定积分 分部积分法公式分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-06-25 12:23 标签： 分部积分法顺序口诀
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定积分的换元法和分部积分法解读.ppt 19页
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上页下页铃结束返回首页§6.3定积分的换元法和分部积分法上页下页铃结束返回首页一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法一、定积分的换元法假设函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数x??(t)满足条件:(1)?(a)?a,?(?)?b;(2)?(t)在[?,?](或[?,?])上具有连续导数,且其值域不越出[a,b],则有定理证明定理——换元公式.下页解例1提示：下页例2解或提示：提示：换元一定要换积分限?不换元积分限不变?下页解例3提示：下页解例3下页提示：解例4下页证明例5证明:若f(x)在[?a,a]上连续且为偶函数,则所以当f(x)为偶函数时?有讨论：下页证明例6若f(x)在[0,1]上连续,证明下页(2)令x?p?t.因为例6若f(x)在[0,1]上连续,证明证明下页提示：解设x?2?t,则例7当x?1时t??1?当x?4时t?2?首页例8.二、定积分的分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数?分部积分过程：由(uv)??u?v?uv??得uv??(uv)??u?v?等式两端在区间[a?b]上积分得这就是定积分的分部积分公式?下页分部积分过程：解例8下页解例9分部积分过程：下页解例10由此得练习结束例11结束例题1.证明证：是以?为周期的函数.是以?为周期的周期函数.解：2.右端试证分部积分积分再次分部积分=左端上页下页铃结束返回首页
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[dìng jī fēn]
定积分是的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（），其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
定积分积分分类
不定积分（Indefinite integral）
即已知求。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为。即如果一个导数有原函数，那么它就有无
限多个原函数。
定积分 （definite integral）
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为，特例是。
定积分定义
设函数f(x) 在区间[a,b]上，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式
。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为
，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个。
根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：
特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：
定积分性质
1、当a=b时，
2、当a&b时，
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。[2]
6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点 t 在（a，b)内使
（见参考资料1）
定积分常用积分法
定积分换元积分法
（2）x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;
（3）当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,
定积分分部积分法
设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式：
（见参考资料1）
定积分分点问题
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1)，那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值.
利用这个规律，在我们了解之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数
我们选择等比级数来分点，令公比
那么“矩形面积和”
利用等比级数公式，得到
令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为（u+v)/v=u/v+1=k+1.
定积分黎曼积分
定积分的正式名称是。用自己的话来说，就是把上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个导函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？
定积分定理
定积分一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
定积分牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么
用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
定积分应用
1，解决求曲边图形的面积问题
面图形D的面积S.
2，求变速直线运动的路程
做的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。
某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。（见图册“应用”）
同济大学数学系．高等数学第六版上册．北京：高等教育出版社，2007年
．数学城[引用日期]

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