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不等式的定理及技巧
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关于数学上不等式的定理,公理,还有各种推论,证明的还是未证明的都可以,从高中到大学的都要啊,
月爱口关37554
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柯西不等式对于2n个任意实数x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,恒有（x1y1+x2y2+…+xnyn)^2≤（x1^2+x2^2+…+xn^2）（y1^2+y2^2+…+yn^2）柯西不等式的几种变形形式1.设xi∈R,yi>0 (i=1,2,…,n)则,当且仅当bi=l*ai (i=1,2,3,…,n)时取等号2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n),则,当且仅当b1=b2=…=bn时取等排序不等式又称排序原理.对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn,y1≤y2≤…≤yn,设yi1,yi2,…,yin是后一组的任意一个排列,记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1,M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin,L=x1y1+x2y2+…+xnyn,那么恒有S≤M≤L.当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时,等号成立.QI琴生不等式设f(x)为凸函数,则f((x1+x2+...+xn)/n)≤[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n(下凸);设f(x)为凹函数,则f((x1+x2+...+xn)/n)≥[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n(上凸);称为琴生不等式.简均值不等式Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数.性绝对值不等式|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值.两个重要性质：1.|ab| = |a||b||a/b| = |a|/|b| （b≠0）2.|a||a|||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|,当且仅当 ab≤0 时左边等号成立,ab≥0 时右边等号成立.另外有：|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1|*|b| = |a|+|b|| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|概基本不等式公式：(a+b)/2≥√(ab) (a≥0,b≥0)（当且仅当a=b时,等号成立）变形：ab≤[(a+b)/2]² (a≥0,b≥0)（当且仅当a=b时,等号成立）几几何不等式Ptolemy（托勒密）不等式若ABCD为四边形,则AB×CD+AD×BC≥ AC×BD.（等号成立,A,B,C,D四点共圆）Erdos（埃尔多斯）不等式设P是ΔABC内任意一点,P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r,记PA=x,PB=y,PC=z.则：x+y+z≥2*(p+q+r)Weitzenberk（外森比克）不等式若a,b,c为三角形三边长,S是三角形面积,则：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S（等号成立当且仅当ABC为等边三角形）.Euler（欧拉）不等式设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r,则R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形时取等号.Fermat（费马）问题在△ABC中,使PA+PB+PC为最小的平面上的P点称为费马点.当每个内角均小于120时,则与三边张角为120的P点为费马点.等周不等式①周长一定的所有图形中,圆的面积最大；面积一定的所有图形中,圆的周长最小.②周长一定的所有n边形中,正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中,正n边形的周长最小.基赫尔德不等式设S为测度空间,及,设f在Lp(S)内,g在Lq(S)内.则f g在L1(S)内,即||fg||1=0[1].我们称p和q互为赫尔德共轭.若取S为自然数集附计数测度,便得与上类似的无穷级数不等式.当p = q = 2,便得到柯西-施瓦茨不等式.还有很多,具体证法网上都有.
