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学年高二数学教学课件：3.3.1《基本不等式》（北师大版必修5）
学年高二数学教学课件：3.3.1《基本不等式》（北师大版必修5）
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探究一 探究二 探究三 探究四 探究三利用基本不等式证明不等式 1.利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使其达到能使用基本不等式的条件. 2.如在证明过程中多次使用基本不等式,用传递性证明时,要注意等号能否成立. 3.若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换,解题中要时刻注意等号能否取到. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 点评 用基本不等式证明这种左、右两边分别有“三项”的不等式,可采用证明轮换对称不等式的方法结合同向不等式的可加性进行证明. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 1
5 2.若a≥0,b≥0且a+b=6,则有(　　) A.ab≤3
C.a2+b2≤18 D.a2+b2≥18 解析:由于a≥0,b≥0,a+b=6,所以36=(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2), 即a2+b2≥18,当且仅当a=b=3时取等号. 答案:D 1
5 -*- XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 ZHONGNANTANJIU 重难探究 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 ZHONGNANTANJIU 重难探究 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 ZHONGNANTANJIU 重难探究 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 ZHONGNANTANJIU 重难探究 首页 §3　基本不等式 3.1　基本不等式 (2)文字叙述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义: ①几何意义:半径不小于半弦; ②数列意义:两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项. 想一想 (1)不等式a2+4≥4a中等号成立的条件是(　　) A.a=±2 B.a=2 C.a=-2
D.a=4 (2)若x>0,则x+
取最小值时x的值为　　　　.? 解析:(1)因为a2-4a+4=(a-2)2≥0, 当且仅当a=2时等号成立,所以a=2. 点拨 基本不等式的变形. (1)a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号,a,b∈R);
必须注意的是:基本不等式及其变形中都是当且仅当a=b时取等号,但变量a,b的取值范围有所不同,注意区别. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一对基本不等式的理解 基本不等式是描述两个非负实数的和与积之间的不等关系的一个不等式,它有成立的严格条件,同时它又有很多变式,将基本不等式中的字母a,b换上任何符合要求的数、字母、代数式等得到的不等式仍然成立. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时,应创设应用基本不等式的使用条件,合理拆项或配凑因式是解题技巧,在拆与凑的过程中,首先要考虑基本不等式使用的条件(两数均为正),同时,基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 点评 在应用基本不等式时,一定要注意是否满足条件,即a>0,b>0,若条件不满足时,则应拼凑出条件,即问题一端出现“和式”,另一端出现“积式”,便于运用基本不等式. 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练2已知0<a<1,0<b0,b>0,∴a+b≥
,a2+b2≥2ab, ∴四个数中最大数应为a+b或a2+b2. 又0<a<1,0<b<1, ∴a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b =a(a-1)+b(b-1)<0. ∴a2+b2<a+b,∴a+b最大. 探究一 探究二 探究三 探究四 -*- XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 ZHONGNANTANJIU 重难探究 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 ZHONGNANTANJIU 重难探究 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 ZHONGNANTANJIU 重难探究 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 ZHONGNANTANJIU 重难探究 首页
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无相关信息[绝对值三角不等式证明]绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法-疾风资料库
[绝对值三角不等式证明]绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法
发布时间： 09:39&&&&发布人：
