求5等分圆的尺规作图 三等分依据？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-03 05:41 标签： 尺规作图 三等分
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一种简便的圆的五等分画法
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任意等分圆周的尺规作图法
（以七等分圆周为例）
——天柱县凸洞小学龙再铃
〖附〗任意等分已知线段的方法（以七等分为例，参见下图）：过已知线段AK的端点A作射线AP，截取AQ=QR= … =VP，连结PK，分别过点Q、R、S、T、U、V作PK的平行线，交线段AK于点a、b、c、d、e、f，即为已知线段AK的七等分点。 七等分圆周尺规作图法：（如下图所示）
1．用等分已知线段的方法，将⊙O的直径AK七等分；
2．以点K为圆心，直径AK为半径画弧，交直径AK的垂直平分线于M、N两点；
3．自点M、N分别向直径AK上的点b、d、f连结并延长，使其延长线分别交⊙O于B、C、D、E、F、G点，则点A、B、C、D、E、F、G将⊙O七等分。
依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FG、GA即得⊙O的内接正七边形。
圆内接正五边形（五等分圆周）的尺规作图法 五等分圆周，除了可以用任意等分圆周的尺规作图法外，还可使用下面的方法：
1．在⊙O内作互相垂直的直径AK和MN；
2．平分半径ON得点S；
3．以点S为圆心，SA的长为半径画弧，交MO于点Q；
4．以点A为圆心，AQ的长为半径画弧，交⊙O于B、E两点；
5．分别以点B、E为圆心，仍以AQ的长为半径画弧，分别交⊙O的弧BKE于点C、D，则点A、B、C、D、E将⊙O五等分。
依次连结AB、BC、CD、DE、EA，即得⊙O的圆内接正五边形。
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利用同心圆等分弧定理和单位弧长的梯形中位线等于上底加下底和的一半公式确定中位弧长的方法先把90°角等分为五等份和七等份，再以90°角的五分之四和七分之四分别作五等分圆和七等分圆。
一、作法如图1中⌒FF&弧长=⌒GG&弧长为单位弧长。
1、作∠AOB=90°，在OB边上以任意长为单位取等分点1、2，
以O为圆心，过以1等分点D点作⌒CD弧交OA于C点；过2等分点B点作⌒AB交OA于A点，并使⌒AB的延长线交AO的延长线于A&点。
2、作∠AOB的角平分线OP交⌒AB于P点。
作∠POB的角平分线OE交⌒AB于E点，交⌒CD弧于F点。
作∠EOB的角平分线OG交⌒AB于G点。
作∠BOA&的角平分线OP&交⌒BA&于P&点，
作∠BO P&的角平分线OE&交⌒B A&于E&点，交⌒CD的延长线于F&点
作∠BOE&的角平分线OG&交⌒BA&于G&点，连接GG&交OB于U点，则GU&OB。
连接FF&交OB于S点，则FS&OB，连接F&G&
作SU的垂直平分线MM&交OB于H点，交FG于M点,
交F&G&于M&点，则MH&OB。
作SH的垂直平分线KK&交FG于K点，交F&G&于K&点，交OB于L点则KL&OB。
作HU的垂直平分线RR&交FG于R点，交F&G&于R&点，交OB于V点，则RV&OB。
则∠KOB五等分∠AOB，∠KOB=90°/5=18°
连接OR,则∠ROB七等分∠AOB，∠ROB=90°/7=12°51&26&P
5、以O为圆心，以OK为半径，作圆交OA于T&点交OB于T点，则⌒KT可五等分⌒T&T、⌒KT& =4/5⌒T&T,以⌒KT&
为单位可作五等分圆。
以O为圆心，以OR为半径，作圆交OA于N&点交OB于N点，则⌒RN可七等分⌒NN& ,即七等分90°角，在⌒N&
N上取四个单位⌒RN为V&点，则以⌒N&V&为单位可作七等分圆。
（1）∠FOD=90°/4=22°30'&&
∠GOB=90°/8=11°15'
∵ Sin22°30'=FS/1&
∴ FS=Sin22°30'=0.3827
&∵ Sin11°15'=GU/2&
∴ GU=2Sin11°15'=2&0.2
∵ Cos22°30'=OS/1&
∴ OS=Cos22°30'=0.9239
&∵ Cos11°15'=OU/2&
∴ OU=2Cos11°15'=2&0.6
∴ MH=1/2(FS+GU)=1/2&(0.2)=0.38645
∴ KL=1/2(FS+MH)=1/2&(0.45)=0.384575
&又SU=OU-OS=1.9=1.0377
&∵ SL=1/4&SU=1/4&1.425
∴ OL=OS+SL=0.425=1.183325
∴ tg∠KOB=KL/OL=0...324995
（计算是近似值，作图为精确值）
查表知∠KOB=18°
∴∠KOB五等分∠AOB（精确值）
∴ 以⌒KT'为单位可作五等分圆
（2）∵ RV=1/2（MH+GU）=1/2（0.2）=0.388325
SV=3/4SU=3/4&1.275
OV=OS+SV=0.275=1.702175
∴ tg∠ROB=RV/OV=0...2281346
查表知∠ROB≈12°51'26&P
（计算是近似值，作图为精确值）
∴∠ROB七等分∠AOB（精确值）
∴ 以⌒N'V'为单位可作七等分圆。
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