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SAT的第一课首先介绍了这门课的目的和使用教材，接下来讲解了三个习题。第一题是关于解线性方程的，第二题是一道应用题，最后是一个图形题。
本视频主要讲了4道选择题，分别如下：第4题，由柱状图标求差异；第5题，表达式的整体代换；第6题，不规则面积的求取；第7题，详解等式隐含的信息。
这一集视频首先大致对SAT例题的第7题做了回顾，接着详细讲解了第8、9、10三道题目。第8题涉及分数的计算，第9题是幂指数的相关性质，第10题则侧重于语言的转述。
本视频主要讲了3道选择题，分别如下：第11题，利用圆周长的相关知识，求曲线长度，第12题，已知f(x)是线性函数，及0、1、2处的函数值，求解函数值之间的关系表达，第13题，已知序列的前几项以及项与项的关系，求序列某一项的函数值。
本视频主要讲了2道选择题，分别如下：第13题，继续讲这个题：已知序列的前几项以及项与项的关系，求序列某一项的函数值，第14题，已知直线表达式，求该直线关于x轴对称的直线表达式。
本视频主要讲了2道选择题，分别如下：第15题，根据年龄趋势图，求解一个数是另一个数的百分比，第16题，求解柱形体积，分五个选项，逐一验证每个选项。
本视频讲了2个题目。第一个需要一点小技巧，就是将一个表达式看做一个整体；第二个是根据一个图来判断几种说法哪些是对的，图中有一个点和一个阴影区域，此题需要注意的是点是区域内，而且考虑要周全。
本视频主要讲了2道选择题，分别如下：第19题，液量介于两个值之间的表达式表示，第20题，连续整数的求和运算。
本视频开始讲第六部分，主要讲了4道选择题，分别如下：第1题，利用等式两边对应相等求解x值，第2题，使用勾股定理求斜边，第3题，遍历每个选项，找满足条件解，第4题，根据结构关系求解圆的面积。
本视频主要讲了2道选择题，分别如下：第5题，使用列表法，将所有可能全部列出，实现概率求解，第6题，逐项找出符合条件的选项。
本视频主要讲了4道选择题，分别如下：第7题，报纸发送员完成一定收入额，求解其所需的时间。第8题，数轴上点的数值估计。第9题，表达式的整体代换。第10题，理解增长率的含义求生产量。
本视频主要讲了4道选择题，分别如下：第11题，利用三角形求解三角形的周长可能值。第12题，已知5个连续整数和为1000，求取整数最大值。第13题，根据坐标系中的图形，求解未知函数某个点的函数值。第14题，简单组合的应用求解。
本视频主要讲了3道选择题，分别如下：第15题，利用等边三角形和角度的等分关系求解对角的角度。第16题，已知操作关系表达式，求解等式变量值。第17题，已知二次曲线被直线所截的坐标点，求取直线可能的最大斜率。
本视频主要讲了2道选择题，分别如下：第17题，继续解释最大斜率的求取。第18题，已知上班来回的速度和总时间，求解家距单位的距离。
这一节视频主要讲了测试一的第1至第5题，前4道题分别考察了解方程、应用、代数乘法以及几何图形中的角度关系等方面。第5题只讲述了一部分内容。
这一节视频先是接上一节讲了第5题，讲解了两种根据时间安排计算初始时间的解决方案。然后讲解了第6至8题，分别涉及了中值、代数应用以及代数方程等方面的知识。
该视频从测试一的第9题开始，讲解了根据几何图形求解未知数。第10则是涉及百分数的代数方程问题。接着就是关于几何图形面积比例的第11题。这3道题均给出了详尽的解答方法和答案。
这一节视频讲解了第12题至14题。它们分别涉及了不等式、平均值的应用、代数方程等方面的内容。
本视频主要讲了2道选择题，分别如下：第15题，两条简单的一元二次方程曲线相交于两点，已知两交点的距离，求解其中一个方程参数。第16题，已知两个集合及它们的交集，求解它们不相交部分的表示方法。
本视频开始讲第3部分，459页，主要讲了4道选择题，分别如下：第1题，已知3b＋1＜10，求解下列哪一个选项不能是b的值；第2题，已知2的4x次方等于16，求解x的值；第3题，求解r－2比r＋5大多少？第4题，求解将一个没有顶部的箱子，各侧面展平后的图形形状。
本段视频从书的第460页开始讲解了5、6、7、8四个小题。
本段视频从第461页开始讲解了第9到16题。
本段视频讲解了四个选择题，中值问题，三角问题，求最大质因数问题和直线斜率的问题。
本段视频从第463页开始讲解了17、18、19三题。
本段视频讲解了第20题。
SAT测试2第6部分1
SAT测试2第6部分2
