定积分求导问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-05-24 13:44 标签： 微积分问题
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用二倍角公式带换的时候要改变积分上下限么 突然脑袋抽了。。。
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关于一个2次定积分问题：
扑倒总攻邂坩V
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容易看出积分区间是个矩形,相对于x轴和y轴都对称被积函数同时是x和y的偶函数,因此根据对称性原式=4∫[0->h]∫[0->L] (x²+y²)^(1/2) dxdy当h=0或者L=0时,积分为0；当h,L都不为0时可以把积分化到极坐标形式原式=4∫[0->arctan(h/L)]∫[0->L/cosθ] r²drdθ+4∫[arctan(h/L)->π/2]∫[0->h/sinθ] r²drdθ=4∫[0->arctan(h/L)] L³/(3cos³θ)dθ+4∫[arctan(h/L)->π/2] h³/(3sin³θ)dθ=(4L³/3)∫[0->arctan(h/L)] 1/(1-sin²θ)²dsinθ - (4h³/3)∫[arctan(h/L)->π/2] 1/(1-cos²θ)²dcosθ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~下面来求∫1/(1-t²)²dt型的不定积分欲求它,首先要求∫1/(1-t²)dt∫1/(1-t²)dt=(1/2)[∫1/(1-t)dt+∫1/(1+t)dt]=(1/2)ln|(1+t)/(1-t)|+C∫1/(1-t²)dt=t/(1-t²)-∫2t²/(1-t²)²dt=t/(1-t²)+2[∫(1-t²)/(1-t²)²dt -∫1/(1-t²)²dt]-∫1/(1-t²)dt=t/(1-t²)-2∫1/(1-t²)²dt∫1/(1-t²)²dt=(1/2)[t/(1-t²)+∫1/(1-t²)dt]=t/2(1-t²)+(1/4)ln|(1+t)/(1-t)|+C~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~设函数f(t)=t/2(1-t²)+(1/4)ln|(1+t)/(1-t)|原式=(4L³/3)[f(sin(arctan(h/L)) - f(sin0)] - (4h³/3)[f(cos(π/2)) - f(cos(arctan(h/L))]易知f(0)=0,sin(arctan(h/L))=h/√(h²+L²),cos(arctan(h/L))=L/√(h²+L²)原式=(4L³/3)f(h/√(h²+L²)) + (4h³/3)f(L/√(h²+L²))故结果为：1.当h=0或L=0时,积分为0；2.当h,L都不为0时：积分=(4/3)Lh√(h²+L²)+(1/3)L³ln[(√(h²+L²)+h)/(√(h²+L²)-h)]+(1/3)h³ln[(√(h²+L²)+L)/(√(h²+L²)-L)]
想问一句,楼主你有答案吗?
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