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第十二章 第六讲 正弦级数和余弦级数
第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数第六讲 正弦级数和余弦级数一、奇函数与偶函数的傅里叶级数 二、函数展开成正弦级数或余弦级数 三、小结、思考题《高等数学》
精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 定理(1)当周期为 2π 的奇函数 f ( x ) 展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 an = 0 ( n = 0,1, 2, )2 π bn = ∫ f ( x ) sin nxdx π 0 ( n = 1, 2, )《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数(2)当周期为 2π 的偶函数 f ( x ) 展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 2 π an = ∫ f ( x ) cos nxdx ( n = 0,1, 2, ) π 0 bn = 0 ( n = 1, 2, )证明(1) 设f ( x )是奇函数 ,1 π a n = ∫? π f ( x ) cos nxdx = 0 π 奇函数( n = 0,1,2,3, )《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数1 π 2 π bn = ∫? π f ( x ) sin nxdx = ∫0 f ( x ) sin nxdx π π 偶函数 ( n = 1,2,3, )同理可证(2) 定理证毕.∞ n =1定义 如果 f ( x ) 为奇函数,傅氏级数 ∑ bn sin nx称为正弦级数.a0 ∞ 如果 f ( x ) 为偶函数, 傅氏级数 + ∑ a n cos nx 2 n =1称为余弦级数.《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数例 1 设 f ( x ) 是 周 期 为 2π 的 周 期 函 数 , 它 在 [ ? π , π ) 上的表达式为 f ( x ) = x , 将 f ( x ) 展开成 傅氏级数.解 所给函数满足狄利克雷充分条件.在点x = ( 2k + 1) π( k = 0, ±1, ±2, )处不连续 ,f ( π ? 0) + f ( ? π + 0) π + ( ? π ) 收敛于 = = 0, 2 2在连续点 x ( x ≠ ( 2k + 1) π )处收敛于 f ( x ),《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数∵ x ≠ ( 2k + 1) π 时 f ( x )是以2π为周期的奇函数 ,y和函数图象π? 3π ? 2π?π0π2π3πx?π∴ an = 0,( n = 0,1,2, )《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数2 π 2 π bn = ∫0 f ( x ) sin nxdx = ∫0 x sin nxdx π π 2 x cos nx sin nx π = [? + ]0 2 π n n 2 2 ( n = 1,2, ) = ? cos nπ = ( ?1)n+1 , n n 1 1 f ( x ) = 2(sin x ? sin 2 x + sin 3 x ? ) 2 3 ∞ ( ?1)n+1 = 2∑ sin nx . n n =1( ?∞ & x & +∞; x ≠ ± π, ± 3π, )《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数1 1 1 1 y = 2(sin x ? sin 2 x + sin 3 x ? sin 4 x + sin 5 x ) 5 2 3 4 观 察 两 函 y= x 数 图 形《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数例 2 将周期函数 u( t ) = E sin t 展开成傅氏级数, 其中 E 是正常数.解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个 数轴上连续.∵ u( t )为偶函数 ,∴ bn = 0,( n = 1,2, )? 2π?πu( t )E0π2πt2 π 2 π 4E a0 = ∫ u( t )dt = ∫0 E sin tdt = , π 0 π π《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数2 π 2 π a n = ∫0 u( t ) cos ntdt = ∫0 E sin t cos ntdt π πE π = ∫ [sin( n + 1) t ? sin( n ? 1) t ]dt π 0E ? cos( n + 1) t cos( n ? 1) t ? = ?? + n+1 n?1 ? π? ?0π( n ≠ 1)4E ? , ?? 2 = ? [( 2k ) ? 1]π ? 0, ?当n = 2k 当n = 2k + 1( k = 1,2, )《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数2 π 2 π a1 = ∫0 u( t ) cos tdt = ∫0 E sin t cos tdt = 0, π π4E 1 1 1 1 u( t ) = ( ? cos 2t ? cos 4t ? cos 6 t ? π 2 3 15 35∞ 2E cos 2nx = ]. [1 ? 2∑ 2 π n =1 4 n ? 1)( ?∞ & t & +∞ )《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓设f ( x )定义在[0, π ]上, 延拓成以2π为周期的 函数 F ( x ). ? f ( x ) 0 ≤ x ≤ π 且F ( x + 2π ) = F ( x ), 令 F ( x) = ? , ? g( x ) ? π & x & 0 ?奇延拓 . 则有如下两种情况 ? ?