 0.1 1 ? ? 0. ? 0.9 ? 0.2 ? 0.1 37即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%P( A B) ?(2)P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)? 0.8 ? 0.1 4 ? ? 0. ? 0.1 ? 0.2 ? 0.9 13即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. 26. 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为 0.02， 而 B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 2∶1.若接收站收到的信息是 A，试问原发信息是 A 的概率是多少？ 【解】 设 A={原发信息是 A}，则={原发信息是 B} C={收到信息是 A}，则={收到信息是 B} 由贝叶斯公式，得P( A C ) ?P( A) P(C A) P( A) P(C A) ? P( A) P(C A)? 2 / 3 ? 0.98 ? 0.99492 2 / 3 ? 0.98 ? 1/ 3 ? 0.0127.?在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱 子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）?1 【解】设 Ai={箱中原有 i 个白球}（i=0,1,2） ，由题设条件知 P（Ai）= 3 ,i=0,1,2.又设 B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知P( A1 B) ?P( B A1 ) P( A1 ) P( A1B) ? 2 P( B) ? P( B Ai )P( Ai )i ?0?2 / 3 ?1/ 3 1 ? 1/ 3 ?1/ 3 ? 2 / 3 ?1/ 3 ? 1?1/ 3 328.?某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率 为 0.02， 一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05， 求在被检查后认为是合格品产品确是合 格品的概率. 【解】 设 A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}7由贝叶斯公式得P( A B ) ?P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)? 0.96 ? 0.98 ? 0.998 0.96 ? 0.98 ? 0.04 ? 0.0529.?某保险公司把被保险人分为三类： “谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，上 ， ， 述三种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15 和 0.30； “谨慎的” 如果 被保险人占 20%， “一般的”占 50%， “冒失的”占 30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎 的”的概率是多少？ 【解】 设 A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}， C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得P ( A | D) ?P( AD) P( A) P( D | A) ? P ( D) P( A) P( D | A) ? P( B) P( D | B) ? P(C ) P( D | C )? 0.2 ? 0.05 ? 0.057 0.2 ? 0.05 ? 0.5 ? 0.15 ? 0.3 ? 0.330.?加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为 0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设 Ai={第 i 道工序出次品}（i=1,2,3,4）.P ( ? Ai ) ? 1 ? P ( A1 A2 A3 A4 )i ?14? 1? P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 )? 1 ? 0.98 ? 0.97 ? 0.95 ? 0.97 ? 0.12431.?设每次射击的命中率为 0.2， 问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概 率不小于 0.9? 【解】设必须进行 n 次独立射击.1 ? (0.8)n ? 0.9即为 故 至少必须进行 11 次独立射击.(0.8)n ? 0.1n≥1132.?证明：若 P（A｜B）=P(A｜ B )，则 A，B 相互独立.【证】 亦即P( AB) P( AB) ? P( B) P( A | B) P( A | B) P( B) ? 即P( AB)P(B) ? P( AB) P( B)8P( AB)[1 ? P( B)] ? [ P( A) ? P( AB)]P( B)因此 故 A 与 B 相互独立.P( AB) ? P( A) P( B)1 1 1 33.?三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为 5 ， 3 ， 4 ，求将此密码破译出的概率. 【解】 设 Ai={第 i 人能破译}（i=1,2,3） ，则P ( ? Ai ) ? 1 ? P ( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )i ?134 2 3 ? 1 ? ? ? ? 0.6 5 3 434.?甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人 击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击 中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设 A={飞机被击落}，Bi={恰有 i 人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得P( A) ? ? P( A | Bi )P( Bi )i ?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458 35.?已知某种疾病患者的痊愈率为 25%， 为试验一种新药是否有效， 把它给 10 个病人服用， 且规定若 10 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到 35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.k p1 ? ? C10 (0.35)k (0.65)10?k ? 0.5138 k ?0 3【解】 （1）10k p2 ? ? C10 (0.25)k (0.75)10?k ? 0.2241(2)k ?436.?一架升降机开始时有 6 位乘客， 并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率： （1） A=“某指定的一层有两位乘客离开” ； （2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开” ； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开” ； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 【解】 由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为 106 种.9P( A) ?（1）2 C6 9 4 106 ，也可由 6 重贝努里模型：9 2 1 P ( A) ? C6 ( ) 2 ( ) 4 10 10（2） 6 个人在十层中任意六层离开，故6 P10 106P( B) ?（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有 六人中选二人在该层离开，有C1 种可能结果，再从 102 C6 种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4 人中有 3 个人在同一层离开，另一人在其余 8 层中任一层 离开，共有 层离开，有C1 C3C1 种可能结果；②4 人同时离开，有 C1 种可能结果；③4 个人都不在同一 9 4 8 9 P94 种可能结果，故2 P(C) ? C1 C6 (C1 C3C1 ? C1 ? P94 ) /106 10 9 4 8 9（4） D= B .故P( D) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ?6 P10 10637. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率； （3） 如果 n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1）p1 ?1 n ?1p2 ?(2)3!(n ? 3)! ,n ? 3 (n ? 1)!(n ? 1)! 1 ? 3!(n ? 2)! ? ; p2 ? ,n ? 3 n! n n!p1? ?(3)38.?将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率? 【解】 设这三段长分别为 x,y,a?x?y.则基本事件集为由 0&x&a,0&y&a,0&a?x?y&a 所构成的图形，有利事件集为由10?x ? y ? a ? x ? y ? x ? (a ? x ? y ) ? y ? ? y ? (a ? x ? y ) ? x ?构成的图形，即a ? 0? x? ? 2 ? ?0 ? y ? a ? 2 ?a ? ? x? y ?a ?2 ?p?如图阴影部分所示，故所求概率为1 4.39. 某人有 n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）. 证明试开 k 次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与 k 无关.p?【证】Pnk??11 1 ? , k ? 1, 2,?, n Pnk n40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出 一个，试求它有 i 面涂有颜色的概率 P（Ai） （i=0,1,2,3）.? 【解】 设 Ai={小立方体有 i 面涂有颜色}，i=0,1,2,3. 在 1 千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的 小立方体共有 8 个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的， 这样的小立方体共有 12×8=96 个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面 涂色的，共有 8×8×6=384 个.其余 1000?（8+96+384）=512 个内部的小立方体是无色的，故 所求概率为P( A0 ) ?512 384 ? 0.512, P( A1 ) ? ? 0.384
, 96 8 ? 0.096, P( A4 ) ? ? 0.008
