求极值的方法与技巧；极值一般分为无条件极值和条件极值两类；无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，；一、求解无条件极值的常用方法；1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值；fxx(x0?y0)?A?fxy(x0?y0)?；则f(x?y)在(x0?y0)处是否取得极值的条；(1)AC?B2&gt
求极值的方法与技巧
极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；
条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法
1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型 定理1(充分条件)
设函数z?f(x? y)在点(x0? y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令
fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?
则f (x? y)在(x0? y0)处是否取得极值的条件如下：
(1) AC?B2&0时具有极值? 且当A&0时有极大值? 当A&0时有极小值；
(2) AC?B2&0时没有极值；
(3) AC?B2?0时可能有极值? 也可能没有极值。
极值的求法：
第一步 解方程组fx(x? y)?0? fy(x? y)?0? 求得一切实数解? 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x0? y0)? 求出二阶偏导数的值A、B和C。
第三步 定出AC?B2的符号? 按定理1的结论判定f(x0? y0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
应注意的几个问题：
⑴对于二元函数z?f(x? y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；
⑵AC?B2?0时可能有极值? 也可能没有极值，还需另作讨论；
⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
例1求函数z?(x2?y2)e?(x2?y2)的极值。
??z22?(x2?y2)?2x(1?x?y)e?0???x解 令?
22?z??2y(1?x2?y2)e?(x?y)?0???y
得驻点(0,0)及x2?y2?1. 22?2z又由2?[2(1?y2?3x2)?4x2(1?x2?y2)]e?(x?y) ?x
??4xy(2?x2?y2)e?(x?y) ?x?y
2?[2(1?x2?3y2)?4y2(1?x2?y2)]e?(x?y) ?y
?2zA?2?x(0,0)?2z?2, B??x?y(0,0)?2z?0,
C?2?y?2 (0,0)
??B2?AC??4?0,A?0
故f(0,0)?0为极小值。 ?2z由于A?2?x??4x2e?1,
?2zC?2?y??4xye?1,
x2?y2?1??4y2e?1
??B2?AC?0，此时有通常的方法无法判定。
令x2?y2?t(t?0)，则z?te?t，由
得驻点t?1. dz?e?t(1?t)?0 dt
d2z又2?(t?2)e?tdtt?1t?1??e?1?0
2故z?te?t在t?1处取极大值，即函数z?(x2?y2)e?(x
大值z?e?1.
?y2)在圆周x2?y2?1上取极
2．对于三元及更多元的函数定理1并不适用，而在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决。
定义1 设n元函数f(X)?f(x1,x2,?xn)在X?(x1,x2,?,xn)T?Rn的某个邻域内
??f(X)?f(X)?f(X)?有一阶、二阶连续偏导数。 记?f(X)??,,?,?, ?f(X)称为?x?x?x12n??
函数f(X)在点X?(x1,x2,?,xn)T处的梯度。
满足?f(X0)?0的点X0称为函数f(X)的驻点。
??2f(X)?2?x1?
????2??f(X)
??x?x?n1?2f(X)?2f(X)????x1?x2?x1?xn?? ???22?f(X)?f(X)??2??xn?x2?xn???2f(X)?定义3
H(X)????x?x???ij?n?n
称为函数f(X)?f(x1,x2,?xn)在点X?Rn处的黑塞矩阵。显然H(X)是由f(X)的n2个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵。
000T定理2(极值存在的必要条件) 设函数f(X)在点X0?(x1,x2,?,xn)处存在一阶
偏导数，且X0为该函数的极值点，则?f(X0)?0。
定理3(极值的充分条件) 设函数f(X)在点X0?Rn的某个邻域内具有一阶、二阶??f(X0)?f(X0)?f(X0)?连续偏导数，且?f(X0)??,,?,??0 ?x2?xn???x1
则(1)当H(X0)为正定矩阵时，f(X0)为f(X)的极小值
(2)当H(X0)为负定矩阵时，f(X0)为f(X)的极大值
(3)当H(X0)为不定矩阵时，f(X0)不是f(X)的极值。
应注意的问题：
利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.
例1 求三元函数f(x,y,z)?x2?2y2?3z2?2x?4y?6z的极值。
解 先求驻点，由
?fx?2x?2?0?
?fy?4y?4?0 得x??1,y??1,z?1
??fz?6z?6?0
所以驻点为P,?1,1)。 0(?1
再求(Hessian)黑塞矩阵
因为fxx?2,fxy?0,fxz?0,fyy?4,fyz?0,fzz?6
?200??，可知H是正定的，所以f(x,y,z)在P(?1,?1,1)点取得极小040所以H??
