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求助：求和函数、展开为幂级数中，如何准确写出最终的收敛域
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我们知道，在求解这两个问题时，逐项积分和逐项求导一般都是在收敛区间内完成的，但是，最后求出和函数（或函数展开成了幂级数），如何准确的写出收敛域呢，即收敛区间端点的敛散性，谢谢
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有大神能解释吗
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这个……我不知道怎么说明白！但是做题我会
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书上有，要求公式里面x的绝对值小于1
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Powered by Discuz!求幂函数的收敛域的方法,-大学生社区-赛氪
求幂函数的收敛域的方法
高航·浙江大学
幂级数是应用非常广泛的一类函数，不过一个幂函数写出来以后，只有收敛才有意义，所以我们需要知道它在自变量取什么范围内是收敛的。另外，我们也关心幂级数是否可以写成和函数的形式。本文主要探讨这两个问题。因为在理论层面上有详尽的证明，因此本文并不介绍具体的定理以及证明，这些内容可以从一般的微积分或者数学分析教材上面获知。
下面我们只讨论形如\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\)的幂级数。对于\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n(x_0\ne0)\)型幂级数，我们只需要令\(t=x-x_0\)就可以解决问题.那么我们可以得到这样的结论：
对于一个幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\)，一定存在一个\(R\geq0,R可以取+\infty\),使得幂级数在\((-R,R)\)上收敛，在\([-R,R]\)以外发散（这里\(R\)可以取0和\(+\infty\)，取0表示这个幂级数仅仅在\(x=0\)处收敛，其他处都发散；取\(+\infty\)表示这个幂级数在整条实数轴上都是收敛的）。这一结论的证明在教材中有详细的介绍，本文不予赘述。而对于幂级数在\(\pm R\)处的敛散性，并没有必然的结论。我们把\((-R,R)\)（如果\(R\ne0\)）称为幂级数的收敛区间，把所有使得幂函数收敛的实数的集合称为幂级数的收敛域。显然，收敛域一定是在收敛区间的基础上讨论幂级数在\(\pm R\)处的敛散性得到的。因而求幂级数的收敛域可以分为以下两步：
第一步，求幂级数的收敛半径\(R\)，从而得到收敛区间；
第二步，讨论幂级数在\(\pm R\)处的敛散性，得到收敛域。判别的时候利用正项级数敛散性判别或者交错级数判别的莱布尼兹判别法就行了，一般来说难度不会过大，因此本文不予赘述。
一般教材中提及了收敛半径的求法，并没有明确地说为何。这里就要涉及前面提到的判别正项级数收敛的比式判别法和根值判别法了。我们可以用将幂级数视为正项级数处理，按照比式判别法或者根值判别法的条件可以得到关于\(x \)的不等式，这里不等式的解集刚好就是幂级数的收敛区间。虽然这样的处理看上去不是很严密，但是可以帮助我们理解计算收敛半径的方法。
我们有求幂级数收敛半径的两个公式；
\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[n]{|a_n|}}\)以及\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)，前者对应的是根值判别法，后者对应的是比式判别法。不过要注意这与判别法极限式有倒数的关系。具体该用哪一公式，还是需看的形式。如果它有次方，那么用根式判别式的形式，即前面那个公式要好一些。如果有阶乘或者常数的指数的形式，用比式判别法的形式，即后面那个公式要好一些。当然，这也不是绝对化的，主要看哪种形式的极限比较好求，也不是一概而论，还需要一定量的解题积累经验。由于有明确的公式可以套用，只涉及到公式的选择问题，因而这个问题并没有太大的技巧性。
例1：求幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n\cdot 2^n}\)的收敛域
数列的通项有\(n\)次方，可以使用根值判别法的形式；两项求比值后形式也简明，也可以使用比式判别法的形式，极限都比较好求，因此不需要纠结用哪一个公式更好，直接做就可以了。这里对求收敛半径这一步骤用两种不同方法，而最后判别两端点处的敛散性方法是统一的。
解：第一步：求收敛半径和收敛区间
方法一：\(\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{\frac{1}{{n \cdot {2^n}}}}}}} = \lim\limits_{n \to \infty } 2\sqrt[n]{n} = 2\)
方法二：\(\lim \limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{n \cdot {2^n}}}}}{{\frac{1}{{(n + 1){2^{n + 1}}}}}} = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{2(n + 1)}}{n} = 2\)
因此收敛半径是2，收敛区间是\((-2,2)\)
第二步：讨论幂级数在\(\pm2\)处的敛散性。
\(x =2\)时，级数为\(\sum\frac1n\)，是发散的；
\(x = -2\)时，级数为\(\sum\frac{(-1)^n}n\)，是收敛的。
因此收敛域是\((-2,2]\)
例2：求幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n^2+1}x^n\)的收敛域
这里如果用根式判别法的形式，\(\sqrt[n]{n^2+1}\)看上去比较棘手；因此用比式判别法的形式比较好。
解：\(R = \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{{2^n}}}{{{n^2} + 1}}}}{{\frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2} + 1}}}} = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2} + 2n + 2}}{{2({n^2} + 1)}} = \frac{1}{2}\)
因此收敛半径是\(1\over2\)，收敛区间是\((-\frac12,\frac12)\).
