一元三次方程解法
一元三次方程解法
范文一：卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。令X=Y—b/(3a)代入上式。可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。卡尔丹判别法当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。令X=Y—b/(3a)代入上式。可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。卡尔丹判别法当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3
范文二：三元一次方程解法要解三元一次方程必须得会二元一次方程，一元一次方程，在学习如何解方程之前，得认识一些术语：1. 系数，比如：2x，x的系数是2。4y，y的系数是42. 方程的解，比如
c=03. 元：元是代表有几个未知数，比如三元就是三个未知数4. 次：次是代表一个方程题的最高数幕 ，比如3次就是一个方程里最高的数幕是3
例题与解法：（第一例题）1 ○2 ○3
我们可以看到，3个方程里2b的系数都一样，根据三元一次方程a+2b+3c=90
○1-○2和○1-○3可以消掉2b，所原则:能消除未知数就消掉，我们可以消掉2b，如果我们用○1减去○2=a+c=310，○1-○3=2a+c=410 以我们把○很多人会问为什么是a+c=310，而不是a-c=310,因为a是从三元一次方程3a-2a得来的，3a大于2a，所以用3a的符号，3a的后面是加号，所以，是加号。 我们已经知道a+c=310和2a+c可以化为二元一次方程：4 ○5
○4-○5得a=100，我们可以继续利用○5,100(a)+c=310
310-100=c，○这个就很好算了，c=2103来解b，100(a)+2b+630(3y)=90，按照一元一次方程解法就可以解出b，2b=
我们利用○-640b=2b÷2= -320最终的解：我们可以验算一下：正确b= -320
200+-640+630=190正确
100+-640+630=90
正确 加入a，b，c三个方程同一个未知数的系数都不一样（比如：三个等式中的y一个是2y，一个是3y，一个是y，消不掉） ，像这样的方程的解法，就是把一个等是乘2或1 3,4,5,6,7,8,9，比如○2
及时将任意一个等式于另一个等式相减不能消○3得乘2才可以消掉，○3乘2=
2a+2b+2c=200，记为○4，那○2-○4就可以消掉，所以得乘，○掉2个未知数。
范文三：1 解法 编辑他们主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。其思路都是利用消元法逐步消元。2 概念 编辑含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一次，并且一共有三个方程（有时会有特例），叫做三元一次方程组。3 应用 编辑三元一次方程简单应用{x+2y+z=72x-y+3z=73x+y+2z=18}组：{x+2y+z=7 ①2x-y+3z=7 ②3x+y+2z=18 ③ }解：①+②×2得：5x+7z=21 ④②+③得：x+z=5 ⑤联立④、⑤得：{5x+7z=21x+z=5}利用二元一次方程解法解得：{x=7，z=-2}把x=7，z=-2代入①，可解得y=1所以原方程组的解为：{x=7，y=1，z=-2}三元一次方程复杂应用{ a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3 }组：x y z 未知数 ，a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 d1 d2 d3 为常数，解x y z 值。{ a1x+b1y+c1z=d1 ① 　　a2x+b2y+c2z=d2　②　　a3x+b3y+c3z=d3 ③ }解：{ b1y=d1-a1x-c1z 　　b2y=d2-a2x-c2z 　　b3y=d3-a3x-c3z }④÷⑤b1/b2*(d2-a2x-c2z)=d1-a1x-c1z ⑦　　⑤÷⑥　　b2/b3*(d3-a3x-c3z)=d2-a2x-c2z ⑧由⑦得：　　b1/b2*d2-b1/b2*a2x-b1/b2*c2z=d1-a1x-c1za1x-b1/b2*a2x+c1z-b1/b2*c2z=d1-b1/b2*d2(a1-b1/b2*a2)x+(c1-b1/b2*c2)z=d1-b1/b2*d2(c1-b1/b2*c2)z=d1-b1/b2*d2-(a1-b1/b2*a2)x ⑨由⑧得：b2/b3*d3-b2/b3*a3x-b2/b3*c3z=d2-a2x-c2za2x+c2z-b2/b3*a3x-b2/b3*c3z=d2-b2/b3*d3(a2-b2/b3*a3)x+(c2-b2/b3*c3)Z=d2-b2/b3*d3(c2-b2/b3*c3)Z=d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)x ⑩⑨÷⑩[(c1-b1/b2*c2)÷(c1-b1/b2*c2)]*[d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)x]=d1-b1/b2*d2-(a1-b1/b2*a2)x ⑾在⑾中a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 d1 d2 d3 都是常数，只有X是未知数，所以X值已解。把常数代入式中求出X值，再将X值代入⑨或⑩，求出Z值，再将X　Z值代入原式①②③中的一个，求出y值。三元一次方程中x y z三个未知数值已解。例题：{2x+4y+6z=8 4x+2y+8z=6 8x+6y+2z=4解得：y=27/23 z=17/23 x=-13/23是不是等于0才方程呀！！不是等于0能叫方程吗？一组同一答案！2x+4y+6z=8 2*(-13/23)+4*(27/23 )+6*(17/23 )-8=0　　4x+2y+8z=6 4*(-13/23)+2*(27/23 )+8*(17/23 )-6=0　　8x+6y+2z=4 8*(-13/23)+6*(27/23 )+2*(17/23 )-4=04 知识要点 编辑1.三元一次方程组的概念:含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组.例如:都叫做三元一次方程组.注意:每个方程不一定都含有三个未知数,但方程组整体上要含有三个未知数.熟练掌握简单的三元一次方程组的解法会叙述简单的三元一次方程组的解法思路及步骤.思路:解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法.步骤:①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解.灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组.三元一次方程组的解法举例例如:解下列三元一次方程组分析:此方程组可用代入法先消去y,把①代入②,得,5x+3(2x-7)+2z=25x+6x-21+2z=2解二元一次方程组,得:把x=2代入①得,y=-3例2.分析:解三元一次方程组同解二元一次方程组类似,消元时,选择系数较简单的未知数较好.上述三元一次方程组中从三个方程的未知数的系数特点来考虑,先消z比较简单.解:①+②得,5x+y=26④①+③得,3x+5y=42⑤④与⑤组成方程组:解这个方程组,得把代入便于计算的方程③,得z=8注意:为把三元一次方程组转化为二元一次方程组,原方程组中的每个方程至少要用一次.能够选择简便,特殊的解法解特殊的三元一次方程组.例如:解下列三元一次方程组分析:此方程组中x,y,z出现的次数相同,系数也相同.根据这个特点,将三个方程的两边分别相加解决较简便.解:①+②+③得:2(x+y+z)=30x+y+z=15④再④-①得:z=5④-②得:y=9④-③得:x=1分析:根据方程组特点,方程①和②给出了比例关系,可先设x=3k,y=2k,由②得:z=y,∴z=×2k=k,再把x=3k,y=2k,z=k代入③,可求出k值,进而求出x,y,z的值.解:由①设x=3k,y=2k由②设z=y=×2k=k把x=3k,y=2k,z=k分别代入③,得3k+2k+k=66,得k=10∴x=3k=30y=2k=20z=k=165 目的与要求 编辑1.了解三元一次方程组的概念;熟练掌握简单的三元一次方程组的解法;能选择简便的解法解特殊的三元一次方程组.2.通过用代入消元法,加减消元法解简单的三元一次方程组的训练及选择合理,简捷的方法解方程组,培养运算能力.3.通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析,明确三元一次方程组解法的主要思路是"消元",从而促成未知向已知的转化,培养和发展逻辑思维能力.4.通过三元一次方程组消元后转化为二元一次方程组,再消元转化为一元一次方程及将一些代数问题转化为方程组问题的方法的学习,培养初步运用转化思想去解决问题,发展思维能力.词条标签：
