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给出结构力学中关于静定和超静定中用对称性简化计算的思路，有些地方未写完
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结构力学中对称性利用
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3秒自动关闭窗口广义图乘法对称型公式的应用--《第15届全国结构工程学术会议论文集（第Ⅰ册）》2006年
广义图乘法对称型公式的应用
【摘要】：应用弯矩图面积定义可扩展经典图乘法计算公式应用范围;形成能计算弯矩图面积为负,以及形心在杆外图乘的经典图乘公式。但仍然需要适用于弯矩图面积等于零的图乘公式。此类图乘问题可用广义图乘法计算。而其对称型公式特别适用于结构力学常见问题计算。本文进一步建立用杆端弯矩差表示的广义图乘法对称性公式。根据直线弯矩图面积公式,建以用于线性弯矩图的线性公式。它们进一步简化对称型公式的图乘计算。本文有两个算例。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：TU311.4【正文快照】：
1引言 厂‘义图乘法有对称型公式l3j。其利用了图乘剪力121川和荷载的特点。若针对弯矩图可建立用杆端弯矩表 示的对称型公式;若利用直线弯矩图的性质有线性公式.其表达形式比较简单，保持适用于弯矩图面积等 于零的特点。用于常见结构位移计算、超静定结构位移计算和建立力
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结构力学力法
范文一：第七章 力法§7-1 超静定结构概述1. 超静定结构基本特性(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系(2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组(3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。2. 超静定结构类型图7.13. 求解原理(1) 平衡条件：解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。(2) 几何条件：或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。(3) 物理条件：求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。4. 基本方法力法：以多余约束力作为求解的基本未知量位移法：以未知结点位移作为求解的基本未知量§7-2 超静定次数的确定超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。掉多余约约束确定方法：超静定结构去?静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。强调，（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。图7.2图7.3图7.4图7.5图7.6§7-3 力法基本概念下面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解。图7.7(1) 一次超静定，去掉支座B，得到力法基本未知量与基本结构；(2) 要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与X1共同作用下，?1=0(3) 由叠加原理，有，?1??11??1P?X1?11??1P?0，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件。(4) 柔度系数?11与自由项?1P均为力法基本结构上(静定结构)的位移，由图乘法，得?ql4?11???l?l?l??l?ql?l??, ?1P??, X1??1P?ql ?118EI233EIEI3248EI(5) X1已知，可作出原结构M图，如图示。§7-4 力法典型方程由上节知，力法典型方程就是多余约束处的位移方程。下面讨论一般情况下力法方程的形式。图7.83次超静定，去掉一个固定支座，得到力法基本结构。当?1=0，?2=0，?3=0时，原结构与基本结构等价。根据叠加原理，得到力法典型方程，如下Δ1?X1δ11?X2?12?X3?13??1P?0，注意，一般为0，有不为0的情况Δ2?X1δ21?X2?22?X3?23??2P?0Δ3?X1δ31?X2?32?X3?33??3P?0选取不同的力法基本结构，如下图示图7.9依叠加原理，得到力法方程如下，Δ1?δ11X1??12X2??13X3??1P?0Δ2?δ21X1??22X2??23X3??2P?0Δ3?δ31X1??32X2??33X3??3P?0形式上完全相同，只是各符号的具体物理含义有所不同。依此类推，n次超静定结构，有n个多余约束力时，力法典型方程为?11X1??12X2????1nXn??1P??1?0?21X1??22X2????2nXn??2P??2?0??n1X1??n2X2????nnXn??nP??n?0??11?12??1n??X1???1P?????X????????2P?21222n2??????????0, [?]{X}?{?P}?0 ???????????????????n2nn??Xn??n1??nP?为线性代数方程组，由位移互等定理，?ij??ji。物理含义：(1) 力法方程：多余约束处的位移方程，力法方程也叫柔度方程，力法也叫柔度法；(2) 柔度系数?ij，j方向单位力引起的i方向的位移，主系数?ii>0，副系数?ij??ji。(3) 自由项?iP，荷载单独作用在基本结构上，引起的i方向的位移。柔度系数与自由项，都是静定结构上的位移，可由上一章的位移计算方法把它们计算出来。§7-5 力法计算步骤与示例例7-1 用力法求解图示刚架，并作M图。图7.10力法基本未知量为X1、X2，基本结构如图示，列出力法方程?11X1??12X2??1P?0 ?21X1??22X2??2P?0作出1、2、MP图，如图示。下面计算柔度系数与自由项112l311l?11??l?l?l??l?l?l??l?l?l???l?l?l?, ?12??21?, ?22? 2EI236EI2EI24EIEI232EI6EI11lFl55Fl311lFlFl3?1P?????l?????l??, ?2P?? 2EIEI22216EI力法方程成为(消去公因子l3/EI)?X2?F?0, X1?X2?F?0 43解出，X1?F, X2??F(与假设方向相反) 1188计算最后杆端弯矩，如MBC?33l3415F?l?Fl(上侧拉)，MAB?F??F?l?F?l?Fl(左侧拉) 作出最后的M图，如图示。结论：(1) 超静定结构荷载作用的内力分布，只与各杆刚度比值有关，与刚度绝对值无关；(2) 刚度大的杆件，内力一般也大；(3) 可采用不同的力法基本结构，但最后结果一定相同。图7.11力法计算步骤(1) 去掉多余约束，代之以约束反力作为力法基本未知量，得到一个静定结构作为力法的基本结构。(2) 列出力法典型方程?11X1??12X2????1nXn??1P??1?0?21X1??22X2????2nXn??2P??2?0??n1X1??n2X2????nnXn??nP??n?0(3) X1=1单独作用在基本结构上，作出1图X2=1单独作用在基本结构上，作出2图，依此类推荷载单独作用在基本结构上，作出MP图(4) 计算柔度系数与自由项主系数?ii>0，i自乘；?ij=?ji，i与j图乘；自由项，?iP，i与MP图乘。(5) 将柔度系数与自由项代入力法方程中，求解力法方程，解出多余约束力。(6) 由叠加原理，M?X11?X22???MP，计算最后的杆端弯矩。(7) 作出M图。例7-2 用力法求解两端固定超静定梁。图7.123次超静定，未知量X1、X2、X3，力法方程为?11X1??12X2??13X3??1P?0?21X1??22X2??23X3??2P?0?31X1??32X2??33X3??3P?0?13??31?0, ?23??32?0, ?3P?0, ?33得，X3=0. 力法的前两个方程成为， N23l?l??0, 则力法第3个方程成为，?33X3?0 EAEA?11X1??12X2??1P?0 ?21X1??22X2??2P?0δ11?112ll1111, ?22?, ?12??21? ??l?1????l?1??EI233EI3EIEI236EIFab2Fa2bFab(l?b)Fab(l?a), ?2P??, 可解出，X1?2, X2?2 ?1P??6EIl6EIlll结论：无论是静定梁还是超静定梁，横向荷载作用下，水平反力为0，这是梁受力的特点。 例7-3 用力法求解超静定桁架，已知各杆EA=C。图7.13利用对称性，取对称的基本结构，未知量X1，力法方程，?11X1??1P?0，求?11时，不要忘记，切开的杆件上轴力为+1，?11?2??22)a[()2?2a?(?)?2a?(?)2?2a]??1?2a? EA222EAEA122221FFa[()(?F)2a?(?)(?F)2a?(?)()2a]?? EA222222EA?1P?2?X1???1PF??0.172F(拉力) ?113?22按叠加法求出最后轴力值，FN?X1N1?FNP。例7-4 用力法求解加劲梁(组合结构)，已知，横梁I=1?10-4 m4, 链杆A=1?10-3m2，E=C。利用对称性。切开竖向链杆，未知量X1，力法方程为，?11X1??1P?0。N.189?1052?11???dS???2???4?2?(?2)?2??(?)?25??1?2? EIEAEI23EA22EAEN1FNP1MP?1P???dS??(此项为0)?2???4?80?(?2)?EIEAEI38EX1???1P??44.9kN(压力)。 ?11最后，弯杆M?X11?MP，链杆FN?X1N1?FNP讨论：(1) 无链杆时，简支梁，Mmax=80kN.m。有链杆时，Mmax=15.4kN.m，最大弯矩降低了81%，称为加劲梁；(2) A?0，加劲梁?简支梁。A?，Mmax?，?Mmin??，当A=1.7?10-3m2时，Mmax=?Mmin?，最合理；(3) A??，刚性支座，相当于两跨连续梁。图7.14§7-6 对称性的利用对称结构，指结构的几何形状与支承条件完全对称，各杆的刚度也要对称。1. 选取对称的基本结构图7.15选取对称的基本结构，在对称轴处切开，有?11X1??12X2??13X3??1P?0?21X1??22X2??23X3??2P?0?31X1??32X2??33X3??3P?0作出1、1、1、MP图，正对称与反对称图形图乘结果为0，有?13??31?0，?23??32?0力法方程可分成正对称与反对称两组?11X1??12X2??1P?0，?33X3??3P?0 ?21X1??22X2??2P?0? 正对称荷载下，MP正对称，有，?3P=0，X3=0.? 反对称荷载下，MP反对称，有，?1P=0，?2P=0，X1=0，X2=0.结论：(1) 对称结构，正对称荷载下，对称轴处切开，反对称的剪力为0，内力与位移分布均正对称；(2) 对称结构，反对称荷载下，对称轴处切开，正对称的弯矩与轴力为0，内力与位移分布均反对称。 例7-5 对称刚架，反对称荷载，各杆EI=C，试用力法求解。图7.16?11X1??1P?0112144 [?3?3?(?3)?3?6?3]?EI23EIP?2?[?6?60?3??3?120?(?3)]?EI223EI?11?2?X1???1P??12.5(kN), M?X11?MP作出M图(反对称)。 ?112. 对称结构，任意荷载=正对称荷载+反对称荷载图7.173. 取半边结构(1) 正对称荷载图7.18(2) 反对称荷载图7.19例7-6 试用力法求解圆环的内力，EI=C。图7.20取1/4结构，有，?11X1??1P?0.11?1，设下侧拉为正，MP??FRsin?，dS=Rd?。 2121?11??dS?EIEI??/2201?Rd???/2?R2EI M1?1P??1PdS?EIEI?0?FR1FR2，X1??1P? 1?(?FRsin?)Rd????11?22EIsin?)，作出圆环的弯矩图，见教材P148，图7-28 2M?X11?MP?FR(1??例7-7 非对称荷载=正对称荷载+反对称荷载图7.21§7-7 超静定结构的位移计算上一章中所述位移计算原理与方法，同样适用于超静定结构。图7.22注意，用力法求解超静定结构时，基本结构在荷载与多余约束力共同作用下，与原超静定结构完全等价。所以，单位力可以加在力法基本结构上。即求超静定结构的位移时，先把多余约束去掉，把超静定结构变成一个静定结构，然后把单位力加在静定结构上。注意，应选取恰当的基本结构。?Ku11l133Fl3????l??(?Fl)??( ? ) EIEI求超静定结构位移的方法：(1) 解超静定结构，作出M图；(2) 合理地选取一个基本结构来施加单位力；(3) 图乘法求出位移。§7-8 最后内力图的校核结构的内力图是进行结构设计的重要依据，要保证其正确，所以要进行内力图的校核。 1. 