篇一 : 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法二. 教学目的1、掌握绝对值的三角不等式；2、掌握不等式证明的基本方法三. 知识分析［绝对值的三角不等式］定理1 若a，b为实数，则　　，当且仅当ab≥0时，等号成立。几何说明：（1）当ab&0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。（2）如果ab&0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab&0，a&0，b&0的情况，ab&0的其他情况可作类似解释）。|a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。定理2 设a，b，c为实数，则　　，等号成立　　，即b落在a，c之间。推论1推论2［不等式证明的基本方法］1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“　　”表述。综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得　　，　　，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。【典型例题】例1、已知函数　　，设a、b∈R，且a≠b，求证：思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明：证明：证法一：　　①当ab≤－1时，式①显然成立；当ab&－1时，式①　　　　②∵a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。证法二：当a=－b时，原不等式显然成立；当a≠－b时，∴原不等式成立。点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考。例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|&m时，求证：　　。思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1。证明：故原不等式成立。点评：将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键。例3、函数　　的定义域为［0，1］且　　。当　　∈［0，1］，　　时都有　　，求证：　　。证明：不妨设　　，以下分两种情形讨论。若则　　　　　　，若则综上所述点评：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。例4、已知a&0，b&0，求证：　　。思路：如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分？从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。证明：　　①　　②∴原不等式成立。点评：在上面得到①式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有②明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题还可以用比值比较法证明，留给读者去完成。例5、设x&0，y&0，且x≠y，求证：思路：注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开，故我们可采用分析法，从消去分数指数幂入手。证明：∵x&0，y&0，且x≠y，点评：在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“　　”表述。本题应用了分析法，既找到了解题思路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得。例6、已知a、b、c∈R+，求证：　　。思路：因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合a、b、c∈R+的条件，运用重要不等式，采用综合法进行证明。解析：即点评：用重要不等式证明不等式，一要注意重要不等式适用的条件，二要为运用重要不等式创造条件。另外，同向不等式相加或相乘，在综合法中常用到。例7、证明：对于任意实数x、y，有思路：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。证明：用分析法不等式②显然成立，下面证明不等式①　　同号　　，即点评：上述证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比较法，两种方法结合使用，使问题较容易解决，这一点应加以注意。例8、（1）用反证法证明以下不等式：已知　　，求证p+q≤2。（2）试证：　　　　（n≥2）。思路：运用放缩法进行证明。证明：（1）设p+q&2，则p&2－q，　　这与　　=2矛盾，（2）　　，又　　。将上述各式两边分别相加得点评：用放缩法证明不等式过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩，拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩，重要不等式放缩等。放缩时要注意适度，否则不能同向传递。【模拟试题】1、设a、b是满足ab&0的实数，那么（ ）A、　　B、C、　　D、2、设ab&0，下面四个不等式①|a+b|&|a|；②|a+b|&|b|；③|a+b|&|a－b|；④|a+b|&|a|－|b|中，正确的是（ ）A、①和② B、①和③ C、①和④ D、②和④3、下面四个式子①　　；②　　；③　　；④　　中，成立的有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个4、若a、b、c∈R，且　　，则下列不等式成立的是（ ）A、　　B、C、　　　　D、5、设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式　　成立的一个充要条件是（ ）A、a、b、c全为正数 B、a、b、c全为非负实数C、　　D、6、已知a&0，－1&b&0则（ ）A、　　B、C、　　D、7、设实数x、y满足　　，若对满足条件的x、y，x+y+c≥0恒成立，c的取值范围是（ ）A、　　B、C、　　D、8、对于任意的实数x，不等式　　恒成立，则实数a的取值范围是_________。9、若a&c&b&0，则　　的值的符号为__________。10、设a、b、c∈R+，若　　，则　　__________。11、已知x，y∈R，且　　，则z的取值范围是__________。12、设　　，求证：　　。13、已知a、b是不等正数，且　　，求证：　　。14、已知　　，求证：　　中至少有一个不小于　　。15、设a、b为正数，求证：不等式　　①成立的充要条件是：对于任意实数x&1，有　　②【试题答案】1、B 2、C 3、C 4、B 5、C 6、D 7、A8、（－∞，3）9、负10、911、12、证明：13、证明：a、b是不等正数，且而　　一定成立，故　　成立。14、证明：用反证法。假设　　都小于　　，则　　，而　　　　，相互矛盾，　　中至少有一个不小于　　。15、证明：设　　，那么不等式②对　　恒成立的充要条件是函数　　的最小值大于b。当且仅当　　，　　时，上式等号成立。故　　的最小值是　　。因此，不等式②对x&1恒成立的充要条件是　　&b　　。篇二 : 关于2倍角公式老师布置的题目里有道不会做.证明恒等式(1+sin关于2倍角公式布置的题目里有道不会做.证明恒等式(1+sin4а-cos4а)/(1+sin4а+cos4а)=tan2а不要答案 只要★答题思路★根据tan2a,可知分子要化简为sin2a，分母cos2a，选择适当的二倍角公式向这方面靠1+sin4а-cos4а=1+2sin2a*cos2a-(1-2sin2a^2)=2sin2a(cos2a+sin2a)1+sin4а+cos4а =1+2sin2a*cos2a+2cos2a^2-1= 2sin2a*cos2a+2cos2a^2=2cos2a(sin2a+cos2a)原式=2sin2a(cos2a+sin2a)/2cos2a(sin2a+cos2a)=tan2a