范文四：一元三次方程的解法一元三次方程的标准型为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。 定义在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。编辑本段标准型形如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）的方程是一元三次方程的标准型。编辑本段公式解法1．卡尔丹公式法（卡尔达诺公式法）特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3【卡尔丹公式】X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；标准型方程中卡尔丹公式的一个实根X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0令X=Y—b/(3a)代入上式，可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。【卡尔丹判别法】当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3２．盛金公式法三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。【盛金公式】一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。当A=B=0时，盛金公式①：X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；X(2，3)=(－2b＋Y⑴^(1/3)＋Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)；其中Y(1，2)=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X⑴=－b/a＋K；X⑵=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。当Δ=B^2－4ACX⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X(2，3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1【盛金判别法】①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④：当Δ=B^2－4AC【盛金定理】当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
范文五：三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程 2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元 4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 例题解析一、三元一次方程组之特殊型①?x?y?z?12?例1：解方程组?x?2y?5z?22②?x?4y③?分析：方程③是关于x的表达式，程组，因此确定“消x”的目标。 解法1x.?5y?z?12④把③分别代入①、②得??6y?5z?22⑤?y?2,解得?z?2.?把y=2代入③，得x=8.?x?8,?∴?y?2,
是原方程组的解. ?z?2.?根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z.①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得
⑤③?x?4y由③、⑤得??4x?3y?38⑤?x?8,解得??y?2.把x=8,y=2代入①得z=2.?x?8,?∴?y?2,
是原方程组的解. ?z?2.?根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.?2x?y?z?15?例2：解方程组?x?2y?z?16?x?y?2z?17?①② ③分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，
即x+y+z=12 .④
①-④得 x=3，②-④得 y=4， ③-④得 z=5，?x?3,?∴?y?4,
是原方程组的解. ?z?5.??x?y?20,?典型例题举例：解方程组?y?z?19,?x?z?21.?①②
③解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ，
即x+y+z=30 .④④-①得 z=10， ④-②得 y=11， ④-③得 x=9，?x?9,?∴?y?11, 是原方程组的解. ?z?10.?根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型.?x:y:z?1:2:7例3：解方程组??2x?y?3z?21①②分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即?y?2x,①??z?7x,②?2x?y?3z?21.?解。，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求③解法1：由①得y=2x，z=7x ，并代入②，得x=1.把x=1，代入y=2x，得y=2； 把x=1，代入z=7x，得 z=7.?x?1,?∴?y?2, 是原方程组的解. ?z?7.?分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。 解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.把k=1，代入x=k，得x=1； 把k=1，代入y=2k，得y=2； 把k=1，代入z=7k，得 z=7.?x?1,?∴?y?2, 是原方程组的解. ?z?7.??x?y?z?111①?②典型例题举例：解方程组?y:x?3:2?y:z?5:4③?分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x =得z=4y.从而利用代入法求解。 52y； 由③3解法1：略.分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10 ，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。解法2：由②、③得 x:y:z=10:15:12. 设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3. 把k=3，代入x=10k，得x=30； 把k=3，代入y=15k，得y=45； 把k=3，代入z=12k，得 z=36.?x?30,?∴?y?45, 是原方程组的解. ?z?36.?根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型. 二、三元一次方程组之一般型?3x?y?z?4,?例4：解方程组?x?y?z?6,?2x?3y?z?12.?①② ③分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出： （一） 消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 （二） 方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。?3x?y??4?解：?x?y??6?2x?3y??12?①?②?③??（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）①+③ 得5x+2y=16，