\(x =\frac12\)时，\(\sum\frac1{n^2+1}\)是收敛的；由绝对收敛级数一定收敛知，\(x = -\frac12\)时，\(\sum\frac{(-1)^n}{n^2+1}\)是收敛的，因此收敛域是.
下一篇文章中我们重点来讨论求幂级数和函数的方法。
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帮助与反馈
还没解决or用着不爽？来撩幂级数逐项求导、逐项积分后收敛域的讨论
在利用幂级数的逐项求导、逐项积分运算把函数间接地展开为幂级数时,我们知道,逐项求导、逐项积分后的幂级数与逐项求导、逐项积分前的幂级数有相同的收敛半径Ｒ,在Ｒ为有限时,尚需讨论ｘ=±Ｒ处得到的级数较难判断其收敛性。1　主要结论引理　若级数∑∞ｎ=0ａｎ收敛,则级数∑∞ｎ=11ｎａｎ收敛。证　设ｍ为自然数,Ｓｍ=∑ｍｒ=11ｎ+ｒａｎ+ｒ。记　Ａｉ=ａｎ+1+ａｎ+2+…+ａｎ+ｉ,ｉ=1,2,…,ｍ,则　ａｎ+ｉ=Ａｉ-Ａｉ-1,ｉ=1,2,…,ｍ。由级数∑∞ｎ=1ａｎ收敛,根据柯西收敛准则知:对任意给定的正数ε,存在自然数Ｎ,当ｎＮ时,对任何自然数ｐ,有|ａｎ+1+ａｎ+2+…+ａｎ+ｐ|Ｎ时,有|Ａｉ|ε,ｉ=1,2,…,ｍ,所以　|Ｓｍ|=|∑ｍｒ=11ｎ+ｒａｎ+ｒ|=|1ｎ+1Ａ1+∑ｍｒ=21ｎ+ｒ(Ａｉ-Ａｉ-1)|=|∑ｍ-1ｒ=1(1ｎ+ｒ-1ｎ+ｒ+1)Ａｒ+1ｎ+ｍＡｍ|≤∑ｍ-1ｒ=1(1ｎ+ｒ-1ｎ+ｒ+...&
(本文共2页)
权威出处：
n=0收敛半径不变的性质的一个新的证明方法。该证明方法较传统的证明(基于Abel定理与正项级数的比较判别法)更为简洁。上述关于实幂级数结论的证明方法,可以推广到复幂级数上去。幂级数?∞n=0anxn有着优良的性质,其收敛域是一个对称于原点的区间。其收敛半径R的计算有很多简明的方法,例如Cauchy-Hadamard定理就是其中一种。引理1[1](Cauchy-Hadamard定理)对于幂级数?∞n=0anxn,若:ρ=limn→+∞n|an槡|或ρ=limn→+∞an+1an则:R=1ρ注:当ρ=0时,R=+∞,ρ=+∞时,R=0。在收敛区间(-R,R)内,幂级数?∞n=0anxn可以逐项求导,可以逐项求积分:?∞n=0anxn()′=?∞n=1nanxn-1(1)∫x0?∞n=0anxndx=?∞n=0∫x0anxndx=?∞n=0ann+1xn+1(2)且有如下结论:定理1[2~4]幂级数?∞n=0anxn在收敛区间(-R,...&
(本文共4页)
权威出处：
一、序言若幂级数互a一”二a。+a!二+aZ二,十‘·’+a一“十’二(l)的收敛区间是(一R,R),则将幂级数(l)在区间(一R,R)内逐项微分、逐项积分后所得的幂级数分别是 只na二”一‘二al+ZaZX+…+na二“一’+一‘2,食二共劣二,二。n二,翱+冬3+…十五址荡·+,二(3),六凡n十i一‘Jn并且幂级数(2)、(3)的收敛区间也是(一R,R)。由此说明幂级数(2)、(3)与幕级数(l)的收敛区间是相同的,这是高等数学教材及主要参考书都要给出的结论,但对于它们的收敛域之间有什么关系,还未看到有关这方面的讨论。本文将对此进行讨论。 二、命题 命题l若幂级数(2)的收敛是[一R,R],则幂级数(l)的收敛域也是[一R,R〕。 证明先证幕级数(2)在点x二R处收敛的情形。 由幂级数(2)在点x二R处收敛知,数项级数na。R一l二a一+2a2尺+3a3尺2·…卜nan五”一+…收敛。因为瘩·。R一落:(二。R一‘)普,而...&
(本文共1页)
权威出处：
如果幂级数: O 3 siX”=3。+81X+82X’+…+finX”+…(l) n=0的收敛区间是(-R,R),则将幂级数(1)在(-R,R)内逐项积分、s项敬分后所得的幂级数分别为: co Y..士一vn十!、、上..‘.v2 山 \a上..-上..!士二,n上……/O、 ^fi+1-6 J 11 — — 二nanx”l=al+ZaZx+3a.3x2+…+nanx”1+……(3) n·0并且幂级数(2)、(3)的收敛区间也是(-R,R)。 以上说明幂级数(2)、(3)与幂级数门)的收敛区间是相同的,这是数学分析教材与主要参考书中都要给出的结论。但对于它们的收敛域有什么关系,在数学分析教材及参考书中并没有进行讨论,于是本文对此浅议一下。 首先把幂级数的收敛域的概念简述一下:如果幂级数(1)的收敛区间是卜R,R),则它的收敛域是收敛区间加上收敛端点所构成的集合。即为:卜R,R)、卜R、R)、卜R、R〕、卜R、R)这四个集合其中之...&
