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线段的调和分割在证明两角相等中的应用
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所有判断角相等,线段相等的定理
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1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等  4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ? 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一 点平分,那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕? 84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS） 94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆. 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r ? 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 相等 131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ? ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公*弦 137定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积√3a／4 a表示边长
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初三复习资料--两线段相等与两角相等两直线平行与两直线垂直--完全总结
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你可能喜欢A.；3B.；3C.2D.；EB；PFC；BFC；⒉⑴⒉⑵⑶在△ABC中，∠B=2∠C，则（）；A.2AB=ACB.2AB&ACC.2AB；⑷在⊙O中，如果AB?2CD，那么弦AB与CD的；F是AC延长线上的点，且AE=CF；求证：⑴∠E=∠F；；⑵BE=DF；⒋如图，△ABC中，高BD、CE交于点F，且CG；DFA；????；FB；BC；第4题第5题
⒉⑵ ⑶在△ABC中，∠B=2∠C，则（
D. 不能确定
⑷在⊙O中，如果AB?2CD，那么弦AB与CD的大小关系是(
) A. AB=2CD
D. 不能确定 ⒊ 如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点，
F是AC延长线上的点，且AE=CF
求证：⑴∠E=∠F；
⒋ 如图，△ABC中，高BD、CE交于点F，且CG=AB，BF=AC，连接AF，
求证：AG⊥AF
⒌ Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上任意一点，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为F、E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并说明之. ⒍ 如图，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于C，AD⊥DC，垂足为D，CE⊥AB，垂足E
求证：CD=CE.
⒎ 已知：如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D. 延长DA
交△ABC的外接圆于点F.
⑴求证：FB=FC
⑵若FA?AD?FB的长
⒏ 梯形ABCD中AB//CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所 在直线交BC于N. 在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论 组成一个正确的命题，并证明这个命题. ①AD=BC
③AM=DM 【探索创新】
⒈ 探求：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和， 并证明：距离之和是一个定值
已知：如图，AB=AC，P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
探求证明：PE＋PF为定值. 分析 探索定值
由P在BC上任意性知，当P移动到顶点C时， PE即为C到AB的距离，PF为0， 此时PE+PF等于C到AB的距离.
故作高CD，猜想PE+PF等于一腰上的高.
证明定值 截长或补短法 过点P作PG⊥CD于G，易证得矩形DEPG，
得PE=DG；同时易证△CPG≌△PCF，得PF=CG， ∴PE+PF=DG+CG=CD.
题中有多个与高有关垂直关系，又AB=AC，联想面积法
连结AP，SΔABC?
AB?CD，SΔABP?AB?PE，SΔAPC?AC?PF 222
∵SΔABC=SΔABP+SΔAPC，即AB?CD= AB?PE+ AC?PF
∴PE＋PF= CD.
运用动点移动的方法构造特殊的图形位置，是探索定值问题常用的行之有效的方法 ⒉⑴求证：等腰三角形底边延长线上的任意一点到两腰的距离之差是定值 ⑵求证：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值 【答案点击】
⒊证明△ABE≌△CDF，或连结ED、FB，证明平行四边形EBFD；
⒋证明△CAG≌△BFA，∴∠G=∠BAF，∵∠
∠GAE=90°，∴∠BAF+∠GAE=90°，∴AG⊥AF；
⒌△MEF是等腰Rt△，连结AM，证△AME≌△BMF
⒍ 连结AC，由DC切⊙O于C，得OC⊥DC，∵AD⊥DC，∴AD//OC，可证得AC是∠DAB的角平分线，得CD=CE
⒎⑴∵∠DAC=∠FBC，∠EAD=∠FAB=∠FCB，∵∠DAC =∠EAD，∴∠FBC=∠FCB
⑵证明△FBA∽△FDB，得FB=6
⒏题设①②
结论③ 证明略
⒎ 怎样证明关于线段的几何等式
【重点解读】
线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等. 证明线段倍分关系的定理和方法有：三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式，一般转化为证明线段的相等关系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法. 证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质.
证明线段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明；如果明显没有等量线段可替换，可找中间比.
证明线段等积式的一般思路：先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幂定理），如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式，再按比例式的证明方法证明.
证明过程中常用的定理和性质有：比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理.
【典题精析】
例1已知：E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结 AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，
连结OF，求证：AB=2OF.
分析 题中平行四边形条件可利用平行四边形的性质，
且中点条件居多，可考虑用中位线
证明：连结BE，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AO=CO， ∵CE=DC ∴AB∥＝CE， ∴四边形ABEC为平行四边形， ∴BF=FC，∴OF∥AB，
线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理.
例2已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线， BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
求证：⑴若B、C两点分别在AE的异侧，BD=DE+CE；
⑵若B、C两点分别在AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如
何，证明你的猜想.
分析 ⑴一条线段等于两线段之和，这里可找到与BD相等的线段AE，
易证得△BAD≌△ACE，同时AD=CE，故BD=AE=AD+DE= CE + DE（等量代换）， 问题得证.
⑵同理，易证得△BAD≌△ACE，故BD+CE=AE+AD=DE.
例3如图，△ABC冉佑谠玻D是弧BC的中点，AD交BC于E， ABAD
要证明这四条线段成比例，
可放入两三角形△ABD、△AEC，证三角形相似， 条件有两个：∠D=∠C，
∠BAD=∠CAD
证明：∵D是弧BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD
∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC
例4已知：如图，等腰△ABC于D， 交AC于E，DF⊥AC，垂足为F
求证：DF2?FE?FA
分析一把线
证两三角形相似
证明一 连接AD、DE，
∵AB为直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在△DEF和△ADF中，∠AFD=∠DFE=90°
∠DEF=∠ABC=∠C，∠ADF=90°－∠DAC=∠C， ∴∠DEF=∠ADF，∴△DEF∽△ADF，
，即DF2?FE?FA.
分析二 由射影定理知DF?CF?FA，转化为证明EF=FC
证明二 连结AD、DE，
∠ADC=∠DFC=90°，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，，即DF2?CF?FA.
在△DEF和△DCF中，∠DFE=∠DFC=90°， ∠DEF=∠ABC=∠DCF，DF=DF， ∴△DEF≌△DCF，∴EF=FC， ∴DF?FE?FA
分析三 证明DF是切线，由切割线定理即得
证明三 连结OD，则OB=OD，∴∠ODB=∠OBD=∠ACB，∴OD∥AC， 又DF⊥AC，∴OD⊥DF，DF是⊙O的切线，∴DF2?FE?FA
解题时，要充分利用已知条件，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之间的内在联系的运用.
例5已知：BC为圆O的直径，AD⊥BC垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E 交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且A为弧BF的中点. 求证：⑴AE=BE
⑵AH?BC=2AB?BE.
⑴AE、BE在同一三角形中，易证等角对等边 ⑵等积式中的四条线段分散在很多三角形中，
可将它们相对集中在两三角形△AFH、△BCH中，
AB转化为AF（等弧对等弦）；
系数2的思考：Rt△ABH中， AE=BE，反之易证BH=2BE
证明：⑴略，
⑵连结AF，
可证得△AFH∽△BCH， AFAH
又可证得AB=AF，
AE=EH=BE，BH=2BE， ABAH∴，∴AH?BC=2AB?BE ?
例6如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是AC上一点（点P不
与A、C两点重合），连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，下列四个结论：
⑵∠EPC=∠APD
⑶AD2?DF?DP ⑷
CH2?正确的有_____.
⑴直径AB垂直于弦CD，由圆的轴对称性得AD?AC；
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