平衡条件的校核结构的整体与任何一个部分均应满足平衡条件，否则，内力图有误。一般校核结点是否满足平衡条件。2. 位移约束条件校核图7.23如校核固定支座处转角位移是否为0，不为0则内力图就不正确。?1?32[(Fl?Fl)?l?1???l?1]???l?Fl?(?1)?0, M图正确 2EI83§7-9 温度变化时超静定结构的计算对于超静定结构，温度变化会引起结构的附加内力，当然还有位移与变形。图7.24X1、X2、X3与温度变化共同作用下，基本结构与原结构等价，有，?1=0, ?2=0, ?3=0。同理，有n个多余约束时，力法典型方程为?11X1??12X2????1nXn??1t??1?0?21X1??22X2????2nXn??2t??2?0??n1X1??n2X2????nnXn??nt??n?0(1) 柔度系数?ii、?ij=?ji的计算，与外界因素无关，计算与前面完全相同。 (2) 自由项的计算，?it为温度变化引起的基本结构沿Xi方向的位移，?it???t???Ni??th?i解出多余约束力后，即可作出原结构的内力图。位移计算温度变化单独作用在基本结构上 + X1、X2、X3单独作用在基本结构上?原结构 (1) 温度变化单独作用在基本结构上，产生的位移为(单位力可加在基本结构上)?Kt???t???N??th?KMdS。 EI(2) X1、X2、X3单独作用在基本结构上，产生的位移为M图与K图图乘，即，??两部分叠加起来，得到温度变化时，超静定结构的位移计算公式为?Kt???t???N??th????KMdS EI例7-8 作图示刚架M图，并求横梁中点K的竖向位移，已知，EI=C，材料结膨胀系数为?，横截面对称于形心轴，h=l/10。图7.25t?t1125l3?11X1??1t?0, ?11?[2?(?l?l?l)?l?l?]?, t?12?30oC, ?t?t2?t1?10oC,EI233EI2?1t???t???N1??th??(?1)???30?l?1??101[?2??l?l?l?l]??230?l h2X1???1t?EI?1382, M?X11, 作出M图。 ?11l求?Ky，单位力加在基本结构上，?Ky???t???NK??tKh11l?EI1??101l??(?l?)?138?2(?)???30?l?(?l?)??34.75?l(?)EI24l2h24????KMdSEI§7-10 支座移动时超静定结构的计算超静定结构支座移动时，产生附加内力，当然还产生位移与变形。多余约束力 + 支座移动 作用在基本结构上 ? 原结构?1?0, ?2???, ?3??a图7.26力法典型方程为?11X1??12X2??13X3??1???1?0?21X1??22X2??23X3??2???2??? ?31X1??32X2??33X3??3???3?a柔度系数与外界因素无关，计算与前面相同。自由项?i?为支座移动b单独作用在基本结构上，引起的沿Xi方向的位移，计算公式为?i????Ri?ci如图示，有，?1??bb, ?2???, ?3??0 ll解出多余约束力X1、X2、X3，可作出M图。 位移计算注意，多余约束力X1、X2、X3，与支座移动b共同作用下，与原结构等价?K???KMdS?[??Rici] EI第1项为多余约束力X1、X2、X3作用在基本结构上，产生的位移；第2项为基本结构上支座移动b产生的位移。例7-9 两端固定梁，A端转动角度?，试用力法求解。图7.27?11X1??12X2??1???，因?与X1方向一致，故为正。?21X1??22X2??2??0 ?11??22?112l111l, ?12??21?? ??l?1??1???l?1??1??EI233EIEI236EI, 基本结构，无支座移动，故，?1?=0, ?2?=0。解出，X1?4EI2EI?，X2?? ll定义杆件的线刚度i为，i?EI/l，则，X1?4i?，X2?2i?，这个结果，位移法中要经常用到。 例7-10 两跨连续梁，中间支座为弹性支座，k?点竖向位移。10EI，EI=C，试用力法求解，作出M图，并求D3l图7.28选取基本结构(一)，有，?11X1??1P??X1k计算较麻烦，主要是图乘运算时很麻烦，具体求解过程与结果见教材P157。对于连续梁结构，一般应选基本结构(二)，有?11X1??1P?0?11?1?1??R?c?2?l??l?1??1?(??)??2?EI23ll?k3EIlk15EI12ql212ql1ql32q7ql3?1P?1?MP??R?c?2???l???1?(?)????EI382lk12EIk60EIX1???1P7?ql ?1164?Dy11l1722lql25l125ql181ql4?D?M??R?c?[?l??(?ql)????(?)?2]?(??)?EI2k3072EI§7-11 用弹性中心法计算无铰拱§7-12 两铰拱与系杆拱（自学）§7-13 超静定结构的特性1. 产生内力的原因 静定结构：荷载为唯一原因超静定结构：荷载，支座移动，温度变化，材料收缩，制造误差等。 2. 静力解答性质 静定结构：唯一性 超静定结构：无穷多组解 3. 安全性多余约束破坏后，仍为几何不变体系，安全性好。4. 因有多余约束，超静定结构一般比相应的静定结构刚度大，内力分布较均匀，变形小。图7.29第七章完原文地址：第七章 力法§7-1 超静定结构概述1. 超静定结构基本特性(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系(2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组(3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。2. 超静定结构类型图7.13. 求解原理(1) 平衡条件：解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。(2) 几何条件：或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。(3) 物理条件：求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。4. 基本方法力法：以多余约束力作为求解的基本未知量位移法：以未知结点位移作为求解的基本未知量§7-2 超静定次数的确定超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。掉多余约约束确定方法：超静定结构去?静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。强调，（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。图7.2图7.3图7.4图7.5图7.6§7-3 力法基本概念下面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解。图7.7(1) 一次超静定，去掉支座B，得到力法基本未知量与基本结构；(2) 要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与X1共同作用下，?1=0(3) 由叠加原理，有，?1??11??1P?X1?11??1P?0，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件。(4) 柔度系数?11与自由项?1P均为力法基本结构上(静定结构)的位移，由图乘法，得?ql4?11???l?l?l??l?ql?l??, ?1P??, X1??1P?ql ?118EI233EIEI3248EI(5) X1已知，可作出原结构M图，如图示。§7-4 力法典型方程由上节知，力法典型方程就是多余约束处的位移方程。下面讨论一般情况下力法方程的形式。图7.83次超静定，去掉一个固定支座，得到力法基本结构。当?1=0，?2=0，?3=0时，原结构与基本结构等价。根据叠加原理，得到力法典型方程，如下Δ1?X1δ11?X2?12?X3?13??1P?0，注意，一般为0，有不为0的情况Δ2?X1δ21?X2?22?X3?23??2P?0Δ3?X1δ31?X2?32?X3?33??3P?0选取不同的力法基本结构，如下图示图7.9依叠加原理，得到力法方程如下，Δ1?δ11X1??12X2??13X3??1P?0Δ2?δ21X1??22X2??23X3??2P?0Δ3?δ31X1??32X2??33X3??3P?0形式上完全相同，只是各符号的具体物理含义有所不同。依此类推，n次超静定结构，有n个多余约束力时，力法典型方程为?11X1??12X2????1nXn??1P??1?0?21X1??22X2????2nXn??2P??2?0??n1X1??n2X2????nnXn??nP??n?0??11?12??1n??X1???1P?????X????????2P?21222n2??????????0, [?]{X}?{?P}?0 ???????????????????n2nn??Xn??n1??nP?为线性代数方程组，由位移互等定理，?ij??ji。物理含义：(1) 力法方程：多余约束处的位移方程，力法方程也叫柔度方程，力法也叫柔度法；(2) 柔度系数?ij，j方向单位力引起的i方向的位移，主系数?ii>0，副系数?ij??ji。(3) 自由项?iP，荷载单独作用在基本结构上，引起的i方向的位移。柔度系数与自由项，都是静定结构上的位移，可由上一章的位移计算方法把它们计算出来。§7-5 力法计算步骤与示例例7-1 用力法求解图示刚架，并作M图。图7.10力法基本未知量为X1、X2，基本结构如图示，列出力法方程?11X1??12X2??1P?0 ?21X1??22X2??2P?0作出1、2、MP图，如图示。下面计算柔度系数与自由项112l311l?11??l?l?l??l?l?l??l?l?l???l?l?l?, ?12??21?, ?22? 2EI236EI2EI24EIEI232EI6EI11lFl55Fl311lFlFl3?1P?????l?????l??, ?2P?? 2EIEI22216EI力法方程成为(消去公因子l3/EI)?X2?F?0, X1?X2?F?0 43解出，X1?F, X2??F(与假设方向相反) 1188计算最后杆端弯矩，如MBC?33l3415F?l?Fl(上侧拉)，MAB?F??F?l?F?l?Fl(左侧拉) 作出最后的M图，如图示。结论：(1) 超静定结构荷载作用的内力分布，只与各杆刚度比值有关，与刚度绝对值无关；(2) 刚度大的杆件，内力一般也大；(3) 可采用不同的力法基本结构，但最后结果一定相同。图7.11力法计算步骤(1) 去掉多余约束，代之以约束反力作为力法基本未知量，得到一个静定结构作为力法的基本结构。(2) 列出力法典型方程?11X1??12X2????1nXn??1P??1?0?21X1??22X2????2nXn??2P??2?0??n1X1??n2X2????nnXn??nP??n?0(3) X1=1单独作用在基本结构上，作出1图X2=1单独作用在基本结构上，作出2图，依此类推荷载单独作用在基本结构上，作出MP图(4) 计算柔度系数与自由项主系数?ii>0，i自乘；?ij=?ji，i与j图乘；自由项，?iP，i与MP图乘。(5) 将柔度系数与自由项代入力法方程中，求解力法方程，解出多余约束力。(6) 由叠加原理，M?X11?X22???MP，计算最后的杆端弯矩。(7) 作出M图。例7-2 用力法求解两端固定超静定梁。图7.123次超静定，未知量X1、X2、X3，力法方程为?11X1??12X2??13X3??1P?0?21X1??22X2??23X3??2P?0?31X1??32X2??33X3??3P?0?13??31?0, ?23??32?0, ?3P?0, ?33得，X3=0. 力法的前两个方程成为， N23l?l??0, 则力法第3个方程成为，?33X3?0 EAEA?11X1??12X2??1P?0 ?21X1??22X2??2P?0δ11?112ll1111, ?22?, ?12??21? ??l?1????l?1??EI233EI3EIEI236EIFab2Fa2bFab(l?b)Fab(l?a), ?2P??, 可解出，X1?2, X2?2 ?1P??6EIl6EIlll结论：无论是静定梁还是超静定梁，横向荷载作用下，水平反力为0，这是梁受力的特点。 例7-3 用力法求解超静定桁架，已知各杆EA=C。图7.13利用对称性，取对称的基本结构，未知量X1，力法方程，?11X1??1P?0，求?11时，不要忘记，切开的杆件上轴力为+1，?11?2??22)a[()2?2a?(?)?2a?(?)2?2a]??1?2a? EA222EAEA122221FFa[()(?F)2a?(?)(?F)2a?(?)()2a]?? EA222222EA?1P?2?X1???1PF??0.172F(拉力) ?113?22按叠加法求出最后轴力值，FN?X1N1?FNP。例7-4 用力法求解加劲梁(组合结构)，已知，横梁I=1?10-4 m4, 链杆A=1?10-3m2，E=C。利用对称性。切开竖向链杆，未知量X1，力法方程为，?11X1??1P?0。N.189?1052?11???dS???2???4?2?