本课程具有一支高素质的教学团队，其中国家名师1人，省名师1人，博士生导师4人，团队中所有现职教师均具有数学博士学位。本课程将线性代数与空间解析几何高度融合，以矩阵为主线系统处理线性代数与空间解析几何中的各类问题，充分发挥线性代数与空间解析几何相互促进的作用，实践了抽象与具体的统一。
课程名称：线性代数与空间解析几何
所属学校：哈尔滨工业大学
负责人：郑宝东&
课程类型：理论课
课程属性：公共基础课
课程学时：56.0
学科门类：理学
专业大类：数学类
专业类：数理基础科学
适用专业：全校工科本科...
《线性代数与空间解析几何》课程简介
本课程的目标及人才培养目标：
“线性代数与空间解析几何”是我校理学（非数学）、工学、管理学等本科专业学生必修的自然科学基础理论课程。通过本课程的学习，要使学生比较系统地理解、掌握有关的基本概念、基本理论和基本方法。在传授线性代数与空间解析几何的知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、空间想象能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为后继...
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主办单位：高等教育出版社有限公司&&&&&&&&京ICP备号-2&&&&&&京公网安备-2
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线性代数与空间解析几何CAP
& & &中国大学先修课程——线性代数与空间解析几何，旨在让学有余力的高中生及早接触大学课程内容，接受大学思维方式、学习方法的训练，让学生真正享受到最符合其能力水平和兴趣的教育，帮助其为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备线性代数中常用的公理化定义、特有的理论体系、严格的推理论证及抽象的思维方法都有它自身的特色，具有其他课程无法取代的作用，特别是随着计算机的飞速发展与广泛应用，许多实际问题可以离散化、线性化，从而转化为线性代数问题，更进一步显示其特殊重要的地位，成为科技人才必备的数学基础。同时本课程对于培养学生的抽象思维能力、空间想象能力、逻辑推理能力、科学计算能力，以及建立数学模型解决实际问题的能力都有十分重要的意义。& &&为方便广大学习者，我们将每讲内容分成了若干小片段，一个片段讲解1~2个知识点，便于学习者理解掌握。针对每一讲的教学内容都配有一定量的练习题。&
& 本课程的学习环节包含：观看讲课视频、完成每讲的练习题、完成单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试。&&课程学习成绩由两部分构成：&（1）单元测验：在每一章学习结束后，将有一次单元测验，题型为选择题，所有单元测验分数占课程成绩的40%。&（2）课程考试：课程结束后，学生可以参加课程的最后考试，成绩占60%。&& 完成课程学习并参加考试可获得证书。证书分两种等级：总评成绩在60分至84分为合格证书，总评成绩在85分至100分为优秀证书。&&
高中毕业所要求的数学知识。
&第一章 矩阵及其初等变换第一讲 矩阵及其运算一、矩阵的概念二、矩阵的线性运算三、矩阵乘法的定义四、矩阵乘法的运算规律五、方阵的幂与多项式六、矩阵的转置七、对称矩阵与反对称矩阵第二讲 高斯消元法与矩阵的初等变换一、线性方程组与同解变换二、矩阵的初等变换与高斯消元法三、矩阵等价四、初等矩阵第三讲 逆矩阵一、逆矩阵的概念二、逆矩阵的性质三、矩阵可逆的充要条件四、用初等行变换求逆矩阵第四讲 分块矩阵一、分块矩阵的概念二、分块矩阵的运算第五讲 习题课一、第一章习题课1二、第一章习题课2第二章 行列式第一讲阶行列式的定义一、一阶、二阶和三阶行列式二．阶行列式的定义三、用定义计算阶行列式第二讲 行列式的性质与计算一、行列式的性质—性质二、行列式的性质、性质三、行列式的计算四、方阵乘积的行列式五、几个补充例题第三讲 拉普拉斯展开定理一、阶子式、余子式、代数余子式二、拉普拉斯定理第四讲 克拉默法则一、逆矩阵的一个简明表达式二、克莱姆法则第五讲 矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、基本结论与性质三、矩阵秩的计算四、矩阵的标准形（分解）第六讲 习题课一、第二章习题课1二、第二章习题课2&第三章&几何空间第一讲 空间直角坐标系与向量一、空间直角坐标系二、向量及其线性运算三、向量在轴上的投影四、向量线性运算的几何意义五、向量的方向余弦六、内容小结第二讲 向量的乘法一、内积内积的概念与性质内积的坐标形式二、外积外积的概念与性质外积的坐标形式三、混合积混合积的概念与性质混合积的几何意义四、内容小结第三讲 平面一、平面的方程点法式方程一般式方程截距式方程二、平面与平面的位置关系三、内容小结第四讲 