(本文共3页)
权威出处：
。。。。,。。一。。（,。。。（R）。。,。。。（R）厂,（x）。）。。。。。。。。。。。。。。耍很强的级数一致收敛的条件,且级数的每一项还都要连续（见注释〔1]引文,定理13.12）。使用起来非常不。,。。。。。。。。。。。,～e。。（,。。。（。）。。,。。（。）厂八x）。）。。T。。。（。）。分中能接受的,应用面更广的逐项积分定理,并极大地削弱了定理的条件,下面给出一个引理。引理K如呆非负无界函数尸（。）在[a,b]上的m）广义积分收敛,则/（x）在卜,b]上必忆）可积且积分值相等,Rg（”）】f（x）必=（“）Jf（x）人定理1.若Zu。（）=u（x）,xE[a,b],且每一个u。＊）及u（x）都在[aJ]上帜）可积,又存在非负函贝列1了。卜川,使得l。。（x）I:忆川X;（J）k=:（丘川“-（X）h定理2若[a,b]上非负函数列h。（x川满足】“。（x）一u（x）,xE[a,b],且每一个u。k）及瞩（x）都在[a,...&
(本文共2页)
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条件“一致收敛”能保证有限区间上(R)可积函数列可逐项积分[1—2],但该条件却不能保证无穷区间上一致收敛的广义可积函数列可以逐项积分.例如,对定义在[1,+∞)的函数列fn(x)=1x,1≤x≤n;0,xn.和[0,∞)上的函数列gn(x)=1nsinπxn,0≤x≤n;0,xn.易见在区间[1,+∞)上函数列{fn(x)}一致收敛于函数f(x)=1x,每个fn(x)在[1,+∞)上广义可积,但极限函数f(x)=1x在[1,+∞)上并不可积;函数列{gn(x)}在区间[0,+∞)上一致收敛于函数g(x)=0,虽然每个gn(x)和g(x)都在区间[0,+∞)上广义可积,但却有limn→∞∫+∞0gn(x)dx≠+∫∞0g(x)dx.由此可见,在无穷区间上,一致收敛性并不能保证可积函数列可逐项积分.因此,在什么条件下无穷区间上广义可积函数列可以逐项积分的问题值得探讨.2003年,孔芳弟引进了在无穷区间上一致可积的概念,得到无穷区间...&
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0引言在实分析理论中,一个重要问题是在什么条件下函数的极限运算与积分运算可以交换,熟知的条件是一致收敛。但此条件不是必要条件[1][2],例如:fn(x)=xn,x∈[0,1],n∈N,我们知道｛fn(x)｝在定义域上不一致收敛,但极限与积分可交换,因此如何减弱条件是一个值得研究的问题。2003年,孔芳弟引进了在无穷区间上一致可积的概念,得到无穷区间上可积函数列可逐项积分的一些条件。现引述如下:定义1[3]设函数列｛fn(x)｝定义在区间[a,+∞)上,若对任给的!0,存在A0(a)使对任何AA0+∞A"fn(x)dxa,函数f(x)在区间[a,A]上(R)可积且有limn#∞Aa"fn(x)dx=aA"f(x)dx,则f(x)在区间[a,+∞)上可积,且有limn#∞+∞a"fn(x)dx=a+"∞f(x)dx.本文主要讨论另一类广义积分即瑕积分是否可逐项积分的问题。例如:对于定义(0,1]在上的函数列fn(x)=$1x,1n...&
(本文共3页)
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幂级数和函数收敛域的问题,我想问一下在x=1这个点级数是收敛的吗?这个级数前面加1对本身敛散性有影响吗?
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这个点是条件收敛的,因为 x=1时候,后面相当于交错项的调和级数,是收敛的.前面+1不影响这个级数.
可以采纳吗？
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