SAT测试2第6部分3
[第29课]SAT测试2第6部分4
SAT测试2第6部分4
SAT测试2第6部分5
SAT测试2第6部分6
SAT测试2第9部分1
SAT测试2第9部分2
SAT测试2第9部分3
SAT测试2第9部分4
这段视频主要讲了五个问题，第一个是解简单方程，第二个找数列中元素关系，第三个是简单的排列组合问题，第四个是关于函数的性质，第五个是弹簧拉力和方程的问题。
这段视频讲诉了五个习题，第一个是关于线段中点和线段长度的关系问题，第二个是变量代换的问题，第三个是关于车辆乘坐人数用字母表示的问题，第四个是关于平行线和角度的问题，最后一个是关于函数值的问题。
本段视频讲述了个问题，第一个是关于圆周和半径关系的问题，第二个是关于概率和比例的问题，第三个是函数求值的问题，第四个是自然数对的问题。
本段视频讲述了三个习题，第一个是关于三角形角和边长的问题，第二个是表达式化简的问题，第三个是关于直线方程和直线交点的问题。
本段视频讲述了三个习题，第一个是关于整体代换的，第二个是关于解三角形的，第三个是关于求余数的。
本段视频讲述了五个习题，第一个是简单的整体代换，第二个是关于正方体中两点之间距离的问题，第三个是将条形图转化成扇形图的问题，第四个是解方程，最后一个是已知坐标点求面积的问题。
这段视频讲述了四个习题，第一个是变量代换的问题，第二个是关于勾股定理的应用题，第三个是关于二次函数图像对称性的问题，第四个是简单的乘法应用题。
这段视频讲述了五个习题，第一个是解绝对值方程组的问题，第二个是简单的求角度问题，第三个是中值问题，第四个是已知函数求值问题，第五个题由于时间原因没有讲完。
本段视频讲述了5个习题，第一个是求角大小的问题，第二个比例相加运算的问题，第三个是通过方程求比例的问题，第四个是数轴和方程结合的问题，第五个是求坐标轴上两点之间距离的问题，最后一题没讲完。
这是一个第18题剩下求解过程的视频，讲述了该题怎样代数以及进行因式分解，最终求得未知数的解
这是一个讲练习题的视频，一共讲了7道题（第七题没讲完）。题目包括：集合、开方、分数、几何角度、图表差值、函数、对数。
接着上次视频讲完了第7题，关于幂指数连成的题。第8题讲了一道关于圆的坐标问题。第9题讲了关于将不等式转化为绝对值方程的问题。第10题是求圆柱体积，没讲完。
讲了10到14题，题目内容涵盖圆柱体积、抽象定义式、函数表示、奇偶数判断不等式成立。
本课讲了两道题，一个题内容是根据散点图确定直线，另一个是有关面积的计算。
本段视频主要讲解了第1到第6题。
本段视频讲解了第7到第10题。
本段视频讲述了4个习题，第一题是关于移动次数的问题，第二题是体积倍数问题，第三题是求数字大小的问题，第四题是关于直线斜率的问题。
本课讲了三个习题。第一题是有关时区的换算，第二个是求面积的题，第三个是函数图象的平移。
本课讲了两个题，第一个是继续上次没讲完的函数平移问题，第二个是一个求角度的题。
本课讲了两个题，第一个是一个求比例的问题，第二题是一道定义新运算的问题。
本段视频讲述了6个习题，第一个是简单的三元一次方程求解，第二个是根据题目写出关系式，第三个是求两个数的平均值，第四个是关于判断是否平方数的问题，第五个是关于圆和三角形的问题，最后一个是求平方式因子的问题。
本段视频讲了5个例题，第一个是求三角形面积，第二个是幂次运算问题，第三个是根据条件找合适数字的问题，第四个是比例计算的应用题，第五个是关于增长比例的问题。
本段视频讲述了3个习题，第一个是已知矩形周长求面积，第二个是关于x一元一次方程的应用题，第三个是整体代换求值的问题，第四个是在坐标轴中求圆半径的问题，最后一个是求比例的问题。
这段视频讲述了2个习题，一个是关于立方体连线有多少条的问题，另一个是通过坐标求曲线方程的问题。
本段视频讲述了7个习题，第一个是简单的解方程，第二个是简单的排列组合问题，第三个是根据题目描述写出方程，第四个是关于圆半径的应用题，第五个是根据比例求未知数的值问题，第六个是平行线和角度关系的问题，最后一个是根据条件求直线方程问题。
本段视频讲述了4个习题，第一个已知x和函数的值求参数的值，第二个讨论了平方数末位的规律，第三个已知概率求总数，第四个讨论了平均值的性质，最后一个求图形面积。最后一个习题没有讲完。
这段视频主要讲了4个习题，第一个是继续上一个视频中的，是一个求图形周长的问题，第二个是根据函数图象求函数值的问题，第三个是求两个数相乘最值问题，最后一个是求三角形中的角度问题。