.P( A2 ) ?41.对任意的随机事件 A，B，C，试证? P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A).? 【证】P( A) ? P[ A( B ? C )] ? P( AB ? AC )? P( AB) ? P( AC ) ? P( ABC ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC )1142.?将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率. 【解】 设Ai ={杯中球的最大个数为 i},i=1,2,3.将 3 个球随机放入 4 个杯子中，全部可能放法有 43 种，杯中球的最大个数为 1 时，每个杯 中最多放一球，故P( A1 ) ?C3 3! 3 4 ? 43 8而杯中球的最大个数为 3，即三个球全放入一个杯中，故P( A3 ) ?C1 1 4 ? 3 4 163 1 9 P( A2 ) ? 1 ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? 1 ? ? ? 8 16 16因此或P( A2 ) ?2 C1 C3 C1 9 4 3 ? 3 4 1643.?将一枚均匀硬币掷 2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】 2n 次硬币， 掷 可能出现： A={正面次数多于反面次数}， B={正面次数少于反面次数}， C={正面次数等于反面次数}，A，B，C 两两互斥. 可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故 P（A）=P（B）.所以P( A) ?1 ? P(C ) 2由 2n 重贝努里试验中正面出现 n 次的概率为1 n 1 P(C ) ? C2 n ( ) n ( ) n 2 2故1 1 P( A) ? [1 ? Cn n 2 n ] 2 2 244.?掷 n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】设 A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知 P（A）=P（B） （1） 当 n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由 P（A）+P（B）=1 得 P（A）=P（B）=0.5 (2) 当 n 为偶数时，由上题知n 1 1 2 P( A) ? [1 ? Cn ( )n ] 2 245.?设甲掷均匀硬币 n+1 次，乙掷 n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.12乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有（甲正 &乙正） =（甲正≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反&乙反） 由对称性知 P（甲正&乙正）=P（甲反&乙反）1 因此 P(甲正&乙正)= 246.?证明“确定的原则” （Sure?thing） ：若 P（A|C）≥P(B|C),P(A| C )≥P(B| C )，则 P（A） ≥P(B). 【证】由 P（A|C）≥P(B|C),得P( AC ) P( BC ) ? , P(C ) P(C )即有 同理由 得 故P( AC ) ? P( BC )P( A | C) ? P(B | C), P( AC) ? P(BC),P( A) ? P( AC) ? P( AC) ? P(BC) ? P(BC) ? P(B)47.一列火车共有 n 节车厢， k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少 有 有一个旅客的概率.? 【解】 设 Ai={第 i 节车厢是空的}， （i=1,?,n）,则(n ? 1) k 1 ? (1 ? ) k k n n 2 P ( Ai A j ) ? (1 ? ) k n ? n ?1 k P ( Ai1 Ai2 ? Ain?1 ) ? (1 ? ) n P ( Ai ) ?其中 i1,i2,?,in?1 是 1，2，?，n 中的任 n?1 个. 显然 n 节车厢全空的概率是零，于是13n 1 1 S1 ? ? P ( Ai ) ? n(1 ? ) k ? C1 (1 ? ) k n n n i ?1 2 2 S 2 ? ? P ( Ai A j ) ?C n (1 ? ) k n 1?i ? j ? n? S n ?1 ? Sn ? 0 P ( ? Ai ) ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? (?1) n ?1 S ni ?1 n 1?i1 ?i2 ??in?1 ? n?n P ( Ai1 Ai2 ? Ain?1 ) ?C n ?1 (1 ?n ?1 k ) n1 2 n ?1 k 2 ? C1 (1 ? ) k ? Cn (1 ? ) k ? ? ? (?1) n C n ?1 (1 ? ) n n n n n故所求概率为n 1 2 n ?1 k 2 1 ? P( ? Ai ) ? 1 ? C1 (1 ? ) k ? C n (1 ? )i ? ? ? ( ?1) n ?1 C n ?1 (1 ? ) n n i ?1 n n n48.设随机试验中，某一事件 A 出现的概率为ε &0.试证明：不论ε &0 如何小，只要不断地 独立地重复做此试验，则 A 迟早会出现的概率为 1.? 【证】 在前 n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1 ? (1 ? ? )n ? 1(n ? ?)49.袋中装有 m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只， 将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设 A={投掷硬币 r 次都得到国徽} B={这只硬币为正品}P( B) ?由题知m n , P( B) ? m?n m?nP( A | B) ?1 , P( A | B) ? 1 2r则由贝叶斯公式知P( B | A) ?P( AB) P( B) P( A | B) ? P( A) P( B) P( A | B) ? P( B) P( A | B )m 1 ? m m ? n 2r ? ? r m 1 n ? r? ? m?2 n 1 m?n 2 m?n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r 根的概 率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率又有多少？?14【解】以 B1、B2 记火柴取自不同两盒的事件，则有P( B1 ) ? P( B2 ) ?1 2 .（1）发现一盒已空，另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2n?r 次，设 n 次取自 B1 盒（已空） r 次取自 B2 盒，第 ，n? 2n?r+1 次拿起 B1，发现已空。把取 2n?r 次火柴视作 2n?r 重贝努里试验，则所求概率为1 1 1 1 p1 ? 2Cn n ? r ( ) n ( ) n ?r ? ? Cn ? r 2 r ? r 2 n 2 2 2 2式中 2 反映 B1 与 B2 盒的对称性（即也可以是 B2 盒先取空）. （2） 前 2n?r?1 次取火柴，有 n?1 次取自 B1 盒，n?r 次取自 B2 盒，第 2n?r 次取自 B1 盒，故概 率为1 1 1 1 n n p2 ? 2C2 ?1 r ?1 ( ) n ?1 ( ) n ? r ? C2 ?1 r ?1 ( ) 2 n ? r ?1 n? n? 2 2 2 251.?求 n 重伯努利试验中 A 出现奇数次的概率. 【解】 设在一次试验中 A 出现的概率为 p.则由2 (q ? p)n ? C0 p0qn ? C1 pqn?1 ? Cn p2qn?2 ??? Cn pn q0 ? 1 n n n(q ? p)n ? C0 p0qn ? C1 pqn?1 ? C2 p2qn?2 ??? (?1)n Cn pnq0 n n n n以上两式相减得所求概率为p1 ? C1 pqn?1 ? C3 p3qn?3 ?? n n1 ? [1 ? (q ? p) n ] 2 1 ? [1 ? (1 ? 2 p ) n ] 2若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得1 p2 ? [1 ? (1 ? 2 p) n ] 2 .52.设 A，B 是任意两个随机事件，求 P{（ A +B） （A+B） A + B ） （ （A+ B ）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（ A ∪ B ）=A B ∪ A B （ A ∪B）∩（A∪ B ）=AB∪ AB 所求 ? 故所求值为 0. 53.设两两相互独立的三事件，A，B 和 C 满足条件：?( A ? B)( A ? B)( A ? B)( A ? B) ? [( AB ? AB) ? ( AB ? AB)]??15ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)& 1/2，且 P（A∪B∪C）=9/16，求 P（A）. 【解】由 P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC )? 3P( A) ? 3[ P( A)]2 ?P( A) ?故9 161 3 1 1 4 或 4 ,按题设 P（A）& 2 ,故 P（A）= 4 .54.设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1/9，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，求 P（A）.P( AB) ? P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ?【解】1 9①P( AB) ? P( AB)故 故 由 A,B 的独立性，及①、③式有②P( A) ? P( AB) ? P( B) ? P( AB) P( A) ? P( B)③1 ? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) 9? 1 ? 2P( A) ? [ P( A)]2 ? [1 ? P( A)]21 ? P ( A) ? ?故1 3P( A) ?故2 4 P( A) ? 3或 3 （舍去）2 即 P（A）= 3 .55.随机地向半圆 0&y&2ax ? x2 (a 为正常数)内掷一点， 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于π /4 的概率为多少？?1 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为 2 π a2.阴影部分面积为π 2 1 2 a ? a 4 216故所求概率为π 2 1 2 a ? a 2 ?1?1 p? 4 1 2 2 π πa 256.?设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格 品，求另一件也是不合格品的概率. 【解】 设 A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}C2 4 2 C10 P( AB) 1 P( B | A) ? ? ? 2 C P( A) 5 1- 26 C1057.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.? （1） 求先抽到的一份是女生表的概率 p；? （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q. 【解】设 Ai={报名表是取自第 i 区的考生}，i=1,2,3. Bj={第 j 次取出的是女生表}，j=1,2.则1 P ( Ai ) ? , i ? 1, 2,3 3P( B1 | A1 ) ?3 7 5 , P( B1 | A2 ) ? , P( B1 | A3 ) ? 10 15 253 1 3 7 5 29 p ? P( B1 ) ? ? P( B1 | Ai ) ? ( ? ? ) ? 3 10 15 25 90 i ?1 (1)q ? P( B1 | B2 ) ?(2)P( B1 B2 ) P( B2 )3而P( B 2 ) ? ? P( B 2 | Ai ) P( Ai )i ?11 7 8 20 61 ? ( ? ? )? 3 10 15 25 90P( B1 B2 ) ? ? P( B1 B 2 | Ai ) P( Ai )i ?131 3 7 7 8 5 20 2 ? ( ? ? ? ? ? )? 3 10 9 15 14 25 24 917故2 P( B1 B 2 ) 9 20 q? ? ? 61 61 P( B2 ) 9058. 设 A，B 为随机事件，且 P（B）&0,P(A|B)=1,试比较 P(A∪B)与 P(A)的大小. (2006 研考) 解：因为P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB)P( AB) ? P(B) ? P( A B) ? P(B)所以 59. 60. 习题二 1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只 球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律. 【解】P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( B) ? P( A) .X ? 