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Yt=β0＋β1X1t＋β2X2t＋ut
其中，Y，X1，X2和Z的数据已知。假设给定权数Wt，加权最小二乘法就是求下式
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己知模型&&Yt=β0+β1X1t+β2X2t+ut&&&&其中，Y，X1，X2和Z的数据已知。假设给定权数Wt，加权最小二乘法就是求下式中的各β，以使&&RSS=∑(wtut)2=∑(wtYt-β0wt-β1wtX1t-β2wtX2t)2最小。
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1己知模型&&Yi=β0+β1X1i+β2X2i+μi&&其中，Yi为某公司在第i个地区的销售额；X1i为该地区的总收入；X2i为该公司在该地区投入的广告费用(i=0，1，2，…，50)。2以某地区22年的年度数据估计了如下工业就业回归方程：&&Y=-3.89+0.51lnX1-0.25lnX2+0.62lnX3&&&(-0.56) (2.3)&&(-1.7)&&(5.8)&&=0.996，&D.W.=1.147&&其中，Y为总就业量，X1为总收入，X2为平均月工资率，X3为地方政府的总支出。3试证明对于具有形如μt=ρμt-1+εt的一阶自相关随机干扰项μt的方差与协方差为&&4某地区供水部门利用最近15年的用水年度数据得出如下估计模型：&&water=-326.9+0.305·house+0.363·pop-0.005·pcy-17.87·price-1.123·rain&&&&(-1.7)&(0.9)&&&&(1.4)&&(-0.6)&&&(-1.2)&&&(-0.8)&&=0.93，&F=38.9&&其中，water为用水总量(单位：百万立方米)，house为住户总数(单位：千户)，pop为总人口(单位：千人)，pcy为人均收入(单位：元)，price为价格(单位：元/ 100立方米)，rain为降雨量(单位：毫米)。
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确认密码：Y=ALαKβ=AL1-βKβ=AL(Kβu)e
YK=A()βeu
两边取对数
K=lnA+βlnL
此时上式为一元线性回归模型，不存在多重共线性问题。
二、改变变量的定义形式
在进行回归模型共线性处理时，有时要根据所分析的具体经济问题及模型的形式对解释变量重新调整，一般有如下几种方法：
（1）用相对数变量替代绝对数变量
如设需求函数为
Y=β0+β1X+β2P+β3P1+u
（7-16） 其中Y、X、P、P1 分别代表需求量、收入、商品价格与替代商品价格，由于商品价格与替代商品价格往往是同方向变动，该需求函数模型可能存在多重共线性。
考虑用两种商品价格之比作解释变量，代替原模型中商品价格与替代商品价格两个解释变量，则模型为如下形式：
Y=β0+β1X+β2(P
原模型中两种商品价格变量之间的多重共线性得以避免。
（2）删去模型中次要的或可替代的解释变量
如果回归模型解释变量间存在较严重的多重共线性，根据经济理论、实践经验、相关系数检验、统计分析等方法鉴别变量是否重要及是否可替代，删去那些对被解释变量影响不大，或认为不太重要的变量，则可减轻多重共线性。
（3）差分法
对回归模型中所有变量作差分变换也是消除多重共线性的一种有效方法。
如设原回归模型为
Yt=β0+β1X1t+β2X2t+ut
（7-18） 模型中解释变量X1t与X2t间存在多重共线性，X1t与X2t都是时间序列资料，对于t-1期
Yt-1=β0+β1X1,t-1+β2X2,t-1+ut-1
Yt-Yt-1=β1(X1t-X1,t-1)+β2(X2t-X2,t-1)+ut-ut-1
得到原模型t期与t-1期的一阶差分形式，令一阶差分为
??Yt=Yt-Yt-1???X1t=X1t-X1,t-1 ??X=X-X2t2t2,t-1????ut=ut-ut-1
可以得到一阶差分模型：
?Yt=β1?X1t+β2?X2t+?ut
（7-21） 这里的解释变量不再是原来的解释变量而是解释变量的一阶差分，即使原模型中存在严重的多重共线性，变换后的一阶差分模型一般也可以解决此类问题。