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樊畿（日—日），温州人，生于浙江杭州。数学家，原美国高级研究员、等校数学教授。
樊畿人物履历
樊畿的父亲樊琦（）曾在、等地的地方法院任职。樊八岁时随父到金华，初中阶段先后在金华中学、杭州宗文中学和温州中学就读。他各科成绩均优，唯不喜欢英文，原因是“讨厌呆板地记忆生词和不可理喻的文法”。1929年初中毕业时，考入不用英文的。这是四年制高中，第一年专习德文。1932年的“”后，同济附中不能开课，樊插班到金华中学读高三，半年后就高中毕业了。
1932年秋，
樊入数学系。他本想读工科，但因姑父在北京大学任数学系主任，更由于北大不考英文，因此决定樊走上了数学道路。樊攻读数学得心应手。二年级时，德国数学家E．施佩纳（SPerner）来华讲学，在北大讲授“近世代数”，使用的教材是O．施赖埃尔（Schreier）和施佩纳合著的德文原版《解析几何与代数引论》（Einfuhrung in die analytischeGeometrle und Algebra）与《矩阵讲义》（Vorlesungen uberMatrizen）两书。樊听完课之后，利用暑假将两者译出，合为《解析几何与代数》，由作序并推荐给。1935年，该书初版作为《大学丛书》之一发行。1960年在台湾印行了第七版。在大学生时期，樊还译过E．兰道（Landau）的《理想数论初步》（Einfurung in die elentare Theoric der algebraischenZahlen und der Ideale），并与合著《数论》，先后由出版。
1936年，樊在北京大学毕业之后，留校任教。1938年下半年，由法国退回设立的中法教育基金会，招考数学、化学、生物三科各一名去法国留学。樊是数学科的被录取者。1939年初启程去。他本打算攻读代数学，但在临行前，（北京大学）和（南开大学）两教授建议他跟随M．R．弗雷歇（Prechet）学习，指出“弗雷歇的分析和代数差不多”。对这一指点，樊终生感激。确实，作为泛函分析先驱学者的，曾发展一套抽象的分析结构，在当时崇尚函数论等“硬分析”的法国独树一帜。樊到巴黎之后，请曾来中国访问的J．（Hadam-ard）给弗雷歇写了一封介绍信，彼此渐渐熟悉，弗雷歇就成了樊的导师。
1941年，樊以“一般分析的几个基本概念”的学位论文，获得法国国家博士学位。当时第二次世界大战正在进行，樊幸运地成为的研究人员，并且在庞加莱数学研究所从事数学研究。战时的生活紧张而清苦，但研究工作不断取得成果。到1945年大战结束时，樊已发表论文20余篇。他和合著的《组合拓扑学引论》（Introdution a la topologiecombinatoire）一书也于1946年刊行，以后又发行了英文版和西班牙文版。
樊在之后，转往美国发展。两年，他是高级研究院的成员。当时，世界著名数学家云集普林斯顿，其中包括战前已来美国的H．（Weyl）和J．（von Neumann）。樊后来的工作深受他们的影响，学术上也有更大的进展。
1947年之后，樊去任教，从助教授、副教授，到教授。1960年曾到城的任教一年，随即转到芝加哥附近的，直至1965年应聘为圣巴巴拉分校数学教授。
1964年，台北中央研究院推选樊为院士。年1745 间，他曾连任两届该院的数学研究所所长。他还曾任（奥斯丁）、、及意大利的卑鲁加（Perugia）大学的访问教授。从1960年起，担任《数学分析及其应用》（Journal of Mathematical Analysis and its Application）的编辑委员共32年。他还是《线性代数及其应用》（Linear Algebraand its Application）的杰出编辑，1993年又被聘为荷兰的《集值分析》（Set Valued Analysis）和波兰的《非线性分析中的拓扑方法》 （Topological Methods in Nonlinear Analysis）的编辑委员。