0????006??
值：f(?1,?1,1)??6.
当然，此题也可用初等方法f(x,y,z)?(x?1)2?2(y?1)2?3(z?1)2?6求得极小值?6，结果一样。
二、求解条件极值的常用方法
1．代入法化为无条件极值问题
从一道错误的例题谈条件极值的代入法[1] (这里全文引用)
同济大学出版的教材(高等数学(第二版下).上海:同济大学出版社,1998.8)在介绍条件极值时举了这样的一道例题:
“例10:某公司的两个工厂生产同样的产品,但所需成本不同,第一个工厂生产x单位产品和第二个工厂生产y单位产品时的总成本是C(x,y)?x2?2y2?5xy?700。若公司的生产任务是500个单位产品,问如何分配任务才能使总成本最小?
解:根据题意,是求函数C(x,y)?x2?2y2?5xy?700在在条件x?y?500下的极值。作辅助函数F(x,y)?x2?2y2?5xy?700??(x?y?500)
?Fx?2x?5y???0?令?Fy?4y?5x???0，解得x?125,y?375，所以根据题意知,当第一个工厂生??x?y?500
产125个单位产品、第二个工厂生产375个单位产品时总成本最小。”
上述解法,粗看起来好象没有什么毛病,但却是经不起推敲的。简单的验证可知,
375)本例求出的总成本为C(125,?
C(500?,0)5但却不是最小,譬如,25,就比求得的“最小值”小了一半还要多!事实上,点(125,375)不是最小值点,而是最大值点。究其原因,主要是解题方法选择不当造成的。我们知道,求解自变量不超过三个的条件极值问题,既可以用拉格朗日乘数法,也可以用代入法。用拉格朗日乘数法虽然很方便,但极值点的判定却比较麻烦。对这个问题,几乎所有的教材都没有作出正面的回答,只指出了用这种方法求出的极值点是“可能的”极值点,“至于如何确定所求得的点是否为极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定”。然而许多实际问题中,根据问题本身的性质却无法确定究竟是极大还是极小。在这种情况下,采用代入法则可以有效地解决极值点的判定问题。本例中,由于总成本究竟是最小还是最大并不好判定,因而采用代入法求解就可以避免产生上述的错误。
若令y?500?x并代入目标函数C(x,y)?x2?2y2?5xy?700中,可得总成本C??2x2?500x??x?500)，于是问题转化为求函数C??2x2?500x?500700在区间[0,500]上的最小值。
由C???4x?500,可得惟一驻点x=125(显然是极大值点),计算该驻点及两端点处的函数值,有C(125)=531950
C(0)=500700
C(500)=250700 比较即知x=500是所求之最小值点,此时y=0。即把500个单位产品的生产任务都分配给第一个工厂生产时总成本最小。
应注意的几个问题：
⑴在讨论二元函数z?f(x,y)在约束条件g(x,y)?0的极值问题时，如果由g(x,y)?0能解x(或)y就把求二元函数的条件极值转化为求一元函数的极值了。使用代入法时，减少了变量，给判别极值带来了方便，但有时在约束条件
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【高数极值问题】把驻点代入D明显大于1在区域外呀?为什么在边界上?gx又是哪来的?为什么要连立fx与D得gx?这题用拉格朗日解不行吗?
palnewmanm4670
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由闭区域上连续函数的性质,必有最值,且最值在极值点或区域的边界上去的.此题答案步骤为先求f(x,y)的极值点,再求边界上的最值.关于所求的极值点(1/2,0),答案的意思并不是它在边界上,同学你仔细看的话男看到题目中用了一个“；”的分号,这个极值点显然在区域的内部.答案接着要求边界上的最值,这一步其实就是条件极值,这里是可以用拉格朗日乘数法来求的,但是注意到边界方程为2x^2+y^2=1,可以直接把y^2=1-2x^2带入f(x,y),就变成了求x^2+x-1的最值,于是答案就设了g(x)=x^2+x-1,就转化为求g(x)的最值,当然要先确定定义域,答案中也先求了,最终把求出的g(x)的最值对应的点带入f(x,y)并和f(x,y)的极值点比较,进而得到f(x,y)的最值.
请问gx的定义域是如何求出的呢？
有边界方程2x^2+y^2=1，可得-1/2^(1/2)≤x≤1/2^(1/2)，即题目中所得的x的范围。
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