3, 4,5 P ( X ? 3) ? P ( X ? 4) ? P ( X ? 5) ? 1 ? 0.1 C3 5 3 ? 0.3 C3 5 C2 4 ? 0.6 C3 53 0.1 4 0.3 5 0.6故所求分布律为 X P2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样， 以 X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3)1 3 3 P{ X ? }, P{1 ? X ? }, P{1 ? X ? }, P{1 ? X ? 2} 2 2 2 .【解】18X ? 0,1, 2.3 C13 22 P( X ? 0) ? 3 ? . C15 35P( X ? 1) ? P( X ? 2) ?2 C1 C13 12 2 ? . 3 C15 35C1 1 13 ? . 3 C15 350 1 2故 X 的分布律为 X P22 3512 351 35（2） 当 x&0 时，F（x）=P（X≤x）=022 当 0≤x&1 时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 35 34 当 1≤x&2 时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 35当 x≥2 时，F（x）=P（X≤x）=1 故 X 的分布函数x?0 ? 0, ? 22 ? , 0 ? x ?1 ? 35 F ( x) ? ? ? 34 , 1 ? x ? 2 ? 35 ? 1, x?2 ?(3)1 1 22 P( X ? ) ? F ( ) ? , 2 2 35 3 3 34 34 P(1 ? X ? ) ? F ( ) ? F (1) ? ? ?0 2 2 35 35 3 3 12 P(1 ? X ? ) ? P( X ? 1) ? P(1 ? X ? ) ? 2 2 35 34 1 P(1 ? X ? 2) ? F (2) ? F (1) ? P( X ? 2) ? 1 ? ? ? 0. 35 353.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为 0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的 分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率. 【解】 设 X 表示击中目标的次数.则 X=0，1，2，3.19P( X ? 0) ? (0.2)3 ? 0.008 P( X ? 1) ? C1 0.8(0.2) 2 ? 0.096 32 P( X ? 2) ? C3 (0.8) 2 0.2 ? 0.384P( X ? 3) ? (0.8)3 ? 0.512故 X 的分布律为 X P 分布函数 0 0.008 1 0.096 2 0.384 3 0.512x?0 ? 0, ?0.008, 0 ? x ? 1 ? ? F ( x) ? ?0.104, 1 ? x ? 2 ?0.488, 2? x?3 ? x?3 ?1, ?P( X ? 2) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? 0.8964.（1） 设随机变量 X 的分布律为aP{X=k}=?kk! ，其中 k=0，1，2，?，λ ＞0 为常数，试确定常数 a. （2） 设随机变量 X 的分布律为 P{X=k}=a/N， k=1，2，?，N， 试确定常数 a. 【解】 （1） 由分布律的性质知1 ? ? P( X ? k ) ? a ?k ?0 k ?0???kk!? a? ? ea ? e? ?故 (2) 由分布律的性质知1 ? ? P ( X ? k ) ??k ?1 k ?1NNa ?a Na ? 1.即5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投 3 次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令 X、Y 表示甲、乙投中次数，则 X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1)P( X ? Y ) ? P( X ? 0, Y ? 0) ? P( X ? 1, Y ? 1) ? P( X ? 2, Y ? 2) ?20P( X ? 3, Y ? 3)? (0.4)3 (0.3)3 ? C1 0.6(0.4)2 C1 0.7(0.3)2 + 3 32 2 C3 (0.6)2 0.4C3 (0.7)2 0.3 ? (0.6)3 (0.7)3? 0.32076(2) P( X ? Y ) ? P( X ? 1, Y ? 0) ? P( X ? 2, Y ? 0) ? P( X ? 3, Y ? 0) ?P( X ? 2, Y ? 1) ? P( X ? 3, Y ? 1) ? P( X ? 3, Y ? 2)2 ? C1 0.6(0.4)2 (0.3)3 ? C3 (0.6)2 0.4(0.3)3 ? 3 2 (0.6)3 (0.3)3 ? C3 (0.6)2 0.4C1 0.7(0.3)2 ? 3 2 (0.6)3 C1 0.7(0.3)2 ? (0.6)3 C3 (0.7)2 0.3 3=0.243 6.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各 飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落 而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 X~b(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道， 则有P( X ? N ) ? 0.01即 利用泊松近似k ? N ?1?C200k 200(0.02)k (0.98)200?k ? 0.01? ? np ? 200 ? 0.02 ? 4.P( X ? N ) ? e?4 4k ? 0.01 ? k ? N ?1 k !?查表得 N≥9.故机场至少应配备 9 条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少（利 用泊松定理）？ 【解】设 X 表示出事故的次数，则 X~b（1）P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? 1 ? e?0.1 ? 0.1? e?0.18.已知在五重伯努利试验中成功的次数 X 满足 P{X=1}=P{X=2}，求概率 P{X=4}.21【解】设在每次试验中成功的概率为 p，则2 C1 p(1 ? p)4 ? C5 p2 (1 ? p)3 5p?故1 3所以2 10 4 1 P( X ? 4) ? C5 ( ) 4 ? 3 3 243 .9.设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号， （1） 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】 （1） 设 X 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 X~6（5，0.3）k P( X ? 3) ? ? C5 (0.3) k (0.7)5?k ? 0.16308 k ?3 5(2) 令 Y 表示 7 次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~b（7，0.3）k P(Y ? 3) ? ? C7 (0.3)k (0.7)7?k ? 0.35293 k ?3 710.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为（1/2）t 的泊松 分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率. 【解】 （1） P( X ? 0) ? ek k? 3 2(2)2?kP( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? 1 ? e?5 211.设 P{X=k}= C2 p (1 ? p) P{Y=m}= C4 p (1 ? p)m m 4?m, k=0,1,2 m=0,1,2,3,4,5 分别为随机变量 X，Y 的概率分布，如果已知 P{X≥1}= 9 ，试求 P{Y≥1}. P( X ? 1) ?【解】因为 而5 4 P( X ? 1) ? 9 ，故 9.P( X ? 1) ? P( X ? 0) ? (1 ? p)2(1 ? p ) 2 ? 4 , 9故得即1 p? . 322P(Y ? 1) ? 1 ? P(Y ? 0) ? 1 ? (1 ? p) 4 ?从而65 ? 0.80247 8112.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这 2000 册书中 恰有 5 册错误的概率. 【解】令 X 为 2000 册书中错误的册数，则 X~b().利用泊松近似计算,? ? np ? 2000 ? 0.001 ? 2P( X ? 5) ?得e?2 25 ? 0.0018 5!3 1 13.进行某种试验， 成功的概率为 4 ， 失败的概率为 4 .以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率. 【解】 X ? 1, 2,?, k ,?1 3 P( X ? k ) ? ( ) k ?1 4 4P( X ? 2) ? P( X ? 4) ? ? ? P( X ? 2k ) ? ?1 3 1 3 1 3 ? ? ? ( )3 ? ? ? ( ) 2 k ?1 ? ? 4 4 4 4 4 4 1 3 1 ? ? 4 ? 4 1 ? ( 1 )2 5 414.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡 的概率为 0.002， 每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费， 而在死亡时家属可从保险 公司领取 2000 元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率; （2） 保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑. （1） 在 1 月 1 日，保险公司总收入为 00 元. 设 1 年中死亡人数为 X，则 X~b()，则所求概率为P(2000 X ? 30000) ? P( X ? 15) ? 1 ? P( X ? 14)由于 n 很大，p 很小，λ =np=5，故用泊松近似，有P( X ? 15) ? 1 ? ?e?5 5k ? 0.000069 k! k ?014(2) P(保险公司获利不少于 10000)? P(30000 ? 2000 X ? 10000) ? P( X ? 10)23??e?5 5k ? 0.986305 k! k ?010即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上? P（保险公司获利不少于 20000） ? P(30000 ? 2000 X ? 20000) ? P( X ? 5)e?5 5k ?? ? 0.615961 k! k ?05即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%? 15.已知随机变量 X 的密度函数为 f(x)=Ae?|x|, ?∞&x&+∞, 求： （1）A 值； （2）P{0&X&1}; (3) F(x). 【解】 （1） 由? ??????f ( x)dx ? 1?得1 ? ? Ae?|x|dx ? 2? Ae? x dx ? 2A0A?故1 2.p(0 ? X ? 1) ?(2)1 1 ?x 1 ?1 ?0 e dx ? 2 (1 ? e ) 2 1 x 1 e dx ? e x ?? 2 2x(3) 当 x&0 时，F ( x) ? ?x当 x≥0 时，F ( x) ? ?0 1 x1 1 ?| x| e dx ? ? e x dx ? ? e ? x dx ?? 2 ?? 2 0 21 ? 1 ? e? x 2故? 1 x ? 2e , ? F ( x) ? ? ?1 ? 1 e ? x ? 2 ?x?0 x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 X 的密度函数为? 100 ? , x ? 100, ? x2 ?0, x ? 100. f(x)= ?