为什么万有引力定律，库伦定律都是平方反比？平方反比有什么含义吗？
【李博海的回答(73票)】:
这个问题水很深。
首先，老师说实验结论，也并不全是在敷衍。
话说楼主知道这个平方因子是怎么实验测量的么？学习一下这些实验，对于楼主现阶段的帮助更大。
其次，说高斯定理的以及说三维空间的，只是在描述性质。高斯定理只是场的性质的描述，并不说明场的这种性质的起源。说三维空间的也只是说明了库伦场引力场的一个侧面。我也可以说是势函数1/r的调谐性。到此为止都只是停留在对性质如何描述上，并没有深入到起源问题。不过这些描述都暗示了场的一些拓扑性，比如通量和荷的联系，边界对场的唯一确定性等等。。
曾经，爱因斯坦注意到了这一点，也想解决这个问题，然而穷尽毕生功力也没能解决。一部分原因是历史的局限性，那时强弱相互作用力还没有实验仔细测量，爱因斯坦很可能并不熟悉这两个相互作用。另一部分原因则是爱因斯坦很可能走错方向了。目前看来正确的方向是电弱统一理论。电磁学首先和弱相互作用一致，具有相同的起源。再之后是标准模型，电弱统一和强相互作用统一。而到目前为止，标准模型是现今实验精确度最好的模型。然而这个模型也没有引力。包含引力的模型现在目前有很多，但是没有达成共识，实验也尚无定论。
总结来说，目前还不能解决为什么万有引力定律和库伦定律为什么这么像的问题，平方反比率的起源也不能回答。
【阿米的回答(583票)】:
库伦力和引力的大小反比于半径的平方
而我们知道，球面面积公式是
，正比于半径的平方
二者相乘是一个常数
也就是说，库伦能（静电能）和引力能，在以「源」为中心的球面上是守恒的
球面面积以平方的速度扩大，同时静电能量和引力能量以平方反比的速度被「稀释」
这反映了某种「守恒」的东西——当然，到了大学以后，你会知道这个东西叫做「通量」
那么如果不是平方反比，意味着什么呢？
比如三次反比，或者说只要负指数比2大
那么说明「稀释」的速度赶不上球面扩大的速度
意味着在比较远处，「通量」变小了
或者说，电场或者引力被「拦住」了
能量被「锁死」在离「源头」（库伦力是点电荷，引力是质点）不太远的地方
就像人被关在房间里出不去一样
常见的例子是电偶极子（两个离得很近的正电荷和负电荷形成的一对正负电荷）
电偶极子在远处就是立方反比
其实就是说，正电荷产生的电场被负电荷「拦住」了、「拖住」了、「抵销」了一部分
还有一个例子是等离子体，它「稀释」的速度更快，是以指数形式下降的
，在远处根本感觉不到电荷的存在
这个特殊性质导致了在电磁学基本定律的基础上，建立了一个完全新的学科：等离子体物理
比如说正比，或者说只要负指数比2小就算
那么说明「稀释」的速度赶不上球面扩大的速度
意味着到了很远很远的地方，「通量」越来越大
到了无穷远处，「通量」变成了无穷大
于是你会很容易感到某种「不安」
事实上这意味着：在无穷远处还有某种「东西」存在
这种「东西」从「源头」一直延伸到很远很远处
或者说，产生电场或者引力的「源头」并不仅仅是点电荷/质点，还有一个可以延伸很远的东西
常见的例子有两个，二者其实有本质的区别
一个是弹簧，胡克定律
，就符合这种情况
但是事实上，当
很大的时候，弹簧就会超过「弹性限度」
也就是说，胡克定律只在离「平衡位置」不太远的地方才成立
远了，就会破坏胡克定律，我们叫做，弹簧的性质有一个「截断」
另一个是「宇宙学常数」，也就是我们经常听说的「暗能量」
顾名思义，它的性质是常数
它随着「宇宙膨胀」无限延伸，而宇宙又很大
以至于它能够在总量上超过所有我们熟悉的物质，同时又在我们身边（近处）体现不出任何影响
而且，似乎暗能量是没有「截断」，没有一个像胡克定律一样受到破坏的限制的
这个谜团可能意味着某种我们未知的全新的东西
其实还有一个东西，就是库伦力或者引力，只和半径的大小有关，而与半径的方向
无关，其实这也是有物理内涵的，这东西叫做「有心力」，静电场和引力场又属于「保守场」，当然这和题目离得比较远了总结来说，平方反比定律，意味着非常深厚的根源，有很强大的物理意义，但是受限于中学或者低年级大学本科生，这个意义很难说清楚，而且也会占用太多的课堂时间，所以老师不得不用「实验结论」这样的话来敷衍
