积分与路径无关的曲线积分怎么证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-04 07:05 标签： 曲面积分与路径无关
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数学分析：为什么曲线的交点可以有无穷多个而它的内接折线的交点一定是有穷多个？
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曲线积分与路径无关的条件
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曲线积分与路径无关的条件
官方公共微信12.5平面曲线积分与路径无关的条件、原函数和全；12.5.1平面曲线积分与路径无关的条件；我们已经知道第二型曲线积分；A(P)?dl=∫X(x,y)dx+Y(x,y)；的值.一般不仅与向量函数A(P)=(X(x,y)；xydx+(y?x)dy；（1）沿直线y=x由A(0,0)到B(1,1)积；12；（2）沿抛物线y=x由A(0,0)到3；113；B(1,1
平面曲线积分与路径无关的条件、原函数和全微分方程
平面曲线积分与路径无关的条件
我们已经知道第二型曲线积分
A(P)?dl=∫X(x,y)dx+Y(x,y)dy
的值.一般不仅与向量函数A(P)=(X(x,y),Y(x,y))及曲线C的起终点A、B有关，也与由A到B的路径C有关。例如，曲线积分
xydx+(y?x)dy
（1） 沿直线y=x由A(0,0)到B(1,1)积分值为
12；（2）沿抛物线y=x由A(0,0)到3
B(1,1)积分值为；（3）沿立方抛物线y=x由A(0,0)到B(1,1)积分值为? 。
另一方面，也有的第二型曲线积分仅与路径C的起终点A、B有关，与路径C的几何形状无关（简称与路径无关）。例如曲线积分
2xydx+x2dy
取上述（1）~（3）的路径分别进行积分，其积分值均为1 。那么在什么样的条件
下，第二型平面曲线积分(5.1)只与积分曲线的起、终点有关，而与积分曲线的路径无关。下面我们讨论这一问题。
若函数X(x,y)、Y(x,y)以及偏导数
、在单连通区域D连续,则下?y?x
列命题等价:
(1) 曲线积分（5.1）与积分曲线的路径无关,即其只与积分曲线的起、终点有关;
(2) Xdx+Ydy是某一函数u(x,y)的全微分，即在D存在一个函数u(x,y)，使
du=Xdx+Ydy
，?(x,y)∈D； =
（4）对于D内的任意光滑或逐段光滑的简单闭曲线Γ，有
??∫Xdx+Ydy=0
（1）?（2）
取A(x0,y0)∈D，将其暂时固定，B(x,y)∈D为D内动点，此时线积分（5.1）的值与积分路径无关,它的值将随上限B(x,y)的确定而惟一确定.因而可把积分（5.1）作变上限积分
Xdx+Ydy=∫
它是上限(x,y)的一个二元函数,记做u(x,y),即u(x,y)=下面证明 du(x,y)=Xdx+Ydy 。为此求
?u?u和 。 ?x?y
由式（5.2）可知，u(x,y)在点(x,y) 处关于x的偏增量
?xu=u(x+?x,y)-u(x,y)
(x0,y0)(x+?x,y)
Xdx+Ydy-∫Xdx+Ydy
由于式（5.3）的积分与路径无关，取由点(x,y)到点(x+?x,y)沿平行与x轴的直线段，如图5.1所示。此时函数X、Y中的变量y保持不变，故dy=0 。所以根据式（5.3）和积分学中值定理，有
X(x,y)dx=X(x+θ?x,y)?x
=X(x+θ?x,y) ?x
再由X(x,y)的连续性,得
=limx=limX(x+θ?x,y)=X(x,y) ?x?x→0?x?x→0
而由X(x,y)，Y(x,y)的连续性知, u(x,y)在D内有连续偏导数,于是u(x,y)在D可微,且
du=X(x,y)dx+Y(x,y)dy
故命题(2)成立。此时称函数u(x,y)是X(x,y)dx+Y(x,y)dy的一个原函数。 (2)?（3）
根据 du=X(x,y)dx+Y(x,y)dy ，知
?u?u= X(x,y)
=Y(x,y) ?x?y
?2u?2u?X?Y=
?x?y?y?y?x?x
?2u?2u?X?Y?X?Y
在D连续,知 在D连续,从而有
?y?x?x?y?y?x?y?x
故命题（3）成立。
设Γ是区域D内任意光滑或逐段光滑的闭曲线。有格林公式,有
Xdx+Ydy=∫∫'(
?Y?X?dσ=0 ?x?y
其中D是闭曲线Γ所围成的区域。命题（4）得证。
（4）?（1）
在区域内，任取两条以点A为起点，点B为终点的光滑或逐段光滑的。作闭曲线Γ=C2UC1，于是由（4），有 曲线C1与C2（图5.2）
再由线积分性质
Xdx+Ydy=??∫Xdx+Ydy=0
Xdx+Ydy=?∫?Xdx+Ydy=∫Xdx+Ydy
即线积分与路径无关。命题（1）得证。
(ex+sinx)dx+(xex?cosy)dy,其中C是沿圆弧(X?π)2+y2=π2从
O(0,0)为始点B(π,π)为终点的一段。
解 此题直接按路径C计算很困难，如果设X=e+sinx，Y=xe?cosy，注意到
、在xOy平面上连续，由定理5.1知，该积分与路径无关，可沿折线?y?x
OAUAB计算积分（图5.3），于是
(ex+sinx)dx+(xex?cosy)dy
）(e+sinx)dx+(xe?cosy)dy
(1+sinx)dx+∫(πey?cosy)dy
=（π+2）+（πe?π） =2+πe
(3xy+sinx)dx+(x2?yey)dy
,其中C是沿抛物线 y=x2?2x
O(0,0)为始点、B(4,8)为终点的一段，如图5.4 。
(3xy+sinx)dx+(x2?yey)dy
(2xy+sinx)dx+(x2?yey)dy+∫xydx
设X=2xy+sinx，Y=x?ye，且
根据定理5.1，曲线积分
(2xy+sinx)dx+(x2?yey)dy
与积分路径无关，可取折线OAUAB为积分曲线（见图5.4）,有
(2xy+sinx)dx+(x2?yey)dy
)(2xy+sinx)dx+(x?ye)dy
(2xy+sinx)dx+(x?ye)dy+
(2xy+sinx)dx+(x2?y2ey)dy
sinxdx+∫(42?yey)dy
=128?7e?cos4
x(x?2x)=(?x)|0=
于是原积分
(3xy+sinx)dx+(x2?yey)dy=(128?7e8?cos4)+
?7e8?cos4 3
设Y(x,y)在xOy平面上具有一阶连续的偏导数,曲线积分
2xydx+Y(x,y)dy
与路径无关,并对任意的实数t,恒有
2xydx+Y(x,y)dy=
2xydx+Y(x,y)dy
求函数Y(x,y)。
由曲线积分与路径无关，知
?Y?=(2xy)=2x ?x?y
可得Y(x,y)=x+?(y)，而
2xydx+Y(x,y)dy=∫
2xydx+[x2+?(y)]dy
)2xydx+[x+?(y)]dy
2x?0dx+0+∫[t2+?(y)]dy
2xydx+[x2+?(y)]dy=(∫
)2xydx+[x2+?(y)]dy
2x?0dx+0+∫[1+?(y)]dy=t+∫?(y)dy
由假设，有
t2+∫?(y)dy=t+∫?(y)dy
两端对t求导，得
2t=1+?(t) ，?(t)=2t?1
从而所求的函数
Y(x,y)=x2+?(y)=x2+2y?1
关于复连通区域
上的第二型曲线积分与路径的问题我们有如下定理。 ?y
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