1985年夏，樊正式退休。数学界为他举行了盛大的学术活动，世界各地的许多数学家前来参加。加州大学圣巴巴拉分校宣布成立樊助理教授（Ky Fan Assistant ProfessorshiP）职位。这次为樊荣誉退休而举行的学术会议论文集，题为《为樊举行的会议录：非线性分析和凸分析》（Nonlinear and convex analysis，Proceediny in honor of Ky Fan）。其中收录了樊到那时的全部论文目录。
樊退休之后，继续担任杂志编辑，且仍有著作问世。1989年，他应邀访问，是该校联合学院的杰出访问学者。1990年5月，巴黎第九大学授予樊名誉博士学位。1990年，他曾出席矩阵论方面的会议，应邀作宴会后演讲。1992年5月，应邀访问。1993年到东京参加“非线性分析与凸分析”会议，是该会的四名学术委员之一。
樊从1947年离开大陆之后，长期没有机会返回故土。1981年，他已准备好大陆之行，临时因手术而取消。1988年召开不动点理论会议，也因健康原因未能与会。1989年5月，樊应北京师范大学之邀回到阔别50多年的北京，讲学两周之后，又去北京大学、、武汉大学、浙江大学、杭州大学等校演讲。访问期间被聘为北京大学和北京师范大学的名誉教授。樊已将40余年收藏的数学书籍和杂志，除少量自己常用之外，全部捐献给母校北京大学。1993年5月，当为纪念教授诞生100周年举行国际讨论会时，樊再次回国讲学访问。
樊畿教授于日在美国市的家中仙逝享年95岁。
先生的逝世引起了美国乃至全世界科学界的震动。全球最具权威性与影响力的数学专业学术组织“（）”在其网站上发布了先生的生平，公告先生的离世，并连续刊登缅怀先生重大数学贡献的专题文章。 樊畿师生前曾经执教20年的（UCSB）在3月24日那一天，特地为先生降了半旗。与樊畿师的母校北京大学也为先生举办了隆重的纪念活动。2010年即将在日本召开的“第七次国际非线性与凸分析会议”，特别以纪念樊畿师为主题；随后，专业学报《非线性与凸分析》还要出版纪念专刊[1]
樊畿研究成就
樊的学术成就是多方面的。从线性分析到，从有限维空间到无限维空间，从到应用数学，都留下了他的科学业绩。以樊的名字命名的定理、引理、等式和不等式，常见于各种数学文献。他在非线性分析、、、、、、及矩阵论等方面的贡献，已成为许多当代论著的出发点和一些分支的基石。
樊畿抽象空间上的分析
樊在40年代初的法国，主要是随学习和研究抽象空间的分析学理论。他最早发表的几篇论文都有关弗雷歇空间（完备的线性距离空间）上取值于线性拓扑空间的抽象函数。博士论文是这些工作的总结。其主要内容有：（1）在一类可分弗雷歇空间上的抽象值函数可用广义的抽象值多项式加以逼近。（2）这类函数的阿达玛（Hadamard）微分。（3）抽象拓扑空间的弗雷歇维数。（4）抽象空间上曲线，特别是和线段、直线、圆周拓扑同胚的点集的拓扑特征。樊还将这些抽象函数的结果用于概率论中的极限定理。
樊畿全连续算子
希尔伯特空间上的线性全连续算子源于积分方程论的需要。因此，研究全连续算子A的特征值和奇异值（即A*A的特征值的平方根）就是重要的工作。设 A，B是两个希尔伯特空间上的全连续算子，Sk(A)表示A的第K个奇异值，则有
这些不等式都可解释为用有限维算子逼近无限维空间全连续算子时的性态。奇异值后来有许多推广，如S函数（其特例有逼近数、盖尔范德数、柯尔莫戈洛夫数等），而后S函数正是由上述两个不等式以及奇异值的其他基本性质作为条件的。关于特征值，樊有如下的结果：设A是如上的自共轭全连续算子，λ1≥λ2≥…≥λn是前n个最大的特征值，则
这里的Max是对所有的n个标准正交向量（x1，x2，…，xn）而取的。这一结果成为特征值理论和奇异值的变分特征化的重要基础。
大数学家和在奇异值方面的工作，曾由樊加以推广：
设A1，A2，…，An是H上的全连续算子，则有
