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傅立叶变换的深入理解
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如何让8岁表妹快速了解傅立叶变换
来源： 由用户
编辑：李利平
傅立叶变换酷炫动图今天，先放个动图给大家猜猜今天文章的主题（不要偷看哦。。。）巴拉拉，变身吧！！！图片作者：LucasVB突然发现自己的小心思被标题给出卖了（小天，你这标题起的真好。。。）言归正传，超模君今天要跟大家分享的确实是工科大神器――傅立叶变换。说到傅立叶变换，就要先讲讲傅立叶：（）傅立叶出生于法国，是一名浪漫的法国数学家，同时也是一名视角独特的数学家。而他的独特是因为：他不像其他科学家那般死抓着纯数学研究，而是致力于将数学应用于实际生产。而这种理念与当时纯数学研究为上总有点格格不入，幸运的地是傅立叶遇到拿破仑，一个超级热爱科学的皇帝（如果他没有成为将军，那他将会是下一个牛顿）。此后，1798年傅立叶就随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长。回国后的傅立叶，除了处理行政工作，也从未放下学术研究。1811年，傅立叶向科学院提交二次修改过后的文章《热的传播》，该篇文章也为傅立叶获得了科学院大奖。傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程 ，并提出了傅立叶变换的基本思想。也就因为这个基本思想，直接造福工程界、数学界。甚至在数学界、工程界有这么一句传说：有一种运算，把微积分变成加减乘除，它叫傅立叶变换。那傅立叶变化到底怎么解决问题的呢？其实，傅立叶变换（的三角函数形式）的基本原理是：多个正余弦波叠加（蓝色）可以用来近似任何一个原始的周期函数（红色）。几个傅立叶分解实例，用波叠加出分段函数。图片作者：LucasVB
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引：&最近在搞一个音频解码器，将随意录制好的声音按照不同的频率分离出不同的音频流，然后推到不同的音箱中，如果再考虑一下音场的谐性，那就是一个N.1声道的解码系统了。我只是想在女儿(或者儿子)出生之前为她做点事情，以便能最终做出个东西送给她(或者他)。&&&& 在实践的过程中，遇到了傅里叶变换，作文以记之。最终我会导出一个很常用的变换-傅里叶变换&参考：信号：&信号是一个很广义的概念，它可以是一种波，也可以是一个阵列，它还可以是一个函数，它甚至是整个世界，总之只要能运载信息，它就可以被称为信号&。我们可以去分析一个信号，以获得信号本身更多的属性，从而可以更好的获得信息。比如，我们发现了谐波信号，我们就可以用波的理论去构造复杂的复合信号，典型就是频分复用。&&&&&欲想理&解信号，我们首先要学会将其分解，将之分解成不同的元素，如果这些元素之间互不相关，我们就可以对其分而治之了，分而解之了。&我们需要有一个信念，那就是所有的信号都是可分解的，我们必须明白这个复杂的世界其实是由很多次复杂的小世界叠加而成的，每一个次复杂的小世界都是由更简单的次次复杂的小小世界叠加而成的，诸如此类，以此类推，最终的元素就是质子和电子(如果不想提夸克或者弦理论的话)。&如果我们有了这个信念，我们就可以将一个信号分解成不同的信号的叠加。&&&& 比如一个物理概念，力，按照作用效果来说，它可以被分解在不同的两个方向，如果这两个方向互相垂直的话，那么一个方向的分力在另一个方向上没有效果，我们说这两个方向是正交的，当然，正交是一个数学概念。同样的道理，一个函数，如果我们将它当成一个矢量的话，我们也可以将之分解，关键问题是我们基于什么去分解它，在《码分多址(CDMA)的本质-正交之美》中，我们知道了正交多维矢量的概念，如果我们能找到一组正交的矢量，我们就可以将一个函数基于这组矢量进行分解。寻找正交矢量：&对于信号，如果我们想用谐波来表示它的话，我们最好基于不同的频率将之进行分解，那么接下来的问题就是寻找一个正交基，它可以表示不同的频率的谐波。换句话说，我们希望用不同频率的谐波的叠加来表示原始函数。&我们也就是寻找一组函数I，使得下列正交条件成立：&由于简谐波本身可以表示成三角函数，通过分析三角函数，我们发现下面的I函数系列满足正交条件：&表示：&既然有了表示方法，接下来就是确定a，b等系数了，这些系数其实就是f(x)在各个相互正交的三角函数“坐标轴”上的分量，由于它们彼此都是正交的，我们能确定一个“坐标轴”上的分量不会在其它坐标轴上产生效果，因此它们的量是总的f(x)和该分量的乘积在区间a和b的积分，还记得公式&吗？那是离散的情况，现在是它的连续情况！最终我们得到了系数b的表示法。所谓离散的情况和连续的情况区别仅在两个符号：&离散的情况下，求和符号1直接相加了所有的项，而在连续的情况下，“一个项”需要由两部分组成，即“积分表达式”和dx，每一个项都是这两部分的乘积，并且各项的dx中的x是实数域的。&&&& 最终，我们得到了一个分解后的通用表示：然后类比离散版的分量公式，求得了系数a和b，类比是次要的，重要的是：一个“坐标轴”上的分量不会在其它坐标轴上产生效果，因此它们的量是总的f(x)和该分量的乘积在区间a和b的积分&：&傅里叶变换：&其实已经说完了，以上的推导过程其实就是傅里叶变换，我们看得出，直到最后我才使用了积分公式，并且通篇没有使用任何关于更深层的数学原理性的论述，我们发现，其实理解傅里叶变换并不需要太多数学，甚至都不需要微积分知识，你只需要直到一个道理：数学原理背后都有其物理模型，物理模型背后都有其现实解释。&&&&& 如果你确实将一个函数表示成了傅里叶级数，那么对于分析这个函数就太TM简单了，以滤波为例，如果我们需要得到低频信号，那么就可以将分量cosNx以后的全部丢掉，这样，我们就可以得到任何频率的信号了，N.1声道的分频自动就解决了。&&&& 傅里叶级数的现实解释就是：任何一个信号都是多个周期信号叠加而成的。我们可以用我们学过的波的干涉原理来理解它，一个两列简谐波1,2叠加的波a，在任何时间点，波a的幅度都是波1和波2幅度的算术和！后记：&&&&&&码分多址是将“码”本身当成了正交分量，而傅里叶级数却将频率当成了正交分量，它们俩的本质是相同的，唯一不同的就是对其的物理解释不同，如果我做了一个离散版本的傅里叶变换，过滤了高频信号，和码分多址的沃尔什编码相比较一下，它们的公式最终是一模一样了。&&&&& 只要我们将一个信号按照一定的物理解释进行分解，各种级数就都出来了，除了那些纯数学的抽象解释，泰勒级数远比傅里叶级数更抽象，但是大多数教科书都是先讲泰勒级数，即使这样，泰勒级数也是有背后物理原理的，那就是任何一个大的变化都是由小的变化渐变而成的，哲学上的解释就是量变和质变，我们有拐点和马鞍面的概念！&对一个函数的不断求导其实就是挖掘它的变化层次，也就是最终有多少层的变化导致了最终函数曲线走向的变化。&&&& 本文没有使用常规的方法且求解傅里叶级数系数，而是纯粹从物理解释方面上进行形象化的解释和求解。传统的求解方式也比较简单就是在式子(1)两边同时乘以一个coskx和sinkx分别求解a和b，这是一种纯数学的求解方式。
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傅立叶变换&
傅立叶变换摘要
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅立叶变换 - 中文译名
Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。应用傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、处理、概率论、统计学、密码学、声学、、、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅立叶变换 - 概要介绍
* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常的方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; * 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).
傅立叶变换 - 基本性质
线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若f left( xright )和g left(x right)的傅里叶变换mathcal【f】和mathcal【g】都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal【alpha f+beta g】=alphamathcal【f】+betamathcal【g】；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符；频移性质若函数f left( xright )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i omega_ x}也存在傅里叶变换，且有mathcal【f(x)e^{i omega_ x}】=F(omega + omega _0 ) 。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位sqrt；微分关系若函数f left( xright )当|x|rightarrowinfty时的极限为0，而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在，则有mathcal【f'(x)】=-i omega mathcal【f(x)】 ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 ? iω 。更一般地，若f(pminfty)=f'(pminfty)=ldots=f^{(k-1)}(pminfty)=0，且mathcal【f^{(k)}(x)】存在，则mathcal【f^{(k)}(x)】=(-i omega)^ mathcal【f】 ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( ? iω)k。卷积特性若函数f left( xright )及g left( xright )都在(-infty,+infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=int_{-infty}^{+infty} f(x-xi)g(xi)dxi的傅里叶变换存在，且mathcal【f*g】=mathcal【f】cdotmathcal【g】 。卷积性质的逆形式为mathcal^【F(omega)G(omega)】=mathcal^【F(omega)】*mathcal^【G(omega)】 ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。Parseval定理若函数f left( xright )可积且平方可积，则int_{-infty}^{+infty} f^2 (x)dx = frac{2pi}int_{-infty}^{+infty} |F(omega)|^domega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。傅里叶变换的不同变种连续傅里叶变换主条目：连续傅立叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。f(t) = mathcal^【F(omega)】 = frac{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty F(omega) e^{iomega t},domega. 上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(?ω) = F(ω)*成立.傅里叶级数主条目：傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} F_n ,e^ , 其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：f(x) = fraca_0 + sum_{n=1}^inftyleft【a_ncos(nx)+b_nsin(nx)right】, 其中an和bn是实频率分量的振幅。离散时间傅里叶变换主条目：离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。离散傅里叶变换主条目：离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式：x_n = frac1 sum_{k=0}^ X_k e^{ifrac{2pi} kn} qquad n = 0,dots,N-1 其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为mathcal(n log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。在阿贝尔群上的统一描述以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。时频分析变换主条目：时频分析变换 小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。傅里叶变换家族下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.变换 & & & & 时间 & & & & 频率连续傅里叶变换 & & & & 连续, 非周期性 & & & & 连续, 非周期性傅里叶级数 & & & & 连续, 周期性 & & & & 离散, 非周期性离散时间傅里叶变换 & & & & 离散, 非周期性 & & & & 连续, 周期性离散傅里叶变换 & & & & 离散, 周期性 & & & & 离散, 周期性傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。 &
傅立叶变换 - 其它
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇: 1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子; 2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)). 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
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