本段视频比较短，讲述了最后一个习题，这个题是一个利用等比数列求比例的问题。
本段视频讲述了5个习题，第一个是个比例问题，第二个是式子化简问题，第三个是根据条件求未知数范围问题，第四个是已知三点坐标求周长问题，最后一个是根据数列写出通项问题。
本段视频讲述了个习题，第一个是根据数列关系求未知数的问题，第二个是关于已知角来确定直线的问题，第三个是解方程组，第四个是关于中值和平均值的关系。
这个视频讲述了四个问题，第一个是关于平均数与中值的问题；第二个是关于方程求解的问题；第三个是列方程与解方程的问题；第四个是根据图表解题。
这个视频讲述了三个问题，第一个是根据已知条件解曲线（具体来说是抛物线）方程的；第二个是关于代数方程的，有三个未知数，已知其中两个的值，求另一个的值；第三个是根据角的关系求角度的问题。
这个视频讲述了三个问题，第一个是组合概率问题，是关于可能性的；第二个是关于同心圆的，已知圆环面积，求解半径；第三个是关于质数，因数，质因数分解的。
这个视频讲述了一个问题，根据已知条件求函数表达式的，再根据解出的函数表达式来求曲线各点的函数值。
这个视频讲述了五个问题，第一个是关于正整数整除的问题；第二个是关于对称性的；第三个是应用类的题，根据已知条件列要求的量的表达式；第四个是求解由相同的小正方形砌成的图形的面积；第五个是关于图表的。
本段视频讲述了4个习题，第一个是关于求平均值的问题，第二个是关于三角形求内角的值的问题，第三个是关于一个奇偶性分情况讨论的问题，第四个是求m分钟s秒一共等于多少秒的问题。
本段视频讲述了4个习题，第一个是解二次方程的问题，第二个是幂次降低问题，第三个是求直线斜率问题，第四个是判断数字性质的问题。
本段视频讲述了3个问题，第一个是判断数字性质的问题，这个题上个视频已经讲过，第二个是化简方程的问题，第三个是求1到100有多少数字不是平方数。
本段视频讲述了3个习题，第一个是求直角三角形斜边长度的应用题，第二个是已知半径求圆面积之比的问题，第三个是求数列前几项和的问题。
本段视频讲述了2个习题，第一个是因式化简的问题，第二个是关于图像平移性质的问题。
本段视频讲述了6个习题，第一个是关于求概率的问题，第二个是关于等边三角形性质的问题，第三个是解方程的问题，第四个是怎么将一个负数变化成正数的问题，第五个是关于比例计算的问题，最后一个是简单的乘法计算问题。
本段视频讲述了3个习题，第一个是列出方程组解方程组的问题，第二个是根据坐标估计大小的问题，第三个化简因式的问题。
本段视频讲述了4个习题，第一个是关于根据描述列出表达式的问题，第二个是关于直线对称的问题，第三个是解二元一次方程组的问题，最后一个是关于三角形角度关系的问题。
本段视频讲述了3个习题，第一个是关于二次方程系数和图像形状的关系问题，第二个是求一个正方体中两点之间距离的问题，第三个是函数代入数值运算的问题。
本段视频讲述了4个习题，第一个是关于分数化成小数的问题，第二个是求点到原点距离的问题，第三个是求角度的问题，第四个是简单的解方程问题。
本段视频讲述了3个习题，第一个是关于指数性质的计算题，第二个是根据图像估算值的问题，第三个是利用三角形求图形边长的问题。
本段视屏讲述了5个习题，第一个是继续上个视频中最后一个问题，是关于三角形求边长的问题，第二个是简单的乘除关系问题，第三个是交叉相乘的问题，第四个是求数列中元素值的问题，最后一个是判断数轴上两点之间距离的问题。
本段视频讲述了5个习题，第一个是关于数列求和的问题，第二个是解方程的简单应用题，第三个是关于圆和扇形角度的问题，第四个是因式分解的问题，最后一个是分解图形求面积的问题（这个问题没有讲完）。
本段视频讲述了3个习题，第一个是计算图形面积的问题，第二个是关于自定义函数求余数的问题，最后一个是求平均值的问题。
本段视频讲述了5个习题，第一个题是一个填字游戏的问题，第二个是解方程的问题，第三个是关于奇数和偶数性质的问题，第四个是求三角形周长的问题，第五个是求比例的问题。
本段视频讲述了5个习题，第一题是计算面积的问题，第二题是三元一次方程组的应用题，第三题是关于比例转换的问题，第四题是曲线相交求坐标的问题，第五题是简单的列方程应用题（没讲完）。
本段视频讲述了4个习题，第一题是简单的应用题方程，第二题是根据坐标求直线方程的问题，第三题是分析表格判断对错的问题，第四题是找符合条件的数有多少的问题。