(?2)?2??(?)?25??1?2? EIEAEI23EA22EAEN1FNP1MP?1P???dS??(此项为0)?2???4?80?(?2)?EIEAEI38EX1???1P??44.9kN(压力)。 ?11最后，弯杆M?X11?MP，链杆FN?X1N1?FNP讨论：(1) 无链杆时，简支梁，Mmax=80kN.m。有链杆时，Mmax=15.4kN.m，最大弯矩降低了81%，称为加劲梁；(2) A?0，加劲梁?简支梁。A?，Mmax?，?Mmin??，当A=1.7?10-3m2时，Mmax=?Mmin?，最合理；(3) A??，刚性支座，相当于两跨连续梁。图7.14§7-6 对称性的利用对称结构，指结构的几何形状与支承条件完全对称，各杆的刚度也要对称。1. 选取对称的基本结构图7.15选取对称的基本结构，在对称轴处切开，有?11X1??12X2??13X3??1P?0?21X1??22X2??23X3??2P?0?31X1??32X2??33X3??3P?0作出1、1、1、MP图，正对称与反对称图形图乘结果为0，有?13??31?0，?23??32?0力法方程可分成正对称与反对称两组?11X1??12X2??1P?0，?33X3??3P?0 ?21X1??22X2??2P?0? 正对称荷载下，MP正对称，有，?3P=0，X3=0.? 反对称荷载下，MP反对称，有，?1P=0，?2P=0，X1=0，X2=0.结论：(1) 对称结构，正对称荷载下，对称轴处切开，反对称的剪力为0，内力与位移分布均正对称；(2) 对称结构，反对称荷载下，对称轴处切开，正对称的弯矩与轴力为0，内力与位移分布均反对称。 例7-5 对称刚架，反对称荷载，各杆EI=C，试用力法求解。图7.16?11X1??1P?0112144 [?3?3?(?3)?3?6?3]?EI23EIP?2?[?6?60?3??3?120?(?3)]?EI223EI?11?2?X1???1P??12.5(kN), M?X11?MP作出M图(反对称)。 ?112. 对称结构，任意荷载=正对称荷载+反对称荷载图7.173. 取半边结构(1) 正对称荷载图7.18(2) 反对称荷载图7.19例7-6 试用力法求解圆环的内力，EI=C。图7.20取1/4结构，有，?11X1??1P?0.11?1，设下侧拉为正，MP??FRsin?，dS=Rd?。 2121?11??dS?EIEI??/2201?Rd???/2?R2EI M1?1P??1PdS?EIEI?0?FR1FR2，X1??1P? 1?(?FRsin?)Rd????11?22EIsin?)，作出圆环的弯矩图，见教材P148，图7-28 2M?X11?MP?FR(1??例7-7 非对称荷载=正对称荷载+反对称荷载图7.21§7-7 超静定结构的位移计算上一章中所述位移计算原理与方法，同样适用于超静定结构。图7.22注意，用力法求解超静定结构时，基本结构在荷载与多余约束力共同作用下，与原超静定结构完全等价。所以，单位力可以加在力法基本结构上。即求超静定结构的位移时，先把多余约束去掉，把超静定结构变成一个静定结构，然后把单位力加在静定结构上。注意，应选取恰当的基本结构。?Ku11l133Fl3????l??(?Fl)??( ? ) EIEI求超静定结构位移的方法：(1) 解超静定结构，作出M图；(2) 合理地选取一个基本结构来施加单位力；(3) 图乘法求出位移。§7-8 最后内力图的校核结构的内力图是进行结构设计的重要依据，要保证其正确，所以要进行内力图的校核。 1. 平衡条件的校核结构的整体与任何一个部分均应满足平衡条件，否则，内力图有误。一般校核结点是否满足平衡条件。2. 位移约束条件校核图7.23如校核固定支座处转角位移是否为0，不为0则内力图就不正确。?1?32[(Fl?Fl)?l?1???l?1]???l?Fl?(?1)?0, M图正确 2EI83§7-9 温度变化时超静定结构的计算对于超静定结构，温度变化会引起结构的附加内力，当然还有位移与变形。图7.24X1、X2、X3与温度变化共同作用下，基本结构与原结构等价，有，?1=0, ?2=0, ?3=0。同理，有n个多余约束时，力法典型方程为?11X1??12X2????1nXn??1t??1?0?21X1??22X2????2nXn??2t??2?0??n1X1??n2X2????nnXn??nt??n?0(1) 柔度系数?ii、?ij=?ji的计算，与外界因素无关，计算与前面完全相同。 (2) 自由项的计算，?it为温度变化引起的基本结构沿Xi方向的位移，?it???t???Ni??th?i解出多余约束力后，即可作出原结构的内力图。位移计算温度变化单独作用在基本结构上 + X1、X2、X3单独作用在基本结构上?原结构 (1) 温度变化单独作用在基本结构上，产生的位移为(单位力可加在基本结构上)?Kt???t???N??th?KMdS。 EI(2) X1、X2、X3单独作用在基本结构上，产生的位移为M图与K图图乘，即，??两部分叠加起来，得到温度变化时，超静定结构的位移计算公式为?Kt???t???N??th????KMdS EI例7-8 作图示刚架M图，并求横梁中点K的竖向位移，已知，EI=C，材料结膨胀系数为?，横截面对称于形心轴，h=l/10。图7.25t?t1125l3?11X1??1t?0, ?11?[2?(?l?l?l)?l?l?]?, t?12?30oC, ?t?t2?t1?10oC,EI233EI2?1t???t???N1??th??(?1)???30?l?1??101[?2??l?l?l?l]??230?l h2X1???1t?EI?1382, M?X11, 作出M图。 ?11l求?Ky，单位力加在基本结构上，?Ky???t???NK??tKh11l?EI1??101l??(?l?)?138?2(?)???30?l?(?l?)??34.75?l(?)EI24l2h24????KMdSEI§7-10 支座移动时超静定结构的计算超静定结构支座移动时，产生附加内力，当然还产生位移与变形。多余约束力 + 支座移动 作用在基本结构上 ? 原结构?1?0, ?2???, ?3??a图7.26力法典型方程为?11X1??12X2??13X3??1???1?0?21X1??22X2??23X3??2???2??? ?31X1??32X2??33X3??3???3?a柔度系数与外界因素无关，计算与前面相同。自由项?i?为支座移动b单独作用在基本结构上，引起的沿Xi方向的位移，计算公式为?i????Ri?ci如图示，有，?1??bb, ?2???, ?3??0 ll解出多余约束力X1、X2、X3，可作出M图。 位移计算注意，多余约束力X1、X2、X3，与支座移动b共同作用下，与原结构等价?K???KMdS?[??Rici] EI第1项为多余约束力X1、X2、X3作用在基本结构上，产生的位移；第2项为基本结构上支座移动b产生的位移。例7-9 两端固定梁，A端转动角度?，试用力法求解。图7.27?11X1??12X2??1???，因?与X1方向一致，故为正。?21X1??22X2??2??0 ?11??22?112l111l, ?12??21?? ??l?1??1???l?1??1??EI233EIEI236EI, 基本结构，无支座移动，故，?1?=0, ?2?=0。解出，X1?4EI2EI?，X2?? ll定义杆件的线刚度i为，i?EI/l，则，X1?4i?，X2?2i?，这个结果，位移法中要经常用到。 例7-10 两跨连续梁，中间支座为弹性支座，k?点竖向位移。10EI，EI=C，试用力法求解，作出M图，并求D3l图7.28选取基本结构(一)，有，?11X1??1P??X1k计算较麻烦，主要是图乘运算时很麻烦，具体求解过程与结果见教材P157。对于连续梁结构，一般应选基本结构(二)，有?11X1??1P?0?11?1?1??R?c?2?l??l?1??1?(??)??2?EI23ll?k3EIlk15EI12ql212ql1ql32q7ql3?1P?1?MP??R?c?2???l???1?(?)????EI382lk12EIk60EIX1???1P7?ql ?1164?Dy11l1722lql25l125ql181ql4?D?M??R?c?[?l??(?ql)????(?)?2]?(??)?EI2k3072EI§7-11 用弹性中心法计算无铰拱§7-12 两铰拱与系杆拱（自学）§7-13 超静定结构的特性1. 产生内力的原因 静定结构：荷载为唯一原因超静定结构：荷载，支座移动，温度变化，材料收缩，制造误差等。 2. 静力解答性质 静定结构：唯一性 超静定结构：无穷多组解 3. 安全性多余约束破坏后，仍为几何不变体系，安全性好。4. 因有多余约束，超静定结构一般比相应的静定结构刚度大，内力分布较均匀，变形小。图7.29第七章完
范文二：超静定结构计算——力法一、判断题：1、判断下列结构的超静定次数。
（2）、（3）、
（4）、（5）、
（6）、（7）、(a)(b)2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。 4、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。 5、图a结构，取图b为力法基本结构，则其力法方程为?11X1?c。X1(a)(b)6、图a结构，取图b为力法基本结构，h为截面高度，?为线膨胀系数，典型方程中?1t??a(t2?t1)l/(2h)At1t2(a)(b)hX2。1二、计算题：8、用力法作图示结构的M图。m29、用力法作图示排架的M图。已知 A = 0.2m，I = 0.05m，弹性模量为E0。4q=2kN/m11、用力法计算并作图示结构的M图。ql/213、用力法计算图示结构并作出M图。EI?常数。（采用右图基本结构。）l/3/315、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。16、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。q19、已知EI = 常数，用力法计算并作图示对称结构的M图。qq20、用力法计算并作图示结构的M图。EI =常数。21、用力法作图示结构的 M 图 。EI = 常数。qq24、用力法计算并作出图示结构的M图。E = 常数。P26、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。29、已知EA、EI均为常数，用力法计算并作图示结构M图。34、用力法求图示桁架杆BC的轴力，各杆EA相同。D37、用力法作图示结构杆AB的M图。各链杆抗拉刚度EA1相同。梁式杆抗弯刚度为EI,EI?aEA1，不计梁式杆轴向变形。240、图示结构支座A转动?，EI?常数，用力法计算并作M图。A46、用力法计算图示结构由于温度改变引起的M图。杆件截面为矩形，高为h，线膨胀系数为?。-10CEI+10C??47、用力法计算并作图示结构的M图，已知：?=0.00001及各杆矩形截面高h?0.3m, EI?2?10kN?m+10?52。CEI+10?CEI+30?C51、图示等截面梁AB，当支座A转动?A，求梁的中点挠度fC。?AACEIBfC53、图b为图a所示结构的M图，求B点的竖向位移。EI为常数。qql23ql2ql2(a)
(b) M图力法题答案（2）、3；（3）、21；（4）、6；（5）、1；（6）、7；（7）、5，62、（X） 3、（O） 4、（X） 5、（X） 6、（X）
8、MAB；M?31kN?m（上侧受拉）BC。 ?15kN?m（有侧受拉）9、X1?2.219 （压力）（水平链杆轴力） 10、M/8M7M/8M/8M图12、MCB11、
X?ql???（有侧支座水平反力）128?2.06kN?m（上侧受拉）13、15、17、PlPl2Pl2M图2l318、MCA?11?3EI,?1P??PlEI3,X1?1.5P?6007kN?m（右侧受拉）19、四 角 处 弯 矩 值：M?20、ql220（外侧受拉）21、qlql/8M图3ql/822ql/821=13ql/82lPl/4/2Pl/4l/2M1图Pl/4Pl/4M图23、.13134M图?kN.m?24、1.7P71.7P71.2P34.23P3P1.2P34.23P3PM图25、10kN11.822X110.44511.822M图?kN.m?10.44529、141141（?m28）30、MA?MD?Pl/3 (上 侧 受 拉 )
33、X1?NAC?0.561P 34、X1?NCB??0.789P 35、N1?2P2,N2??P2,N3?0,N4?P236、NDB?NDB?X1?0.086P （拉 力 ） 37、M ＝ 0。
38、Pa2Pa239、3Pl6429Pl64M图40、1M图3EI??4l?41、?11X1??11X2??1c?0 ,?21X1??22X2??2c??? ,?1c??c ,
?2c??c/l. 43、6EI5l2cM44、6EIC7lX21M图45、44=1EIa)M(46、30EI?/(hl)M图48、MB?45?EIh，下 侧 受 拉50、?CV??51、fC?53、?B??3l?16???516??????? A1?1l13EI3l??A?????l???EI?242l16ql4???24EI???
