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山东省郓城一中2012届高三理科数学三轮复习：专题4 函数与导数
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资料类型：试卷
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资料概述与简介
数学专题四
函数与导数
【考点精要】
考点一. 函数定义域。考查函数的概念、单调性、解不等式等，借此考查计算能力。如求函数的定义域。
考点二. 函数的解析式。通过两种形式考查函数的解析式：一种是客观题中通过分段函数考查函数性质，另一种是主观题中通过解析式的设问，考查函数的性质。如：定义运算为：，如：则函数的值域为（
考点三. 函数的定义与函数的奇偶性。利用函数的定义与函数的奇偶性考查函数的相关性质。如设函数是定义在R上的奇函数，且函数的图像关于直线对称，则
考点四. 导数及函数的综合性质。以函数的单调性为重点，考查导数及函数的综合性质。如：（福建）已知函数的图像在点处的切线方程为，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间。
考点五. 函数的奇偶性、对称性。以函数的周期性为依托，综合考查函数的奇偶性、对称性等各种性质，以及对思维能力、推理能力、运算能力的考查。（广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间上，只有。（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。
考点六. 函数与导数的综合应用。以指数式、对数式的运算和指数函数与对数函数的性质等基础知识为考点，考查分析运用条件、探索运算方向、选择运算公式、确定运算程序的思维能力和运算能力。（全国卷）若，则（
考点七. 导数、函数的单调性。以函数的值域、极值与最值为考点，考查导数、函数的单调性等性质。如：已知函数，（Ⅰ）求的单调区间和值域；设，函数若对任意，总存在，使成立，求的取值范围。
考点八. 函数或导数的模式构建。以函数知识为平台，以向量知识为工具，借助其他知识，考查学生思维能力、逻辑推理能力、模式构建能力与运算能力。如：在直角坐标平面中，已知点，其中n是正整数，对平面上任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，…，为关于点的对称点。对任意偶数n，用n表示向量的坐标。
1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.?
对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论.?
2．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.?
求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即＝0的解x0；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.?
3．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①＞0是递增的充分条件而非必要条件（＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据＞0（或＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.?
函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.
【典题对应】
例1.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
命题意图：主要考察函数最值、导数的实际应用。
解析： （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，
则, 故，又OP＝10－10ta，所以，
所以函数关系式为。
②若，则，所以，所求函数关系式为。
（Ⅱ）选择函数模型①，，令得，因为，所以，
当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当时，。这时点位于线段的中垂线上，且距离边处。
名师坐堂：此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点. 　解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.
例2.(2009·山东理)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
命题意图：本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
解析:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.
名师坐堂：求函数的最值问题当不能巧妙应用均值不等式、二次函数、三角函数的有界性、函数的单调性时，这时往往要借助导函数进行求解，利用导函数求解时要注意定义域、导函数方程的解、以及实际问题中自变量的取值。
1. 数学思想能够把具体问题中数量间的关系用函数关系表示出来，转化为关于函数的最值或性质问题。在进行转化时切忌转化不全面，在求解时往往忽视实际问题对变量参数的限制条件。
2. 不等式恒成立问题，常转化为函数的最值问题，通过求函数的最值得出的取值范围。一般地，证明不等式通常转化为证明从而将问题转化为问题。
3.在求函数闭区间上的函数的最值的方法：在求得函数值的基础上，将其与端点处的函数值加以比较，最大者即为所求最大值，最小者即为所求最小值。在生产建设和科学技术中，“用料最省”、“体积最大”等实际问题，常常可以用求函数的最大值与最小值的方法解决。解决问题的关键是分析实际问题得出函数解析式，利用导数工具加以解决，进而得出符合实际问题的解。
4. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
【直击高考】
1. 定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a)
④f(a)－f(－b)g(1)－g(－2)=1－2=－1.又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).即①与③成立故答案：C。
2.解析:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
3.解析：由得，
即，∴∴，∴切线方程为
4.解析：设过的直线与相切于点，所以切线方程为
即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
5．解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.