值得注意的是，差分变换法也有一定的负面作用。由于?ut=ut-ut-1，?ut-1=ut-1-ut-2 ，而?ut与?ut-1,?ut-2等必然相关，因此差分变换法在减少多重共线性的同时，却带来了随机扰动项序列相关问题。
三、主成分法
主成分法是通过线性变换，将原来的多个指标组合成相互独立的少数几个能充分反映总体信息的指标，从而在不丢掉重要信息的前提下避开变量间共线性问题，便于进一步分析。在主成分分析中提取出的每个主成分都是原来多个指标的线性组合。比如有两个原始变量X1和X2，则一共可提取出两个主成分：
?Z1=b11X1+b21X2
（7-22） ??Z2=b12X1+b22X2
原则上如果有n个变量，则最多可以提取出n个主成分，但如果将它们全部提取出来就失去了该方法简化数据的意义。一般情况下提取出2-3个主成分（已包含了90%以上的信息），其他的可以忽略不计。
2、基本原理
主成分分析的基本原理是将解释变量转换成若干个主成分，这些主成分从不同侧面反映解释变量的综合影响，并且互不相关。因此，可以将被解释变量关于这些主成分进行回归，再根据主成分与解释变量之间的对应关系，求得原回归模型的估计方程。
3、具体步骤
主成分回归的具体步骤：
（1）对原始样本数据做标准化处理，得到解释变量的相关系数矩阵R。
（2）计算R的k个特征值λ1&λ2& &λk，以及相应的标准化特征向量u1,u2, ,uk。
（3）利用特征值检验多重共线性。模型存在多重共线性时，至少有一个特征值近似地等于零，不妨设λm+1,λm+2, ,λk近似为零，这表明解释变量之间存在k-m个线性相关关系。
（4）设多元线性模型为Y=b0+b1X1+b2X2+ +bkXk+μ，标准化后的解释变量X1,X2, ,Xk的k个主成分为
?z1=u11X1+u12X2+ +u1kXk??z2=u21X1+u22X2+ +u2kXk
（7-23） ? ???zk=uk1X1+uk2X2+ +ukkXk
其中zi互不相关，并且zm+1,zm+2, +zk近似为零。将标准化的被解释变量Y关于m个主成分z1,z2, ,zm进行回归，得
^=a^1z1+a^2z2+ +a^mzm
（5）根据主成分与解释变量之间的关系式（7-23），将其代入主成分回归方程式（7-24），求得用标准化数据表示的X1,X2, ,Xk回归方程：
^X+β^X+ β^X
（7-25）^=βY 1122kk
系数βi与原模型中参数bi之间的关系为
bi=SYβi(i=1,2, ,k)
（7-26） Si
其中，SY,Si分别为Y和βi的标准差，由此可以计算出原回归模型中的参数，进而得到
^+b^X+b^X+ +b^X
（7-28）^=b Y 01122kk
四、岭回归估计
岭回归分析实际上是一种改良的最小二乘法，是一种专门用于共线性数据分析的有偏估计回归方法。如果回归模型的假定得不到满足，则β的OLS估计的优良性质将遭到严重破坏，如果诸X之间有完全的共线性，则它们的回归系数是不确定的，并且它们的标准误没有定义；如果有高度共 12
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Yt和X3 的散点图
根据以上散点图可以看出，Yt和X1t、X2t、X3t都呈线性关系，因此可以将模型设定为三元一次线性方程。
设定的线性回归模型为
Yt =β0 +β1X1t +β2X2t +β3X3t +ut
三、模型的估计与检验
采用最小二乘估计法对模型进行回归得到：
Yt = －.t +0.t +0.t
t =（-1.062002）（18.4927） （11.94437） （4.707723）
R2=0.998383
F = DW = 1.688141
（一）经济意义检验：
模型估计结果说明，在假定其他变量不变的情况下，当年的居民消费支出每增加1亿元，国内生产总值就会增长1.258491亿元；在假定其他变量不变的情况下，当年的固定资产投资总量每增加1亿元，国内生产总值就会增长0.784224亿元；在假定其他变量不变的情况下，进出口额每增加1亿元，国内生产总值就会增长0.156553亿元。这些都与理论分析和经验判断相一致。
（二）统计检验
1）拟合优度：以上回归结果中得到：R2=0.998383，Adjusted R2=0.998210，这说明该模型对样本的拟合非常好。