范文三：结构动力学能量法势能：设位移函数。局限性，不能同时考虑多种函数，频率偏高，动位移精度好，动内力精度低。考虑梁的轴向、弯曲、剪切和扭转变形的应变能：或者：动能：根据能量守恒，即最大动能等于最大势能，可以求出结构的频率。 若只考虑弯曲变形，梁的频率为：如果还有集中质量则，（1）（2）3）4）5）6）（ （
（（7）式中的y 为位移函数，只要满足位移边界条件即可。 以上两式也叫瑞雷商。从式（7）还可以推导出：应用：如图，8）9）
（（其周期：例题：两边简支的梁，取取余能：保持势能的优点，只设一个位移函数，可以推广到板壳及有限元中，计算频率精度特高，接近实际频率，动位移差，动内力精度高。1、 弯曲梁动力计算的最小余能公式??M2(x)Q2(x)N2(x)???(??)dx??u?R
（1）2EJ2?GA2EA0式中：最后一项为支座沉陷的余能。结构运动方程：l[EJy??(x)]???m?2y(x)?N1y??(x)?0
（2）该方程比静力问题多了?m?y(x)这一项，可以把它比拟成弹性地基上的梁。2[EJy??(x)]???ky(x)?N1y??(x)?0
（3）该简支梁弯曲变形余能为：1Pxx??2?(x?1x)2dx?1
（4）l/222EJ222k1如果梁是放在弹性系数为k的地基上时，其弹簧的余能为：l?[ky(x)]22k l???(M2(x)?[m?2y(x)]2)dx
02EJ2m?2其中M（x）为假想惯性力引起的弯矩函数。考虑剪切变形影响时式（5）可以改写成：lM2(x)?Q2(x)?[m?2y(x)]2???()dx
02EJ2?GA2m?2设 y(x)?asin?xl则假想惯性力为：q(x)?mw2y(x)
?Q(x)?M?x??q(x)??(x)?
?x?Q(x)??可以得到：Q(x)?m?2al?x?x??cosl?N1alcos?l?
M(x)?m?2a(l
?}2sin?xl?N?x?1asinl??将式（10）代入（6）得到[m2?4l??l(l?)4m2?4a2l2?12?GA(l?)2m2?4a2la2]2EJ2?2m?2?
N32122lN1N12N1a2?22EJm?a22?2?2?GAm?al?4EJal?2?GAl式（11）对m?2a取导数：5） （6） （7）（8） （9） （10）（11）（??1l51l3alN1l322?m?a?m?a??a2?G??222EJ?2?(m?2a)2EJ?4(12)N1?al?02?GA得到lN1l3N1lN1l2N1??1??22EJ?22?GAEJ?2?GA2（13） ???5342mlmlml2EJ?4?2?GA?2EJ?4?ml?GA?2式中：分母第一项为弯曲变形?2的倒数，第二项为剪切变形2b?s令N1?0时可以得到：1?2?1??122
b?s如果将常轴力N1由压力变为拉力，式（11）变为：[m22?4a2l??l(l)4m2?4a2l2?12?GA(l?)m2?4a2l]2EJ?2?2m?2?
N3212EJm?alN122N12N1a2?222?2?2?GAm?al?4EJal?2?GAl对N1a取导数，得到2N2??1?ml2此为弦横向振动的基频。若令式（13）中的?2?0，则可求得：N11?1l21EJ?2??GA强迫振动的余能方法：y(x,t)?asin?xlsin?t
均布荷载引起的弯矩和剪力：（14）15）（16）（17）（18）（Mq(x)?q?(l?x)x?2?
（19） qQq(x)?(l?x)??2于是式（10）变成：q?(l?x)??lll2 ?
（20）Q(x)?m?2acos?N1acos?l?x??xM(x)?m?2a(l?2sin?xl?N?xq1asinl?2(l?x)x??[m2?4l?*?lll1lla2]2EJ(?)4m2?4a22?2?GA(?)2m2?4a22?2m?2?N321N1N12N21a?20.129l5qm?22EJm?2a2l22a?2?2?GAm?al?4EJal?2?GAl?2EJ?2?
ql3ma?2?GA?3??*1N1?(m?2a)?l52EJ?4m?2a?1l32?G??2m?2a?al2?N1l32EJ?2a?2?GAal53?0.129lq2EJ?2?2ql?GA?3?0求得a为：0.129l4q4ql2a?EJ?2??GA?31?Nl2
1EJ?2?N2(1?GA)(1???2)1?N1l2N1其中：?2?EJ?2??GAml4ml2EJ?4??GA?20.129l4q5ql4EJ?2?384EJ弯曲变形梁中点得位移4ql2ql2?GA?3?8?GA剪切变形梁中点的位移 21） 22）23） 24）
范文四：第五章
力法三、填充题1、下列结构的超静定次数分别为（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）。 （1）、
（2）、(a)(b)（3）、
（4）、（5）、
（6）、（7）、(a)(b)2、力法方程等号左侧各项代表，3、图示结构，EI?常数，在给定荷载作用下，QAB?_____________。右侧代表。4、图a结构中支座转动?，力法基本结构如图b，力法方程中?1c?
。X2A1?(b)6、试绘出图示结构用力法计算时，未知量最少的基本结构。(a)(b)5、图a所示结构，取图b为力法基本体系，其力法方程为?11X1??1P?。四、计算题1、对于图示结构选取用力法求解时的两个基本结构，并画出基本未知量。2、图示力法基本体系，求力法方程中的系数和自由项。EI是常数。ql3、图示力法基本体系，求力法方程中的系数?11和自由项?1P。EI 是常数。4、图示为力法基本体系，求力法方程中的系数?11和自由项?1P。各杆EI相同。45、图示为力法基本体系，EI 为常数。已知?11?4l/(3EI), ?1P??ql/(8EI)。试作原结构M图。ll6、图示力法基本体系，X1为基本末知量，各杆EI相同，已知 ?11?2l/EI, ?1P??5ql3/(6EI)。试作原结构M图。/2/27、已知图示基本体系对应的力法方程系数和自由项如下： ?11??22?l3/(2EI)，?12??21?0， ?1P??5ql4/(48EI)，?2P?ql4/(48EI)，作最后M图。8、用力法计算并作图示结构M图。EI =常数。29、用力法作图示排架的M图。已知 A = 0.2m，I = 0.05m，弹性模量为E0。4q10、用力法作图示结构的M图。m11、用力法计算并作图示结构的M图。ql/212、用力法计算并作图示结构的M图。q13、用力法计算图示结构并作出M图。EI?常数。（采用右图基本结构。）l/3/314、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。15、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。16、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。q17、用力法计算并作图示结构M图。E I =常数。18、用力法计算图示结构并作弯矩图。mkN19、已知EI = 常数，用力法计算并作图示对称结构的M图。qq20、用力法作图示结构的 M 图 。EI = 常数。qq21、用力法计算并作图示结构的M图。EI =常数。22、用力法作M图。各杆EI相同，杆长均为 l 。23、用力法计算图示结构并作M图。EI = 常数。2kNm24、用力法计算并作出图示结构的M图。E = 常数。25、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。20kN26、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。27、利用对称性简化图示结构，建立力法基本结构(画上基本未知量)。E =常数。28、试利用对称性简化图示结构，建立力法基本体系。E =常数。29、已知EA、EI均为常数，用力法计算并作图示结构M图。30、求图示结构A、D两固定端的固端力矩，不考虑轴力、剪力的影响。/231、选取图示结构的较简便的力法基本结构。EI =常数。32、选择图示结构在图示荷载作用下，用力法计算时的最简便的基本结构。PP33、用力法求图示桁架杆AC的轴力。各杆EA相同。D34、用力法求图示桁架杆BC的轴力，各杆EA相同。D35、用力法计算图示桁架中杆件1、2、3、4的内力，各杆EA?常数。36、用力法求图示桁架DB杆的内力。各杆EA相同。37、用力法作图示结构杆AB的M图。各链杆抗拉刚度EA1相同。梁式杆抗弯刚度为EI,EI?a2EA1，不计梁式杆轴向变形。38、用力法计算并作出图示结构的M图。已知EI?常数，EA?常数。a239、用力法计算并作图示结构M图，其中各受弯杆EI=常数，各链杆EA?EI4l)。40、图示结构支座A转动?，EI?常数，用力法计算并作M图。A41、图a所示结构EI=常数，取图b为力法基本结构列出典型方程并求?1c和?2c。(a)(b)42、用力法计算图示超静定梁并作M图。E =常数。?2I43、用力法计算并作图示结构由支座移动引起的M图。EI =常数。c44、用力法计算并作图示结构由支座移动引起的M图。EI =常数。45、用力法作图示结构的M图。EI =常数，截面高度h均为1m，t = 20℃，+t为温度升高，-t为温度降低，线膨胀系数为?。-t-t+t46、用力法计算图示结构由于温度改变引起的M图。杆件截面为矩形，高为h，线膨胀系数为?。-10?CEI+10?C47、用力法计算并作图示结构的M图，已知：?=0.00001及各杆矩形截面高h?0.3m, EI?2?105kN?m2。+10CEI+10CEI??+30?C48、图示连续梁，线膨胀系数为?，矩形截面高度为h，在图示温度变化时，求MB的值。EI为常数。+20C-10CB-10?C?49、已知EI =常数，用力法计算，并求解图示结构由于AB杆的制造误差(短?)所产生的M图。A/2EA=oo/2B50、用力法作图示梁的M图。EI =常数，已知B支座的弹簧刚度为k。1ABk=EI/l351、用力法计算并作图示结构M图。E I =常数，K??EIl。52、图示等截面梁AB，当支座A转动?A，求梁的中点挠度fC。?AACEIBfC53、求图示单跨梁截面C的竖向位移?CV。454、图示结构承受均布荷载q，且支座C下沉??ql/24EI，各杆EI相同，求D点竖向位移?DV。q55、图b为图a所示结构的M图，求B点的竖向位移。EI为常数。qql32ql22(a)
(b) M图56、求图示结构中支座E的反力RE，弹性支座A的转动刚度为k。二、选择题1、图a 所示结构 ，EI=常数 ，取图b为力法基本体系，则下述结果中错误的是：A．?23?0 ；
B．?31?0 ； C．?2P?0 ；
D．?12?0 。ll(a)()P/2X(b)2、图示连续梁用力法求解时, 简便的基本结构是： A．拆去B、C两支座；B．将A支座改为固定铰支座，拆去B支座； C．将A支座改为滑动支座，拆去B支座；D．将A支座改为固定铰支座 ，B处改为完全铰。()3、图示结构HB为：A．P ；
D．?P 。()4、在力法方程??ijXj??1c??i中：A. ?i?0;
B. ?i?0;C. ?i?0;
D. 前 三 种 答 案 都 有 可 能。()5、图示两刚架的EI 均为常数，并分别为EI = 1和EI = 10，这两刚架的内力关系) 为：(A．M图相同；
