什么函数的导数是lnx f(x)=(x+1)lnx-a(x-1) 当a=4时，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-14 13:04 标签： lnx平方的导数
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已知函数f（x）=5x^2+a/x+1/4 (x&0),g（x）=lnx+4,曲线y=g(x)在点（1,4）处的切线与曲线y=f（x）相切。（1）求实数a的值；（2）证明：当x&0时，f（x）&g（x）
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解答：(1)由g(x)=lnx+4,得g′(x)=1x，y=g(x)在(1,4)处的切线斜率k=g′(1)=1，则曲线在(1,4)处的切线方程y-4=(x-1)，即y=x+3，由函数f(x)=5x2+ax+14(x&0),求导得,f′(x)=10x-ax2，由函数f(x)=5x2+ax+14(x&0)与y=x+3相切，则设切点P(x0,5x20+ax0+14),则10x0-ax20=1,即a=10x30-x20，①则在P处的切线方程：y-(5x20+ax0+14)=x-x0，整理得：y=x+(5x20+ax0+14)-x0,则5x20+ax0+14-x0=3，②由x&0,解得：x=12，a=1，∴实数a的值为1；(2)证明：由(1)可知：f(x)=5x2+1x+14(x&0)，设h(x)=f(x)-(x+3)=5x2+1x-x-114，则h′(x)=10x-1x2-1=10x3-x2-1x设m(x)=10x3-x2-1,∴m′(x)=30x2-2x=2x(15x-1)，令m′(x)=0,解得x=115，当x∈(0,115),m′(x)&0，函数递减，当x∈(115,+∞),m′(x)&0，函数递增，∵m(0)=-1&0,m(1)=8&0，∴?x0∈(0,1),使10x30-x20-1=0,∴10x20=1+x20x0，∴h(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增，∴h(x)min=h(x0)=5x20+1x0-x0-114=12(x0+1x0)+1x0-x0-114=32x0-x02-14&32-12-14&0，∴f(x)&x+3，设t(x)=x+3-ln(x+4),x&-4,则t′(x)=1-1x+4=x+3x+4，由t′(x)&0,得x&-3,由t′(x)&0，得-4&x&-3，∴t(x)的增区间是(-3,+∞),减区间是(-4,-3)，∴t(x)min=t(-3)=0,∴当x?0时,ln(x+4)&x+3，∴当x?0时,f(x)&g(x).分析：（1）由g（x）=lnx+4，得g′（x）=1x，由导数的几何意义得曲线在（1，4）处的切线方程为y=x+3，由f′（x）=10x-ax2，且函数f（x）=5x2+ax+14（x&0）与y=x+3相切，能求出实数a的值．（2）f（x）=5x2+1x+14（x&0），设h（x）=f（x）-（x+3）=5x2+1x-x-114，则h′（x）=10x-1x2-1=10x3-x2-1x设m（x）=10x3-x2-1，则m′（x）=30x2-2x=2x（15x-1），由此利用导数性质能证明当x≥0时，f（x）&g（x）．
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已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．
涵秋好救25
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（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，所以2．又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，所以f'（1）=1-a=1，即a=0．（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=e1-a．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：由表可知：f（x）的单调递增区间是（0，e1-a），单调递减区间是（e1-a，+∞）．所以f（x）在x=e1-a处取得极大值，f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1．
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（I）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再列出一个等式，最后解方程组即可得．（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可．
本题考点：
A:利用导数研究曲线上某点切线方程 B:利用导数研究函数的单调性
考点点评：
本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
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导数题.已知函数f(x)=x|x+a|-(1/2)lnx 若a=1,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 求函数f(x)极值点
妮浅浅唱77
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a=1,那么lnx肯定得到x大于0所以f(x)=x(x+1) -0.5lnxf '(x)=2x +1 -1/ 2x即f(1)=2f '(1)=2+1 -1/2= 5/2所以切线方程为y=2.5x -1.5令f '(x)=2x +1 -1/ 2x=0即4x^2 +2x-1=0解得极值点为 x= (-2+√20)/8=(-1+√5)/4此时f(x)=(-1+√5)/4 *(3+√5)/4 -0.5ln(-1/4+√5 /4)=(1+√5)/8 -0.5ln(-1/4+√5 /4)
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