本段视频讲述了4个习题，第一题是根据已知直线图像求另一个直线方程的问题，第二题是求正方体中点和面距离的问题，第三题是判断因式性质的问题，第四题是解指数方程的问题。
本段视频讲述了3个习题，第一题是关于三条线相互交叉的顺序问题，第二题是关于中值性质的问题，第三题是求圆中一个图形的周长问题(没做完)。
本节只讲了一个问题，继续讲解了上一节最后一个没讲完的求周长的问题。
本节讲解了6个问题，第一题是不等式问题，第二题是求变量的特殊值问题，第三题是图形中的角度问题，第四题是一个方程组的应用题，第五题是一个概率问题，第六题是比例问题。
本段视频讲述了4个习题，第一题是关于三角形内角关系的问题，第二题是判断三个未知数大小的问题，第三题是求直线斜率的问题，第四题是关于绝对值的计算问题。
本段视频讲述了3个习题，第一题是根据表格写出变量关系，第二题是关于相似三角形的问题，第三题是关于函数求值的问题。
本段视频讲述了两个习题，第一题是关于比例的计算问题，第二题求图形面积的问题。
本段视频讲述了6个习题，第一题是数字集合的问题，第二题是求平均速度问题，第三题是方程整体代换问题，第四题是直线方程和图形的性质问题，第五题是求直角三角形边长问题，第六题是中值问题。
本段视频讲述了6个习题，第一题是常数代换问题，第二题是垂线斜率的问题，第三题是求比例问题，第四题是解方程问题，第五题是自定义函数代数计算问题，第六题求图形面积的问题。
本段视频讲述了4个习题，第一题是所占分数的问题，第二题是点之间连线数目的问题，第三题是解指数方程的问题，第四题是平均值问题。
本段视频讲述了2个习题，第一题是求比例的问题，第二题是函数求值的问题。
本段视频讲述了6个习题，第一个是数列求值的问题，第二个是解方程问题，第三题是求中间值的问题，第四题是排列组合问题，第五题是求表面积问题，第六题是解方程问题。
本段视频讲述了6个习题，第一题是平均值问题，第二题是求中点坐标的问题，第三题是多项式性质问题，第四题是问题描述的问题，第五题是求圆半径的问题，第六题是关于求参数值的问题。
本段视频讲述了4个习题，第一题是比较大小的问题，第二题是解方程问题，第三题是关于整除性质的问题，第四题是求角度问题。
本段视频讲述了4个习题，第一题是几个奇数的和的问题，第二题是求圆心角的问题，第三题是增长率问题，第四题是求边长比例问题。
本段视频讲述了一个题，讲述了求平行四边形斜边长的问题。
本段视频讲述了6个习题，第一题是解方程问题，第二题是求不等式的问题，第三题是根据角平分线求角度的问题，第四题是比例的问题，第五题是求周长问题，最后一题是比较大小问题。
本视频讲了7到10题 第10题没讲完 第7题讲斜率 第8题讲交点代数 第9题讲绝对值不等式
本次视频讲了10到13题 第10题讲的五角形内角和补角问题
11题讲分式方程 12题讲奇偶数 13题讲了圆的知识和求斜率问题
本视频讲了14到16题 14题讲公因式和整除问题 15题讲角度问题 16题讲因式分解问题
本次视频讲了1到4题 第1题讲的简单的成本增加乘法问题。第2题讲的根据图表找关系问题 第3题讲圆周、半径比例关系问题 第4题讲了根据绝对值式找适合点
本次视频讲了5到8题，第5题讲根据饼形图加法。第6题讲余数，第7题讲反比关系代数，第8题讲巧解方程组。
本次视频讲了9到14题。第9题讲解方程，第10题讲坐标代入方程，第11题讲应用题，第12题四边形内角和和补角，第13题讲序列和平均值，第14题讲代数。
本段视频讲解了SAT中的15到18题。
这个视频讲述了六个问题，第一个是关于求解方程的；第二个是关于表格的问题；第三个是根据三角形内角的关系求角度的问题；第四个是关于差价类的应用题，列方程，解方程；第五个是关于等边三角形边长的求解；第六个是关于天数求解的应用题。
这个视频讲述了六个问题，第一个是根据平均数列方程和解方程的问题；第二个问题涉及到维恩图解；第三个是解方程的问题，有两个未知数，用其中一个表达另一个；第四个是关于公倍数的问题；第五个涉及到平分角，对顶角等角度问题；第六个是关于平方根的问题。
本段视频讲了12到15题，第12题是根式的求解问题，第13题是几何拼图题，第14题是判断一个数是否为素数的问题，第15题是二次多项式的求解问题。
这一段视频讲了第16题到20题。第16题是求抛物线与x轴交点的问题，第17题是已知某等式求未知数的问题，第18题是求三角形三边长的几何问题，第19题是函数的自变量替换问题，第20题是根据已知条件求表达式的问题。