B．M图不同；C．图a刚架各截面弯矩大于图b刚架各相应截面弯矩； D．图a刚架各截面弯矩小于图b刚架各相应截面弯矩。/2/2(a)(b)57、已知荷载作用下桁架各杆的内力如图所示，试求结点D的水平位移。EA?常数。-N??P?58、图示两跨连续梁在荷载作用下的弯矩图已作出如图所示，试求B与C两截面的相对角位移。EI?常数。q2ql225ql2M图一、是非题2341、图示结构用力法求解时，可选切断杆件2、4后的体系作为基本结构。2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。3、图a结构，取图b为力法基本结构，则其力法方程为?11X1?c。6、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。7、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。1(b)8、图示结构中，梁AB的截面EI 为常数，各链杆的E1A相同，当EI增大时，则梁截面D弯矩代数值MD增大。(a)4、图a 所示结构，取图b为力法基本体系，线胀系数为?，则?1t=?3? t l22h)。o+2t19、图示对称桁架，各杆EA,l相同，NAB?2。(b)(a)5、图a所示梁在温度变化时的M图形状如图b所示。-50C+150C(a)M图 (b)Pl/16Pl/16/2/2Pl/16Pl/4Pl/1659、图b为图a所示结构的M图，求荷载作用点的相对水平位移。EI为常数。M图(a)
范文五：力法 作业 01（ 为课后练习，答案已给出）0601 图示结构，若取梁 B 截面弯矩为力法的基本未知量 X1，当 I2增大时，则 X1 绝对值：A．增大； B．减小；
D．增大或减小，取决于I2/I1比值 。（ C
）q0602 图示桁架取杆 AC 轴力(拉为正)为力法的基本未知量X1 ，则有：A．X1?0； B．X1?0； C．X1?0； D．X1不定 ，取决于A1A2值及?值 。（ A
）0603 图 b 示图a 结构的力法基本体系，则力法方程中的系数和自由项为：A．C．?1P?0, ?12?0;
B．?1P?0, ?12?0;?1P?0,?12?0;D．?1P?0, ?12?0 。
（ B ）XX0604 图 a 结构取力法基本体系如图 b，X1 是基本未知量，其力法方程可写为?11X1??1c??1，其中： A．?1c?0,?1?0；
B．?1c?0,?1?0；C．?1c?0,?1?0；
D．?1c?0,?1?0 。
）X1(a)(b)10605 图 a 结构的最后弯矩图为 ：A．图 b；
B．图 c ；
C．图 d ；
D．都不 对 。
）M/43M/43M/4M/4M/4(a)M/4(b)M/8(c)M/2(d)0606 图示结构 f (柔 度) 从小到大时，固定端弯矩 m 为：A．从小到大； B．从大到小；
C．不变化;
D． m反向 。 （ B
）0607 图示对称结构，其半结构计算简图为图：原 图B.（
）0608 图示结构( f 为柔度)：A．MA?MC;
B．MA?MC; C．MA?MC;
D．MA??MC 。（
）MA0609 图 a 所示结构，取图 b 为力法基本体系，则基本体系中沿X1方向的位移 ?1等于：A．0;
D．X1/k 。
）2(b)0610 图a所示结构，取图b为力法基本体系，EA，EI均为常数，则基本体系中沿X1方向的位移 ?1等于：A．0；
C．?X1l/EA；
D．X1l/EA 。
)l(a)(b)3力法力法书面作业，按题目要求完成0611 试确定图示结构的超静定次数。题0611图 试用力法计算图示结构，并作内力图。题0612图
题0613图0614 试用力法计算图示结构，并作弯矩图。已知EI为常数，l=4m，q=8kN/m。题0614图
题0615图 试用力法计算图示结构，并作弯矩图。4力法题0616图
范文六：第六章
超静定结构计算——力矩分配法一、是非题1、单 结 点 结 构 的 力 矩 分 配 法 计 算 结 果 是 精 确 的 。 2、图 示 刚 架 可 利 用 力 矩 分 配 法 求 解 。2l1A3l43、在力矩分配法中反复进行力矩分配及传递，结点不平衡力矩愈来愈小，主要是因为分配系数及传递系数AAA8、用力矩分配法计算图示结构，各杆l相同，EI =常数。其分配系数?BA?0.8，?BC?0.2，?BD?0。ABCD9、用 力 矩 分 配 法 计 算 图 示 结 构 时 ， 杆 端 AC 的 分 配 系 数 ?AC=18 / 29。B2EIA5、图 示 杆 AB与 CD 的 EI、 l 相 等 ， 但 A 端 的 转 动 刚 度SAB大 于C 端 的 转 动 刚 度SCD 。ABCDk=EI/l35EICEID10、若用力矩分配法计算图示刚架，则结点A的不平衡力矩为 ?M?3Pl。166、力矩分配法中的分配系数、传递系数与外来因素（荷载、温度变化等）有关。7、图示结构EI =常数，用力矩分配法计算时分配系数?A 4= 4 / 11。—— 9 ——二、选择题1、下 图 中 哪 一 种 情 况 不 能 用 力 矩 分 配 法 计 算 。ABCDC.
结 点 A 上 作 用 单 位 外 力 偶 时 ， 在AB 杆 A 端 产 生 的 力 矩 ；D.
结 点 A 上 作 用 外 力 偶 时 ，在AB杆 A 端 产 生 的 力 矩 。4、图 示 结 构 ，EI = 常 数 ，杆 BC 两 端 的 弯 矩 MBC 和 MCB 的 比 值 是 ： A. -1/4
B. －1/2 ；
D. 1/2 。M2、图 示 结 构 用 力 矩 分 配 法 计 算 时 ， 分 配 系 数 ?A4为 ：A . 1 / 4 ;
B . 1 2 / 2 1 ;C . 1 / 2 ;
D . 6 / 1 1 。43=33i1=1Ai2=21i4=15、结 构 及 荷 载 如 图
所 示 ， 当 结 点 不2平 衡 力 矩（
约 束 力 矩 ）为 0.125ql 时 , 其 荷 载 应 是
：2A . q1?q , M?ql/4 ;2B . q1?q , M??ql/4 ;2C . q1??q , M?ql/4 ;
2D . q1??q , M??ql/4。3、在 力 矩 分 配 法 中 ， 分 配 系 数 ?AB 表 示 ：A.
结 点 A 有 单 位 转 角 时 ， 在 AB 杆 A 端 产 生 的 力 矩 ；B.
结 点 A 转 动 时 ， 在AB杆 A 端 产 生 的 力 矩 ；2qM三、填充题1、传 递 系 数 C 表 示 当 杆 件 近 端 有 转 角 时 ，___________ 与 __________的 比 值 ， 它 与 远 端 的______________ 有 关 。 2、已 知 图 示 结 构 力 矩 分 配 系 数 ， 则 杆 端 弯 矩 MA1 为 _______________ 。kN2m4mE I = 常 数 。—— 10
——四、计算题1、用力矩分配法作图示结构的M图。已知：P?24kN，M0?15kN?m,?BA?3/7,?BC?4/7。7、用力矩分配法作图示结构M图。m/l2、用力矩分配法计算连续梁并求支座B的反力。20kND8、用力矩分配法计算图示结构，并作M图 。qE3、用力矩分配法计算图示结构并作M图。EI =常数。l9、已知：q?20kN/m,M?100kN?m,?AB?0.4,?AC?0.35,?AD?0.25。用力矩分配法作图示结构的M图。4、用力矩分配法作图示梁的弯矩图。EI为常数。（计算两轮）6m2m10、已知：q?20kN/m,?AB?0.32,?AC?0.28,?AD?0.25,用力矩分配法作图示结构?AE?0.15。的M图。5、计算图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。D6图。（计算两轮）—— 11 ——11、已知图示结构的力矩分配系数?A1?8/13,?A2?2/13,?A3?3/13,作M图。15、用力矩分配法作图示结构的M图。已知：P = 1 0 kN , q = 2 kN /m , 横梁抗弯刚度为2EI，柱抗弯刚度为EI。212、求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。m16、用力矩分配法计算并作图示结构M图。EI =常数。613、求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。E I =常数。4m17、求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。已知q =20 kN/m ,各杆EI相同。qD14、用力矩分配法作图示结构M图。已知：P = 10 kN , q = 2.5 kN/m ,各杆EI相同，杆长均为4m。P18、用力矩分配法计算图示结构，并作M图。（EI =常数）P19、用力矩分配法计算图示结构，并作M图。（EI =常数）—— 12 ——2Mm20、用力矩分配法作图示对称刚架的M图。E I = 常数。24、用力矩分配法作图示对称刚架的M图。EI为常数。EA??。（计算二轮）36m3680mm21、用力矩分配法计算图示对称结构，并作M图。E I =常数。P25、用力矩分配法作图示结构的M图。各杆的线刚度比值如图所示。m22、用力矩分配法计算图示对称结构并作出M图。EI =常数。26、用力矩分配法作图示对称结构的M图。（EI =常数）m23、用力矩分配法计算图示结构并作M图。各杆线刚度比值如图所示。—— 13 ——第六章
超静定结构计算——力矩分配法一、是非题1、单 结 点 结 构 的 力 矩 分 配 法 计 算 结 果 是 精 确 的 。 2、图 示 刚 架 可 利 用 力 矩 分 配 法 求 解 。2l1A3l43、在力矩分配法中反复进行力矩分配及传递，结点不平衡力矩愈来愈小，主要是因为分配系数及传递系数AAA8、用力矩分配法计算图示结构，各杆l相同，EI =常数。其分配系数?BA?0.8，?BC?0.2，?BD?0。ABCD9、用 力 矩 分 配 法 计 算 图 示 结 构 时 ， 杆 端 AC 的 分 配 系 数 ?AC=18 / 29。B2EIA5、图 示 杆 AB与 CD 的 EI、 l 相 等 ， 但 A 端 的 转 动 刚 度SAB大 于C 端 的 转 动 刚 度SCD 。ABCDk=EI/l35EICEID10、若用力矩分配法计算图示刚架，则结点A的不平衡力矩为 ?M?3Pl。166、力矩分配法中的分配系数、传递系数与外来因素（荷载、温度变化等）有关。7、图示结构EI =常数，用力矩分配法计算时分配系数?A 4= 4 / 11。—— 9 ——二、选择题1、下 图 中 哪 一 种 情 况 不 能 用 力 矩 分 配 法 计 算 。ABCDC.
结 点 A 上 作 用 单 位 外 力 偶 时 ， 在AB 杆 A 端 产 生 的 力 矩 ；D.
结 点 A 上 作 用 外 力 偶 时 ，在AB杆 A 端 产 生 的 力 矩 。4、图 示 结 构 ，EI = 常 数 ，杆 BC 两 端 的 弯 矩 MBC 和 MCB 的 比 值 是 ： A. -1/4
B. －1/2 ；
D. 1/2 。M2、图 示 结 构 用 力 矩 分 配 法 计 算 时 ， 分 配 系 数 ?A4为 ：A . 1 / 4 ;
B . 1 2 / 2 1 ;C . 1 / 2 ;
D . 6 / 1 1 。43=33i1=1Ai2=21i4=15、结 构 及 荷 载 如 图
所 示 ， 当 结 点 不2平 衡 力 矩（
约 束 力 矩 ）为 0.125ql 时 , 其 荷 载 应 是
：2A . q1?q , M?ql/4 ;2B . q1?q , M??ql/4 ;2C . q1??q , M?ql/4 ;
2D . q1??q , M??ql/4。3、在 力 矩 分 配 法 中 ， 分 配 系 数 ?AB 表 示 ：A.
结 点 A 有 单 位 转 角 时 ， 在 AB 杆 A 端 产 生 的 力 矩 ；B.
