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级数收敛判别法 级数收敛的判别方法 常数项级数的审敛法 数列敛散性 数列的敛散性 正项级数及其审敛法 敛散性 判断数列的敛散性 雾散云敛 常平敛散法
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级数敛散性判别方法的归纳
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110-难点：正确判断级数的敛散性,由实例讲解方法。110,卸,,8
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3秒自动关闭窗口正项级数敛散性的判别方法；摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛；1引言；数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最；2正项级数敛散性判别法；2.1判别敛散性的简单方法；由级数收敛的基本判别定理――柯西收敛准则:级数；?u；n?1；收敛；?????0,N；?Nn?,?；?N,；?p有un?1?un?2???un?p??；得推论：若级数；?u；
正项级数敛散性的判别方法
摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用
数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J（）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。
2正项级数敛散性判别法
2.1判别敛散性的简单方法
由级数收敛的基本判别定理――柯西收敛准则:级数
?p有un?1?un?2???un?p??。取特殊的p?1，可
得推论：若级数
收敛，则limun?0。
2.2比较判别法
定理一（比较判别法的极限形式）： 设
?un和?vn为两个正项级数，且有lim
（1）若0?l???，则
同时收敛或同时发散。
（2）若l?0，则当
收敛时，可得
（3）若l???，则当
发散时，可得
正项级数敛散性的判别法在高等数学课本中所涉及的主要有：比较判别法、比值判别法和根植判别法。由于比值法与根值法的固定模式，其使用较为方便。但比较判别法在应用时，由于需要对原有级数进行适当的放缩，选择与之比较的对象级数，学生学习时都感到难度较人。
2.2.1当所求级数的通项中出现关于n的有理式时，将借助无穷小量(无穷大量)阶的概念来分析比较判别法的使用，进而给出如何选择比较对象的快捷方法。 由于limun?0时，级数
必发散。从而，只需考虑limun?0时，正项级数
散性判别。借助“无穷小量阶的比较”，即无穷小量趋丁零速度的比较这一概念，上述的（1）、（2）、（3）可以等价理解为 （1）当0?l???，即un与vn是同阶无穷小量（n??）时，
（2）当l?0且
收敛，即un是较vn的高阶无穷小量（n??）时，必有
（3）若l???且
发散，即un是较vn的低阶无穷小量（n??）时，可得
这表明正项级数收敛与否最终取决于其通项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。因此可以通过无穷小量(或者无穷大量)阶的比较，简化
的通项un或对un进行适当放缩，进
而利用已知级数的敛散性来判别
例1、判别级数?2和?n的敛散性。
n2?nn?1n?1
分析：在实际题目中，常见的无穷大量有lnn，n在n??时，lnn??n
?a?0?,an?a?1?等。其发散的速度：
?a?0???an?a?1?。
?a?a?1,?a?1,n???。从而，（1）2?2?2?a,?a?0,n???;?2?n
nnn2?nn?nn
结合比较判别法的使用。故（1）中的比较对象
的a的取值应保证2?a?1，即0?a?1。
（2）中的比较对象
的a的取值应保证a?1?1，即a?2。
??211lnn解：（1）可取a?，有lim?0。又?3收敛，则由比较判别法可知?2也收
n??2n?12n?1nnn2
??n1n（2）可取a?3，有lim也?0。又?2收敛，则由比较判别法可知?n
n??n?1nn?12?n
使用正项级数比较判别法时需要熟记P-级数?p以及等比级数?aq?a?0,q?0?的
敛散性，再结合本文给出的利用阶的概念对级数通项进行放缩的方法．便能较快捷地选定常
用作比较对象的P-级数或等比级数的具体形式，准确判别出正项级数的敛散性。[1]同样，我们可以利用等价无穷小来判断正项级数的敛散性，仍需熟记P-级数
的敛散性。[2] ?pnn?1
2.2.2当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象。 例2：判别级数
的敛散性。
sinx?x，分析：考虑当x?0时，则nsi
，而????????n
?1的收敛级数，故原级数收敛。 3
2.3根值判别法以及两个推广
定理一（根值判别法的极限形式）： 有正项级数
，若?l，则
n（1）当l?1时，级数
（2）当l?1时，级数2.3.1一般的情况
?n?例1：判别级数???的敛散性。
n1?lim??1，根据柯西判别法的推论，可得级解：
由于?nnn??2n?12?n?
数???收敛。 n?1?2n?1?
根值判别法推广，若将判别极限n
在一定条件下将比原判别方法更为精细，且应用范围也有所推广。 引理一：如果un?un?1?0?n?1,2,??，则级数[3] 引理二：设
收敛当且仅当级数
为两个正项级数，且存在正整数N，当n?N时，不等式
umn?i?vmn?i?i?0,1,2,?,m
?m?1?成立，则若级数?vn收敛必有级数?un收敛；
发散必有级数
定理二：设
为正项级数，m为大于1的自然数。若级数通项满足
n?1,2,3,????，则当??
时级数收敛；当??级数发散；而mm
时，级数的敛散性不能判定。[4] m
定理三：设
为正项级数，m为大于1的自然数。如
ni?0,1,2,?m,n?1?mn?，1则当??
时级数收敛；当??级数发散；而当??时，mmm
级数的敛散性不能判定。[4]
定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细。定理的应用不再详细举例，比如对级数
n??1???，值或根值判别法不能判别其敛散性，但用本文的定理二
或定理三其敛散性即可判别。
2.4达朗贝尔判别法(比值判别法)及其推广 定理三（比值判别法的极限形式）：有正项级数
，且lim?un（un?0）
1）当l?1时，级数
2）当l?1时，级数
2.4.1一般的情况
例1：判别级数的敛散性。
??n?1n??!1
?lim??n?1?n!解：由于lim
n??un???nnn
n??n????lim????limn??n????n?1????
?1，所以根据达朗n???1?
1??????n??
贝尔判别法的推论知，级数
收敛。 ?nnn?1
2.4.2比值判别法的推广，在借鉴比值判别法的基础上，通过对构成正项级数的解析式进行
分析给出了判断正项级数敛散性的一种方法。 定理一：设y?f(x)是取值为正且可导的函数。
1）如果存在负数a，使得当x足够大时有?a，则正项级数?f?n?收敛；
fxn?0?f??x?
2）如果存在正数b，使得当x足够大时有?b，则正项级数?f?n?发散；
3）如果不存在满足以上条件的实数，则正项级数
?f?n?可能收敛，也可能发散。[5]
定理一的应用不再详细举例，比如对级数?n、?和?的敛散性则可用上n
2lnnn?1n?1n?1?lnn?
述的定理。[5]
2.5比式与根式审敛法的推广 正项级数的审敛法有很多种，其中以达朗贝尔比值审敛法与柯西根值审敛法是最基础也是使用频率最高的两种方法。一般情况下，这两种审敛法都是分开来使用，事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的审敛法。
定理一：设wn?un?vn,un?0,vn?0?n?
1,2,??。若?u,lim
1）当uv?1时，级数
2）当uv?1时，级数
三亿文库包含各类专业文献、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、高等教育、行业资料、中学教育、正项级数敛散性的判别方法61等内容。　
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目测用比较审敛。。可是不知道变成什么样
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收敛。。。跟n的3/2次方比较就行了
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