这段视频讲的是测试8的最后一章，一共讲了7个问题。第一题是关于组合的问题，第二题是根据题意写表达式的问题，第三题是求某事件的概率的问题，第四题是求满足某等式的两个数的取值问题，第五题是统计问题，第六题是求线段长度的问题，第七题是指数的加减问题。
这段视频讲了第8到第14题。第8题是关于弧度的问题，第9题是求使函数值为负的x的取值的问题，第10题是求立方体体积的问题，第11题指数运算问题，第12题是应用比例求三角形内角大小的问题，第13题是根据题意求表达式的问题。
本节讲了三道题，第一题是一个求角度的问题，第二题是一个方程化简求值的问题，第三题是一个应用题。
学校：可汗学院
讲师：Salman Khan
授课语言：英文
类型：数学 可汗学院
课程简介：SAT，全称Scholastic Assessment Test，中文名称为学术能力评估测试。由美国大学委员会（College Board）主办，SAT成绩是世界各国高中生申请美国名校学习及奖学金的重要参考。本课程对SAT数学部分的习题讲述非常详细彻底，在每个section的开头，老师都会告诉观看者这些题目出现在《官方指南》的哪一页上，然后才进行讲解。作者对本视频观看者的建议是，希望观看者能先购买《SAT官方学习指南》，尽可能多地做完上面的题目，然后观看本视频对一些不会的题目进行理解，或者对忘掉内容的观看者来说，视频有助于对题目的再理解（复习）。视频由可汗学院免费提供，详见：（All Khan Academy materials are available for free at ）
扫描左侧二维码下载客户端n?DE????n?EC1??z?n?(?,?2；ADFBCE第19题；n?(x,y,z)与平面C1DE垂直，则有；（II）设EC1与FD1所成角为β，则；cos??EC1?FD1|EC1|?|FD1|?；20.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和；（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（；解（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则；12B1?(
设n?DE????n?EC1??z?n?(?,?23x?3y?0?1z??x?y??x?3y?2z?0?2,z)?z2(?1,?1,2),其中z?0A1D1B1C1z2取n0?(?1,?1,2),则n0是一个与平面C1DE垂直的向量,?向量AA1?(0,0,2)与平面CDE垂直,?n0与AA1所成的角?为二面角C?DE?C1的平面角?cos???tan??n0?AA1|n0|?|AA1|22??1?0?1?0?2?21?1?4?0?0?4?63向量ADFBCE第19题 n?(x,y,z)与平面C1DE垂直，则有
（II）设EC1与FD1所成角为β，则 cos??EC1?FD1|EC1|?|FD1|?1?(?4)?3?2?2?21?3?2?(?4)?2?4 20. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N． （Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。 解（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则12B1?(0,0,1)， 31,,022)， M（0，2，0）,C(0,1,0), N (0,1,3) , A (???????????????3112AM?(,0,0)MB1?(0,?,1)MN?(0,,)22,23 所以,1?0?0?(?)?0?1?022因为 ????????????????????MB1?AM所以,同法可得MN?AM。 ??????????MB1,MNB故为二面角1―AM―N的平面角 ??????????MB1?MN5?.????????????????????5MB1?MNMB,MN1cos??????????MB1?AM?3第20题 ∴＝ 5故二面角??????????（Ⅱ）设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由n?AM,n?MN得 B1―AM―N的平面角的余弦值为5。 ?3x?0??2???1y?2z?0?3?2?x?0?4?y??z?3?设 ?????MB1与n的夹角为a，则3n?(0,?,1)4 , 故可取?????MB1?n25cosa???????3MB1?n。