结 点 A 转 动 时 ， 在AB杆 A 端 产 生 的 力 矩 ；2qM三、填充题1、传 递 系 数 C 表 示 当 杆 件 近 端 有 转 角 时 ，___________ 与 __________的 比 值 ， 它 与 远 端 的______________ 有 关 。 2、已 知 图 示 结 构 力 矩 分 配 系 数 ， 则 杆 端 弯 矩 MA1 为 _______________ 。kN2m4mE I = 常 数 。—— 10
——四、计算题1、用力矩分配法作图示结构的M图。已知：P?24kN，M0?15kN?m,?BA?3/7,?BC?4/7。7、用力矩分配法作图示结构M图。m/l2、用力矩分配法计算连续梁并求支座B的反力。20kND8、用力矩分配法计算图示结构，并作M图 。qE3、用力矩分配法计算图示结构并作M图。EI =常数。l9、已知：q?20kN/m,M?100kN?m,?AB?0.4,?AC?0.35,?AD?0.25。用力矩分配法作图示结构的M图。4、用力矩分配法作图示梁的弯矩图。EI为常数。（计算两轮）6m2m10、已知：q?20kN/m,?AB?0.32,?AC?0.28,?AD?0.25,用力矩分配法作图示结构?AE?0.15。的M图。5、计算图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。D6图。（计算两轮）—— 11 ——11、已知图示结构的力矩分配系数?A1?8/13,?A2?2/13,?A3?3/13,作M图。15、用力矩分配法作图示结构的M图。已知：P = 1 0 kN , q = 2 kN /m , 横梁抗弯刚度为2EI，柱抗弯刚度为EI。212、求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。m16、用力矩分配法计算并作图示结构M图。EI =常数。613、求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。E I =常数。4m17、求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。已知q =20 kN/m ,各杆EI相同。qD14、用力矩分配法作图示结构M图。已知：P = 10 kN , q = 2.5 kN/m ,各杆EI相同，杆长均为4m。P18、用力矩分配法计算图示结构，并作M图。（EI =常数）P19、用力矩分配法计算图示结构，并作M图。（EI =常数）—— 12 ——2Mm20、用力矩分配法作图示对称刚架的M图。E I = 常数。24、用力矩分配法作图示对称刚架的M图。EI为常数。EA??。（计算二轮）36m3680mm21、用力矩分配法计算图示对称结构，并作M图。E I =常数。P25、用力矩分配法作图示结构的M图。各杆的线刚度比值如图所示。m22、用力矩分配法计算图示对称结构并作出M图。EI =常数。26、用力矩分配法作图示对称结构的M图。（EI =常数）m23、用力矩分配法计算图示结构并作M图。各杆线刚度比值如图所示。—— 13 ——
范文七：结构力学自测题（第五单元）力法姓名 学号 一、是 非 题（将 判 断 结 果 填 入 括 弧 ：以 O 表 示 正 确 ，以 X 表 示 错 误 ）1、图 示 结 构 用 力 法 求 解 时，可 选 切 断 杆 件 2、4 后 的 体 系 作 为 基 本 结 构 。()2342、图 示 结 构 中 ，梁 AB 的 截 面 EI 为 常 数，各 链 杆 的E1A相 同， 当 EI 增 大 时 ，则 梁 截 面 D 弯 矩 代 数 值 MD 增 大。()C3、图 a 所 示 结 构，取 图 b 为 力 法 基 本 体 系 ，线 胀 系数 为? ，则?1t=?3? t l22h)。()o+X12t(a)(b)4、图 示 对 称 桁 架 ，各 杆 EA,l 相 同 ，NAB? 。()5、图 a 所 示 梁 在 温 度 变 化 时 的 M 图 形 状 如 图 b 所 示 ，对 吗 ?
)-50C+150CM图 (a)(b)二、选 择 题 （ 将 选 中 答 案 的 字 母 填 入 括 弧 内 ）1、图 a 所 示 结构 ，EI = 常数 ，取 图 b 为 力 法 基 本 体 系，则 下 述 结 果 中 错 误 的 是： A．?23?0 ；
B．?31?0 ； C．?2P?0 ；
D．?12?0 。()lP/2lX(a)(b)2、图 示 连 续 梁 用 力 法 求 解 时 ,最 简 便 的 基 本 结 构 是 ：A．拆 去 B、C 两 支 座 ；B．将 A 支 座 改 为 固 定 铰 支 座 ，拆 去 B 支 座 ；C．将 A 支 座 改 为 滑 动 支 座 ，拆 去 B 支 座 ；D．将 A 支 座 改 为 固 定 铰 支 座 ，B 处 改 为 完 全 铰 。()3、图 示 结 构 HB 为 ：
D．?P 。()4、图 示 两 刚 架 的 EI 均 为 常 数 ，并 分 别 为 EI = 1 和 EI = 10，这 两 刚 架 的 内 力 关 系 为：()A．M 图 相 同；
B．M 图 不 同；C．图 a 刚 架 各 截 面 弯 矩 大 于 图 b 刚 架 各 相 应 截 面弯 矩；D．图 a 刚 架 各 截 面 弯 矩 小 于 图 b 刚 架 各 相 应 截 面弯 矩。/2/2(a)(b)5、在 力 法 方 程??ijXj??1c??i 中 ：A. ?i?0;
B. ?i?0;C. ?i?0;
D. 前 三 种 答 案 都 有 可 能。()三、填 充 题 （ 将 答 案 写 在 空 格 内 ）1、图 示 结 构 超 静 定 次 数 为
。2、力 法 方 程 等 号左 侧 各 项 代 表
， 右 侧 代 表
。 3、图 示 结 构，EI?常 数 ， 在 给 定 荷 载 作用 下 ，QAB?_____________。4、试 绘 出 图 示 结 构 用 力 法 计 算 时 ，未 知 量 最 少 的 基 本 结 构 。5、图 a 结 构 中 支 座 转 动 ?，力 法 基 本 结 构 如 图 b ，力 法方 程 中 ?1c?
。X2A?(b)四、已 知 图 示 基 本 体 系 对 应 的 力 法 方 程 系 数 和 自 由 项 如 下：?11??22?l3/(2EI)，?12??21?0，?1P??5ql4/(48EI)，?2P?ql4/(48EI)，作 最 后 M 图 。五、已 知 EA 、EI 均 为 常 数 ， 试 用 力 法 计 算 并 作 图 示 对 称 结 构 M图 。六、力 法 计 算 ，并 作 图 示 对 称 结 构 由 支 座 移 动 引 起 的 M 图 。EI = 常 数 。l七、用 力 法 计 算 并 作 图 示 结 构 的M 图 。各 杆 截 面 相 同 ，EI = 常 数 ，矩形 截 面 高 为 h，材 料 线 膨 胀 系 数 为 ? 。-5C?-20C?-5C?八、已 知 各 杆 的 E A 相 同 ， 用 力 法 计 算 并 求 图 示 桁 架 的 内 力 。九、图 b为 图 a 所 示 结 构 的M 图 ， 求 荷 载 作 用 点 的 相 对 水 平 位 移 。EI 为 常 数 。Pl/16Pl/16/2/2Pl/4Pl/16Pl/16
(b)自测题（第五单元）力法答案一、1
D 三、1、 6 2、基 本 体 系 沿 基 本 未 知 力 方 向 的 位 移
(2分)； 原 结 构 沿 基 本 未 知 力 方 向 的 位 移
(2分)。3、2l
( 5 分 )l13mMp图432mM图?l3211?EI，?1P??mlEI，X1?l，QAB?2l4、(6分)5、?l?
(6分)四、5ql224ql22qlql2M图
(4分 )Xql1?524 ,
Xql2??24(3分 ) 五、利 用 对 称 性 知NEF?0， 取 半 结 构 计 算 ，
（1 分 ）X1
MP 图?11?7l3EI?,
?1P??ml12EI?, （4 分 ）?X1?m28（2 分 ） 141114M图 （?m28）
（4 分 ）六、?11?7l3/24EI, ?1c??c/2,X1?12EIc/7l3。6EIC7lX1M图(10分 )七、基 本结 构 ：(3分 )EI?11?4l3/3,?5?2hl?5h?9l?,X15?EI1t?1??8hl2?5h?9l? (4分 ) 11M图 ????15?8hlEI(5h?9l)???(3分)八、一 次 超 静 定 ，?11?38.EA??19.31PEA(5 分 )1P?X1?0.5P
(5 分)-.70705.P-05.P.707PN图(5 分)九、虚 拟 状 态 ，l4 分 ）5Pl3??192EI（靠 拢 ）
范文八：第五章
力法一、是非题1、图示结构用力法求解时，可选切断杆件2、4后的体系作为基本结构。234-5C00+15C(a)M图 (b)2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。3、图a结构，取图b为力法基本结构，则其力法方程为?11X1?c。16、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。7、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。8、图示结构中，梁AB的截面EI 为常数，各链杆的E1A相同，当EI增大时，则梁截面D弯矩代数值MD增大。(a)(b)4、图a 所示结构，取图b为力法基本体系，线胀系数为?，则2?1t=?3? t l(2h)。oCX1+2t9、图示对称桁架，各杆EA,l相同，NAB?P2。(a)(b)5、图a所示梁在温度变化时的M图形状如图b所示。二、选择题1、图a 所示结构 ，EI=常数 ，取图b为力法基本体系，则下述结果中错误的是： A．?23?0 ；
B．?31?0 ；)C．?2P?0 ；
D．?12?0 。(ll/2X(a)(b)P/22、图示连续梁用力法求解时, 简便的基本结构是：A．拆去B、C两支座；B．将A支座改为固定铰支座，拆去B支座； C．将A支座改为滑动支座，拆去B支座；D．将A支座改为固定铰支座 ，B处改为完全铰。()3、图示结构HB为：
C．PP；()2；
D．?P 。4、在力法方程??ijXj??1c??i中：A. ?i?0;
B. ?i?0;C. ?i?0;
D. 前 三 种 答 案 都 有 可 能。()5、图示两刚架的EI 均为常数，并分别为EI = 1和EI = 10，这两刚架的内力关系为：()A．M图相同；
B．M图不同；C．图a刚架各截面弯矩大于图b刚架各相应截面弯矩； D．图a刚架各截面弯矩小于图b刚架各相应截面弯矩。/2/2(a)(b)三、填充题1、下列结构的超静定次数分别为（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）。 （1）、
（2）、(a)(b)（3）、
（4）、（5）、
（6）、（7）、(a)(b)2、力法方程等号左侧各项代表，5、图a所示结构，取图b为力法基本体系，其力法方程为?11X1??1P?。X1右侧代表。3、图示结构，EI?常数，在给定荷载作用下，QAB?_____________。6、试绘出图示结构用力法计算时，未知量最少的基本结构。X2(a)(b)4、图a结构中支座转动?，力法基本结构如图b，力法方程中?1c?