(体现第一次使用在①③后做记号√) ②+③ 得3x+4y=18，
(体现第二次使用在②③后做不同记号△)?5x?2y?16,由④、⑤得??3x?4y?18.?x?2,解得?y?3.?④⑤把x=2 ，y=3代人②，得 z=1.?x?2,?∴?y?3, 是原方程组的解. ?z?1.??2x?4??y??3z?9,??典型例题举例：解方程组?3x?2??y??5z?11,????y??7z?13.?5x?6①?②?③? ?分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。 解：②×2 得 6x－4y+10z=22， ④
2x +4y+ 3z=9，
①①+④ 得 8x
+13z=31 . ⑤ ②×3 得 9x－6y+15z=33 ，⑥
5x－6y+7z =13， ③ ⑥－③得 4x
+2z=5 . ⑦?8x?13z?31,由⑤、⑦得??x?2z?5.?x??1,解得?z?3.?把x=-1 ，z=3代人① ，得 y?1. 2⑤⑦?x??1,?1?∴?y?, 是原方程组的解.2???z?3.在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。课堂练习1.解下列方程组?x?2?0?x?y?6??（1）?x?y?0
（2）?y?z?8?x?z?10?y?z?0??2．解下列方程组?z?x?y?x?y?z?17??（1）?x?y?z?6
（2）?2x?y?2z?1?x?y?3?3x?y?4z?3??3．有这样一个数学题：在等式y?ax2?bx?c中，当x=1时，y=1；当y=3时，y=9，当x=5时，y=5.（1）请你列出关于a,b,c的方程组.这是一个三元三次方程组吗？ （2）你能求出a,b,c的值吗？?4x?y?z?44.解方程组??2x?y?2z?8
5.??x?2y?z??5?2x?y?z?16.解方程组??x?2y?3z?14??3x?y?z?8?3x?2y?4z?8解方程组??2x?3y?4z?8??5x?5y?6z?22?a?b?3解方程组??b?c?4，??a?c?5
7.EG01:某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得x+y+z=60 24x/9=20y/15=16z/12 解得x=12,y=24,z=2424×12/9=32答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套. EG02: 甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。 解: 设甲是x，乙是y，丙是z
则x+y+z=35 (1)
甲数的2倍比乙数大5
2x-y=5 (2)乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2y/3=z/2 (3)由(2)和(3)得到y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3代入(1)x+2x-5+4x/3-10/3=3513x/3=130/3x=10y=2x-2=15z=2y/3=10所以甲是10，乙是15，丙是10EX:1.有甲乙丙三种货物，若购物甲种3件，乙种7件，丙1件需要31.5元，如果购买甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若购甲乙丙各一件，需要10.5元。问甲乙丙每件各多少元？2.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？去时上下坡路各有多少公里？3.某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。求三个年级各有多少人？AW: 1式子：3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10.5答案：？？？这题有问题，多解的（只要符合x+3y=10.5)就行，真不知楼上怎么算出来的。。2：去时上坡x平路y下坡zx+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7
答案：x=42 y=30 z=70
3:初一：x 初二：y 初三：z
x+y+z=651 y=1.1z x=1.05y
答案：x=231 y=220 z=200训练集中营1。现有1角，5角，1元硬币各10枚．从中取出15枚，共值7元，1角，5角，1元各取几枚？2。甲地到乙地全称是3.3KM，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3KM，平路每小时行4KM，下坡每小时行5KM，那么，从甲地到乙地需行51分，从乙地到甲地需行53.4分，求从甲地到乙地时的上坡。平路。下坡的路程各是多少？3。水费价格：不超过6立方米部分，每立方米2元。超过6立方米至10立方米部分，每立方米4元。超过10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共用水15立方米，交水费44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，则他需要交水费多少元？4。某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？5。学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少6。一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨？7。小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚？8。运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？9。1、有一批零件共420个，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少个？10。、张红用7元钱买2角和5角一张的邮票共20张，问两种邮票各买多少张？11。有甲乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和是47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，求这两个数。12。某车队运一批货物，若每辆装3.5吨，就有2吨运不走，若每辆多装0.5吨，则还可以装其他货物1吨，问有多少辆车？多少吨货物？13。已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时．求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少米？
范文六：一元三次方程求根公式A new meansto solving a problem in mathematicson the cubic equations in Shengjin’s formulas三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics
盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B^2－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：