求： （1） 在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；24（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】（1）P( X ? 150) ? ?150100100 1 dx ? . 2 x 32 8 p1 ? [ P( X ? 150)]3 ? ( )3 ? 3 271 2 4 p2 ? C1 ( ) 2 ? 3 3 3 9 (2)(3) 当 x&100 时 F（x）=0 当 x≥100 时F ( x) ? ?x??f (t )dt????100??xf (t )dt ? ?x100f (t )dt100100 100 dt ? 1 ? 2 t x故? 100 , x ? 100 ?1 ? F ( x) ? ? x ? 0, x?0 ?17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］ 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X 的分布函数. 【解】 由题意知 X~∪[0,a]，密度函数为?1 ? , 0? x?a f ( x) ? ? a ? 0, 其他 ?故当 x&0 时 F（x）=0当 0≤x≤a 时F ( x) ? ?x??f (t )dt ? ? f (t )dt ? ?0xx01 x dt ? a a当 x&a 时，F（x）=1 即分布函数? 0, ?x ? F ( x) ? ? , ?a ? 1, ?x?0 0? x?a x?a18.设随机变量 X 在[2，5]上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于 3 的概率. 【解】X~U[2,5]，即25?1 ? , 2? x?5 f ( x) ? ? 3 ? 0, 其他 ?P ( X ? 3) ? ?故所求概率为5 31 2 dx ? 3 31 2 20 2 2 p ? C3 ( ) 2 ? C3 ( ) 3 ? 3 3 3 3 271 E( ) 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布 5 .某顾客在窗口等待服务， 若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次， Y 表示一个月内他未等到 以 服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求 P{Y≥1}.1 X ~ E( ) 5 ，即其密度函数为 【解】依题意知x ?1 ?5 ? e , x?0 f ( x) ? ? 5 ? 0, x?0 ?该顾客未等到服务而离开的概率为P( X ? 10) ? ?x 1 ?5 e dx ? e?2 10 5 ?Y ~ b(5,e?2 ) ,即其分布律为k P(Y ? k ) ? C5 (e?2 )k (1 ? e?2 )5?k , k ? 0,1, 2,3, 4,5P(Y ? 1) ? 1 ? P(Y ? 0) ? 1 ? (1 ? e?2 )5 ? 0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X 服 从 N（40，102） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从 N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】 （1） 若走第一条路，X~N（40，102） ，则? x ? 40 60 ? 40 ? P( X ? 60) ? P ? ? ? ? ? (2) ? 0.97727 10 ? ? 10若走第二条路，X~N（50，42） ，则? X ? 50 60 ? 50 ? P( X ? 60) ? P ? ? ? ? ? (2.5) ? 0.9938 4 ? ? 4 ++故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若 X~N（40，102） ，则26? X ? 40 45 ? 40 ? P( X ? 45) ? P ? ? ? ? ? (0.5) ? 0.6915 10 ? ? 10若 X~N（50，42） ，则? X ? 50 45 ? 50 ? P( X ? 45) ? P ? ? ? ? ? (?1.25) 4 ? ? 4? 1 ? ? (1.25) ? 0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设 X~N（3，22） ， （1） 求 P{2&X≤5}，P{?4&X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3}; （2） 确定 c 使 P{X＞c}=P{X≤c}.? 2?3 X ?3 5?3? P(2 ? X ? 5) ? P ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 【解】 （1）? 1? ?1? ? ? (1) ? ? ? ? ? ? ? (1) ? 1 ? ? ? ? ? 2? ?2? ? 0.8413 ? 1 ? 0.6915 ? 0.5328? ?4 ? 3 X ? 3 10 ? 3 ? P(?4 ? X ? 10) ? P ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ?7? ? 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.9996 ?2? ? 2?P(| X |? 2) ? P( X ? 2) ? P( X ? ?2)? X ?3 2?3? ? X ? 3 ?2 ? 3 ? ? P? ? ? ? ? P? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 1? ? 5? ?1? ?5? ? 1?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?? ? ? ? 2? ? 2? ?2? ?2? ? 0.6915 ? 1 ? 0.9938 ? 0.6977P( X ? 3) ? P( X ? 3 3-3 ? ) ? 1 ? ? (0) ? 0.5 2 2(2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在 10.05±0.12 内为合格品, 求一螺栓为不合格品的概率.? X ? 10.05 0.12 ? P(| X ? 10.05 |? 0.12) ? P ? ? 0.06 ? ? 0.06 ? 【解】? 1 ? ? (2) ? ? (?2) ? 2[1 ? ? (2)] ? 0.04562723.一工厂生产的电子管寿命 X（小时）服从正态分布 N（160，σ2） ，若要求 P{120＜X≤200 ＝≥0.8，允许σ 最大不超过多少？? 120 ? 160 X ? 160 200 ? 160 ? P(120 ? X ? 200) ? P ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解】? 40 ? ? ?40 ? ? 40 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2? ? ? ? 1 ? 0.8 ?? ? ? ? ? ?? ???故 24.设随机变量 X 分布函数为40 ? 31.25 1.29? A ? Be? ? x , x ? 0, (? ? 0), ? x ? 0. ?0, F（x）=（1） 求常数 A，B； （2） 求 P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度 f（x）.? xlim F ( x) ? 1 ? ??? ?A ?1 ? lim F ( x) ? lim F ( x) ? B ? ?1 ? x ?0? 【解】 （1）由 ? x?0? 得?（2） P( X ? 2) ? F (2) ? 1 ? e?2?P( X ? 3) ? 1 ? F (3) ? 1 ? (1 ? e?3? ) ? e?3?(3)?? e ? ? x , x ? 0 f ( x) ? F ?( x) ? ? x?0 ? 0,? x, ? ? 2 ? x, ? 0, ? 0 ? x ? 1, 1 ? x ? 2, 其他.25.设随机变量 X 的概率密度为f（x）=求 X 的分布函数 F（x） ，并画出 f（x）及 F（x）. 【解】当 x&0 时 F（x）=0 当 0≤x&1 时F ( x) ? ?x??f (t )dt ? ?0??f (t )dt ? ? f (t )dt0xx2 ? ? t dt ? 0 2x当 1≤x&2 时F ( x) ? ?x??f (t )dt28??0?? 1f (t )dt ? ? f (t )dt ? ? f (t )dt0 1 x 11x? ? tdt ? ? (2 ? t )dt01 x2 3 ? 2x ? ? 2 2 2 2 x ? ? ? 2x ?1 2 ?当 x≥2 时F ( x) ? ?x??f (t )dt ? 1?0, ? 2 ?x , ?2 F ( x) ? ? 2 ?? x ? 2 x ? 1, ? 2 ? ?1, x?0 0 ? x ?1 1? x ? 2 x?2故26.设随机变量 X 的密度函数为 （1） f(x)=ae?? |x|,λ &0;(2)? bx, 0 ? x ? 1, ?1 ? 2 , 1 ? x ? 2, ?x 0, 其 他. f(x)= ?试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）.【解】 （1） 由????? ? 2a ? ? | x| ?? x f ( x)dx ? 1 1 ? ??? ae dx ? 2a ?0 e dx ? ? 知a?故?2即密度函数为? ? ?? x ?2 e , x ? 0 ? f ( x) ? ? ? ? e? x x?0 ?2 ?x当 x≤0 时F ( x) ? ?x??f ( x)dx ? ?01 e? x dx ? e? x ?? 2 2x?当 x&0 时F ( x) ? ???f ( x)dx ? ??2??e? x dx ? ?x?20e ? ? x dx1 ? 1 ? e? ? x 229故其分布函数? 1 ?? x ?1 ? 2 e , x ? 0 ? F ( x) ? ? ? 1 e? x , x?0 ?2 ?1? ??(2) 由??f ( x)dx ? ? bxdx ? ?01211 b 1 dx ? ? 2 x 2 2得 即 X 的密度函数为b=10 ? x ?1 ? x, ?1 ? f ( x) ? ? 2 , 1 ? x ? 2 ?x 其他 ?0, ?当 x≤0 时 F（x）=0 当 0&x&1 时F ( x) ? ???x??f ( x)dx ??0??f ( x)dx ? ? f ( x)dx0xx0x2 xdx ? 2x当 1≤x&2 时F ( x) ? ???f ( x)dx ? ? 0dx ? ? xdx ? ??? 001x11 dx x2?当 x≥2 时 F（x）=1 故其分布函数为3 1 ? 2 x27.求标准正态分布的上 ? 分位点， （1） ? =0.01，求?0, ? 2 ?x , ? F ( x) ? ? 2 ?3 ? 1 , ?2 x ?1, ?x?0 0 ? x ?1 1? x ? 2 x?2z? ; z? ， z? / 2 .（2） ? =0.003，求 【解】 （1） 即P( X ? z? ) ? 0.011 ? ? ( z? ) ? 0.0130即 故 （2） 由? ( z? ) ? 0.09z? ? 2.33 P( X ? z? ) ? 0.003 得1 ?? ( z? ) ? 0.003即 查表得 由? ( z? ) ? 0.997z? ? 2.75P( X ? z? / 2 ) ? 0.0015 得1? ? ( z? / 2 ) ? 0.0015即 查表得 28.设随机变量 X 的分布律为 X Pk ?2 1/5 ?1 1/6 0 1/5 1 1/15 3 11/30? ( z? / 2 ) ? 0.9985z? / 2 ? 2.96求 Y=X2 的分布律. 【解】Y 可取的值为 0，1，4，9P(Y ? 0) ? P( X ? 0) ?1 5 1 1 7 ? ? 6 15 30P(Y ? 1) ? P( X ? ?1) ? P( X ? 1) ? 1 5 11 P(Y ? 9) ? P( X ? 3) ? 30 P(Y ? 4) ? P( X ? ?2) ?故 Y 的分布律为 Y Pk 0 1/5 1 7/30 4 1/59 11/301 29.设 P{X=k}=( 2 )k, k=1,2,?,令? 1, 当X 取偶数时 Y ?? ??1, 当X 取奇数时.求随机变量 X 的函数 Y 的分布律.31【解】 P(Y ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 4) ? ? ? P( X ? 