空间直线一、空间直线的方程点向式方程参数式方程一般式方程二、点到直线的距离三、直线与直线的位置关系四、直线与平面的位置关系五、内容小结第五讲 第三章习题课习题课习题课&第四章 维向量空间第一讲 维向量空间的概念一、维向量空间的概念二、的子空间三、内容小结第二讲 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合向量组与矩阵线性组合、线性表出的概念线性表出的充要条件和计算二、向量组之间的线性表出三、线性相关性的概念四、线性相关性的判定五、内容小结第三讲 向量组的秩一、秩与最大无关组的概念二、矩阵的列秩和行秩三、向量组间的线性表出和秩四、最大无关组的性质、等价叙述五、内容小结第四讲 线性方程组的解的结构一、齐次线性方程组解的性质、基础解系的定义基础解系的存在性与计算计算实例二、非齐次方程组非齐次方程组解的性质非齐次方程组求解实例三、内容小结第五讲 第四章习题课习题课习题课&第五章 特征值与特征向量第一讲 特征值与特征向量的概念与计算一、特征值与特征向量的定义二、特征值与特征向量的判定三、特征值与特征向量的计算四、内容小结第二讲 矩阵的相似对角化一、相似对角化引例二、相似的定义三、相似对角化的判定四、内容小结第三讲 维向量空间的正交性一、内积与长度二、三角不等式与不等式三、正交向量组与标准正交基四、正交化方法五、正交矩阵六、内容小结第四讲 实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量二、实对称矩阵的正交对角化三、内容小结第五讲 第五章习题课习题课习题课&第六章 二次型与二次曲面第一讲 实二次型及其标准形一、二次型及其矩阵表示二、矩阵的合同三、用配方法化二次型为标准形四、用正交变换化二次型为标准形五、内容小结第二讲 正定二次型一、正定二次型的概念二、正定二次型的性质三、内容小结第三讲 曲面与空间曲线一、曲面柱面旋转曲面二、空间曲线一般式方程参数式方程空间曲线在坐标面上的投影三、内容小结第四讲 二次曲面一、二次曲面的标准方程与图形椭球面抛物面双曲面二、化二次曲面为标准方程三、内容小结第五讲 第六章习题课习题课习题课习题课&&&&
&&&&&&& 教学用书：国家“十二五”规划教材《线性代数与空间解析几何（第四版）》（黄廷祝，成孝予编），高等教育出版社，学习参考书：《线性代数与空间解析几何学习指导教程》，黄廷祝蒲和平 高等教育出版社
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高等数学-第8章 空间解析几何与向量代数
章节第八章空间解析几何与向量代数 §1 向量及其线性运算课时4教 学 目 的在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来， 把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题， 空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。建立空间直角坐标系及空 间点的坐标，掌握空间两点间的距离公式。掌握向量的概念、向量的加减 法及向量与数的乘法。掌握向量的坐标表示法，会求向量的模、单位向量、 方向余弦、向量在坐标轴上的投影。教学 重点 及 突出 方法空间直角坐标系的概念及空间两点间的距离公式，向量的加减法及向量与 数的乘法。通过力学中的力的加减法引入向量的加减法的概念及运算法则。 向量的模、单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影的概念及计算。教学 难点 及 突破 方法空间两点间的距离公式，向量的加减法及向量与数的乘法，两个向量平行 的充分必要条件。在建立空间直角坐标系后，我们就可以建立三维空间的 最基本的几何元素DD点与有序数组之间的联系，从而可以用代数方法来 研究几何问题。对于向量的运算（加、减、数乘、模，方向余弦及将要学 习的内积，向量积）就可以转换为向量的坐标之间的数的运算。向量在坐 标轴上的投影及性质。相关 参考 资料《高等数学（第二册）（物理类） 》 ，文丽，吴良大编，北京大学出版社 P1-P9 《大学数学 概念、方法与技巧》 （微积分部分） ，刘坤林，谭泽光编,清华 大学出版社，P400-P402教教学思路、主要环节、主要内容空间直角坐标系空间点的直角坐标学为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角 坐标系来实现。过定点 O，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O 为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴 分别叫做 x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上，而 z 轴则 是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住 z 轴，当右手的四指从正向 x 轴以 π /2 角度转向正 向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点 O 叫做坐标 原点。