偶延拓《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数奇延拓: g ( x ) = ? f ( ? x )f ( x) 0& x≤ π ? ? 则F ( x ) = ? 0 x=0 ? ?? f (? x ) ? π & x & 0?πy0πxf ( x )的傅氏正弦级数f ( x ) ? ∑ bn sin nxn =1∞(0 ≤ x ≤ π )《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数偶延拓:g( x ) = f ( ? x )y0≤ x≤ π f ( x) ? 则F ( x ) = ? ? f (? x ) ? π & x & 0 f ( x )的傅氏余弦级数 a0 ∞ f ( x ) ? + ∑ a n cos nx 2 n =1?π0πx(0 ≤ x ≤ π )《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数例 3 将函数 f ( x ) = x + 1 ( 0 ≤ x ≤ π ) 分别展开成 正弦级数和余弦级数.解 (1)求正弦级数.对f ( x )进行奇延拓 ,2 π 2 π bn = ∫0 f ( x ) sin nxdx = ∫0 ( x + 1) sin nxdx π π 2 = (1 ? π cos nπ ? cos nπ ) nπ ?2 π + 2 当 n 1 , 3 , 5 , ? = ?π n =? 2 ?? 当n = 2,4,6, ? n《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数π 2 1 x + 1 = [( π + 2) sin x ? sin 2 x + ( π + 2) sin 3 x ? ] π 2 3 (0 & x & π )π π 1 2 1 y = [( π + 2) sin x ? sin 2 x + ( π + 2) sin 3 x ? sin 4 x + ( π + 2) sin 5 x ] π 2 3 4 5y = x+1《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数(2)求余弦级数. 对f ( x )进行偶延拓 , 2 π a0 = ∫ ( x + 1)dx = π + 2, π 0 2 π a n = ∫0 ( x + 1) cos nxdx π 0 2 , 4 , 6 , = 当 n ? 2 ? = 2 (cos nπ ? 1) = ? 4 当 n 1 , 3 , 5 , ? = n π 2 ? ? n π π 4 1 1 x + 1 = + 1 ? (cos x + 2 cos 3 x + 2 cos 5 x + ] π 2 3 5(0 ≤ x ≤ π )《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数π 1 1 4 1 y = + 1 ? (cos x + 2 cos 3 x + 2 cos 5 x + 2 cos 7 x ) π 2 3 5 7y = x+1《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数三、小结1、基本内容: 奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余 弦级数;非周期函数的周期性延拓; 2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅氏级数;b.在[0, π ]上, 展成周期为 2π的傅氏级数唯一 ;c .在[? π , π ]上连续且只有有限个极 值点时 , 级数处处收敛于 f ( x ).《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数思考题设f ( x )是在[a, b]上定义的函数 , 应如何选择 A, B, 才能使 F ( t ) = f ( At + B )成为[ ? π, π]上 定义的函数 .《高等数学》精品课程教学团队第十二章 无穷级数第六讲 正弦级数和余弦级数思考题解答应使A( ? π ) + B = a, b?a 即A = , 2π Aπ + B = b,b+a B= . 2《高等数学》精品课程教学团队
章节题目 第八节 正弦级数和余弦级数 奇函数和偶函数的傅里叶级数 函数展开成正弦级数或余弦级数 内容提要 函数展开成正弦级数或余弦级数 重点分析 如何将函数延拓...第十二章 级数修改_理学_高等教育_教育专区。高数答案第十二章 无穷级数 §1 ...x ? 1 ( 0 ? x ? ? ) 分别展成正弦级数与余弦级数 . ? 自测题答案 ...05第五章 不定积分 06第六章 定积分 07第七章 定积分的应用 08第八章 常...12.会将定义在 [0, l ] 上的函数展开成正弦级数或余弦级数. 1 重点 正项...第12章 无穷级数(2015)_理学_高等教育_教育专区。高等数学习题集 第十二章 ...h 分别展开为正弦,余弦级数,并写出正弦,余弦级数的和函 ?0 h ? x ? ? ...§1 ? 第十二章 无穷级数 常数项级数的概念和性质 ) D 5 3 1、 3n 设...2 ? (0 ? x ? ? ) 展开成正弦级数和余弦级数 2 2 ? [? n 3 ? (...第十二章复习_理化生_初中教育_教育专区。第十二章 无穷级数 目的: 1.理解常数...级数,会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会 写出傅里叶级数...高等数学练习题答案 第六... 11页 20财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...an , ? bn 三、选择题 1.A 2.C 3.B §12.8 正弦级数与余弦级数 一...第十二章 无穷级数 高等数学 同济六版 下高等数学 同济六版 下隐藏&& 《高等...[ 0 , l ] 上的函数展开为 正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数...高等数学学习指导 第十二章 无穷级数 一、基本要求及重点、难点 1.基本要求 (...叶级数,会 将定义在 ( 0, l ) 上的函数展开为傅立叶正弦级数或余弦级数。...第12章答案_理学_高等教育_教育专区。高数上习题册答案 §1 ? 第十一章 无穷...? 分别展开成正弦级数和余弦级数 . ?0 , h ? x ? ? 自测题答案 一、1...