X1=(－b－((Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i)/(6a)，
其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B^2－4AC =0，Shengjin’s Formula③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。当Δ=B^2－4ACX2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1由于输入设备的原因，公式只能写成这样，可以自己再用数学符号写到纸上，这样会看得更清楚些。盛金判别法Shengjin’s Distinguishing Means①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④：当Δ=B^2－4AC盛金定理Shengjin’s Theorems当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A newextracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 .[]以下是传统解法图片说明：贡献者： asbalatica所属词条： 一元三次方程求根公式合适尺寸一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。 （《数学九章》等）一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。 卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道：塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡当对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当不顾原来的信约，在他的著作《关于代数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作“卡当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。至于一元四次方程ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡当的学生弗拉利找到了。关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，这里不介绍了。一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。
后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n≥5)没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢？不久，这一问题在19世纪止半期，被法国数学家伽罗华利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。第一步：ax^3+bx^2+cx+d=0为了方便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0(y-k/3)^3中的y^2项系数是-kk(y-k/3)^2中的y^2项系数是k所以相加后y^2抵消得到y^3+py+q=0其中p=(-k^2/3)+mq=(2k^3/27)-(km/3)+n第二步：方程x^3+px+q=0的三个根为x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)++[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)++w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)++w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)其中w=(-1+√3i)/2.×推导过程：1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^22、方程x^3=A的解为x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^23、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-p^3/27=0的两个根。解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)则u^3=A,v^3=Bu= A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2v= B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：u1= A（1/3）,v1= B（1/3）u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω最后：方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3）x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω这正是著名的卡尔丹公式。△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；当△根与系数关系是：设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1,x2,x3,则x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.下面介绍一个三次方求根计算方法：X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3n,n+1是下角标，A被开方数。例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1；1.2；1.3；1.4；1.5；1.6；1.7；1.8；1.9；2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么：第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=X1;第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2;第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709X3;每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。一元三次方程求根公式A new meansto solving a problem in mathematicson the cubic equations in Shengjin’s formulas三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics
盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B^2－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：
X1=(－b－((Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i)/(6a)，