【张克楠的回答(12票)】:
因为光子和引力子质量为0, 且考虑的是3维空间且光子之间没有相互作用。在广义相对论中引力也只有在弱场近似下才会有平方反比。
如果考虑的时空维度不是3+1维而是D维, 那就可能是(D-2)次方反比率, 当然相应的万有引力常数和真空介电常数也要做相应修正。
如果考虑的是W，Z玻色子或π介子这样有质量的媒介粒子, 那就是yukawa相互作用, potential在原先反比的基础上还要乘上一个与质量相关的指数衰减的因子。
如果考虑的是胶子这样有内部自由度color的无质量粒子, 在低能禁闭情形的作用和橡皮筋就有些相似了, 作用势正比于之间的距离, 胶子和光子的不同之处在于不同color的胶子可以有相互作用。
【催aa的回答(23票)】:
因为高斯定理+三维空间。
【濮凡的回答(16票)】:
物理本来就是建立在实验基础上的，当然可以问什么样的更基本的模型决定了平方反比？可以说这是光子静止质量为0导致的。但实际上光子静止质量是不是零呢？人们永远不能知道，只能永远用更精密的测量划定上限，现在仍然有相关实验组在做，国内也有。关于平方反比律的一些讨论基于的模型需要很专业的知识储备，但我觉得什么物理模型都是人类的猜想，把平方反比律用实验发现解释也没什么不好，够用就行。
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平方反比是麦克斯韦方程组的一个推论，麦克斯韦方程组能够推导出关于电势的有源波动方程，从而导出平方反比。而麦克斯韦方程组可以通过满足规范对称性和相对性原理（洛伦兹变换不变性）的拉氏量推导出，所以不妨说平方反比律或麦克斯韦方程组背后蕴含的是规范对称性和相对性原理，上升到对称性的高度或许会让物理模型更深刻耐人寻味一些，但同时也涵盖了更复杂的数学关系。当然这些推导是在光子静止质量为零的情形。光子有静止质量的时候，需要在推导电势有源波动方程中加上-m^2*c^2/hbar^2*phi，其中m为光子静止质量，hbar为狄拉克常数，phi为电势，在考虑电荷密度不随时间变化的情形下，能够接触一个比较简洁的解析解，电场将带有随距离的指数衰减因子，并不是单纯的平方反比。这里添上的这一项应该是来自于光子静止质量对于拉氏量的修正，然而更具体的细节我也不是很清楚，认识到这个层面我觉得已经能有比较好的解释了。
PS：由麦克斯韦方程组推导平方反比实际上只限于电荷不随时间运动的情况，电荷随时间运动时要考虑到推迟效应，解出来的电磁场多级展开后得到辐射场项，辐射场随距离就是1/r衰减的。严格解的形式十分复杂，考虑推迟效应解出来的势场为李纳-维谢尔势（Lienard-Wiechert），和静电势场的区别在于多了一个和速度以及位移有关的因子，由这样的推迟势的形式推导出的严格的电磁场的解就完全不是平方反比那么简单了。
【胡鞍钢的回答(3票)】:
因为空间是三维的。
另，如果非要扯到高维空间的理论，那我只能说目前可感知的是三维的
【huma的回答(23票)】:
徐一鸿在他的QFT in a nutshell中对 在弱场极限下平方反比 如此普遍有过讨论。但是反例也是比较多的，比如引力在强场下就不是平时平方反比，电偶极子对电荷作用力就比平方反比更加复杂，如果光子和引力子有质量那么平方反比也不成立。平方反比另外一种说法就是“力场”散度为0，明显有些答案在循环论证。
现在可以补充一点个人的理解，当相互总用满足何种条件时候，才会出现平方反比定律。
1. 只有一个长度量纲。
在引力中我能够找到三个长度量纲的物理量：GM/c^2，Gm/c^2和距离。一个质量为M的黑洞的半径就是GM/c^2。对于有质量的光子和引力子，我们能够找到两个长度量纲的物理量：e^2/(mc^2) (高斯单位制度)和距离。上两种情况都是违反平方反比的。显然，只有一个长度量纲是平方反比律的必要条件，因为具有两个以上量纲的时候，力的大小是不可能是距离的简单的幂律函数。
2. 拉格朗日量密度具有locality并且领头项是四矢势的一阶导数。