2）F检验：针对H0：β1=β2=β3= 0，给定显著性水平α=0.05，在F分布表中查出自由度为3和26的临界值F0.05(3,26) =2.98。以上回归结果中，F=＞F0.05(3,26) =2.98，应拒绝原假设H0：β1=β2=β3= 0，说明回归方程显著，即“居民消费支出X1t”、“ 固定资产投资总量X2t”和“进出口额X3t”等变量联合起来对“国内生产总值Yt”有显著影响。
3）t检验：分别针对H0：βj= 0 (j=1,2,3,),给定显著性水平α=0.05，查t分布表得到自由度为26临界值t0.025(26)=2.06。以上回归结果中，与^β1、^β2、^β3对应的t统计量分别为18.437、4.707723，其绝对值均大于t0.025(26)=2.06，这说明分别都应当拒绝H0：βj= 0 (j=1,2,3)，也就是说，当在其他解释变量不变的情况下，解释变量“居民消费支出X1t”、“固定资产投资总量X2t”、“进出口额X3t”分别对被解释变量“国内生产总值Yt”都有显著的影响。
（三）计量经济学检验
1）多重共线性检验：先采用相关系数矩阵的方法观察多重共线性。Yt、X1t、X2t、X3t的相关系数矩阵如表2：
相关系数矩阵
由相关系数矩阵可以看出，各解释变量之间的相关系数较高，可能存在严重的多重共线性。
但是，较高的相关系数并不十分可靠，可用F统计量进行检验。设原假设H0：β1、β2、β3中任意一个或两个为零，分别有以下回归结果，见图4―图9：
Redundant Variables: X1T
F-statistic
Prob. F(1,26)
Log likelihood ratio 145.5198
Prob. Chi-Square(1)
β1=0的F检验结果
Redundant Variables: X2T
F-statistic 784.6296
Prob. F(1,26)
Log likelihood ratio 103.1914
Prob. Chi-Square(1)
β2=0的F检验结果
Redundant Variables: X3T
F-statistic
Prob. F(1,26)
Log likelihood ratio 23.98659
Prob. Chi-Square(1)
β3=0的F检验结果
Redundant Variables: X1T X2T
F-statistic
Prob. F(2,26)
Log likelihood ratio 172.5348
Prob. Chi-Square(2)
β1=β2=0的F检验结果
Redundant Variables: X2T X3T
F-statistic
Prob. F(2,26)
Log likelihood ratio
Prob. Chi-Square(2)
β2=β3=0的F检验结果 0.0000
Redundant Variables: X1T X3T
F-statistic
Prob. F(2,26)
Log likelihood ratio 156.8832
Prob. Chi-Square(2)
β1=β3=0的F检验结果
显然前三个F统计量都远远大于临界值F0.05(1,26) =4.23，后三个F统计量都远远大于临界值F0.05(2,26) =3.37。所以，拒绝所有原假设，即不能从模型中剔除任何解释变量。
再采用方差扩大因子法检验。分别以X1t，X2t，X3t做被解释变量，做对其余解释变量的辅助回归可得：
R12= 0.934465,VIF1=1/(1- R12)=7.887679, VIF1＜10，说明解释变量“ 居民消费支出”与其他解释变量之间没有严重的多重共线性。
R22=0.929449, VIF2=1/(1- R22)=7.346189, VIF2＜10，说明解释变量“固定资产投资总量”与其他解释变量之间没有严重的多重共线性。
R32=0.925135, VIF3=1/(1- R32)=6.938422, VIF3＜10，说明解释变量“进出口额”与其他解释变量之间没有严重的多重共线性。
总之，通过采用F统计量检验和方差扩大因子法检验，都推翻了较高的相关系数矩阵所引起的多重共线性假象，证实该模型确实没有存在多重共线性。
2）异方差检验：用White检验。检验结果表明NR2 = 30×0.495482 = 14.86446,在α=0.05下，查x2分布表，得临界值x20.05（9）= 16.919＞NR2 =14.86446，所以该模型不存在异方差。