2k ) ? ?1 1 1 ? ( )2 ? ( )4 ? ? ? ( )2k ? ? 2 2 2 1 1 1 ? ( ) /(1 ? ) ? 4 4 3P(Y ? ?1) ? 1 ? P(Y ? 1) ? 2 330.设 X~N（0，1）. （1） 求 Y=eX 的概率密度； （2） 求 Y=2X2+1 的概率密度； （3） 求 Y=｜X｜的概率密度. 【解】 （1） 当 y≤0 时， 当 y&0 时，FY ( y) ? P(Y ? y) ? 0FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(ex ? y) ? P( X ? ln y)??fY ( y ) ?ln y ??f X ( x)dx故 (2) P(Y ? 2 X ? 1 ? 1) ? 12dFY ( y) 1 1 1 ? ln 2 y / 2 ? f x (ln y ) ? e ,y?0 dy y y 2π当 y≤1 时 当 y&1 时FY ( y) ? P(Y ? y) ? 0FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(2 X 2 ?1 ? y)? y ?1 ? y ?1 ? ? P? X 2 ? ?X? ? ? P?? ? 2 ? 2 ? ? y ?1 ? ? 2 ? ???fY ( y ) ?故( y ?1)/ 2? ( y ?1)/ 2f X ( x)dxd 1 FY ( y ) ? dy 4? 2 ? ? y ?1 ? y ?1 ?? ? fX ? ? ? fX ? ? ?? ? y ?1 ? ? 2 ? 2 ?? ? ? ?? ? ??1 22 1 ?( y ?1) / 4 e , y ?1 y ? 1 2π(3) P(Y ? 0) ? 1 当 y≤0 时 当 y&0 时FY ( y) ? P(Y ? y) ? 0FY ( y) ? P(| X |? y) ? P(? y ? X ? y)32? ? f X ( x)dx?yyfY ( y ) ?故d FY ( y ) ? f X ( y ) ? f X (? y ) dy?2 ? y2 / 2 e ,y?0 2π31.设随机变量 X~U（0,1） ，试求： （1） Y=eX 的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX 的分布函数及密度函数. 【解】 （1） P(0 ? X ? 1) ? 1 故X P( 1? Y ? e ? e? )1当 y ? 1时FY ( y) ? P(Y ? y) ? 0当 1&y&e 时FY ( y) ? P(e X ? y) ? P( X ? ln y)??ln y0dx ? ln y当 y≥e 时FY ( y) ? P(e X ? y) ? 1即分布函数y ?1 ?0, ? FY ( y ) ? ?ln y, 1 ? y ? e ?1, y?e ?故 Y 的密度函数为?1 1? y ? e ? fY ( y ) ? ? y , ?0, 其他 ?（2） 由 P（0&X&1）=1 知P( Z ? 0) ? 1当 z≤0 时， 当 z&0 时，FZ ( z) ? P(Z ? z ) ? 0FZ ( z) ? P(Z ? z) ? P(?2ln X ? z)z ? P(ln X ? ? ) ? P( X ? e ? z / 2 ) 2? ? ? z / 2 dx ? 1 ? e? z / 2e133即分布函数z?0 ?0, FZ ( z) ? ? - z / 2 ?1-e , z ? 0故 Z 的密度函数为?1 ?z/2 ? e , z?0 fZ ( z) ? ? 2 ?0, z?0 ?32.设随机变量 X 的密度函数为? 2x ? 2 , 0 ? x ? π, ?π ? 0, 其他. f(x)= ?试求 Y=sinX 的密度函数. 【解】 P(0 ? Y ? 1) ? 1 当 y≤0 时，FY ( y) ? P(Y ? y) ? 0 FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(sin X ? y)? P(0 ? X ? arcsin y) ? P(π ? arcsin y ? X ? π)??arcsin y π 2x 2x dx ? ? dx 2 π ? arcsin y π 2 π当 0&y&1 时，01 1 2 2 ? 2 arcsin y） ? 1- 2 π - arcsin y） （ （ π π 2 ? arcsin y π当 y≥1 时，FY ( y) ? 1故 Y 的密度函数为1 ?2 , 0 ? y ?1 ?π? fY ( y ) ? ? 1? y2 ?0, 其他 ?33.设随机变量 X 的分布函数如下：? 1 , ? F ( x) ? ? 1 ? x 2 ? (2) , ?试填上(1),(2),(3)项. 【解】由 x ??x ? (1) x?,(3) .lim F ( x ) ? 1知②填 1。34由右连续性 x ? x0lim F ( x) ? F ( x0 ) ? 1 +知x0 ? 0 ，故①为 0。从而③亦为 0。即? 1 , x?0 ? F ( x) ? ?1 ? x 2 ?1, x?0 ?34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现 6 点为止，求抛掷次数 X 的分布律.1 【解】设 Ai={第 i 枚骰子出现 6 点}。 （i=1,2）,P(Ai)= 6 .且 A1 与 A2 相互独立。再设 C={每次抛掷出现 6 点}。则P(C) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )? 1 1 1 1 11 ? ? ? ? 6 6 6 6 3611 故抛掷次数 X 服从参数为 36 的几何分布。35.随机数字序列要多长才能使数字 0 至少出现一次的概率不小于 0.9? 【解】令 X 为 0 出现的次数，设数字序列中要包含 n 个数字，则 X~b(n,0.1)P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? 1 ? C0 (0.1)0 (0.9)n ? 0.9 n即(0.9)n ? 0.1得 n≥22 即随机数字序列至少要有 22 个数字。 36.已知? ? 0, ? 1 ? ?x ? , 2 ? ? 1, ? F（x）= ?x ? 0, 1 0? x? , 2 1 x? . 2则 F（x）是（ ）随机变量的分布函数. （A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型.【解】因为 F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且 x ???x ???lim F ( x) ? 0lim F ( x) ? 1,所以 F（x）是一个分布函数。但是 F（x）在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故 F（x）是非连续亦非离散型随机变量35的分布函数。选（C） 37.设在区间[a,b]上，随机变量 X 的密度函数为 f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b] 等于（ ） (A) [0,π /2]; (B) [0,π ];(C) [?π/2,0];3 π (D) [0, 2 ].π π/2 [0, ] sin xdx ? 1 2 上 sinx≥0，且 ?0 【解】在 .故 f(x)是密度函数。sin xdx ? 2 ? 1 在 [0, π] 上 ?0 .故 f(x)不是密度函数。π [? , 0] 在 2 上 sin x ? 0 ，故 f(x)不是密度函数。 3 3 [0, π] π?x? π 2 上，当 2 时，sinx&0，f(x)也不是密度函数。 在故选（A） 。 38.设随机变量 X~N（0，σ 2） ，问：当σ 取何值时，X 落入区间（1，3）的概率最大？πX ~ N (0, ? 2 ), P(1 ? X ? 3) ? P(【解】因为1??X??3?)3 1 ? ?( ) ? ?( )令g (? )??利用微积分中求极值的方法，有g ?(? ) ? (?3?23 1 1 )??( ) ? 2 ??( )????? ?4 ln 3 ,则3?21 ?9 / 2? 2 1 e ? 2 ? 2?21 ?1/ 2? 2 e 2?21 2??e?1/ 2? [1 ? 3e?8/ 2? ] ? 0 22 ln 3令得 又? 02 ??0 ?g ??(? 0 ) ? 0?0 ?故2 ln 3 为极大值点且惟一。 2 ln 3 时 X 落入区间（1，3）的概率最大。??故当3639.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数 X 服从泊松分布 P（λ ） ，每个顾客购买某种物 品的概率为 p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品 的人数 Y 的分布律.P( X ? m) ?【解】e? ? ? m , m ? 0,1, 2,? m!设购买某种物品的人数为 Y，在进入商店的人数 X=m 的条件下，Y~b(m,p)，即P(Y ? k | X ? m) ? Ck pk (1 ? p)m?k , k ? 0,1,?, m m由全概率公式有?P(Y ? k ) ? ? P( X ? m) P(Y ? k | X ? m)m?k??e?? ? m k k ?Cm p (1 ? p ) m ? k m! m?k? ?? e?? ? ? e?? ??m?m ? k k !( m ? k )!p k (1 ? p ) m ? k(? p ) k k![? (1 ? p)]m ? k ? (m ? k )! m?k(? p ) k ? ? ? (1? p ) e e k! (? p ) k ? ? p ? e , k ? 0,1, 2,? k!此题说明： 进入商店的人数服从参数为λ 的泊松分布， 购买这种物品的人数仍服从泊松分布， 但参数改变为 λp. 40.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布.证明：Y=1?e?2X 在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X 的密度函数为?2e?2 x , x ? 0 f X ( x) ? ? x?0 ?0,由于 P（X&0）=1，故 0&1?e?2X&1，即 P（0&Y&1）=1 当 y≤0 时，FY（y）=0 当 y≥1 时，FY（y）=1 当 0&y&1 时，FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(e?2 x ? 1? y)1 ? P( X ? ? ln(1 ? y)) 2 ??1 ? ln(1? y ) 2 02e?2 x dx ? y即 Y 的密度函数为?1, 0 ? y ? 1 fY ( y ) ? ? ?0, 其他37即 Y~U（0，1） 41.设随机变量 X 的密度函数为? 1 ? 3 , 0 ? x ? 1, ? 2 ? ? , 3 ? x ? 6, ? 9 其他. ?0, ? f(x)= ?若 k 使得 P{X≥k}=2/3，求 k 的取值范围. (2000 研考)2 1 【解】由 P（X≥k）= 3 知 P（X&k）= 3若 k&0,P(X&k)=0? 若 0≤k≤1,P(X&k)=k01 k 1 dx ? ? 3 3 31 当 k=1 时 P（X&k）= 3? 若 1≤k≤3 时 P（X&k）=10k 1 1 dx ? ? 0dx ? 1 3 3k 2 1 2 1 1 dx ? ? dx ? k ? ? ?0 3 3 9 9 3 3 若 3&k≤6，则 P（X&k）= 1若 k&6,则 P（X&k）=12 故只有当 1≤k≤3 时满足 P（X≥k）= 3 .42.设随机变量 X 的分布函数为x ? ?1, ? 0, ?0.4, ? 1 ? x ? 1, ? ? ? 0.8, 1 ? x ? 3, ? x ? 3. F(x)= ? 1,求 X 的概率分布. （1991 研考） 【解】由离散型随机变量 X 分布律与分布函数之间的关系，可知 X 的概率分布为 X P ?1 0.4 1 0.4 3 0.243.设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等.若已知 A 至少出现一次的概率为 19/27，求 A 在一次试验中出现的概率. 【解】令 X 为三次独立试验中 A 出现的次数，若设 P（A）=p,则 X~b(3,p)3819 8 由 P（X≥1）= 27 知 P（X=0）=（1?p）3= 27 1 故 p= 344.若随机变量 X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程 y2+Xy+1=0 有实根的概率是多少？ 【解】?1 ? , 1? x ? 