CopyRight&2012- AllRight Reserved《基本不等式及其应用》教学设计——郭玮
基本不等式及其应用&
一、教学内容分析
本节课基于学生已学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式的引入与学习是必要的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以基本不等式应重点研究。
从教学设计理念上来看，教学中教师应发挥组织者、引导者、合作者的作用，不仅要让学生接受、记忆、模仿和练习，更要注重引导他们自主探索、动手实践、合作交流、师生互动，引导学生主体参与、探究本质、经历过程。
从知识应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求周长一定，面积最大；面积一定，周长最小”等实际问题的计算中也经常涉及到。
从学生能力的培养来看，基本不等式的探究与推导有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
二、学情分析
学生在初中阶段，学习了平方、开方、勾股定理、圆等概念，高中阶段学习了不等关系、不等式的性质以及几类不等式的求解，学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生数形结合、类比转化等数学思想；对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高，在实际问题的解决中应用广泛。因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。
另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并在第二课时重点学习与掌握。
三、教学目标设计
1. 理解并掌握两个基本不等式，并能运用它们解决一些简单问题，如本节课导入环节中的实际问题；
2. 思考生活中实际问题的解决方案，感受基本不等式的知识产生过程，并在练习中逐步体会基本不等式应用的特点及优势；
3. 经历观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养分析问题、解决问题的能力，体会数形结合、类比代换等学习思想；
4. 学会用数学的眼光看世界，用数学思维认知世界，养成善于思考的良好习惯；
四、教学重点及难点
1. 教学重点：两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用；
2. 教学难点：基本不等式的应用，包括解决实际问题，求最值；
3. 几点说明：整堂课主要采用 “问题 —— 思考 —— 剖析
——证明——应用”的流程，从问题出发，应用数形结合理解不等式，并掌握不等式应用的前提条件和等号成立的条件，尤其是对等号成立时充要条件的理解；在基本不等式的应用时，通过例1可逐步引导学生从基本不等式出发进行求证，然后针对等号成立时的条件能够取到进行思考，接下来再通过具有基本不等式结构特点的例题进行练习，逐步引导学生运用基本不等式解决实际问题及求最值。
五、教学方法与手段
本节课采用“问题——思考——剖析——归纳——应用”的教学设计思路：
提出问题、启发诱导，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学
生探究思索；
讲练结合，同时采用变式教学，巩固应用，加深理解；
以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，直观演示，不仅启发思考，也
加深学生对基本不等式的理解。
六、教学过程设计
1.& 问题提出
问题：班级要用班费为秋游做准备，其中有一项要准备塑料绳子，把树干围成矩形作为活动的场所，由于班费有限，如何用最短的绳子围成最大的面积呢？
设计意图：引导学生在已学知识的基础上，针对该问题进行思考与讨论，不仅提高对于基本不等式学习的兴趣，更培养它们分析问题的能力；
2.& 基本不等式1的引入
问题：在客观世界中，有些不等关系是永远成立的，引发学生试举一些恒成立的不等关系.
根据学生回答，针对 （ ）进行提问，既然 ，那么可以用 代替不等式中的 吗？
进一步变形可得： &
l& 不等式恒成立， 和 应该满足什么条件；
l& 不等式的等号成立时， 和 应该满足什么条件；
设计意图：
l& 基于学生所熟知的“平方数为非负数”恒成立的不等关系，引出 ；
l& 引发学生思考 和 所满足的条件，帮助学生对于基本不等式1中关键条件的理解；
3.& 基本不等式1
对于任意实数 和 ，有 ，当且仅当 时等号成立.
（1）基本不等式1的辨析
l& 当且仅当 时等号成立；
思考：“当且仅当”的含义是？
l& 当a=b时，取等号，即 ；
l& 仅当a=b时，取等号，即 。
设计意图：对应问题引入中的两个思考，再次强调基本不等式1中“当且仅当”的含义。
（2）基本不等式1的几何解释
已知：四个全等的直角三角形构成正方形，直角边分别为a、b，当a≠b时，构成的正方形如左图所示，当a＝b时，构成的正方形如右图所示.
l& 那么：大正方形的面积与四个全等直角三角形面积和的
大小关系是？
设计意图：给出基本不等式1的几何解释，帮助学生加深对基本不等式1的理解，尤其是对“当且仅当”的理解。
4.& 基本不等式2的引入
问题：当a&0,b&0时，在不等式
中，以、分别代替a、b，得到什么？
设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了两个基本不等式的来源及本质是相同的，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，有助于今后的学习。
5.& 基本不等式2
对于任意正数 、 ，有 ，当且仅当 时等号成立.