所以到平面AMN的距离为。 21. 如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （Ⅰ）求BF的长； （Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离. 解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0）， A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）. ∵AEC1F为平行四边形， ?由AEC1F为平行四边形,?由AF?EC1得,(?2,0,z)?(?2,0,2),?z?2.?F(0,0,2).?EF?(?2,?4,2).于是|BF|?26,即BF的长为26. （II）设n1为面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1?(x,y,1) ?x?1,4y?1?0,????n1?AE?0,?0?x?4?y?1?0即???1由?得??2x?2?0,y??.?2?x?0?y?2?0????n?AF?0,4??1 ????????CC1?n1433?????cos??????.33|CC1|?|n1|又CC1?(0,0,3),设CC1与n1第21题 B1?????MB1?cosa?52?255?1的夹角为a，则 ∴C到平面AEC1F的距离为 d?|CC1|cos??3?. ?hS?BDC1?S?BDCCC1?h?13，即直线AB1到平面BDC1的距离是13． 33，22．已知四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且2（Ⅰ）证明：面PAD?面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。 证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图25-1建立空间直角坐标系，则各PA?AD?DC?1，AB?1，M是PB的中点。 点坐标为 1A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,). 2第22题 （Ⅰ）证明：因AP?(0,0,1),DC?(0,1,0),故AP?DC?0,所以AP?DC. 由题设知AD?DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC?面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：因AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1), 故|AC|?2,|PB|?5,AC?PB?2,所以AC?PB|AC|?|PB|?105.cos?AC,PB?? （Ⅲ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在??R,使NC??MC, 11NC?(1?x,1?y,?z),MC?(1,0,?),?x?1??,y?1,z??.. 22?????????14要使AN?MC,只需AN?MC?0即x?z?0,解得??. 25可知当??12时,N点坐标为(,1,),能使AN?MC?0.555 1212此时,AN?(,1,),BN?(,?1,),有BN?MC? 由AN?MC?0,BN?MC?0得AN?MC,BN?MC.所以?ANB为 所求二面角的平面角. ?????|AN|?????30????????4,|BN|?,AN?BN??.555????????????????AN?BN2?cos(AN,BN)???????????. 3|AN|?|BN|302故所求的二面角为arccos(?).323.如图，在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形, 平面VAD?底面ABCD．
（Ⅰ）证明：AB?平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的大小． 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.