6 f ( x) ? ? 5 ?0, 其他 ?P( X 2 ? 4 ? 0) ? P( X ? 2) ? P( X ? ?2) ? P( X ? 2) ?45.若随机变量 X~N（2，σ 2） ，且 P{2&X&4}=0.3，则 P{X&0}= .4 50.3 ? P(2 ? X ? 4) ? P(【解】2?2??X ?2??4?2?)2 2 ? ?( ) ? ?(0) ? ?( ) ? 0.5??2 ? ( ) ? 0.8故?P( X ? 0) ? P(因此X ?2??0?2?) ? ?(?2?)2 ? 1 ? ?( ) ? 0.2?46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂；以概率 0.3 需进一步调试，经调 试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n(n≥2)台仪 器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α ； （2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β ； （3）其中至少有两台不能出厂的概率θ . 【解】设 A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则A ={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}由题意知 B= A ∪AB，且P( A) ? 0.3, P( B | A) ? 0.8 P( AB) ? P( A) P( B | A) ? 0.3 ? 0.8 ? 0.24 P( B) ? P( A) ? P( AB) ? 0.7 ? 0.24 ? 0.9439令 X 为新生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则 X~6（n，0.94）, 故? ? P( X ? n) ? (0.94) n ? ? P( X ? n ? 2) ? C2 (0.94) n ? 2 (0.06) 2 n ? ? P( X ? n ? 2) ? 1 ? P( X ? n ? 1) ? P( X ? n)? 1 ? n(0.94)n?1 0.06 ? (0.94)n47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率. 【解】设 X 为考生的外语成绩，则 X~N（72，σ 2）24 ? X ? 72 96 ? 72 ? 0.023 ? P( X ? 96) ? P ? ? ? ? 1 ? ?( ) ? ? ? ? ??(故24?) ? 0.97724查表知 从而 X~N（72，122）??2,即σ =12? 60 ? 72 X ? 72 84 ? 72 ? P(60 ? X ? 84) ? P ? ? ? ? 12 12 ? ? 12 故? ?(1) ? ?(?1) ? 2?(1) ? 1 ? 0.68248.在电源电压不超过 200V、200V~240V 和超过 240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概 率分别为 0.1，0.001 和 0.2（假设电源电压 X 服从正态分布 N（220，252） ）.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α ; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在 200~240V 的概率β 【解】设 A1={电压不超过 200V}，A2={电压在 200~240V}， A3={电压超过 240V}，B={元件损坏}。 由 X~N（220，252）知P( A1 ) ? P( X ? 200)? X ? 220 200 ? 220 ? ? P? ? ? 25 ? 25 ? ? ?(?0.8) ? 1 ? ?(0.8) ? 0.212P( A2 ) ? P(200 ? X ? 240)40? 200 ? 220 X ? 220 240 ? 220 ? ? P? ? ? ? 25 25 25 ? ? ? ?(0.8) ? ?(?0.8) ? 0.576P( A3 ) ? P( X ? 240) ? 1 ? 0.212 ? 0.576 ? 0.212由全概率公式有? ? P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? 0.0642i ?13由贝叶斯公式有? ? P( A2 | B) ?P( A2 ) P( B | A2 ) ? 0.009 P( B)49.设随机变量 X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量 Y=e2X 的概率密度 fY(y).?1, 1 ? x ? 2 f X ( x) ? ? ?0, 其他 【解】因为 P（1&X&2）=1,故 P（e2&Y&e4）=1 当 y≤e2 时 FY（y）=P(Y≤y)=0. 当 e2&y&e4 时，FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(e2 X ? y)? P (1 ? X ? 1 ln y ) 2??当 y≥e4 时，1 ? ln y 2 11 dx ? ln y ? 1 2FY ( y) ? P(Y ? y) ? 1?0, y ? e2 ? ?1 FY ( y ) ? ? ln y ? 1, e 2 ? y ? e 4 ?2 y ? e4 ?1, ?即故?1 2 4 ? , e ? y?e fY ( y ) ? ? 2 y ?0, 其他 ?50.设随机变量 X 的密度函数为?e? x , x ? 0, ? 0, x ? 0. fX(x)= ?求随机变量 Y=eX 的密度函数 fY(y). 【解】P（Y≥1）=1 (1995 研考)41当 y≤1 时， 当 y&1 时，FY ( y) ? P(Y ? y) ? 0FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(e X ? y) ? P( X ? ln y)??ln y0e? x dx ? 1 ?1 y即? 1 ?1 ? , FY ( y) ? ? y ?0, ?y &1 y ?1 y &1 y ?1故?1 ? , fY ( y ) ? ? y 2 ?0, ?51.设随机变量 X 的密度函数为1 2 fX(x)= π(1 ? x ) ,求 Y=1? 【解】3x 的密度函数 fY(y).FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(1? 3 X ? y) ? P( X ? (1 ? y)3 )?? ??3(1? y )1 1 dx ? arctgx 2 π(1 ? x ) π? (1? y )31 ?π 3? ? 2 ? arctg(1 ? y) ? π? ?fY ( y ) ?故3 (1 ? y)2 π 1 ? (1 ? y)652.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N（t）服从参数为 λt 的泊松分布. （1） 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q.（1993 研 考） 【解】 （1） 当 t&0 时，FT (t ) ? P(T ? t ) ? 0当 t≥0 时，事件{T&t}与{N(t)=0}等价，有FT (t ) ? P(T ? t ) ? 1 ? P(T ? t ) ? 1 ? P( N (t ) ? 0) ? 1 ? e??t?1 ? e ? ?t , t ? 0 FT (t ) ? ? t?0 ?0,即即间隔时间 T 服从参数为λ 的指数分布。42Q ? P(T ? 16 | T ? 8) ? P(T ? 16) / P(T ? 8) ?（2）e?16? ? e ?8? e?8?53.设随机变量 X 的绝对值不大于 1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{?1&X&1}出现的条件 下，X 在{?1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求 X 的分布函 数 F（x）=P{X≤x}. (1997 研考) 【解】显然当 x&?1 时 F（x）=0；而 x≥1 时 F（x）=11 1 5 P(?1 ? X ? 1) ? 1 ? ? ? 8 4 8 由题知 P ( X ? x | ?1 ? X ? 1) ?当?1&x&1 时， 此时 F ( x) ? P( X ? x)x ?1 2? P( X ?, ?1 ? X ? 1) ? P ( X ? x, X ? ?1) ? P ( X ? x, X ? 1) ? P( X ? x, ?1 ? X ? 1) ? P( X ? x, x ? ?1) ? P( X ? x | ?1 ? X ? 1) P(?1 ? X ? 1) ? P( X ? ?1) ? x ?1 5 1 5 1 ? ? ? ( x ? 1) ? 2 8 8 16 81 8F ( x) ? P( X ? x) ? P( X ? ?1) ?当 x=?1 时， 故 X 的分布函数x ? ?1 ?0, ?5 1 ? F ( x) ? ? ( x ? 1) ? , -1 ? x&1 8 ?16 x ?1 ?1, ?54. 设随机变量 X 服从正态分 N 1,σ12),Y 服从正态分布 N(μ 2,σ22)， P{|X-μ 1|&1}&P{|Y（μ 且 μ 2|&1}，试比较 σ1 与 σ2 的大小. (2006 研考)X ? ?1解： 依题意?1? N (0,1)?2 ，Y ? ?2? N (0,1)，则P{ X ? ?1 ? 1} ? P{X ? ?1?1?1?1 ，1 }}P{ Y ? ?2 ? 1} ? P{Y ? ?2?2??2 .，即因为P{ X ? ?1 ? 1} ? P{Y ? ?2 ? 1}43P{X ? ?1?1?1?1} ? P{Y ? ?1?2?1?2 ，1}1所以有?1?? 2 ，即 ?1 ? ? 2 .习题三 1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律. 【解】X 和 Y 的联合分布律如表：X Y0 0123 01 31 1 1 3 C1 ? ? ? ? 3 2 2 2 801 1 2 1 C3 ? ? ? ? 3 / 8 2 2 201 81 1 1 1 ? ? ? 2 2 2 82.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律. 【解】X 和 Y 的联合分布律如表：X Y0 01 022 2 C3 ?C2 3 ? 4 C7 35 2 C3 ? 1 ? 1 12 C2 C2 ? 4 C7 35 2 2 C3 ?C2 3 ? 4 C7 3530C3 ?C1 2 3 2 ? 4 C7 35 C3 ?C1 2 3 2 ? 4 C7 35010C1 ? 1 ? 2 6 3 C2 C2 ? 4 C7 351 352P(0 黑,2 红,2 白)=4 C 2 ?C 2 / C7 ? 2 2C1 ? 2 ? 1 6 3 C2 C2 ? 4 C7 353.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为π π ? ?sin x sin y, 0 ? x ? ,0 ? y ? ? 2 2 ? 0, 其他. ? F（x，y）=π π ? ?0 ? x ? , ? y ? 4 6 求二维随机变量（X，Y）在长方形域 ?P{0 ? X ?【解】如图π? ? 3 ? 内的概率.π π π , ? Y ? }公式(3.2) 4 6 344π π π π π π F ( , ) ? F ( , ) ? F (0, ) ? F (0, ) 4 3 4 6 3 6π π π π π π ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin 0? sin ? sin 0? sin 4 3 4 6 3 6 2 ? ( 3 ? 1). 4题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度? Ae? (3 x ? 4 y ) , x ? 0, y ? 0, ? 0, 其他. f（x，y）= ?求： （1） 常数 A； （2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X&1，0≤Y&2}.? ? 【解】 （1） 由????????f ( x, y )dxdy ? ???0???0Ae-(3 x ? 4 y ) dxdy ?A ?1 12得A=12 ?（2） 由定义，有F ( x, y) ? ?y?? ???xf (u, v)dudv? y y 12e?(3u ?4v ) dudv ?