6. 解析：由题意知：在上恒成立，在上恒成立，
当时，函数取得最小值，
所以，即解得或。
7. 解析：（Ⅰ）
因为，随的变化而变化如下表：
由表可知必为最大值,∴，即，
（Ⅱ）∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，解得，
故所求实数的取值范围是。
8.解析:（Ⅰ）设容器的容积为V，
故,由于,因此
所以建造费用
（Ⅱ）由（I）得
由于,当,令
（1）当时，当r=m时，y′=0；当r∈(0,m)时，y′＜0；
当r∈(m,2)时，y′＞0.所以是函数y的极小值点，也是最小值点。
（2）当即时，
当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时
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本题第三问答案的这个自变量范围怎么看出来的？过程
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苏ICP备号-1&第二讲导数的应用；一、导入；1.理解导数的单调性；2.理解和会求函数的极值；二、知识点梳理；（三）导数的应用；1、函数的单调性；（1）导数的符号与函数的单调性：；一般地，设函数y?f?x?在某个区间内可导，则若；（2）利用导数求函数单调性的步骤；（Ⅰ）确定函数f?x?的定义域；（Ⅱ）求导数f?；（Ⅲ）令f??x??0，解出相应的x的范围；当f??x??0时，
第二讲 导数的应用
1.理解导数的单调性
2.理解和会求函数的极值
二、知识点梳理
（三）导数的应用
1、函数的单调性
（1）导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数y?f?x? 在某个区间内可导，则若f??x??0则f?x? 为增函数；若若f??x??0则f?x?为减函数；若在某个区间内恒有f??x??0 ，则在这一区间上为常函数。
（2）利用导数求函数单调性的步骤
（Ⅰ）确定函数f?x? 的定义域；（Ⅱ）求导数f??x? ；
（Ⅲ）令f??x??0 ，解出相应的x的范围
当f??x??0时，f?x?在相应区间上为增函数；当f??x??0时，f?x?在相应区间上为减函数。
（3）强调与认知
（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式f??x??0 确定的x的取值集合为A，由f??x??0 确定的x的取值范围为B，则应用A?D,B?D；
（Ⅱ）在某一区间内f??x??0 （或f??x??0 ）是函数f?x? 在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程f??x??0 的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定f??x??0 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。
（1）f?x??x3是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，f??x??0 。
（2）f?x??x在点x=0处连续，点x=0处不可导，但f?x? 在（-∞，0）内递
减，在（0，+∞）内递增。
2、函数的极值
（1）函数的极值的定义
设函数f?x? 在点x0附近有定义，如果对x0 附近的所有点，都有f?x??f?x0?，则说f?x0?是函数f?x? 的一个极大值，记作y极大值?f?x0?；
如果对x0 附近的所有点，都有f?x??f?x0? ，则说f?x0? 是函数f?x? 的一个极小值，记作y极小值?f?x0? 。
极大值与极小值统称极值
认知：由函数的极值定义可知：
（Ⅰ）函数的极值点x0 是区间?a,b?内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；
（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；
（Ⅲ）当函数f?x? 在区间?a,b? 上连续且有有限个极值点时，函数f?x? 在?a,b? 内的极大值点，极小值点交替出现。
（2）函数的极值的判定
设函数f?x? 可导，且在点x0 处连续，判定f?x0? 是极大（小）值的方法是
（Ⅰ）如果在点x0 附近的左侧f??x??0，右侧f??x??0 ，则f?x0? 为极大值；
（Ⅱ）如果在点x0 附近的左侧f??x??0 ，右侧f??x??0 ，则f?x0? 为极小值；
注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数f?x??x3的导数研究中悟出这一点。
（3）探求函数极值的步骤：
（Ⅰ）求导数f??x? ；
（Ⅱ）求方程f??x??0 的实根及f??x? 不存在的点；
考察f??x? 在上述方程的根以及f??x? 不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则f?x? 在这一点取得极大值，若左负右正，则f?x? 在这一点取得极小值。
3、函数的最大值与最小值
若函数f?x? 在闭区间上连续，则f?x? 在?a,b? 上必有最大值和最小值；在开区间?a,b? 内连续的函数f?x? 不一定有最大值与最小值。
（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。
（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。
（Ⅲ）若f?x? 在开区间?a,b? 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。
（2）探求步骤：
设函数f?x? 在?a,b? 上连续，在?a,b? 内可导，则探求函数f?x? 在?a,b? 上的最大值与最小值的步骤如下：
（ I ）求f?x? 在?a,b? 内的极值；
（ II ）求f?x? 在定义区间端点处的函数值f?a?,f?b?；
（ III ）将f?x? 的各极值与f?a?,f?b? 比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。
引申：若函数f?x? 在?a,b? 上连续，则f?x? 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：
（ I ）求出f?x? 的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；
（ II ）计算并比较f?x? 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。
（3）最值理论的应用
解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：
（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；
（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；
（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点x0 满足f??x0??0 ，并且f?x? 在点
（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）x0 处有极大
值便是最大（小）值。
三、经典例题解析
例4 在曲线C：y?x3?6x2?x?6 上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。
21例5 （1）是否存在这样的k值，使函数f?x??k2x4?x3?kx2?2x? 在区间32
（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；
（2）若f?x??ax3?x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间。
例6已知函数f?x??x5?ax3?bx?1 ，当且仅当x??1,x?1 时，f?x? 取得极值，并且极大值比极小值大4.
（1）求常数a,b 的值；（2）求
f?x? 的极值。
四、过手训练之变式训练二
1. 函数f?x??ax3?x?1 有极值的充要条件为（
2. 过原点作曲线y?e 的切线，则切点坐标为，切线的斜率为
3. 曲线y?x 在点3x1直线x?a 所围成的三角形面积为 ，?a,a??a?0? 处的切线与x轴，63
4.曲线y?2?
5.（1）已知121x 与y?x3?2 在交点处的切线夹角是 24 f?x??ax3?6ax2?b??1?x?2? 的最大值为3，最小值为-29，求a,b 的值；
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4.4函数的极值和最值
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你可能喜欢什么是罗尔中值定理,还有函数极值?(不是最值)【manson吧】_百度贴吧
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什么是罗尔中值定理,还有函数极值?(不是最值)收藏
多数互联网小贷公司不知道：这样的系统，能一站解决风控、授信和放款！
有没有例题分析啊?还有极值的第一第二充分条件?求数学帝
我只知道令F'(n)=0,求导数了
选了文科学校还让我们做理科题,有毛病
快试试吧，可以对自己使用挽尊卡咯~◆◆
你来m吧问数学?
呵呵,习惯了，别的吧不熟
快试试吧，可以对自己使用挽尊卡咯~◆◆
极值点是该点附近最大或小的点（注意是附近），在函数导数为零的点为可疑点，通常可疑点就是极值点，但有时不是，比如f(x)=x^3
快试试吧，可以对自己使用挽尊卡咯~◆◆
极值点是该点附近最大或小的点（注意是附近），在函数导数为零的点为可疑点，通常可疑点就是极值点，但有时不是，比如f(x)=x^3
喔槽&好熟悉的名词
可是啥都不记得了......
极值是不是某个区间的最大值来着？
=&&=我一直以为LZ15岁
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