这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点 M 和有序数组 x,y,z 之间的一一对应关系。坐标 为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z)。注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征。过程空间两点间的距离设 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离 d 我们有公式：M 1M2?( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ? ( z 2 ? z 1 )2 22。向量及其加减法及向量与数的乘法一、向量的基本概念 向量（或称矢量） ，自由向量，向量相等，向量的模，反向量，平行向量，单位向量，零向量。 二、向量的加减法 1.向量的加法 (1)向量加法的平行四边形法则； (2)向量加法的三角形法则； (3)向量加法的多边形法则（又称折线法） 。 2.向量的减法 （1）负向量 (2)? ? ? ? 作向量 b 与 a 的差 b ? a 。3．向量加法的性质（运算律） ①交换律 ②结合律 ? ? ? ? ? ? ? ? 注意： a ? b 的模一般地不等于 a 的模加 b 的模，而有 a ? b ? a ? b ，即三角形两边之和大于等于第三 边。向量与数的乘法? ? ? ? 1、向量的定义：向量 a 与数 m 的乘积是一个向量，它的模等于 m a ，方向与 a 相同（若 m&0）或与 a 相反（若 m&0） 。 2、向量与数量乘法的性质(运算律) ①结合律 ②分配律? ? ? ? ? ? 3、定理：设向量 a ? 0 ，则向量 b 平行于 a 得充分必要条件是：存在唯一实数λ ，使 b =λ a 。在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。由于一切向量的共性是它们都有大小 和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量） ，即只考虑向 量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速 度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量） ，可在一般原则下作特别处理。教教学思路、主要环节、主要内容向量的坐标学一、向量在轴上的投影 1．介绍轴上有向线段的值及两向量的夹角的概念 2．点在轴上的投影定义：已知一点 A 及一轴 u，过 A 作垂直于 u 的平面α ，该平面与轴 u 的 / 交点 A 称为点 A 在轴 u 上的射影。 3. 投影向量的定义：向量 A B 的始点 A 与终点 B 在轴 u 上的投影为点 A ，B ，则 A ? B ? 就定义??? ?/ /?????过为矢量 A B 在轴 u 上的投影向量。???????? ?4. 向量在轴上的投影：向量 A ? B ? 在轴 u 的长度，称为向量 A B 在轴 u 上的投影，记为投影 Prju A B 。 5. 向量在轴上的投影性质：??? ???? ?程性质 1（投影定理） ：Prj A B = A B c o s ? ，其中 ? 为轴 u 与向量 A B 的夹角。 推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。 ? ? ? ? 性质 2：Prj( a1 ? a 2 )=Prj a 1 +Prj a 2 。性质 2 可推广到有限个向量的情形。 性质 3：Prjuλ a =λ Prju a 。 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标? ???? ???? ???? ???分向量的定义：向量 a 在坐标轴上的投影向量 a x i , a y j , a z k 称为向量在坐标轴上的分向量。 向量的坐标：向量 a 在三条坐标轴上的投影 a x , a y , a z 叫做向量的坐标，记为： a ={ a x , a y , a z } 由向量在轴上的投影定义， a 在直角坐标系 Oxyz 中的坐标{ a x , a y , a z }就是 a ，由此可知，向 量的投影具有与坐标相同的性质。 利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：? a ??????