其中Max是对一切标准正交向量组（x1，x2，…，xn）和任意的酉算子组U1，U2，…，Um而取，Si(A)表示第i个奇异值。当m=2，H的维数恰为n时，则第一个等式是冯·诺依曼的结果，而当m=1时，上面的第二个等式包括外尔的不等式。此外，樊还给出一个奇异值的=0，则有
综上所述，樊对全连续算子谱论研究有重大贡献，后来的算子理想理论多借鉴于此。J．迪厄多内（Dieudonne）将樊列为算子谱论的主要贡献者之一。
樊畿不动点和极大极小
不动点定理是20世纪非线性数学发展中的一个核心课题。所谓映射F的不动点x，是指F(x)=x成立。显然，求方程f(x)=0的根，等价于求F(x)=f(x)+x的不动点。拓扑学家L．E．J．（Brouwer）在1912年提出了第一个不动点定理：n维欧氏空间中，将实心球（或紧凸集）映到自身的连续映射至少有一个不动点。以后J．P．肖德尔（Schauder）和A．H．吉洪诺夫分别将它推广到巴拿赫空间和局部凸空间。另一方面，（Kakutani）在n维欧氏空间情形证明了集值映射的不动点定理。1952年，樊和I．L．格里科斯伯格（GliCk_sberg）独立地将角谷静夫定理推广到局部凸空间情形。这是近来发展极为迅猛的集值分析的经典结果，其基本内容是：
设X是局部凸线性拓扑空间，C是X中非空的凸紧集，T将C内每点x映为C中的非空闭凸子集合T(x)，且T是上半连续的，则必存在一点x∈T(x)．
这种集值映射的重要背景乃是极大极小原理（minimax Prin－ciple）．冯·诺依曼在建立对策论时，曾研究下列方程：
樊利用前述集值映射的不动点定理，得到如下的冯·诺依曼-樊-塞恩（Sion）定理：
设X，Y是两个局部凸线性拓扑空间，A，B分别是X，Y中的非空紧凸集，f是A×B上的二元实函数，使得对每个y∈B，f(x，y)在A上是下半连续的凸函数，对每个x∈A，f(x，y)在B上是上半连续的凹函数，则有
另外，在1953年的文献中，证明了第一个不涉及线性结构的极大极小定理，它在许多数学分支（势论、优化的对偶理论、函数代数、调和分析、算子的理想、弱紧性等）都有应用。
樊在不动点理论研究中保持着领先水平，非线性分析的教科书和著作中，都能找到以樊的名字命名的定理、引理、不等式，其中叙述较详的有文献。
樊畿樊的极大极小不等式
1972年，樊发表的论文“一个极大极小不等式及其应用”，曾使非线性分析的若干基本原理发生重要变化。这个不等式是：
设K是线性拓扑空间中的紧凸集，F是K×K上的二元实函数，满足以下三条件
（1）对每个固定的y∈K，F(x，y)是x的下半连续函数；
（2）对每个固定的x∈K，F(x，y)是y的凹函数；
（3）对每个y∈K，F(y，y)≤0；
这个不等式的表达不算非常简洁，并可证明它和原始的布劳威尔不动点定理等价。然而，它在证明非线性分析的大量基本定理时，却非常方便，尤其是一个处理对策论和数理经济学基础问题的有效和通用的工具。法国的J-P奥宾（Aubin）和I．埃克兰德（Ekeland）在他们的一系列非线性分析著作里，都把上述的樊不等式放在中心位置。德国的E．柴德勒（Zeidler）曾将不动点定理和极大极小不等式画成一张表，樊不等式处于重要地位。此外，这个不等式在微分方程、不定度规空间理论、势论诸方面均有应用。
樊畿线性规划和非线性规划
第二次世界大战后迅速发展起来的线性规划理论，实际上相当于求解一个在凸集上有定义的线性不等式组．在无限维空间情形，也就是超平面分离凸集问题。樊凭借坚实的泛函分析功夫，对此作了重大改进。经常被引用的有樊条件（Ky Fan consrst-ency condition）：
设F1，F2，…，Fn是任意维的实线性空间X上的线性泛函，C1，C2，…，Cn是一组实数。则存在x∈X，能同时满足
F1(x)≥C1，F2(x)≥C2，…，Fn(x)≥Cn
这一相容性定理，可用于直接证明线性规划的对偶定理等，成为线性规划论的一块基石。另外，它还能简单地导出许多著名的不等式，例如哈代（Hardy）-李特尔伍德（Littlewood）-波利亚（Polya）关于优化（majorization）的不等式。