（Ⅰ）证明：不防设作A(1,0,0)， 则B(1,1,0)， V(,0,2132)，
13AB?(0,1,0),VA?(,0,?) 22第23题
由AB?VA?0,得AB?VA，又AB?AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直.
∴AB?平面VAD.
（Ⅱ）解：设E为DV中点，则E(,0,4 134)，
EA?(34,0,?34),EB?(34,1,?34),DV?(132,0,2). 由EB?DV?0,得EB?DV,又EA?DV. 因此，?AEB是所求二面角的平面角， cos(EA,EB)?EA?EB|EA|?|EB|?217, 解得所求二面角的大小为arccos217. 24．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中 AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1.
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离. 解：（I）建立如图28-1所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0) A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3)设F(0,0,z).
∵AEC1F为平行四边形， ?由AEC1F为平行四边形,?由AF?EC1得,(?2,0,z)?(?2,0,2),?z?2.?F(0,0,2). ?EF?(?2,?4,2).于是|BF|?26,即BF的长为26.24-1
（II）设n1为平面AEC1F的法向量， 显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1?(x,y,1) 由???n1?AE?0,得?0???x?4?y?1?0?n1?AF?0,??2?x?0?y?2?0 即??4y?1?0,?x?1,2x?2?0,???1 ????y??4.又CC1?(0,0,3),设CC1与n1的夹角为?，则
cos??CC1?n1|CC1|?|n1|?33?1?116?1?43333. ∴C到平面AEC1F的距离为 d?|CC1|cos??3?. 25．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1，中，AD?AA1?1,AB?2，点E在棱AD上移动.（1）证明：D1E?A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； ?
（3）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为. 4D1C1A1DB1C解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系，设AE?x， 则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0) （1）因为DA1,D1E?(1,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1?D1E. A第29题EB（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)， ??n?AC?0,AD1?(?1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n?(a,b,c)，则? ??n?AD1?0,??a?2b?0?a?2b也即?，得?，从而n?(2,1,2)， ?a?c?0a?c??A1DD1zC1B1Cy所以点E到平面ACD1的距离为 h?|D1E?n||n|?2?1?23?13A第29-1题EBx. （3）设平面D1EC的法向量n?(a,b,c)，∴CE?(1,x?2,0),D1C?(0,2,?1),DD1?(0,0,1), ??n?D1C?0,由????n?CE?0,?2b?c?0
令b?1,?c?2,a?2?x， ??a?b(x?2)?0.∴n?(2?x,1,2).
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