其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B^2－4AC =0，Shengjin’s Formula③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。当Δ=B^2－4ACX2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1由于输入设备的原因，公式只能写成这样，可以自己再用数学符号写到纸上，这样会看得更清楚些。盛金判别法Shengjin’s Distinguishing Means①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④：当Δ=B^2－4AC盛金定理Shengjin’s Theorems当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A newextracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 .[]以下是传统解法图片说明：贡献者： asbalatica所属词条： 一元三次方程求根公式合适尺寸一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。 （《数学九章》等）一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。 卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道：塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡当对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当不顾原来的信约，在他的著作《关于代数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作“卡当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。至于一元四次方程ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡当的学生弗拉利找到了。关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，这里不介绍了。一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。
后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n≥5)没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢？不久，这一问题在19世纪止半期，被法国数学家伽罗华利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。第一步：ax^3+bx^2+cx+d=0为了方便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0(y-k/3)^3中的y^2项系数是-kk(y-k/3)^2中的y^2项系数是k所以相加后y^2抵消得到y^3+py+q=0其中p=(-k^2/3)+mq=(2k^3/27)-(km/3)+n第二步：方程x^3+px+q=0的三个根为x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)++[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)++w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)++w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)其中w=(-1+√3i)/2.×推导过程：1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^22、方程x^3=A的解为x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^23、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-p^3/27=0的两个根。解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)则u^3=A,v^3=Bu= A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2v= B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：u1= A（1/3）,v1= B（1/3）u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω最后：方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3）x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω这正是著名的卡尔丹公式。△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；当△根与系数关系是：设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1,x2,x3,则x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.下面介绍一个三次方求根计算方法：X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3n,n+1是下角标，A被开方数。例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1；1.2；1.3；1.4；1.5；1.6；1.7；1.8；1.9；2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么：第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=X1;第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2;第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709X3;每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
范文七：一元三次方程的解法解：对于一元三次方程：x?ax?bx?c?0。 可以做变换x?y?32a，得到 3y3?py?q?0，令y?z?m，得到z3?m3?(3zm?p)(z?m)?q?0,令3zm?p?0，得z3?m3??q， ?z3?m3??q3p?2?0的两根。 由?p3可知是t?qt?3327?zm??27?qq2p33qq2p3z????,m????, 则qq2p33z1?(???);z2??z1;z3??2z1.2427m1?(?qqp??);m2??2m1;m3??m1.2427y2?z2?m2;z3??2z1.ax2?y2?;3a x3?y3?.?z1?m1;ax1?y1?;31
范文八：---一次性方程序言：方程含有未知数的等式叫方程等式的基本性质１：等式两边同时加［或减］同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式用字母表示为：若Ａ＝Ｂ，Ｃ为一个数或一个代数式。则：
［１］Ａ+Ｃ＝Ｂ+Ｃ
［２］Ａ-Ｃ＝Ｂ-Ｃ等式的基本性质２：等式的两边同时乘或除以同一个不为０的的数所得的结果仍是等式３若a=b,则b=a（等式的对称性）