(1 ? e?3 x )(1 ? e?4 y ) ? ? ??0 ?0 ?? 0, ? ?0, ?(3) P{0 ? X ? 1,0 ? Y ? 2}y ? 0, x ? 0, 其他? P{0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 2} ??1 0 0? 12e2? (3 x ? 4 y )dxdy ? (1 ? e?3 )(1 ? e?8 ) ? 0.9499.5.设随机变量（X，Y）的概率密度为?k (6 ? x ? y), 0 ? x ? 2, 2 ? y ? 4, ? 0, 其他. f（x，y）= ?（1） 确定常数 k；45（2） 求 P{X＜1，Y＜3}； （3） 求 P{X&1.5}； （4） 求 P{X+Y≤4}. 【解】 （1） 由性质有? ?????????f ( x, y)dxdy ? ?R? 1 8?20?42k (6 ? x ? y)dydx ?8k ? 1,故（2）P{X ? 1, Y ? 3} ? ?1?? ???3f ( x, y)dydx1 3 k (6 ? x ? y )dydx ? 2 8 83D1??P{ X ? 1.5} ?(3)10?x ?1.5??f ( x, y )dxdy如图a ?? f ( x, y )dxdy? ? dx ?01.5421 27 (6 ? x ? y )dy ? . 8 32D2P{ X ? Y ? 4} ?(4)X ?Y ? 4??f ( x, y )dxdy如图b?? f ( x, y )dxdy2 4? x? ? dx ?021 2 (6 ? x ? y )dy ? . 8 3题5图 6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为?5e ?5 y , y ? 0, ? 0, 其他. fY（y）= ?求： （1） X 与 Y 的联合分布密度； （2） P{Y≤X}.题6图46【解】 （1） 因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为? 1 ? , 0 ? x ? 0.2, f X ( x) ? ? 0.2 ?0, 其他. ?而?5e ?5 y , y ? 0, fY ( y ) ? ? 其他. ?0,所以f ( x ,y ) Y 独立 f X x(?f) y ( ) X , Y? 1 ?5 y ?25e?5 y , 0 ? x ? 0.2且y ? 0, ? ? 5e ? ? 0.2 ?? 其他. ?0, ?0, ?P(Y ? X ) ?(2)y? x?? f ( x, y)dxdy如图?? 25eD?5 ydxdy? ? dx ? 25e-5y dy ? ? (?5e?5 x ? 5)dx0 0 00.2x0.2=e ? 0.3679.-17.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为?(1 ? e?4 x )(1 ? e ?2 y ), x ? 0, y ? 0, ? 0, 其他. F（x，y）= ?求（X，Y）的联合分布密度.f ( x, y) ?【解】? 2 F ( x, y) ?8e? (4 x ? 2 y ) , x ? 0, y ? 0, ?? ?x?y 其他. ?0,8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为?4.8 y(2 ? x), 0 ? x ? 1, 0 ? y ? x, ? 0, 其他. f（x，y）= ?求边缘概率密度. 【解】f X ( x) ? ?????f ( x, y)dy? x 4.8 y(2 ? x)dy ?2.4 x2 (2 ? x), 0 ? x ? 1, ? = ??0 ?? 其他. ?0, ?0, ?fY ( y)? ??? ??f ( x, y) dx47? 1 4.8 y (2 ? x)dx ?2.4 y (3 ? 4 y ? y 2 ), 0 ? y ? 1, ? = ? ?y ?? 其他. ?0, ?0, ?题8图 题9图 9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为? e ? y , 0 ? x ? y, ? 0, 其他. f（x，y）= ?求边缘概率密度. 【解】f X ( x) ? ?????f ( x, y)dy? ?? e? y dy ?e? x , x ? 0, ? = ??x ?? 其他. ?0, ?0, ?fY ( y) ? ??? ??f ( x, y)dx? y e? y dx ? ye? x , y ? 0, ? = ??0 ?? 其他. ?0, ?0, ?题 10 图 10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为?cx 2 y, x 2 ? y ? 1, ? 0, 其他. f（x，y）= ?（1） 试确定常数 c； （2） 求边缘概率密度.【解】 （1）? ?????????f ( x, y )dxdy如图?? f ( x, y )dxdyD= ? dx ? 2 cx 2 ydy ?-1 x114 c ? 1. 2148c?得?21 4 .?? ??(2)f X ( x) ? ?f ( x, y)dy? 21 2 ? 1 21 2 4 ? ?x2 x ydy ? x (1 ? x ), ?1 ? x ? 1, ?? 4 ?? 8 ?0, ? 其他. ? ?0,fY ( y) ? ?????f ( x, y)dx?7 5 ? y 21 2 ? ?? y x ydx ? y 2 , 0 ? y ? 1, ?? ? ?2 4 ?0, ?0, 其他. ? ?11.设随机变量（X，Y）的概率密度为?1, ? 0, f（x，y）= ?y ? x, 0 ? x ? 1, 其他.求条件概率密度 fY｜X（y｜x） ，fX｜Y（x｜y）.题 11 图 【解】f X ( x) ? ?????f ( x, y)dy? x 1dy ? 2 x, 0 ? x ? 1, ? ? ??? x ?0, 其他. ?? 1 1dx ? 1 ? y, ?1 ? y ? 0, ? ?? y ? 1 ? f ( x, y )dx ? ? ? 1dx ? 1 ? y, 0 ? y ? 1, y ? 其他. ?0, ? ?fY ( y ) ? ?????所以?1 f ( x, y) ? , | y |? x ? 1, fY | X ( y | x ) ? ? ? 2x f X ( x) ? 其他. ?0,49? 1 ?1 ? y , y ? x ? 1, ? f ( x, y ) ? 1 f X |Y ( x | y ) ? ?? , ? y ? x ? 1, fY ( y ) ?1 ? y ?0, 其他. ? ?12.袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X，最大 的号码为 Y. （1） 求 X 与 Y 的联合概率分布； （2） X 与 Y 是否相互独立？ 【解】 （1） X 与 Y 的联合分布律如下表Y X345P{X ? xi }6 10 3 10 1 1011 1 ? 3 C5 1002 2 ? 3 C5 101 1 ? 3 C5 1003 3 ? 3 C5 102 2 ? 3 C5 10 1 1 ? 2 C5 106 10230P{Y ? yi }1 103 10P{ X ? 1}?P{Y ? 3} ?(2) 因 故 X 与 Y 不独立?6 1 6 1 ? ? ? ? P{ X ? 1, Y ? 3}, 10 10 100 1013.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 0.15 0.05 5 0.30 0.12 8 0.35 0.03（1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布； （2） X 与 Y 是否相互独立？ 【解】 （1）X 和 Y 的边缘分布如下表?Y X2 0.155 0.308 0.35P{Y=yi} 0.80.4500.80.05 0.20.12 0.420.03 0.380.2P{X ? xi }(2) 因 P{ X ? 2}?P{Y ? 0.4} ? 0.2 ? 0.8 ? 0.16 ? 0.15 ? P( X ? 2, Y ? 0.4), 故 X 与 Y 不独立.? 14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为?1 ?y/2 ? e , ?2 ?0, fY（y）= ?y ? 0, 其他.（1）求 X 和 Y 的联合概率密度； （2） 设含有 a 的二次方程为 a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率.?1, 0 ? x ? 1, f X ( x) ?? ? ?0, 其他; 【解】 （1） 因?1 ?y/2 ? e f ( x, y ) X , Y 独立 f X ( x)?fY ( y ) ? ? 2 ?0, ? 故y ?1 ?2 ? e , y ? 1, fY ( y ) ?? ? 2 ?0, 其他. ?0 ? x ? 1, y ? 0, 其他.题 14 图 (2) 方程 a ? 2 Xa ? Y ? 0 有实根的条件是2? ? (2 X )2 ? 4Y ? 0故 从而方程有实根的概率为： X2≥Y，P{ X 2 ? Y } ?x2 ? y??f ( x, y )dxdy1 ?y/2 e dy 0 0 2 ? 1 ? 2? [? (1) ? ? (0)] ? 0.1445. ? ? dx ?1 x215.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计） ，并设 X 和 Y 相互独立，且服51从同一分布，其概率密度为?1000 ? 2 , x ? 1000 , ? x ? 0, 其他. f（x）= ?求 Z=X/Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数 (1) 当 z≤0 时，FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{X ? z} YFZ ( z) ? 01000 （2） 当 0&z&1 时， （这时当 x=1000 时,y= z ）(如图 a)FZ ( z) ???y?x z6 ?? yz 10 106 3 dy dxdy ? ?10 ? 3 2 2 dx 10 x y x2 y 2 z3 ?? ? 10 106 ? z = ?103 ? 2 ? 3 ? dy ? zy ? 2 z ? y题 15 图 (3) 当 z≥1 时， （这时当 y=103 时，x=103z） （如图 b）FZ ( z) ???y?x z6 ?? zy 10 106 dxdy ? ? 3 dy ? 3 2 2 dx 10 10 x y x2 y 23 ?? ? 10 106 ? 1 = ? 3 ? 2 ? 3 ? dy ? 1 ? 10 zy ? 2z ? y即1 ? ?1 ? 2 z , z ? 1, ? ?z fZ ( z) ? ? , 0 ? z ? 1, ?2 其他. ?0, ? ?52故? 1 ? 2 z 2 , z ? 1, ? ?1 fZ ( z) ? ? , 0 ? z ? 1, 2 ? 其他. ?0, ? ?只，16.设某种型号的电子管的寿命 （以小时计） 近似地服从 N （160， 分布.随机地选取 4 202） 求其中没有一只寿命小于 180h 的概率. 【解】设这四只寿命为 Xi(i=1,2,3,4)，则 Xi~N（160，202） ， 从而P{min( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) ? 180} X i 之间独立P{ X 1 ? 180}?P{ X 2 ? 180}P{X 3 ? 180}?P{X 4 ? 180} ? [ 1 ?P { 1 ? 1 8 0 } ] ?P X {? X ? [1 241 8 0?P [X ? { ? 1 ?P }X [ 1 ? } ] 31 8 0 4] ?4{1 8 0} ]? ? 180 ? 160 ? ? ? [1 ? P{ X 1 ? 180}] ? ?1 ? ? ? ? 20 ? ? ? ? ? ? [1 ? ?(1)]4 ? (0.158) 4 ? 0.00063.17.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为 P{X=k}=p（k） ，k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r） ，r=0，1，2，…. 证明随机变量 Z=X+Y 的分布律为P{Z=i}= k ? 0? p(k )q(i ? k )i，i=0，1，2，….【证明】因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数， 所以{Z ? i} ? { X ? Y ? i} ? {X ? 