在弱场条件下的引力和无质量的电磁力都只有一个长度量纲的物理量：距离。这时候已经没有给一个理论本身任何剩余任何长度量纲的常数。如果拉格朗日量密度的领头阶是
，这样的理论是trivial的，我们不考虑。考虑领头项是四矢势的一阶导数的情况
+更高阶导数项，由于理论不包含的任何长度量纲的常熟，那么这个理论的拉格朗日量是不包含二阶以及以上导数的。所以这个理论的拉格朗日量必然有这样的形式
。其对应的偏微分方程是二阶偏微分方程。对于不随时间变化的且满足空间旋转不变的二阶微分场方程是
3. 球对称。
显然只有相互作用具有旋转不变性时候才能纯粹的谈力大小与距离的关系。电偶极子不是球对称的（但是有
）。对于球对称情况，应用高斯定律，便有
。对于d维，显然
显然只不是严谨的数学推导而且少了大量细节。另外假设读者了解广义相对论，经典电动力学，经典理论的拉格朗日变分形式，量子场论里常用的量纲简化思路。
【张小泉写歌词的回答(152票)】:
（可以看懂本回答的基础：初中）
让我们来做一个类比：假设三维空间中出现了一个水源，该水源向周围稳定地以速率 V 输出水。那么我们任意画一个闭合曲面：
1. 当此闭合面不包括该水源时，进入和离开该曲面的水量是相等的；
2. 当此闭合面包括里该水源时，曲面总体上是净流出的，净流出的速率等于水源输水的速率 V。
现在我们围绕着水源画两个同心球面，半径分别为
—— 由于他们的总流出速率
相等，那么单位面积上的流出速率的关系
呢？其关系为：
即对任意半径为 r 的以水源为中心的球面，其单位面积的流出速率:
上式看起来很熟悉？是的，平方反比律。
把水源类比为电荷，那么其输出的水可以被当作电场；把水源类比为有质量的物体，那么其输出的水就可以被当作是引力场。
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提升阅读：
1. 如果有无穷多个水源均匀地组成一个平面，那么水流会被迫互相平行地流出；而无论距离平面的远近，你所接收到的流出速率是一样的。（类比：充满均匀电荷的无限大的平板的电场。）
2. 如果在上述的球面中有我们不知道的另一个水源（或者一个排水点）呢？我们探测到的单位面积流出速率会大一些（或者小一些），因为有更多的水源了（或者因为有部分水被排出了）。在假设 V 不变的情况下，分母中 r 的指数 2 会因此变小（或者变大）。
3. 如果我们真的没有其他水源（或者排水点），却观察到 r 的指数不为 2，会是什么原因呢？我们只能怀疑球面的公式
是否正确了，或者说我们的空间是不是真的是三维的？
1) 在二维空间中，如果我们放一个水源，它只能在一个平面上排水，这时我们画一个包含水源的圆即可包住所有的流出的水，
，分母中 r 的指数为 1。一次方反比。
2) 在四维空间中，水源可以沿着四维的方向流水，这时四维超球的“表面积”为
，分母中 r 的指数为 3。三次方反比。
综合关于二维和四维的讨论，那么如果我们真的观察到 r 的指数小于 2，那么说明我们空间的维度小于 3；如果 r 的指数大于 2，那么空间的维度大于 3，那我们看不到的的那些维度呢？我不知道（我也希望有高维空间的存在，这样我们就可以想办法进行星际旅行啦）。
——————
链接：n维“球”的“表面积”：
【张海涛的回答(528票)】:
搬过来科普一下
这个解释不深入，望各路大神轻喷…
有心的同学,在学习万有引力和库仑力之后，都会有一个小疑问——为什么都是“平方反比律”？？难道就是老师说的“这个是实验结论”或者敷衍的一句“背下来就OK”？
不，不，不能这样学物理。一个缺乏本质理解的物理，只学了就忘的空中楼阁。要想学习好物理，就要尽量弄清楚它们，而不是尽量“记住”它们，何必那么费劲背呢？
我上高中时，就面临过物理老师的上述回答，让人完全不满意的答复。但是很快，就自己弄明白了，“平方反比律”其实是很简单的一个数学原理，只是用在中而已。
物体之间的这些非接触的相互作用，比如一个质点、一个电荷点对于一定距离的某处的作用，可以这样理解为一种场，常见的就是引力场、静电场。。。
在理想情况下（真空、无其他干扰），场,是在整个三维空间均匀扩散分布的，就象节庆夜空的焰火，在天上炸开，形成一个不断扩展的球面。