={ a x , a y , a z }， b?? {b x , b y , b z }利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有? ? ? ? a ? b ? {a x ? bx , a y ? b y , a z ? bz } ； a ? b ? {a x ? bx , a y ? b y , a z ? bz }? a ? {? a x , ? a y , ? a z }?由此可见， 对向量进行加、 减及与数相乘， 只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模： a ?? ax ? ay ? az2 2 2方向余弦： c o s ? ?2ax ax ? ay ? az2 2， cos ? ?2ay ax ? ay ? az2 2， cos ? ?2az ax ? ay ? az2 2且方向余弦的平房和等于 1。?与非零向量 a 同方向的单位向量为： a ? { co s ? , co s ? , co s ? } 对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。?0章节第八章空间解析几何与向量代数 §2 数量积、向量积 混合积课时2教 学 目 的掌握向量的数量积 向量积的概念，熟练掌握数量积、 向量积的运算及性 质教学 重点 及 突出 方法向量数量积、 向量积的运算及性质教学 难点 及 突破 方法数量积、向量积的定义及计算。向量与数量是两个不同的概念。向量的运算是既有大 小（模）又有方向的运算，这是与数的运算（只有大小）不相同的。学习中，我们要 注意数量积、向量积、混合积的定义，不要将数的一些运算规律随意用到向量中．但 对几何向量，我们没有定义除法运算。同样，对向量的运算，式子 a ? b 无意义。数 的乘法只有一种，其结果还是数，而向量的乘法有多种，例如，数量积、混合积的结 果是数，向量积的结果是向量。? ?相关 参考 资料《高等数学 （第二册） 》 （物理类） 文丽， ， 吴良大编， 北京大学出版社 P19-P29 《大学数学 概念、方法与技巧》 （微积分部分） ，刘坤林，谭泽光编,清华 大学出版社，P402-P417教学思路、主要环节、主要内容8．2 数量积 向量积 一、 向量的数量积： 两个向量 a 和 b 的数量积（点积，内积）为一个数 a b co s ? ，记作： a ? b ? a b co s ?? ? ? ? ? ，其中 ? ? ( a , b ) 为向量 a 与向量 b 之间的夹角并且 0 ? ? ? ? 。??? ???? ?特别是 a ? a ? a ，因此我们可以把 a ? a 简记为 a 。 如果向量 a ={ a x , a y , a z }， b ? { b x , b y , b z } 则 a ? b ? a x b x ? a y b y ? a z b z 。 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， 由 a ? b ? a b co s ?? ?? ????2???2????教? ? a ?b 所以 c o s ? ? ? ? ? a ba xbx ? a yb y ? a zbz ax ? ay ? az2 2 2bx ? b y ? bz2 22学两个向量垂直的充分必要条件是 a ? b ? 0。 数量积满足交换率，分配律及结合率 二.向量的向量积??过两个向量 a 与 b 的向量积（叉积，外积）是一个向量， 它的模为 a b s in ? ，它的方向是垂直于 a 和 b ，并且构成右手系，? ?????程记作 a ? b 。 a ? b = a b s in ? 正好是以 a 和 b 为两边的平行四边形的面积。? ? ? i ... j ...k????? ???如果向量 a ={ a x , a y , a z }， b ? { b x , b y , b z } 则 a ? b = a x ..a y ..a zb x ..b y ...b z????两向量平行的充分必要条件为 a ? b = 0 ，即 a // b ? a ? b = 0 即????????ax bx?ay by?az bz也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。? ? ? ?向量积满足 b ? a =- a ? b 及分配律，结合率。 解题时注意运用数量积与向量积的特点及几何意义，在讨论夹角与垂直问题时用数量积来解 决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。注意向量的平行、垂直关系及角度。利 用向量求面积、体积，可以以向量为工具进行证明并补充一些习题。章节第八章空间解析几何与向量代数 §3 曲面及其方程课时4教 学 目 的了解曲面及其方程的概念，了解旋转曲面，柱面的有关概念， 了解用截痕法分析二次曲面的形状，讨论几个特殊的二次曲面。