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一道线性代数题,讨论a,b取何值时方程有唯一解,无穷解或无解.ax1-x2+x3=12x1+bx2+x3=2X1+3bx2+x3=6可是该初等变化到什么情况呢？我把系数矩阵化成这样可以吗？5 0 2a -1 10 5b 1
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系数矩阵满秩时有唯一解,系数矩阵和增广矩阵秩相同且不满秩时有无穷解,系数矩阵比增广矩阵的秩少1时无解,你自己判断就行了,建议你把矩阵那里再看一下,这道题是基础题,你应该能独立解决才行
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STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMay,2006
矩阵方程解的结构
(安徽财经大学信息与计算科学系?安徽蚌埠?233041)
要?利用初等变换法可以求得一般矩阵方程的通解.
中图分类号?O151.21
关键词?矩阵方程?解的结构?初等变换?
对于矩阵方程AX=B(XA=B),当A可逆时,其解为X=AB(X=BA).我们可以通过矩阵的初等变换(AB)
(EAB)来实现求解此种类型的矩阵方程.但当A是奇异矩阵,或A不
是方阵、以及当矩阵方程AX=B无解时,采用上述的方法就变得无能为力了.对于这种情况我们通
常采用先确定未知矩阵X的行数及列数,利用矩阵的乘法,逐步求出未知阵X所有的元素,或判定矩阵方程无解,来实现求解此种类型的矩阵方程.此种方法虽然可行,但太复杂、太繁琐.尤其当矩阵A与B的行、列数比较大时,问题显得尤为突出.为此我们对矩阵方程解的情况进行讨论.
定义1?设A=(aij)m?k,B=(bij)m?n,称A为为矩阵方程AX=B的系数矩阵,称分块矩阵(AB)为矩阵方程AX=B的增广矩阵,记作A=(AB).
定理1?设A=(aij)m?k,B=(bij)m?n,矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A).
a12a22 am2
AX=(?1?2 ?k)
1ka2k ax12x22 xk2
x1nx2n x=(?1?2 ?n)=B
x11x21 xk1
x12x22 xk2
x1kx2n x,B=
b11b21 bm1
b12b22 bm2
b1nb2n b?1??2? ??k?????????????????1??2? ??k
?1=x11?1+x21?2+ +xk1?k
?2=x12?1+x22?2+ +xk2?k
?n=x1n?1+x2n?2+ +xkn?k
必要性?因为AX=B有解,故xij?i=1,2, ,k;j=1,2, ,n存在,因而?,?1,?2, n可以
由?1,?,?2, ,?k线性表示.即?1,?2, ,?1,?2, ,?n与?1,?2, k等价,所以r(A)=r(A).
充分性?r(A)=r(A),即r(?,?,?n)=r(?1,?2, k,?1,?2, 1,?2, ,?k)
不妨设?1,?,?k)是?1,?,?r也是?1,2, r(r!2, ,?k一个极大线性无关组,因而?1,?2, ?2,,,2,?n.由,,?2 ,?k,?1,?2,,与
第9卷第3期?????????????唐晓静:矩阵方程解的结构
?1,?,?,?2, k等价,故?1,?2, n可以由?1,?2, ,?k线性表示,即
c11c12 c1n?1=c11?1+c21?2+ +ck1?k
?2=c12?1+c22?2+ +ck2?k
?n=c1n?1+c2n?2+ +ckn?k
c2n c就是矩阵方程AX=B的解.
下面我们来研究矩阵方程AX=B解的结构.
定义2?设A=(?ij)m?k,B=(bij)m?n,对于矩阵方程AX=B(1),称AX=O?是矩阵方程(1)
的导出组,其中O是一个k?1矩阵.
由于对于齐次线性方程组AX=O,当r(A)=r&k时,方程组的基础解系存在,且基础解系所含解的个数为k-r.于是显然有以下结论:
设齐次线性方程组AX=O的基础解系为 1, 2, , k-r,则齐次矩阵方程AX=Ok?n的通解为:
( 1, 2, , k-r)
c21c22 c2k-r
cn1cn2 cnk-,其中cij(i=1,2, ,k-r;j=1,2, ,n)为任意常
定理2?对于矩阵方程AX=B?(1),当r(A)=r(A)时,方程组(1)有解,且其通解为:
c11c21 cn1
R+( 1, 2, , k-r)
r;j=1,2, ,n)为任意常数.
其中R是矩阵方程(1)的一个特解
, 1, 2, , k-r是其导出组的一个基础解系,cij(i=1,2, ,k-证明?因为r(A)=r(A),则
a11a12 a1kb11A=
b12 b1nb22 b2n
bm2 bc1r+1c2r+1 crr+100 0
c1kc2k crk
d11d12d21d22
dr1dr20000
d1nd2n drn00 0
b21 bm100 100 0
行变换[注]
高等数学研究???????????????2006年5月
由(*)知,化简后的矩阵方程为
ErCr?(k-r)
即Xr?n=Dr?n-Cr?(k-r)X(k-r)?n取X(k-r)?n=O,则R=
Dr?nO(k-r)?n
O(m-r)?(k-r)
Xr?nX(k-r)?n
Dr?nO(m-r)?n
为矩阵方程AX=B(1)的一个特解,若其导出组AX=O的基础
解系为 1, 2, , k-r,则矩阵方程AX=B(1)的通解为:
R+( 1, 2, , k-r)
其中cij(i=1,2, ,k-r;j=1,2, ,n)为任意常数.
由此,我们得到解矩阵方程的步骤:
cn1cn2 cnk-,
1)写出矩阵方程的增广矩阵A;
2)对A施行初等行变换,将其化成行简化阶梯形矩阵,3)判定矩阵方程是否有解,若有解,确定自由未知量;4)求出其导出组的基础解系及原方程组的一个特解;5)写出原方程组的通解.
例1?解矩阵方程AX=B,其中
3/解?对矩阵方程的增广矩阵施行初等行变换将其化成行简化阶梯形矩阵
21-1-2272-1
0-301-3/7(A?B)=
10-32--1-=3x3-x5
其导出组为:x2=-5x3+2x5,故 1=
13-100-3/72/7
此时x3,x5为自由未知量,故R=
-原矩阵方程的一个特解,9/0
是导出组的一个基础解系.
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