以大家最熟悉的引力场为例，如果作为一种由中心质点A开始均匀球面扩散的能量E，那么站在离A的距离R的位置B，能够感受到的单位面积的能量X=E/S怎么计算呢？
——很简单，总能量E是均匀分布在整个球面上的，
球面积公式S=4πRR，所以X=E/S=E/4πRR ∝ 1/RR，即“平方反比律”。
我说的很细，其实就这么简单，就是一个均匀分布在三维空间分布的数学表达形式而已。“平方反比律”，就这么回事。
于是，在物理学中有了这样一条：如果任何一个物理定律中，某种物理量的分布或强度，会按照距离源的远近的平方反比而下降，那么这个定律就可以称为是反平方定律。比如万有引力、库仑力、辐射强度、。。。
如果任何一个物理定律中，某种物理量的分布或强度，会按照距离源的远近的平方反比而下降，那么这个定律就可以称为是平方反比定律。
例如，你在空旷的荒野上，寒冷的夜晚，点起一堆篝火，你能够感受到的温暖，与到火的距离的平方成反比。。。
平方反比律，是物质相互作用的本质属性，根源在于三维立体空间的如此简单而强大的数学原理。这一定律是物理学的最重要支柱，到目前也没有任何实验或推论能够推翻，当然，如果一旦被推翻，那么若干的重大物理根本规律，都得重新改写。至少，在目前人类能够涉及的三维世界中，平方反比律是绝对的金科玉律。也许，人们能够自如地穿越维度，什么四维或者多维空间的情况下，应该就不是平方反比律了。。。
再比如,增加维度不好理解,那么减少维度,在二维平面下,它就是我们熟悉的相似三角形原理的一种情况啦
多余的话，不说了，有兴趣的话，自己想一下哦。。。
譬如，声音的强度也是满足这个，I＝P/A，而表面积A＝4πrr，所以，声音与距离平方成反比。l
总之，一切能够在三维空间中不受阻力和干扰（理想真空），而全方位同心球面自然扩散的“影响”（如力、能量、效果。。。），都符合这一规律，这一规律是三维度空间的最基本原则。不仅万有引力、库仑力、声音强度、爆炸冲击波、甚至在计算无线电波的距离衰减，都是用的这个平方反比律。 这是基本的数学原则，呵呵，如果将来能够深入分析高维空间的话，这个定律就要改一下啦，至于现在嘛，这就是我们生活和存在的空间的最基本原则。
如果这一原则被打破，那么人类几千年文明的数学和物理中的大量定理，都要重新修改。它在本质上，就是一个“点”源，对于整个理想三维空间发挥“影响”的分布。
如果我们退一步，对于二维平面的影响的话，那么就是距离反比，而不是距离平方反比了啊。。。再退一步，对于一维的直线的话，那么就是分母为1，与距离无关，永远是百分之百。。
【许木木的回答(29票)】:
我以前也困惑过这个问题很久。
后来发现吹气球时气球表面厚度和气球半径平方成反比。这个是因为球半径的平方与球表面积成比，但气球的物质总量不变，所以当半径增加时只能以平方反比的形式变薄扩散了。
这是一种最自然的选择。引力波和电磁波在空间中都成球状扩散，所以是平方反比。
但不是所有波都这样。比如你拿跳绳的一头来甩，能量原封不动地传了过去。因为跳绳只有一维，与距离的0次方成反比，所以距离多长能量密度都一样。
当你在水上扔石头，水波就在二维平面扩散，所以其能量密度和距离成反比。
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这么多赞，诚惶诚恐。题主只是初中生，讲的只是自己的粗浅理解。前面已经有很好的答案了，大家就别再点赞了，别让这篇不严谨的答案误导了大家。
【小时了了的回答(2票)】:
吹气球 气球皮单位面积的质量平方反比于气球直径
【胡子昂的回答(22票)】:
一个三维空间的点粒子向外辐射相互作用的场，由于空间各向同性，所以是以球面波的形式向外均匀辐射（球面上各点平权）。所以，以点粒子为球心的球面上任意一个面元得到的辐射量(相互作用强度)是相同的。三维空间中球面面积严格等于4pi*r^2。所以就有了平方反比。你们老师说实验验证的，真TND扯犊子。实验验证是这样的，只能说明我们处在三维空间。
如果你了解一点场的概念，我们的理解就会容易很多。