。A?(b)四、计算题1、对于图示结构选取用力法求解时的两个基本结构，并画出基本未知量。lq2、图示力法基本体系，求力法方程中的系数和自由项。EI是常数。3、图示力法基本体系，求力法方程中的系数?11和自由项?1P。EI 是常数。/2/24、图示为力法基本体系，求力法方程中的系数?11和自由项?1P。各杆EI相同。7、已知图示基本体系对应的力法方程系数和自由项如下：3?11??22?l/(2EI)，?12??21?0，?1P??5ql/(48EI)，?2P?ql/(48EI)44，作最后M图。5、图示为力法基本体系，EI 为常数。已知?11?4l/(3EI), ?1P??ql/(8EI)4。试作原结构M图。8、用力法计算并作图示结构M图。EI =常数。ll9、用力法作图示排架的M图。已知 A = 0.2m，I = 0.05m，弹性模量为E0。2X1为基本末知量，6、图示力法基本体系，各杆EI相同，已知4?11?2l/EI, ?1P??5ql/(6EI)。试作原3结构M图。q=2kN/m10、用力法作图示结构的M图。14、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。m11、用力法计算并作图示结构的M图。ql/215、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。12、用力法计算并作图示结构的M图。q16、用力法计算图示结构并作M图。EI=常数。q13、用力法计算图示结构并作出M图。EI?常数。（采用右图基本结构。）17、用力法计算并作图示结构M图。E I=常数。l/3/318、用力法计算图示结构并作弯矩图。mkN23、用力法计算图示结构并作M图。EI = 常数。2kNm19、已知EI = 常数，用力法计算并作图示对称结构的M图。qq 24、用力法计算并作出图示结构的M图。E = 常数。P20、用力法作图示结构的 M 图 。EI = 常数。qq25、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。20kNm21、用力法计算并作图示结构的M图。EI =常数。26、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。22、用力法作M图。各杆EI相同，杆长均为 l 。27、利用对称性简化图示结构，建立力法基本结构(画上基本未知量)。E =常数。31、选取图示结构的较简便的力法基本结构。EI =常数。32、选择图示结构在图示荷载作用下，用力法计算时的最简便的基本结构。P28、试利用对称性简化图示结构，建立力法基本体系。E=常数。P29、已知EA、EI均为常数，用力法计算并作图示结构M图。33、用力法求图示桁架杆AC的轴力。各杆EA相同。D30、求图示结构A、D两固定端的固端力矩，不考虑轴力、剪力的影响。/234、用力法求图示桁架杆BC的轴力，各杆EA相同。CD35、用力法计算图示桁架中杆件1、2、3、4的内力，各杆EA?常数。39、用力法计算并作图示结构M图，其中各受弯杆EI=常数，各链杆EA?EI(4l)。236、用力法求图示桁架DB杆的内力。各杆EA相同。?常数，40、图示结构支座A转动?，EI用力法计算并作M图。A37、用力法作图示结构杆AB的M图。各链杆抗拉刚度EA1相同。梁式杆抗弯刚2度为EI,EI?aEA1，不计梁式杆轴向变形。41、图a所示结构EI=常数，取图b为力法基本结构列出典型方程并求?1c和?2c。(a)(b)38、用力法计算并作出图示结构的M图。已知EI?常数，EA?常数。a42、用力法计算图示超静定梁并作M图。E =常数。?=12II43、用力法计算并作图示结构由支座移动引起的M图。EI =常数。c47、用力法计算并作图示结构的M图，已知：?=0.00001及各杆矩形截面高52h?0.3m, EI?2?10kN?m。+10CEI+10C??EI44、用力法计算并作图示结构由支座移动引起的M图。EI =常数。+30C?48、图示连续梁，线膨胀系数为?，矩形截面高度为h，在图示温度变化时，求MB的值。EI为常数。+20?C-10?-10CBC45、用力法作图示结构的M图。EI =常数，截面高度h均为1m，t = 20℃，+t为温度升高，-t为温度降低，线膨胀系数为?。-t49、已知EI=常数，用力法计算，并求解图示结构由于AB杆的制造误差(短?)所产生的M图。A/2-t+tEA=oo/2B46、用力法计算图示结构由于温度改变引起的M图。杆件截面为矩形，高为h，线膨胀系数为?。-10CEI+10C??50、用力法作图示梁的M图。EI =常数，已知B支座的弹簧刚度为k。1AB3k=EI/l51、用力法计算并作图示结构M图。E I =常数，K?56、求图示结构中支座E的反力RE，弹性支座A的转动刚度为k。?EI。52、图示等截面梁AB，当支座A转动?A，求梁的中点挠度fC。?AACEIB57、已知荷载作用下桁架各杆的内力如EA?常图所示，试求结点D的水平位移。数。-fC53、求图示单跨梁截面C的竖向位移?CV。N??P?54、图示结构承受均布荷载q，且支座C下沉??ql/24EI458、图示两跨连续梁在荷载作用下的弯矩图已作出如图所示，试求B与C两截面的相对角位移。EI?常数。qql222ql2525M图，各杆EI相同，求D点竖向位移?DV。q59、图b为图a所示结构的M图，求荷载作用点的相对水平位移。EI为常数。Pl/16/2/2Pl/1655、图b为图的竖向位移。EI为常数。qql2a所示结构的M图，求B点Pl/4Pl/16Pl/163ql28ql2M图(a)
(b)M图—— 42 ——
范文九：第5章力法§5-1 超静定次数的确定§5-1 超静定次数的确定§5-2 力法计算一次超静定结构§5-3 力法计算二次及多次超静定结构§5-4 对称性的利用§5-5 力法计算超静定桁架及组合结构§5-6 支座移动温度变化作用下超静定结构的计算§5-7 两铰拱的计算静定结构+多余约束=超静定结构静定结构的未知力个数等于静力平衡方程数超静定结构的未知力个数大于静力平衡方程数,多出来未知力就是多余约束的约束反力。多余约束的约束反力就是用力法解超静定结构的基本未知数，一个多余约束就是一个未知数。一个多余约束的超静定结构叫做一次超静定结构,两个多余约束的超静定结构叫做二次超静定结构。不光要确定超静定的次数,更重要的是确定具体的未知数（多余1约束的约束反力）。作业：5-1X1XXXX每个封闭的格子都是三个多余约束!23次3次3§5-2 力法计算一次超静定结构q基本结构Δ1作业：5-2(c)基本未知数(量)：多余约束处的约束反力（多余未知力）。基本结构：原结构去掉多余约束后的静定结构。(基本结构具有多样性)基本体系：基本结构上作用了外荷载与多余未知力。力法基本方程（力法方程，变形协调方程）：在外荷载和多余未知力共同作用下，基本结构在多余约束处的位移与原结构一致。（变形协调条件）Δ1= 04qΔ1Δ1= 0X1ΔΔ=1+11Δ11=δ11X1Δ1= δ11X1+ Δ1P力法基本方程如果原结构在多余约束处有支座移动1，则Δ1= δ11X1+ Δ1P=0Δ1= δ11X1+Δ1P= 15111=1l1荷载l1单位力22δ11l2ll311=∫EIds=EI2g3=3EIδ11X1+ Δ1P=0X1= -Δ1P/δ11=3ql/81PMP?∫1MP1P=EIds24=-1EIg13gql2glg3lql4=-8EIM=1X1+MPql2/8M图6基本结构的多样性qX1X1关于基本结构的注意事项：11. 去掉的约束数不能过多，以至于剩下的是可变体系。2. 去掉的约束数不能过少，以至于剩下的还有多余约束（本后可突破）。3. 只能够去掉约束构成基本结构，切不可增加约束。条以7力法计算一次超静定结构的步骤1.确定基本未知数，选取基本结构，列力法基本方程。δ11X1+ Δ1P=02.
作1、1、1、MP、QP、NP图。3.
计算δ11、Δ1P。222δ∫111EI+∫kGA+∫11=EA>0?1MP1QP1NP1P=∫EI+∫kGA+∫EA4. 解力法基本方程，得X= -Δ1。(δ11>0,方程有唯一解)X11P/δ115.
作内力图。M=1X1+MPQ=1X1+QPN=1X1+NP8例1. 计算图示超静定梁,作弯矩图。1.确定基本未知数，选取基本结构，列力法基本方程。δ11X1+Δ1P=02.
作、M图。lMP13.
计算δ11、Δ1P。5.
作弯矩图。2321l1l2δ11=∫=ggl=M=X+M11PEI3EIEI23M11Pll21l?1P=∫=-ggg(gl+EIEI2223325Pl=-48EI34.
解方程X1= -Δ1P/δ11=5P/165Pl/32例2. 计算图示超静定刚架,作弯矩图。δ11X1+ Δ1P=02δ=∫1EI=1EIg(a22g23ga+a2ga)=4a3113EI24?1MP1P=∫EI=-1EI13gqa2gaga=-qa6EIX1= -Δ1P/δ11=qa/81=10.5qa2M=1X1+MPqa2/83qa2/810§5-3 力法计算二次及多次超静定结构基本结构Δ基本未知数(量)：多余约束处的约束反力（多余未知力）。基本结构：原结构去掉多余约束后的静定结构。(具有多样性)基本体系：基本结构上作用了外荷载与多余未知力。基本方程（力法方程，变形协调方程）：在外荷载和多余未知力共同作用下，基本结构在多余约束处的位移与原结构一致。Δ1= 0Δ2= 0作业：5-2(d)11ΔΔ1= 0Δ2= 0δ21X1δ12X2X2Δ2P++1=δ11X1+δ12X2+Δ1P=0122=δ21X1+δ22X2+Δ2P=0?δ12??δ??21?Δ1= δ11X1+δ12X2+Δ1P=0Δ2= δ21X1+δ22X2+Δ2P=0为正定矩阵，行列式大于零，方程有唯一解。δij：Xj=1作用下基本结构沿Xi方向的位移。δii>0, δij=δjiΔiP：外荷载作用下基本结构沿Xi方向的位移。13mlδ∫2EIds211==1EIg(l2g2l3+l2gl)4l3=3EI2δ=∫llEIds=EI2g3=3EI2δ=∫121l312EIds=-lEIg2gl=-2EI?M1ml21P=∫EIds=-EImglgl=-EI?=∫M122PEIds=EImglg12l=ml2EImMP413X2Xm?1-2-l=0??X3m1=7l-11m?2X1+3X2+2l=0???X-6m2=7lM=1X1+2X2+MP47m7m2M7m14力法计算二次超静定结构的步骤1.确定基本未知数，选取基本结构，列力法基本方程。δ11X1+δ12X2+Δ1P=0δ21X1+δ22X2+Δ2P=02.
作1、1、1、2、Q2、2MP、QP、NP图。3.
计算δ11、δ12=δ21、δ22、Δ1P、Δ2P。δij=∫ijEI+∫kijGA+∫ijEA(i=1,2
j=1,2)δii>0,
δij=δjiiMPiQPiNP?iP=∫+∫k+∫
(i=1,2)EIGAEA4. 解力法基本方程，得X1、X2。5.
作内力图。M=1X1+2X2+MPQ=1X1+2X2+QPN=1X1+2X2+NP15δ11X1+δ12X2+Δ1P=0例1. 计算图示超静定梁,作弯矩图。δ21X1+δ22X2+Δ2P=0qP2/12q2基本体系2l1l2δ11=δ22=∫ds=gg=EI233EIEI121l1lδ12=δ21=∫ds=g=EIEI236EIM?1P=?2P=∫dsEI32ql12ql1=gglg=EI38224EI3M?llql=0?X1+X2+?3EI6EI24EI?3llqlX1+X2+=0??6EI3EI24EI?12X1=X2=-ql12M=1X1+2X2+MP16例2. 计算图示超静定刚架,作弯矩图。δ11X1+δ12X2+Δ1P=0δ21X1+δ22X2+Δ2P1δ12=δ21=∫ds729δ11=∫ds=(gg9+9g6g9)=EIEIEIEI2322121.5192132=-2108=-gg3(3gg3+3g9g3)=δ22=∫ds=EIEI2EI23EIP=∫=-g[g120g6g(9+3)+120g6g9]=-EI233EI2MP?2P=∫=gg120g6g3=EIEI2EIδ=72911=-EIδ121.512EIδ=10822EIδ121.521=-EI729X1-121.5X2-9000=0?-121.5XX?1+?M=1X1+2X2+MP12.645M(kN·m)?-90001P=EI?=10802PEIX1=13.143X2=4.78618力法计算n次超静定结构的步骤1.确定基本未知数, 选取基本结构,列力法基本方程(典型方程)。δ11X1+δ12X2+······+δ1nXn +Δ1P=0δ21X1+δ22X2+ ······+δ2nXn +Δ2P=0 ································δn1X1+δn2X2+ ······+δnnXn+ΔnP=0?δ12...........δ1n??δ?...........δ21222n???????δn1δn2...........?系数矩阵为正定矩阵，行列式大于零，方程有唯一解。2.
作MiiNi(i=1~n)、MP、QP、NP图。3.
计算δij(i=1~n,j=1~n),ΔiP(i=1~n)。iMPiQPiNP?iP=∫+∫k+∫
(i=1~n)δii>0,
δij=δjiEIGAEAδij=∫ij+∫kij+∫ij(i=1~n
j=1~n)δij：Xj=1作用下基本结构沿Xi方向的位移。ΔiP：外荷载作用下基本结构沿Xi方向的位移。19解力法基本方程，得Xi(i=1~n)。5.