0, Y ? i} ? {X ? 1, Y ? i ? 1} ??? {X ? i, Y ? 0}于是P{Z ? i} ? ? P{ X ? k , Y ? i ? k}X , Y 相互独立 ? P{ X ? k}?P{Y ? i ? k}k ?0 i k ?0ii? ? p(k )q(i ? k )k ?018.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布.证明 Z=X+Y 服从 参数为 2n，p 的二项分布.53【证明】方法一：X+Y 可能取值为 0，1，2，…，2n.P{ X ? Y ? k} ? ? P{ X ? i, Y ? k ? i}i ?0k? ? P( X ? i )?P{Y ? k ? i}i ?0 k ? n? ? n ? k ?i n ? k ? i ? ? ? ? p i q n ?i ? ?p q i ?0 ? i ? ?k ?i? k ? n ?? n ? k 2 n ? k ? ? ? ?? ?p q i ? 0 ? i ?? k ? i ?k? 2n ? ? ? ? p k q 2n?k ?k ?方法二：设 μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为 p） ，则 X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以，X+Y 服从参数为（2n,p)的二项分布. 19.设随机变量（X，Y）的分布律为 X Y 0 1 2 3 0 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.02 0.03 0.04 0.05 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 0.07 0.06 0.05 0.06 0.09 0.08 0.06 0.05 0 1 2 3 4 5(1) 求 P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求 V=max（X，Y）的分布律； （3） 求 U=min（X，Y）的分布律； （4） 求 W=X+Y 的分布律.P{ X ? 2 | Y ? 2} ?【解】 （1）P{ X ? 2, Y ? 2} P{Y ? 2}P{ X ? 2, Y ? 2} ? 0.05 1 ? , 0.25 2?? P{ X ? i, Y ? 2}i ?05P{Y ? 3 | X ? 0} ?P{Y ? 3, X ? 0} P{ X ? 0}? P{ X ? 0, Y ? 3} ? 0.01 1 ? ; 0.03 3? P{ X ? 0, Y ? j}j ?03（2） P{V ? i} ? P{max( X , Y ) ? i}P{X ? i, Y ? i} ? P{X ? i, Y ? i}54? ? P{ X ? i, Y ? k} ? ? P{ X ? k , Y ? i},k ?0 k ?0i ?1ii ? 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 54 0.24 5 0.28所以 V 的分布律为 V=max(X,Y) P 0 0 1 0.04 2 0.16 3 0.28(3) P{U ? i} ? P{min( X , Y ) ? i}? P{ X ? i, Y ? i} ? P{ X ? i, Y ? i} ? ? P{ X ? i, Y ? k} ?k ?i 3 k ?i ?1? P{X ? k , Y ? i}2 0.25 4 0.19 5 0.245i ? 0 , 1, 2 , 3 ,3 0.17 6 0.19 7 0.12 8 0.05于是 U=min(X,Y) P W=X+Y P 0 0 0 0.28 1 0.02 2 0.06 1 0.30 3 0.13(4)类似上述过程，有20.雷达的圆形屏幕半径为 R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求 P{Y＞0｜Y＞X}； （2） 设 M=max{X，Y}，求 P{M＞0}.题 20 图 【解】因（X，Y）的联合概率密度为? 1 , x2 ? y 2 ? R2 , ? f ( x, y ) ? ? πR 2 ?0, 其他. ?P{Y ? 0 | Y ? X } ?（1）P{Y ? 0, Y ? X } P{Y ? X }?y ?0 y?x?? ??f ( x, y )d? f ( x, y )d?y?x551 rdr π/4 0 πR 2 ? 5 π R 1 ?π4/ 4 d? ?0 πR 2 rdr 3/8 3 ? ? ; 1/ 2 4?πd? ?R(2) P{M ? 0} ? P{max( X , Y ) ? 0} ? 1 ? P{max( X , Y ) ? 0}? 1 ? P{ X ? 0, Y ? 0} ? 1 ? ?? f ( x, y)d? ? 1 ?x ?0 y ?01 3 ? . 4 421.设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0，x=1,x=e2 所围成，二维随机变量（X，Y）在区 域 D 上服从均匀分布，求（X，Y）关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少？题 21 图【解】区域 D 的面积为S0 ? ?e211 dx ? ln x xe2 1? 2.（X,Y）的联合密度函数为1 ?1 2 ? , 1? x ? e ,0 ? y ? , f ( x, y ) ? ? 2 x ?0, 其他. ?（X，Y）关于 X 的边缘密度函数为1 ? 1/ x 1 dy ? , 1 ? x ? e2 , ??0 f X ( x) ? ? 2 2x ?0, 其他. ?1 f X (2) ? . 4 所以22.设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. X x1 x2 P{Y=yj}=pj Y y1 1/8 1/8 1/6 1 y2 y3 P{X=xi}=pi56【解】因 故P{Y ? y j } ? Pj ? ? P{ X ? xi , Y ? y j }i ?12,P{Y ? y1} ? P{X ? x1, Y ? y1} ? P{X ? x2 , Y ? y1},P{ X ? x1 , Y ? y1} ? 1 1 1 ? ? . 6 8 24,从而而 X 与 Y 独立，故P{X ? xi }?P{Y ? y j } ? P{X ? xi , Y ? yi }从而P{ X ? x1} ?1 1 ? P{ X ? x1 , Y ? y1} ? . 6 24 1 1 1 / ? . 24 6 4即： 又P{ X ? x1} ?P{X ? x1} ? P{X ? x1, Y ? y1} ? P{X ? x1, Y ? y2} ? P{X ? x1, Y ? y3},1 1 1 ? ? ? P{ X ? x1,Y ? y3}, 即 4 24 8 P{ X ? x1 , Y ? y3} ? 1 . 12 P{ X ? x2 , Y ? y2 } ? 3 8从而1 P{Y ? y2 } ? , 2 同理又? P{Y ? y } ? 1j ?1 j31 1 1 P{Y ? y3 } ? 1 ? ? ? 6 2 3. ,故3 P{ X ? x2 } ? . 4 同理从而1 1 1 P{ X ? x2 , Y ? y3} ? P{Y ? y3} ? P{ X ? x1 , Y ? y3} ? ? ? . 3 12 4故Y Xy1y2y3P{X ? xi } ? P i57x1 x2P{Y ? y j } ? p j1 24 1 8 1 61 8 3 8 1 21 12 1 4 1 31 4 3 4123.设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 λ(λ&0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率 为 p（0&p&1） ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数，求： （1）在发车 时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率； （2）二维随机变量（X，Y）的概率分布. 【解】(1)P{Y ? m | X ? n} ? Cm pm (1 ? p)n?m ,0 ? m ? n, n ? 0,1, 2,? . n(2) P{ X ? n, Y ? m} ? P{X ? n}?P{Y ? m | X ? n}? C p (1 ? p)m n mn?me? ? n ? ? , n ? m ? n, n ? 0,1, 2,?. n!2 ? ? 1 ? ? 0.3 0.7 ? ? ? ， Y 的概率密度为 f(y)， 24.设随机变量 X 和 Y 独立， 其中 X 的概率分布为 X~ ? 而求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 【解】设 F（y）是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为G(u) ? P{X ? Y ? u} ? 0.3P{X ? Y ? u | X ? 1} ? 0.7 P{X ? Y ? u | X ? 2} ? 0.3P{Y ? u ? 1| X ? 1} ? 0.7 P{Y ? u ? 2 | X ? 2}由于 X 和 Y 独立，可见G(u) ? 0.3P{Y ? u ? 1} ? 0.7 P{Y ? u ? 2} ? 0.3F (u ? 1) ? 0.7 F (u ? 2).由此，得 U 的概率密度为g (u) ? G?(u) ? 0.3F ?(u ?1) ? 0.7 F ?(u ? 2) ? 0.3 f (u ?1) ? 0.7 f (u ? 2).25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求 P{max{X,Y}≤1}. 解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有?1 0 ? x ? 3, ? , f ( x) ? ? 3 ?0, x ? 0, x ? 3; ?因为 X，Y 相互独立，所以?1 0 ? y ? 3, ? , f ( y) ? ? 3 ?0, y ? 0, y ? 3. ?58? 1 0 ? x ? 3, 0 ? y ? 3, ? , f ( x, y) ? ? 9 ?0, x ? 0, y ? 0, x ? 3, y ? 3. ?P{max{ X , Y } ? 1} ?推得 26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 X ??1 0 11 9.Y??1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c 其中 a,b,c 为常数，且 X 的数学期望 E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记 Z=X+Y.求： （1） a,b,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性质知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由 E ( X ) ? ?0.2 ，可得?a ? c ? ?0.1 .P{Y ? 0 X ? 0} ?再由 得 解以上关于 a，b，c 的三个方程得P{ X ? 0, Y ? 0} a ? b ? 0.1 ? ? 0.5 P{ X ? 0} a ? b ? 0.5 ,a ? b ? 0.3 .a ? 0.2, b ? 0.1, c ? 0.1 .(2) Z 的可能取值为?2，?1，0，1，2，P{Z ? ?2} ? P{X ? ?1, Y ? ?1} ? 0.2 ， P{Z ? ?1} ? P{X ? ?1, Y ? 0} ? P{X ? 0, Y ? ?1} ? 0.1 ， P{Z ? 0} ? P{X ? ?1, Y ? 1} ? P{X ? 0, Y ? 0} ? P{X ? 1, Y ? ?1} ? 0.3 ， P{Z ? 1} ? P{X ? 1, Y ? 0} ? P{X ? 0, Y ? 1} ? 0.3 ， P{Z ? 2} ? P{ X ? 1, Y ? 1} ? 0.1，即 Z 的概率分布为59Z P (3) 27. 28. 29. 30.?2 0.2??1 0.10 0.31 0.32 0.1P{X ? Z} ? P{Y ? 0} ? 0.1 ? b ? 0.2 ? 0.1 ? 0.1 ? 0.2 ? 0.4 .60
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