按照场论，存在一种基本粒子，用来传播引力相互作用的粒子，该粒子可以与任何有质量的的物体发生耦合。这种粒子被称之为引力子（graviton），引力子被设想为一个为2、为零、不带的。为了传递引力，引力子必须永远相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。
我们了解了引力子之后，我们假定空间存在一个质量为M的质点（注意：在不影响结论的情况下，为了便于理解，在此我尽量不用严格的量子语言）。这个质点因为它带有质量，所以会向外辐射引力子。那么向外辐射引力子的方式是怎样的呢？毫无疑问，在一个各向同性的空间中，引力子以球面波的形式向外扩张，于是很严格的得到这个球面面积为4pi*r^2。由于球面上每一点都是平权的，所以球面上一质点所受引力的大小要除掉球面的面积（力的大小和与质点发生耦合的引力子数量成正比，这就和两人抛接小球一样）。平方反比就从这里来的，至于我们熟悉的那个引力公式
，为什么木有pi，在下面我会说道两句。分子上的m可以认为质量越大辐射和接收的引力子越多。
说到这里，我们为了便于理解。来看看另外一种相互作用吧，那就是我们所熟悉的电磁相互作用。那么电磁相互作用是怎样形成的呢？我们知道带电粒子会辐射光子，光子以光速向前推进并与其它带电粒子发生耦合，就这样抛接光子，于是产生了电磁相互作用。光子也是玻色子，它的质量为0，自旋为1，电量为0。光子有一个特性就是可以和任何带电物体发生耦合，所以它会成为电磁相互作用的传播子，它的作用与引力相互作用的引力子是类似的。下来我们再看看两个带电的点电荷之间的库仑相互作用。库仑力的大小为
，看看这里就有4pi*r^2，这同样是因为点电荷向外辐射球面光波导致的。
此外，在中学库仑力的公式是F= Ke* qq'/ r^2，形式上像极了万有引力。但是大家有木有想过在大学里为神马变成了
是真空中的，我们知道它是物理学当中的基本常数之一，它的大小对我们来说意义非常重大，直接影响宇宙的演化。显然用替代了ke是因为比ke更具有物理本质。现在，你应该明白引力公式里为神马木有pi。我直觉上认为存在一个比G更基本的物理常数，因为4pi*r^2是严格的数学结果。
所以按上述方式来理解，我们可以严格的得到引力相互作用平方反比的结果。当然，如果有人在地球表面做地球引力的实验验证，显然不会得到平方反比，我们上述的解释是建立在质点上的，显然在地球附近的话需要积分。
下面这一段是关于电磁相互作用平方反比的验证，是从上摘录的，众位大神，包括Maxwell也做过相关实验。
1769年，苏格兰物理学家首次通过实验发现两个带电球体之间的作用力与它们之间距离的2.06次方成反比。
1770年代早期，著名英国物理学家通过巧妙的实验，得出了带电体之间的作用力依赖于带电量与距离，并得出静电力与距离的
次方成反比，只是卡文迪什没有公布这个结果。
后来，利用与卡文迪什类似的方法，得出静电力与距离的
次方成反比的结果。
库仑定律是电学的基本定律，其中平方反比关系是否精确成立尤其重要，而根据现代量子场论，静电力的平方反比关系是与光子的静质量是否精确为零相关的，所以，对静电力的平方反比关系的精确验证，关系着现代物理学基本理论的基础。当前对库仑定律平方反比关系的验证越来越精确，如1971年进行的一次实验，给出库仑定律与平方反比关系的偏差小于
【胡子昂的回答(6票)】:
用高斯定理说明平方反比就是耍流氓，因为高斯定理基本都是用平方反比证的！
用高斯定理说明平方反比就是耍流氓，因为高斯定理基本都是用平方反比证的！
用高斯定理说明平方反比就是耍流氓，因为高斯定理基本都是用平方反比证的！
重要的事情说三遍！！！
实际上平方反比是错的，或者至少是不精确的。平方反比定律建立在超距作用的基础之上，而实际上引力和电磁力的传播都是需要时间的。实际上，广义相对论中的引力就不是精确的平方反比，要加上一些后牛顿项进行修正；而库仑定律虽说对于静止的电荷正确，但是如果考虑运动电荷那就不对了（还要考虑磁场的作用，具体数学结果我忘了，反正不是简单的平方反比。这个可以参考电动力学的课本。）
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