作内力图。M=1X1+2X2+.............+nXn+MPQ=1X1+2X2+.............+nXn+QPN=1X1+2X2+.............+nXn+NP3次超静定结构δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0M=1X1+2X2+3X3+MPQ=1X1+2X2+3X3+QPN=1X1+2X2+3X3+NP204.§5-4 对称性的利用对称结构：结构有一根对称轴,结构关于对称轴对称。作业:5-3(a)(b)1.结构的几何形状(含支座情况)关于对称轴对称；2.杆件截面尺寸和材料性质（EI、EA）也对称。对称:镜面对称,绕对称轴折叠后几何形状、EI 、EA重合。对称荷载：绕对称轴折叠后，对称轴两侧的荷载大小相等，方向重合。反对称荷载：绕对称轴折叠后，对称轴两侧的荷载大小相等，21方向相反。对称结构的任何荷载都可以分解为对称荷载与反对称荷载=+对称结构计算时一般要选取对称与反对称的未知力2X对称的未知力：弯矩X1、轴力X2反对称的未知力：剪力X3对称结构具有如下重要特性：对称结构对称荷载只有对称的未知力。对称结构反对称荷载只有反对称的未知力。22对称结构计算第一步，选取对称与反对称的未知力计算。2Xδ11X1+δ12X2+δ13X3+?1P=0???δ21X1+δ22X2+δ23X3+?2P=0??δ31X1+δ32X2+δ33X3+?3P=0??13δ13=δ31=∫ds=0EI23δ23=δ32=∫ds=0EIδ11X1+δ12X2+?1P=0???δ21X1+δ22X2+?2P=0??δ33X3+?3P=0X2=13=1达到简化计算的目的！23123对称结构计算第二步，进一步将荷载分解为对称与反对称荷载。对于对称荷载:M?3P=∫ds=0EIδ11X1+δ12X2+?1P=0??δ21X1+δ22X2+?2P=0?δ33X3+?3P=0δ33X3=0→X3=0结论:对称结构对称荷δ11X1+δ12X2+?1P=0???载只有对称的未知力。δX+δX+?=0?2112222P?对称荷载M图对于反对称荷载:δ11X1+δ12X2=0???1MPδ21X1+δ22X2=0??1P=∫ds=0?EI2MP→X=X=012?2P=∫ds=0EI结论:对称结构反对称荷δ33X3+?3P=0载只有反对称的未知力。反对称荷载M图24对称结构计算第三步，对于对称荷载与反对称荷载进一步按半刚架计算。本内容在位移法中介绍。例1. 计算图示对称刚架,作弯矩图。对称荷载反对称荷载可以证明:对称荷载作用下结构弯矩为零2511X1+ Δ1P=0X1=-?1P/δ11Ph/26kPh=-6k+12lI2hk=I1l23lhl21l22l2ll+gghg=gg()gg+δ11=∫ds=2EI112EI2EI2EI221PhlPhl1MPgghg=?1P=∫ds=EI12224EI1EI2261X1+MP6kPhPI1→∞,k →0柱子弯矩为零的点叫做反弯点反弯点位于柱顶与柱中点之间。一般假定在柱中点。Ph/4Ph/4Ph/4Ph/4I2→∞,k →∞27证明对称荷载作用下结构弯矩为零。选取非对称的未知力。δ11X1+δ12X2+δ13X3+?1P=0?δ=0?21X1+δ22X2+δ23X3+?2P??δ?31X1+δ32X2+δ33X3+?3P=0??X1=X2=X3=0M=1X1+2X2+3X3+MP=0Q=1X1+2X2+3X3+QP=0N=1X1+2X2+3X3+NP=NP?1MP1P=∫EIds=0?M2P=∫EIds=0?∫3MP3P=EIds=028对称性的利用-半刚架法1. 奇数跨对称结构(1)对称荷载1(2)PPq1iBE=EI2EI2l/2=2lPP292.偶数跨对称结构(1)对称荷载q302.偶数跨对称结构(2)反对称荷载ABMABAA)l22lii?=2(4θA-6)22l对称轴上杆件拆分为两根杆件(抗弯刚度减半),由于结构对称,荷载反对称,结点位移也相同。对称轴上杆件的弯矩(剪力、轴力)为两根拆分杆的弯矩(剪力、轴力)之和。两根拆分杆的轴力大小相同、符号相反,对称轴上杆件的轴力为零。=§5-5 力法计算超静定桁架和组合结构1. 超静定桁架杆件编号作业：5-4δ11X1+ Δ1P=032杆件∑lδ11=ΣEA2l(cm)424.2424.2NP(cm2)(kN)20-14..-14.14150A10-0.70700-0.7070-0.707-0.7071112lA1NPlA07..-212.10084.80-141.4-424.2-399.90-1092.8N(kN).1-18.6-28.31.421.4-2.012.11NPl?1P=ΣEAX1=-?1P/δ11=12.1N=1X1+33NP2.组合结构DAD:EI=14000kNm2EA=1.99×106kNAC、CD：EA=2.56×105kNBC：EA=2.02×105kNδ11X1+ Δ1P=01.491基本结构341.49N(kN)11212179.7l212M(kNm)δ11=∫+Σ=1.49g2.975g1.49EIEA2+1.93g3.08+1g0.8+1.86g5.95=0...99101MP12512?1P=∫ds=[2gg13.28g2.975g1.49+2gg134.75g1.225g0.61EI1+2g134.75g1.75g(0.61+1.49)]=0.04372X1=-?1P/δ11=-104.5N=1X1+NPM=1X1+MP35§5-6
支座移动和温度改变时结构的内力计算1. 支座移动时的计算(a) 在多余约束处发生支座移动(b)在非多余约束处发生支座移动(a)在多余约束处发生支座移动(c) 在多余约束与非多余约束处同时发生支座移动a322l11l2lδ11=∫ds=gg=3EIEIEI23X1=a/δ11=3EIa/l3Δ1Δ1=δ11X1=al作业:
5-10, 5-12M=1X13EIa/l2M36(b)在非多余约束处发生支座移动a1l2lδ11=∫ds=gg=EI233EIEI2XaΔ1=δ11X1+Δ1c=0X=1?=-∑c=-(-1a1c1l)a=lX1= -Δ1c/δ11= -3EIa/l2M=1X13EIa/l2M37(c)在多余约束与非多余约束处同时发生支座移动a1l2lδ11=∫ds=g=EI233EIEIa1a?1c=-∑1c=-(-)a=ll21非多余约束处支座移动多余约束处支座移动X1=(θ-Δ1c)/δ11=(θ-a/l)3EI/lΔ1=δ11X1+1c=X=1M=1X1(θ-a/l)3EI/lM38例1. 计算图示结构,作弯矩图lΔ1基本结构Δ1=δ11X1= -Δ2δ=∫1EIds=13EIg12g(2l)2g232l+144l311EIg2lglg2l=9EIX9EI?1=-?/δ11=-44l3M=1X11=139支座移动一般情况下的计算公式:一次超静定结构Δ1= δ11X1+Δ1c=1二次超静定结构非多余约束处支座移动?1c=-∑1cM=1X1多余约束处支座移动?1c=-∑1c?2c=-∑2cΔ1= δ11X1+δ12X2+1c=1Δ2= δ21X1+δ22X2+Δ2c=2M=1X1+2X2i: Xi=1作用下基本结构在非多余约束处的约束反力。?ic: 非多余约束处的支座移动作用下基本结构沿Xi方向的位移。i: 多余约束处的支座移动。非多余约束处支座移动出现在方程的左边，多余约束处支座移动出现在方程的右边。40温度变化的计算一次超静定结构Δ1=δ11X1+Δ1t=0?α?t1t=Σh∫1ds+Σαt0∫1dsM=1X1二次超静定结构Δ1= δ11X1+δ12X2+Δ1t=0Δ2= δ21X1+δ22X2+Δ2t=0?=Σα?t1th∫1ds+Σαt0∫1ds?α?t2t=Σh∫2ds+Σαt0∫2dsM=1X1+2X2412.例2. 计算刚架在温度变化作用下的内力，各杆EI 等于常数,矩形截面40 ×60cm，梁高为h=60cm, E=2×1010Pa。材料温度胀缩系数为α=0.00001 1/℃。初始温度15℃,外侧温度为-35℃,内侧温度为15℃。内侧温度变化0℃，外侧温度变化-50 ℃。-351/6δ11X1+Δ1t=0δ11=∫ds=(2gg+1g8g1)=EIEI23EIα?t?1t=Σ1ds+Σαt0∫1ds∫hα501-50+01=(2g1g6+1g8)+αgg8=.6226δ11X1+Δ1t=0δ=1211EI?1t=1133.3αX1= -Δ1t/δ11= -94.4EIα= -94.4 ×2××0.63/12×0.N·m= -136kN·mM=1X1N=1X122.7M(kN·m)N(kN)43§5-7
两铰拱的计算11ds+∫dsδ11=∫+∫=∫EIEAEIEA对于竖向荷载,yMP1MPMN=-dsds?1P=∫ds+∫ds≈∫∫EIEIEIEIM=M0 –HyH=X1X1=-?1P/δ11M=1X1+MPQ= Q0cosφ–Hsinφ44N= –Q0sinφ–Hcosφycos?δ11=∫ds+∫dsEIEAl+E1A122例1：计算如下两铰拱。22228flyycos?4fdx=δ11=∫ds+∫ds≈∫y=2x(l-x)15EIEIEIEAlX1ql642312
lMP=qlx-qx x≤8221lMP=ql(l-x)
x≥823qflyMPyMPdx=-?1P=-∫ds≈-30EIEIEI∫qlX1=-?1P/δ11=16f2M思考题：为什么本题X1与三铰拱水平推力相等？45第5章力法小结1.
超静定的次数=多余约束个数2.
基本未知数、基本结构、基本方程基本结构在多余约束处的位移与原结构一致Δ1= δ11X1+δ12X2+Δ1P+Δ1c+Δ1t=1Δ2= δ21X1+δ22X2+Δ2P+Δ2c+Δ2t=2M=1X1+2X2+MP3. 对称性对称结构对称荷载只有对称的未知力。对称结构反对称荷载只有反对称的未知力。4.
超静定拱的计算22两铰拱：δy∫cos?11=∫EIds+?yMPEAds1P=-∫EIds46
范文十：结构力学课程——作业一1、结构力学中，按基本构件的几何特征可以将结构大致分为哪三类？ 2、简述支座和结点类型，并画出相应的计算简图。 3、荷载的分类？4、名词解释：1）几何不变体系；2）几何可变体系；3）刚片；4）自由度、计算自由度；5） 约束、必要约束、多余约束；6）几何瞬变体系；7）静定结构；8）超静定结构；9）结点法；10）截面法；11）零杆； 5、画图说明何为单铰、复铰和虚铰。6、 试述几何不变体系的三个基本组成规则，为什么说它们是同一规则。 7、画图解释结构力学中，内力符号是如何规定的？ 8、拱有哪几种形式？其中哪种形式为静定的？9、简述拱与梁的区别；简述桁架结构与梁和刚架结构的区别。 10、简述静定结构的静力特征。11、试对下面所示平面体系进行机动分析，要求画图说明分析过程，指明哪个部分为刚片，及采用何原则进行的几何分析，具体过程如同书中例题。图 1
题1112、请画出图示单跨梁、多跨梁的剪力图（FS）和弯矩图（M），如图2中（a）和（b）所示。13、请画出图示刚架的轴力图（FN）、剪力图（FS）和弯矩图（M），如图2中（c）所示。（a）M（b）（c）图 2
题12、题1314、图3中所示三铰拱的轴线方程为y?要求必须写出详细的解题步骤。4fx(l?x)，试求截面K（x=7）的内力，2l图3 题1415、请标出图4所示桁架中的零杆。图4 题1516、请计算图示桁架中指定杆件AD和BD的内力。图5 题16