3）自相关检验：在该模型中，DW =1.688141。对于样本容量为32， 3个解释变量，5%的显著性水平，查DW统计表可知，dl = 1.21,du =1.65,模型中du＜ DW＜ 4-du。因此，该模型中不存在自相关。这一点也可从残差图中看出，残差图如图11：
所以，该模型估计的最终结果为：
Yt = －.t +0.t +0.t
t =（-1.062002）（18.4927） （11.94437） （4.707723）
R2=0.998383
F = DW = 1.688141
这说明，在假定其他变量不变的情况下，当年的居民消费支出每增加1亿元，国内生产总值就会增长1.258491亿元；在假定其他变量不变的情况下，当年的固定资产投资总量每增加1亿元，国内生产总值就会增长0.784224亿元；在假定其他变量不变的情况下，进出口额每增加1亿元，国内生产总值就会增长0.156553亿元。
四、模型结论与政策评价
（一）模型结论
1）通过以上对模型的回归和检验，可以看出，居民消费支出、固定资产投资和进出口额对国内生产总值的影响很大，拟合也很好，证实了“三驾马车”的重要地位和作用。在检验过程中曾根据各变量间较高的相关系数怀疑解释变量之间存在多重共线性，但是在现实生活中，居民消费支出、固定资产投资和进出口之间本身就有一定的间接相关性，三者是作为不同的指标参与国内生产总值的统计。因此，不能简单的通过相关系数高就断定多重共线性的存在，从而剔除任何解释变量。当然，通过F检验和方差扩大因子法及时纠正了相关系数的影响，使模型的拟合没有受到影响。
2）居民消费支出对国内生产总值的影响很大。同样是增加一亿元，居民消费支出所带动国内生产总值的增加额能达到1.258491亿元，比固定资产投资和进出口额带动的增加额都大。可以看出，消费是带动国内生产总值增长的最重要的因素，对国内生产总值的贡献率也最高。
3）固定资产投资对国内生产总值的影响也很突出。虽然没有居民消费支出对国内生产总值的贡献率高，但是这并不代表固定固定资产的对国内生产总值的拉动就小，每增加一亿元的固定资产投资，将拉动国内生产总值增加0.784224亿元。
4）进出口额对国内生产总值的影响也变得日益显著。出口是一种国外需求，自然能带
动国内生产总值的增加，但是进口可以引进先进的设备、技术和管理经验，虽然要支付一定的外汇，但是，在长期来看是一种固定资产投资和无形资产投资，对国内生产总值的增长也将产生重要的影响。
(二)、政策评价
研究结果显示了投资、消费、进出口贸易对我国经济增长的拉动作用，通过分析得出了“消费才是我国经济增长的持久拉动力”的主要结论。虽然消费对GDP增长的拉动作用越来越明显，但是我们还应该看到与世界其他一些国家相比，我国居民的最终消费率偏低，属于典型的高储蓄、低消费的国家，以上数据显示出我国消费需求仍然不足，存在较大的增长潜力，我们应采取相应措施，增加居民的收入，特别是低收入者的收入,不断提高城乡居民的收入，同时要有效缩小居民收入差距，提高消费倾向，从而提高消费水平。；坚持城乡居民消费结构的升级；提高居民的社会保障水平,建立健全社会保障制度。良好的社会保障制度，可以更好的解决居民的住房、医疗、养老、失业救济等问题的后顾之忧，减少居民的储蓄量，增加消费支出; 发展消费信贷；启动农村消费市场；建立符合国情的市场化、国际化的消费政策体系加强投资立法和执法，为投资主体提供充分的法律保护;加快政府部门的职能转换;实行公平合理的税收政策;适度扩大进口，提高进口增长率，充分发挥进口对经济增长的积极作用;大力推动先进技术的进出口，加速经济增长的转型加快出口产业的技术进步，不断提高制成品的技术和资本含量，不断增加有世界影响的“中国品牌”等。通过以上措施的实施，增加消费，完善消费结构，并且在以发展消费为重心的基础上，兼顾投资、进出口贸易，保持三者协调发展，从而拉动经济持续、健康、稳定的发展。
参考文献：
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(4)雷辉.我国固定资产投资与经济增长的实证分析〔J〕.国际商务――对外经贸大学学报，2006(2).
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(6)中华人民共和国国家统计局.中国统计年鉴2012〔J〕.北京：中国统计出版社，2012
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