４若a=b,b=c则a=c（等式的传导性）方程：含有未知数的等式叫做方程方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解解方程：求方程的解的过程叫做解方程移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质１。一共只有一个未知数且次数是一的方程叫一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b为常数，a不等于零）１去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数２去括号 一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配率３移项
把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。４合并同类项 将原方程化为ＡＸ＝Ｂ［Ａ不等于０］的形式５系数化１ 方程两边同时除以未知数的系数，得出方程的解同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程方程的同解原理：１方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程２方程的两边同乘或同除同一个不为０的数所得的方程与原方程是同解方程
列一元一次方程解应用题的一般步骤：１认真审题
２分析已知和未知的量
３找一个等量关系
６写出答，解
二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是１那么这个方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组。二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想
消元的方法有两种：代入消元法
加减消元法三元一次方程：含有三个未知数的一次方程三元一次方程组：由几个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组三元一次方程组的解：利用消元思想使三元变二元，再变一元方程是初等代数中的重要内容，方程的知识在生产实践中有广泛应用。定义：方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组就是三元一次方程组．解题思路：三元一次方程组的解法仍是用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．一、三元一次方程组之特殊型 例?x?y?z?12?1：解方程组?x?2y?5z?22?x?4y?①②③分析：方程③是关于x方程组，因此确定“消x”的目标。 解法1x.把③分别代入①、②得??y???z?2.?5y?z?12④?6y?5z?22⑤解得把y=2代入③，得x=8.?x?8,?∴?y?2,
是原方程组的解. ?z?2.?根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z.①×5得 5x+5y+5z=60 ④④-② 得
⑤ 由③、⑤得??x?8,?y?2.?x?4y③?4x?3y?38⑤解得?把x=8,y=2代入①得z=2.?x?8,?∴?y?2,
是原方程组的解. ?z?2.?根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型. 例?2x?y?z?15?2：解方程组?x?2y?z?16?x?y?2z?17?①②③分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，即x+y+z=12 .④
①-④得 x=3，②-④得 y=4， ③-④得 z=5，?x?3,?∴?y?4,
是原方程组的解. ?z?5.??x?y?20,?典型例题举例：解方程组?y?z?19,?x?z?21.?①②③解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ，
即x+y+z=30 .④④-①得 z=10，④-②得 y=11， ④-③得 x=9，?x?9,?∴?y?11, 是原方程组的解. ?z?10.?根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型. 例3：解方程组??x:y:z?1:2:7?2x?y?3z?21①②分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即①?y?2x,?②?z?7x,?2x?y?3z?21.?，根据方程组的特点，学生可选用“有表达式，用代入法”③求解。解法1：由①得y=2x，z=7x ，并代入②，得x=1.把x=1，代入y=2x，得y=2； 把x=1，代入z=7x，得 z=7.?x?1,?∴?y?2, 是原方程组的解. ?z?7.?分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。 解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.把k=1，代入x=k，得x=1； 把k=1，代入y=2k，得y=2； 把k=1，代入z=7k，得 z=7.?x?1,?∴?y?2, 是原方程组的解. ?z?7.??x?y?z?111①?典型例题举例：解方程组?y:x?3:2②?y:z?5:4③?分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，学生易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x =③得z=45y23y； 由.从而利用代入法求解。解法1：略.分析2：受例3解法2的启发，有的学生想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10 ，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，学生就会解决了。解法2：由②、③得 x:y:z=10:15:12. 设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3. 把k=3，代入x=10k，得x=30； 把k=3，代入y=15k，得y=45； 把k=3，代入z=12k，得 z=36.?x?30,?∴?y?45, 是原方程组的解. ?z?36.?根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型. 二、三元一次方程组之一般型 例?3x?y?z?4,?4：解方程组?x?y?z?6,?2x?3y?z?12.?①②③分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出： （一） 消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 （二） 方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。?3x?y??4?解：?x?y??6??2x?3y??12①②③??? ?（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）①+③ 得5x+2y=16，
(体现第一次使用在①③后做记号√) ②+③ 得3x+4y=18，
(体现第二次使用在②③后做不同记号△)?5x?2y?16,由④、⑤得??3x?4y?18.④⑤解得??x?2,?y?3.把x=2 ，y=3代人②，得 z=1.?x?2,?∴?y?3, 是原方程组的解. ?z?1.??2x?4y?3z?9,?????典型例题举例：解方程组?3x?2y?5z?11,????5x?6???y??7z?13.?①②③????分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。 解：②×2 得 6x－4y+10z=22， ④
2x +4y+ 3z=9，
①①+④ 得 8x
+13z=31 . ⑤ ②×3 得 9x－6y+15z=33 ，⑥5x－6y+7z =13， ③ ⑥－③得 4x