樊畿凸函数基本定理
樊和格里科斯伯格，以及A．J．霍夫曼（Hoffman）合作，完成了凸分析和非线性分析的一个基本定理。
设X是任意维实线性空间的一个凸子集，f1，f2，…，fn是X上的实值凸函数。如果联立不等式组fi(x)&0(i=1，2，…，m)无解，那么必有一组不同时为零的非负实数p1，p2，…，pm，使得对一切x∈X，都有
樊畿其他工作
樊所发表的124篇论文，涉及的学科很广，以下是一个不完全的列举。
樊畿线性代数方面
主要涉及矩阵的范数、特征值、不等式以及非负矩阵、M矩阵等。M矩阵大量出现于椭圆型方程的数值解法和线性方程组的迭代解法之中。许多著作中有樊优势定理(dominance theorem)、樊乘积、樊k范数等。
樊畿不变子空间问题
樊运用不动点定理，得到一个不定度规空间上线性算子的不变子空间的存在性定理。由它可以得出著名的庞特里亚金（Pontryajin）-约赫维道夫（Iohvidov）-克莱因（Krien）定理。1965年，樊又把它推广到一族算子（构成左顺从半群）的公共不变子空间的情形。
樊畿组合定理
A．W．吐克（Tuker）在1945年给出一个组合引理，目的是用来代替代数拓扑方法，给予著名的博苏克乌拉姆（Borsuk－Ulam）对映点定理和刘斯铁尔尼克-博苏克（Lustern-ik-Borsuk）对映点定理比较简易的证明。樊在1952年将吐克引理加强，得到一些新的对映点定理。30年后又用他的对映点定理证明了另一个组合定理，比著名的耐瑟（Kneser）-洛瓦兹（Lovasz）-贝拉内（Baraney）定理更强。此外，樊的论文与计算不动点及拓扑度问题密切相关，他所使用的“配对过程”(Pai-ring process)方法及“一门进，一门出”（door in，door out）原理被广泛采用。
樊畿拓扑群
樊于1970年发表的论文，讨论了局部紧交换群的局部连通性，并用对偶群加以刻画，这是庞特里雅金关于紧交换群局部连通性的定理的推广。
樊畿复分析
1982年之后，樊连续发表文章，讨论线性算子值的解析函数及其迭代性质、幅角导数等，将复分析中的经典定理推广到线性算子值情形，现已形成一个研究方向。
樊畿人物评价
樊的学术成就具有广泛的国际声誉，特别是由于他的工作多半涉及一些数学学科的基础核心，所以常被列为基本文献和写入教科书，有些已成经典性成果。他的论著从任何角度看都是纯数学的，条件自然，结论简洁，论证优美。但是这些纯数学结论又有极广泛的应用，尤对数理经济学的发展促进很大。例如，获得者G．（Debreu）等创立的基本定理就可由樊的极大极小不等式直接导出。因此，樊研究工作体现了纯粹数学和应用数学的统一。
樊一共指导了22名博士研究生。他的知识面很宽，可以不断地指导研究生选择更新的研究方向。有几位研究生就是以代数拓扑和微分拓扑的工作而成名的。樊早先到普林斯顿高级研究院，是由M．（Morse）安排的，后来也经常联系。他曾推荐自己的研究生W．胡伯舒（Huebsch）给莫尔斯做助教，后来他们合写了许多论文。他在教学上的一丝不苟也是出了名的。的林伯禄说：“樊师做学问和上课同样认真，从不浪费一分一秒。黑板上的字也是一字不多一字不少。他还有许多一流的讲义，可惜他不肯发表。”
樊能说多种语言。但他自嘲说：“我的英文中有法国口音，讲法文时有德国口音，而讲德语时则有中国口音。”他说他学外语的目的只是为了看数学书，所以不大注意发音。
樊待人宽厚，助人为乐。他常说：“为人作事，必须对别人有帮助，自己才会快乐。”最终解决比贝尔巴赫（Bieberbaoh）猜想的L．德·勃兰治（de Brange），在成名前曾受冷落，而樊一直对他热情鼓励，他的许多论文都经樊推荐而发表。
樊和夫人燕又芬住在美国加州圣巴巴拉的一座小山上，山下是大海，风景如画。在回首往事时，樊一直牵记着引导他走上数学道路的先生。1989年曾去位于北京的冯祖荀墓前凭吊。1993年再度回京时，重修冯先生墓，并请重题墓碑。