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将函数f(x)=2x^2分别展开成正弦级数和余弦级数
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正弦级数和余弦级数
&&一、奇函数和偶函数的傅里叶
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
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你可能喜欢第15章（之1）（总第81次）；教学内容：§15.1引言，§15.2周期函数的傅；**1．已知以2π为周期的函数f(x)的傅里叶系；g(x)的傅里叶系数αn，βn必满足关系式；(A)αn=an，βn=bn；(C)αn=an，；(B)αn=?an，βn=?bn；(D)αn=?；（）；a0∞解因为f(x)=+∑(ancosnx+bn；2n=1；g(x)=?f(?
第15章（之1）（总第81次）
教学内容：§15.1引言，§15.2周期函数的傅立叶级数展开（周期为2π）
**1．已知以2π为周期的函数f(x)的傅里叶系数为an,bn，并设g(x)=?f(?x)，则函数
g(x)的傅里叶系数αn，βn必满足关系式
(A)αn=an，βn=bn；(C)αn=an，βn=?bn；答案（D）．
(B)αn=?an，βn=?bn；(D)αn=?an，βn=bn．
a0∞解因为f(x)=+∑(ancosnx+bnsinnx)，所以
g(x)=?f(?x)
=??∑[ancos(?nx)+bnsin(?nx)]=?+∑(?ancosnx+bnsinnx)．
可知正确的选项为（D）．
**2．设函数f(x)的周期为2π，在区间[?π,π]上表达式为f(x)=?
?π≤x&0,?0,
?sin2x,0≤x≤π.
则其傅立叶级数+∑(ancosnx+bnsinnx)中的系数bn=____________．
，bn=0(n≠2)．2
sin2xsinnxdx=
[cos(n?2)x?cos(n+2)x]dx
1?sin(n?2)xsin(n+2)x?=?=0，n≠2，?2π?n?2n+2??0
sin2xsin2xdx=
(1?cos4x)dx=
注本来傅立叶系数有统一的公式，不用一个一个系数分别计算，但这里在使用统一公式计算bn时，遇到了分母为n?2的情况，所以b2必须得另行计算．
**3．若区间[a,b]上的正交函数系中每个函数之平方在区间[a,b]上的积分值均为1，就称之
为[a,b]上的标准（或规范）正交函数系．试证：
?11π1π12π12π
,cosx,sinx,cosx,sinx,?，?
lllllll?2l
x,sinx,??ll?
是区间[?l,l]上的标准正交函数系．
?cosxdx=?sinx=0，
lkπl2ll2l?l
?sinxdx=?(?)cosx=0，
lkπl?l2ll2l
1nπ1mπ11lm+nn?m
sinxcosxdx=?∫[sinπx+sinπx]dx=0，
?llll2ll当n≠m时
1nπ1m1l?n+mn?m?
cosxcosπxdx=∫?cosπx+cosπx?dx=0
?lll2l?lll?
1nπ1mπ1ln?mn+msinxsinxdx=∫[cosπx?cosπx]dx=0
∴此函数系是正交函数系．
l1?1nπ?2nπ?cosx=cos?∫?l?∫?ll?ll?2l
2n1+cosπx1l1ll2n2nπl=∫=1+∫cosπxd(x)=1l?l22l?l2nπll
?1nπsin??l?ll
sinxdx=?lll
∴此正交函数系是标准正交函数系．
**4.f(x)是以2π为周期的周期函数，根据它在一个周期(0,2π]上的定义式
将它展开成Fourier级数．
解由Fourier级数系数的计算公式，可得
0&x≤π,π&x≤2π,
，dx=1a=n∫0
f(x)cosnxdx=
cosnxdx=0，
f(x)sinnxdx=
0,n=2,4,6,?,
1?(?1)n??==?2
,n=1,3,5,?,nπ??nπ
12?sin3xsin3xsin3x?