把 和 分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
（1）基本不等式2的辨析
l& 当且仅当 时等号成立；
思考：“当且仅当”的含义是？
l& 当a=b时，取等号，即 ；
l& 仅当a=b时，取等号，即 。
（2）基本不等式2的证明
证明：法1.因为 、 为正数，所以 、 均存在.
由基本不等式1，得，当且仅当 时等号成立.
即，当且仅当时等号成立.
法2.因为 ，所以 .
&&& 当 时， .当时，
所以，当且仅当 时， 的等号成立.
（3）基本不等式2的扩充
思考：当、为零时，基本不等式2是否成立？&&&&
基本不等式2的扩充：对于任意非负数 、 ，有 ，当且仅当 时等号成立.
（4）基本不等式2的几何解释
l& 已知：AB是半圆O的直径，过圆周上任意一点D做AB的垂线，令AC=a、CB=b，
那么DO=_____________，DC=_______________；
l& 得到：____________________________________；
设计意图：给出基本不等式2的几何解释，帮助学生加深对基本不等式2的理解，尤其是对“当且仅当”的理解.
6.& 基本不等式的应用
例1：已知 ，求证： ，并指出等号成立的条件.
证明：方法多种，可进行作差或者由刚学的基本不等式1入手，进行求证，同时也可以运用基本不等式求最值的方法；
其中一种方法示范板书为：
因为 ，所以 、 同号，并有 ， .
所以， .当且仅当 ，即 时等号成立.
思考：若 ，则代数式 的取值范围是什么？
设计意图：考察学生运用基本不等式时，要特别注意等号取到时的条件是否满足。
例2：若 的最小
值为________,此时
练习2： 的最小
值为________,此时
设计意图：帮助学生辨识基本不等式的结构特点，以及求最值的简单运用。
例3. 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？
猜想：由几何画板演示得出.
解：设矩形的长、宽分别为 、 （ 、 ）且 （定值），则同样周长的正方形的边长为 .
矩形面积，正方形面积
由基本不等式2，得，又由不等式的性质得 ，即 .
由题意， （定值），所以 （定值）.当且仅当 ，即矩形为正方形时，矩形的面积最大.
思考：例3中的 ， 为什么要为定值呢？如果不是定值，面积有最大值吗？
设计意图：
通过例2和例3，先让学生通过基本不等式的运用，体验并思考“当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值；当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值”，这样在第二课时给出该结论效果会更好；
l& 例3也解决了情境创设环节提出的实际问题，让学生切实感受到学以致用的乐趣；
7.& 课堂小结
l& 初步应用两个基本不等式求最值.
8.& 作业练习
（1）2.4.1卷1（详见附录）
（2）思考题
l& 通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.
l& 在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？
l& 整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.
七、教学设计说明及反思
本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用。基本不等式是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.
本堂课借助多媒体及教学软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果。整堂课主要采用
“问题 —— 思考 —— 剖析
——证明——应用”的流程，让学生通过思考问题、以及几何图形中面积或线段关系进一步验证相应的结论，然后再证明两个基本不等式，最后再运用基本不等式解决实际问题及求最值。
在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件。在教学过程中，尽管借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件在解决最值问题中的作用，但是学生依然会忽视限制条件，尤其是忘记检验等号取到时应满足的充要条件，因此，基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）将在第二课时重点学习与掌握。
在教学过程中始终“关注学生的思维发展”，通过对相应例题的变式思考，培养学生自行探索、解决问题的能力。但是，由于学生刚刚接触基本不等式，对于其结构特点比较陌生，当遇到符合相应结构特点的关系式时，暂时想不到运用基本不等式解题，这时可以放手让学生采用其它方法尝试，然后引导学生运用基本不等式解题，对比体现其优点，加深学生对于基本不等式运用的真实体验。
通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解类比代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想，逐步实现从知识结构的学习层次向能力水平的提高层次进行一定的转变与提升。
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基本不等式的证明
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