+2z=5 . ⑦ 由⑤、⑦得??x??1,?z?3.?8x?13z?31,?x?2z?5.⑤⑦解得?12把x=-1 ，z=3代人① ，得 y??x??1,?1?∴?y?, 是原方程组的解.2???z?3..在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。EG01:某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得x+y+z=60 24x/9=20y/15=16z/12 解得x=12,y=24,z=2424×12/9=32答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套. EG02: 甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。 解: 设甲是x，乙是y，丙是z
则x+y+z=35 (1)
甲数的2倍比乙数大5
2x-y=5 (2)乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2
y/3=z/2 (3)
由(2)和(3)得到y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3代入(1)x+2x-5+4x/3-10/3=35
13x/3=130/3
所以甲是10，乙是15，丙是10 EX:1.有甲乙丙三种货物，若购物甲种3件，乙种7件，丙1件需要31.5元，如果购买甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若购甲乙丙各一件，需要10.5元。问甲乙丙每件各多少元？2.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？去时上下坡路各有多少公里？3.某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。求三个年级各有多少人？ AW: 1式子：3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10.5答案：？？？这题有问题，多解的（只要符合x+3y=10.5)就行，真不知楼上怎么算出来的。。2：去时上坡x平路y下坡zx+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7
答案：x=42 y=30 z=70
3:初一：x 初二：y 初三：z
x+y+z=651 y=1.1z x=1.05y
答案：x=231 y=220 z=200训练集中营1。现有1角，5角，1元硬币各10枚．从中取出15枚，共值7元，1角，5角，1元各取几枚？2。甲地到乙地全称是3.3KM，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3KM，平路每小时行4KM，下坡每小时行5KM，那么，从甲地到乙地需行51分，从乙地到甲地需行53.4分，求从甲地到乙地时的上坡。平路。下坡的路程各是多少？3。水费价格：不超过6立方米部分，每立方米2元。超过6立方米至10立方米部分，每立方米4元。超过10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共用水15立方米，交水费44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，则他需要交水费多少元？4。某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？5。学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少6。一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨？7。小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚？8。运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？9。1、有一批零件共420个，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少个？10。、张红用7元钱买2角和5角一张的邮票共20张，问两种邮票各买多少张？11。有甲乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和是47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，求这两个数。12。某车队运一批货物，若每辆装3.5吨，就有2吨运不走，若每辆多装0.5吨，则还可以装其他货物1吨，问有多少辆车？多少吨货物？13。已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时．求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少米？
范文九：一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将形如ax3?bx2?cx?d?0的标准型一元三次方程形式化为x3?px?q?0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如x3?px?q?0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x?A?B型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p,q表示A,B。方法如下：3（1）将x?A?B两边同时立方可以得到x?(A?B)?ABA?B3x（2）?(A?B)?ABA?B ??（3）由于x?A?B，所以（2）可化为 x3?(A?B)?ABx，移项可得（4）x3?ABx?(A?B)?0和一元三次方程的特殊型x3?px?q?0作比较，可知（5） ?AB?p,?(A?B)?q化简得?p?（6）A?B??q,AB???? ?3?（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如3ay2?by?c?0的一元二次方程两个根的韦达定理，即c?b?（8）y1?y2????，y1y2? a?a?b?p?c（9）对比（6）和（8），可令A?y1,B?y2,q?,???? a?3?a3（10）由于型为ay2?by?c?0的一元二次方程求根公式为b?b2?4acb?b2?4ac，y2?? ，可化为 y1??2a2abc?b????? （11）y1??2a?2a?abc?b?
y2?????? 2a?2a?a22b?p?c将（9）中的A?y1,B?y2,q?,????代入（11）可得 a?3?aqq?q??p?q??p?（12）A????????，B???????? 22?2??3??2??3?（13）将A,B代入x?A?B得1?23??q?qqpqp???????（14）x???????????????????? ?22??3???22??3????????本式只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
范文十：塔塔利亚发现的一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。费拉里发现的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程 一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数 a，我们有(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即q2 = 4(p+2a)(r+a2)这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以 解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x 的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。