教学 重点 及 突出 方法旋转曲面，柱面的方程， 椭球面、抛物面、双曲抛物面、双曲面的方程及图形。教学 难点 及 突破 方法能根据点的轨迹（较简单情形）建立曲面的方程，会求旋转曲面，柱面的 方程。形如 f(x,y)=0 的方程，在空间解析几何中它的图形是柱面；在平面 解析几何中，它的图形是平面曲线．例如 x2+y2=0， 在空间表示两个平面 x=0,y=0 的交线，即 z 轴；但在平面解析几何中，x2+y2=0 仅表示原点。相关 参考 资料《高等数学 （第二册） 》 （物理类） 文丽， ， 吴良大编， 北京大学出版社 P78-P80 《大学数学 概念、方法与技巧》 （微积分部分） ，刘坤林，谭泽光编,清华 大学出版社，P427-P431教学思路、主要环节、主要内容8.3 曲面及其方程一、曲面方程的概念及一般方程 如果曲面 S 与三元方程 F(x, y, z)=0 (1) 有下述关系： 1. 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程(1)； 2. 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程(1)， 那末，方程(1)就叫做曲面 S 的方程，而曲面 S 就叫做方程(1)的图形。 二、两类常见的曲面 1、柱面 设有动直线 L 沿一给定的曲线 C 移动，移动时始终与给定的直线 M 平行，这样由动直线 L 所形成的曲面称为柱面，动直线 L 称为柱面的母线，定曲线 C 称为柱面的准线。 2、旋转面 设有一条平面曲线 C，绕着同一平面内的一条直线 L 旋转一周，这样由 C 旋转所形成的曲 面称为旋转面，曲线 C 称为旋转面的母线，直线 L 称为旋转面的轴。 三、几种特殊的曲面方程教学过程1. 旋转曲面方程? f ( x, z) ? 0 ?y ? 0设平面曲线 C: ?绕 z 轴旋转,则旋转曲线方程为 f ( ?x ? y , z) ? 02 22. 柱面方程 母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如 F(y, z)=0 就表示母线平行与 x 轴,准线为 ?? F ( y, z) ? 0 ?x ? 0的柱面.3. 二次曲面方程教学思路、主要环节、主要内容二次曲面 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程 F (x , y ,z )=0 所表示 得的曲面的形状，我们通常采用截痕法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察 其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考察下 面的二次曲面。 一、 椭球面方程x a2 2?y b2 2?z c2 2? 1 所表示的曲面叫做椭球面，如果使用一个平行于坐标面的平面作截面教法，就是使得一个变量取常数，直接代入，就可以很容易得看到，得到的是一个椭圆方程。 二、 抛物面学方程x2?y2? z （p 和 q 同号）所表示的曲面叫做抛物面，用垂直于 Z 轴的平面作截面，2p2q得到的是椭圆，用垂直于 X，Y 轴的平面作为截面，得到的是抛物线。过三、 双曲抛物面方程 ?x2?y2? z （p 和 q 同号）所表示的曲面叫做双曲抛物面或马鞍面，用垂直于 Z程2p2q轴的平面作截面，得到的是双曲线，用垂直于 X，Y 轴的平面作为截面，得到的是抛物线。 四、 双曲面方程x a2 2?y b2 2?z c2 2? 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面，用垂直于 Z 轴的平面作截面，得到的是椭圆，用垂直于 X，Y 轴的平面作为截面，得到的是双曲线。方程x a2 2?y b2 2?z c2 2? ? 1 所表示的曲面叫做双叶双曲面，用垂直于 X 轴的平面作截面，得到的是椭圆，用垂直于 Z，Y 轴的平面作为截面，得到的是双曲线。 利用截痕法分析二次曲面，并能绘制曲面所围成的立体图形。章节第八章空间解析几何与向量代数 §4 空间曲线及其方程课时2教 学 目 的了解空间曲线及其方程的概念，了解空间曲线的一般方程方程，空间曲线 的参数方程，空间曲线在坐标面上的投影等概念。教学 重点 及 突出 方法求交线在坐标面上的投影。教学 难点 及 突破 方法交线在坐标面上的投影。绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相 交构成的曲线的图形，求交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影 柱面）是学习多元函数微积分的基础. 双曲抛物面的图形，着重解决截痕 法。