求当n→∞时(2n+3)/(2n+1)^{n+1}的极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-06-28 19:29 标签： 1 2n 求和
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(2n^3+n^2-6n+7)/(3n^3+4n^2-1),n趋向于无穷时的极限值是多少
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分子分母同时除以x^3,得原式=(2+1/n+6/n^2+7/n^3)/(3+4/n-1/n^3)=2/3 (常数除以无穷大=0)
当n=1时，此式的值为2/3，这与趋向无穷大时的极限矛盾么
这只是个巧合，如果是趋向无穷大，分子分母的后面几项系数都可以随意改，而N=1时就不行
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三分之二，2/3。
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求极限问题(1^2+2^2+3^2+.+n^2)/n^3,当n→∞时,求极限
小小金0193
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利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 .n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6因此(1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^3,当n→∞时,结果为1/3
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(n+3/n+1)^n当n趋近于无穷时的极限值
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lim(n→∞)[(n+3)/(n+1)]^n=lim(n→∞){[1+2/(n+1)]^(n+1)}/[1+2/(n+1)]=lim(n→∞){[1+2/(n+1)]^(n+1)/2}^2/lim(n→∞)[1+2/(n+1)]={lim[(n+1)/2→∞][1+2/(n+1)]^(n+1)/2}^2/(1+0)=e^2/1=e^2.
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原式即(1+2/(n+1))^n也就是(1+2/(n+1))^((n+1)/2)这个数的2n/(n+1)次方，而2n/(n+1)n为无穷大时极限为2，而(1+2/(n+1))^((n+1)/2)就是e，所以(n+3/n+1)^n的极限值就是e^2
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