求微分方程的通解例题求解

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书名 微分方程的理论及其解法
作者 钱伟长著
出版日期 1992年12月第1版
版权页 目录页
第一章 引论、定义及基本概念 1.1 微分方程及其定义 1.2 常微分方程的解及定解条件 1.3 从常微分方程的通解求常微分方程 1.4 一些处理微分方程近代理论的常用基本
概念及符号 习题
第二章 一阶一次微分方程 2.1 一阶一次微分方程的各种形式及其在力学
中的重要性 2.2 一阶二次微分方程的几何意义及其应用 2.3 恰当微分方程 丙式 的积分法 Ⅰ型 2.4 有关恰当微分方程的解的一些问题 2.5 可以化为恰当微分方程的方程及积分因子 Ⅰ型 2.6 可以分离变量的方程及分离变量法 Ⅱ
型 2.7 可化为分离变量的微分方程 Ⅳ型 2.8 一阶线性微分方程、变系数法 Ⅴ型 2.9 替代变量法 Ⅵ型 附录 积分因子的存在 习题
第三章 基本存在及唯一性定理及其应用 3.1 数值积分法 欧拉积分法 3.2 基本存在定理 3.3 基本存在定理的证明 3.4 唯一性定理 3.5 数值积分法的改进 3.6 有限差分法 3.7 皮卡德 Picard 重演近似法和
皮卡德存在及唯一性定理 3.8 有关参数和初值对解的影响的定理 习题
第四章 一阶微分方程的奇点和相图分析 4.1 一阶一次微分方程的奇点 4.2 参数方程 4.3 相图及静止点的稳定性 4.4 简单线性方程的研究 4.5 非线性的参数方程 4.6 非线性方程的解的稳定性：李雅普诺夫
的第二方法 4.7 非线性方程 高次型 的解的稳定性：
本狄克生定理 4.8 高次型奇点的特性及其例子 4.9 无穷远处的解的性质 4.10 静止点或奇点的庞加莱指数 4.11 高次型奇点的指数 4.12 指数定理及其应用 4.13 极限环及张弛振动 习题
第五章 高次一阶方程 5.1 能够解出导数y 的高次一阶方程 5.
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& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &&使用Maxima求解常微分方程~
含带导数符号或带微分符号的未知函数的方程称为微分方程。
如果在微分方程中未知函数是一个变元的函数，这样的微分方程称为常微分方程。
1 一阶、二阶常微分方程的通解
Maxima 可以求解很多种类的常微分方程。
对于可以给出闭式解的一阶和二阶常微分方程，Maxima 会试图求出其精确解。
下面给出三个简单的例子。
eq1:'diff(y,x)+y=x;
sol1:ode2(eq1,y,x);
eq2:'diff(y,x,2)+y=sin(3*x);
sol2:ode2(eq2,y,x);
eq3:'diff(y,x,3)+y=0;
sol3:ode2(eq3,y,x);
上面的例子用了ode2函数来求解常微分方程。
在定义方程时，微分函数diff之前有一个单引号（‘），这表示让Maxima只给出形式上的输出，并不真的进行计算。
这是因为我们这里只要列出方程，并不想让Maxima真的求导。
sol1 中的%c 和 sol2 中的 %k1 %k2 是任意常数。
ode2函数只能求解一阶和二阶常微分方程，第三个例子给出的是一个三阶常微分方程，无法求解，因此输出 false。
2 初值问题
函数ic1 (solution, xval, yval)和ic2 (solution, xval, yval, dval)分别用来解一阶和二阶微分方程的初值问题，其中solution是用ode2解得的通解，xval和yval分别是自变量和因变
量的初值，dval是因变量一阶导数的初值。
ic1(sol1,x=0,y=1);
ic2(sol2,x=0,y=1,'diff(y,x)=-1);
3 边值问题
函数bc2 (solution, xval_1, yval_1, xval_2, yval_2)用来求解二阶微分方程的边值问题，
其中solution是ode2解得的通解，xval_1、yval_1、xval_2和yval_2分别为自变量和因变量在第一点和第二点的取值。
eq4:'diff(y,x,2)+diff(y,x)/2+3*y=0;
sol4:ode2(eq4,y,x);
bc2(sol4,x=0,y=1,x=5,y=-1);
4 利用Laplace变换法求解常微分方程(组)
如果待求解的常微分方程(组)是线性常系数的。则可以利用Laplace变换法来求解。
Maxima 中也提供了相应的求解函数 desolve()，desolve()函数既可以求解ODE 方程，也可以求解ODE方程组。函数的基本形式如下。
desolve (eqn, y)&
desolve ([eqn_1, ..., eqn_n], [y_1, ..., y_n])&
这里待解函数不能只写变量名（例如y），而需要明确写出对自变量的依赖关系（例如y(x)）。
下面是一个简单的例子：
kill(all);
eq5:'diff(y(x),x,3)+y(x)=0;
desolve(eq5,y(x));
如果初值是已知的，可以使用atvalue()命令来提供初值。
如果提供了足够的初值条件，再用的desolve()函数求解时积分常数自然就可以确定了。
atvalue(y(x),x=0,1);
desolve(eq5,y(x));
atvalue('diff(y(x),x),x=0,-1);
desolve(eq5,y(x));
atvalue('diff(y(x),x,2),x=0,0);
desolve(eq5,y(x));
下面给出一个常微分方程组求解的例子。
kill(all);
eq6:'diff(f(x),x,2)+'diff(g(x),x)+3*f(x)=15*exp(-x);
eq7:'diff(g(x),x,2)-4*'diff(f(x),x)+3*g(x)=16*sin(x);
ode_syst:[eq6,eq7];
atvalue(f(x),x=0,35);
atvalue('diff(f(x),x),x=0,-48);
atvalue(g(x),x=0,27);
atvalue('diff(g(x),x),x=0,-55);
desolve(ode_syst,[f(x),g(x)]);
下面是试验部分。
kill(all);
eq1:'diff(y(x),x)+y(x)=x;
sol1:desolve(eq1,y(x));
atvalue(y(x),x=1,1);
desolve(eq1,y(x));
ic1(y=(%c+1)*exp(-x)+x-1,x=1,y(x)=1);
说明 desolve 函数提供的初值必须是x=0 处的。
ic1 不能用来直接求解 desolve 函数的结果。必须要人为的处理一下结果的形式。这一点上确实不方便。
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