相关 参考 资料《高等数学（第二册）（物理类） 》 ，文丽，吴良大编，北京大学出版社教学思路、主要环节、主要内容8.4 空间曲线及其方程 一、空间曲线一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线。设 F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0 是两个曲面的方程，它们的交线为 C。因为曲线 C 上的任何点的坐标应同时满足这 两个曲面的方程，所以应满足方程组? F ( x, y, z) ? 0 ? ?G ( x, y, z) ? 0（1）教反过来，如果点 M 不在曲线 C 上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标 不满足方程组（1）。因此，曲线 C 可以用方程组（1）来表示。方程组（1）叫做 空间曲线 C 的一般方程。 空间曲线的参数方程为? x ? x (t ) ? ? y ? y (t ) ? z ? z (t ) ?学,其中 t 为参数.二、空间曲线在坐标上的投影过设空间曲线 C 的一般方程为 ?? F ( x, y, z) ? 0 ?G ( x, y, z) ? 0程由上述方程组消去变量 z，x，y 后所得的方程分别为： H( x , y )=0 ，R( y , z )=0， T( x , z )=0? H ( x, y ) ? 0 表示曲线 ? ?z ? 0 ? R ( y, z) ? 0 表示曲线 ? ?x ? 0?T ( x , z ) ? 0 ? ?y ? 0C 在 xOy 面上的投影,C 在 yOz 面上的投影,表示曲线 C 在 xOz 面上的投影。加强交线在坐标面上的投影 （求以交线为准线的投影柱面） 及空间区域在坐标 面上的投影区域的计算。章节第八章空间解析几何与向量代数 §5 平面及其方程课时2教 学 目 的了解平面及其方程的概念，掌握平面的点法式方程，一般式方程及两平面 的夹角的概念教学 重点 及 突出 方法平面的点法式方程，截距式方程，三点式方程，一般式方程及两平面的夹 角的概念。根据条件建立平面的方程教学 难点 及 突破 方法平面方程的求法及由给定的方程能迅速确定平面的位置和平面的特性。三 元一次方程 Ax+By+Cz+D=0 中 x,y,z 前面的系数 A,B,C 是平面法线向量的坐 标，一些特殊的三元一次方程读者应熟悉它们的图形。学习中读者应经常 注意空间解析几何与平面解析几何之间的联系与不同。相关 参考 资料《高等数学 （第二册） 》 （物理类） 文丽， ， 吴良大编， 北京大学出版社 P32-P40 《大学数学 概念、方法与技巧》 （微积分部分） ，刘坤林，谭泽光编,清华 大学出版社，P418-P424教学思路、主要环节、主要内容8．5 平面及其方程 一、平面方程的几种形式 1．一般形式：Ax+By+Cz+D=0，称为平面方程的一般式。其中 x,y,z 的系数 A，B，C 是平面的 2 2 2 法向量 {A，B，C}，A +B +C ≠0。 2． 点法式方程： 我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。 2 2 2 设给定点为 Po(x0,y0,z0),给定法线 n 的一组方向数为{A,B,C}且 A +B +C ≠0， 则过此定点且 以 n 为法线的平面方程可表示为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。 3．截距式方程：x a ? y b ? z c ?1。4．三点式方程： 已知平面过空间三点，M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)，则平面方程为教学过程二、几种特殊位置平面的方程 1、通过原点 其平面方程的一般形式为： Ax+By+Cz=0. 2、平行于坐标轴 平行于 x 轴的平面方程的一般形式为：By+Cz+D=0. 平行于 y 轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz+D=0. 平行于 z 轴的平面方程的一般形式为： Ax+By+D=0. 3、通过坐标轴 通过 x 轴的平面方程的一般形式为： By+Cz=0. 通过 y 轴和 z 轴的平面方程的一般形式分别为：Ax+Cz=0，Ax+By=0. 4、垂直于坐标轴 垂直于 x、y、z 轴的平面方程的一般形式分别为： Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0. 三、两平面间的夹角 两 平 面 的 法 线 向 量 的 夹 角 （ 通 常 指 锐 角 ） 称 为 两 平 面 间 的 夹 角 。cos ? ? A1 A 2 ? B 1 B 2 ? C 1 C 22 2 2 A1 ? B 1 ? C 1 2 2 2 A2 ? B 2 ? C 2（1）两个平面平行或重合的充要条件是A1 A2?B1 B2?C1 C2（2）两个平面垂直的充要条件为 A1A2+B1B2+C1C2=0。 （3）一点（a，b，c）到平面的距离为d ? Aa ? Bb ? Cc ? D2 2 2 A ? B ?C一点,一个(法线)向量(简称一点一方向，两个条件)可以确定一个平面。平面上的点一般 易得，若已知一平面上的点，要求平面的方程，则问题的关键是求法线向量。求法线向量会经 常用到向量的向量积或点积。章节第八章空间解析几何与向量代数 §6 空间直线及其方程课时2教 学 目 的了解空间直线及其方程的有关概念，掌握直线的一般方程，对称式方程， 参数式方程及直线与直线，直线与平面的位置关系。教学 重点 及 突出 方法直线的一般方程，对称式方程，参数式方程及直线与直线。教学 难点 及 突破 方法利用向量的点积或叉积求直线的方向向量，直线与直线，直线与平面的位置关系都可用它们之间的夹角来描述，读者应加以注意。在平面解析几何中，方 程 Ax+By+c=0 表示直线，而在空间解析几何中它表示平面。一般情况下， 当直线上一点已知时，求直线方程与求平面方程一样，关键是确定直线的 方向向量，这时可考虑直线与直线，直线与平面的位置关系，利用向量的 点积或叉积求所求直线的方向向量。相关 参考 资料《高等数学 （第二册） 》 （物理类） 文丽， ， 吴良大编， 北京大学出版社 P41-P54 《大学数学 概念、方法与技巧》 （微积分部分） ，刘坤林，谭泽光编,清华 大学出版社，P419-P424教学思路、主要环节、主要内容8.6 空间直线及其方程一、 直线的一般式方程 它是由两个平面方程联立得到的，如下：? A1 x ? B 1 y ? C 1 z ? D 1 ? 0 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 z ? D 2 ? 0，这就是直线方程的一般式。二、直线方程的对称式方程与参数方程 任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们 相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定， 因而此直线的方程就可由通过 它的方向数和定点的坐标表示出来。教设已知直线 L 的方向数为{m,n,p}，又知 L 上一点 Po(x0,y0,z0),则直线 L 的方程可表示为:x ? x0 m ? y ? y0 n ? z ? z0 p，这种方程的形式被称为直线方程的对称式或点向式。学? x ? x0 ? m t ? 方程组 ? y ? y 0 ? n t 成为直线的参数方程。 ? ? z ? z0 ? pt过两直线的夹角：设 L1 与 L2 是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可能不相交.通过原点 O 作平行与两条直线的线段.则线段的夹角（通常指锐角）称为此两直线 L1 与 L2 的夹角.程平面、直线间的平行垂直关系 对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。因此平面间的平行与垂直关系，也就转 化为直线间的平行与垂直关系。平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的 平行与垂直关系。 总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化为直线与直线的平行与垂直关系。 在此我们就不列举例题了。 设直线 L 由方程组 ?? A1 x ? B 1 y ? C 1 z ? D 1 ? 0 ? A2 x ? B 2 y ? C 2 z ? D 2 ? 0所确定，则三元一次方程：A1x+B1y+C1z+D1+λ (A2x+B2y+C2z+D2)=0 称为通过直线 L 的平面束方程。 在求直线方程时点与方向向量的确定是关键，直线的对称式、参数式、两点式都可以从确 定直线的点与方向着手，另外从两个平面的交线也可以得到直线的一般式。在点、直线、平面 之间的关系时，要在运用几何直观思路下化问题为向量之间的关系问题；结合向量及向量运算 之间的几何意义，运用向量运算来解决问题。到本节已经介绍了空间平面与直线的基本内容， 读者可以做一些带综合性的练习，融会贯通所学知识。章节第八章空间解析几何与向量代数 习题课时2教 学解决第七章的习题中存在的问题。目 的教学 重点 及 突出 方法向量代数、平面及直线方程的求法。教学 难点 及 突破 方法补充一些习题及历届考研题及陈文登复习资料的习题。 ，开阔思 路。相关《数学复习指南》2004 版（理工） ，陈文登，黄先开，世界图书参考出版社，P243-P260资料教师授课思路、设问及讲解要点教学处理第八章习题中的各种问题，并补充历届考研题及陈文登复习 资料的习题，开阔学生的解题思路。过分类讲解习题，提供解题方法及思路。程
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