+?sinx+++?++??,0&x&π,π&x&2π．2π?333?
**5.f(x)是以2π为周期的周期函数，根据它在一个周期
[?π,π]上的定义式
?π≤x&0,?0,
?sinx,0≤x≤π,
将它展开成Fourier级数．
解：由Fourier级数系数的计算公式，a1
=0,当n=0,2,3,4,5,???时，有
an=∫sinxcosnxdx
cos(n?1)xcos(n+1)x?(?1)?1，
[sin(n+1)x?sin(n?1)x]dx==1??=
2π?n+1?πn2?1?n?1?0
所以，a2n?1=0,a2n=
sinxsinxdx=,∫0π21π
bn=∫sinxsinnxdx=0,n=2,3,???
由f(x)满足Fourier级数收敛于f(x)的条件，故对x∈[?π,π],
1sinx2∞cos2nx
．f(x)=+?∑2
π2πn=14n?1
***6．已知以2π为周期的函数f(x)在[?π,π]的表达式是f(x)=cosax，试将f(x)展开成傅里叶级数[必须分两种情况来进行讨论：（1）a是整数；（2）a不是整数]．解：（1）若a是整数，则其傅里叶级数就是f(x)=cosax（2）若a不是整数，则
(?π≤x≤π)．
1π12sinaπ
，f(x)dx=cosaxdx=sinax=
?ππ?πaπaπ?π
n≠0时，an=
cosaxcosnxdx=∫?ππ1
∫?π2[cos(a+n)x+cos(a?n)x]dx
1?sin(a+n)xsin(a?n)x?(?1)n+12asinaπ
，=+=22??2π?a+na?n??π(n?a)π
cosaxsinnxdx=
∫[sin(n+a)x+sin(n?ax)]dx
?cos(n+a)xcos(n?a)x???=0,??n+an?a???π
sinaπ(?1)2asinaπ
∴f(x)=+∑cosnx,22
∞sinaπ(?1)2asinaπ
∴f(x)=+∑cosnx,x∈[?π,π].22
**7．试将周期为2π的函数f(x)展开成傅里叶级数，f(x)在(0,2π)上的表达式是
f(x)=x?π．
12πx?π=u1π
解：a0=(x?π)dxudu=0，
2π1π12πan=(x?π)cosnxdx=xcosnxdx?cosnxdx=0,
2π12π12π
bn=(x?π)sinnxdx=xsinxdx?sinnxdx
xsinnxdx=?0nπ
xcosnx?cosnxdx=???00n??
?sinnx,x∈(0,2π)nn=1
**8．试将周期为2π的函数f(x)展开成傅里叶级数，f(x)在(0,2π)上的表达式是：
x,0&x&,?2?π3π?πf(x)=?,≤x&,
?2π,3π≤x&2π．?2?
f(x)dx=?0π?
?3?3(2π?x)dx=π，4?2?
f(x)cosnxdx
3?π?π2π
22cosnxdx+3(2π?x)cosnxdx??∫xcosnxdx+π02??2?2?1n3n
=2(cosπ+cosπ?2)
bn=∫f(x)sinnxdx
π0π3?π2π1?2
=?∫xsinnxdx+π2sinnxdx+3(2π?x)sinnxdx?=0
0π?2?22??
∴f(x)=π+∑2cosπ+cosnπ?2?cosnx,x∈(0,2π)
822?n=1nπ?
第15章（之2）（总第82次）
教学内容：15.2.3周期2L的函数；15.3有限区间上函数的傅立叶级数展开
**1．下列各函数f(x)都是定义在区间(0,2π)上函数，则与它们对应的傅立叶级数的形式的特点为
（A）函数f(x)=2πx的傅立叶级数一定是一个正弦级数；（B）函数f(x)=x的傅立叶级数一定是一个余弦级数；
（C）函数f(x)=2πx?x的傅立叶级数，既不是正弦级数，也不是余弦级数；（D）函数f(x)=π?x的傅立叶级数一定是一个正弦级数．答案（D）
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答　奇;　偶.
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