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2015初三数学一模题分类――新定义
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&&中学数学试卷
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2015中考数学专题训练：专题51《新定义和阅读理解型问题》（含解析）
2015中考数学专题训练：专题51《新定义和阅读理解型问题》（含解析）
资料类别：
所属学科：
适用地区：全国
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专题51 新定义和阅读理解型问题
新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。
在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。
本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。
小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：
小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）=．
（1）2※3=
（2）5※m=，则m=
（3）y=2※x（x≠0）的图象大致是（
【答案】解：（1）
考点：规律探索应用，反比例函数的图像
2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?
（2）在Rt△ABC中，ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是的直径，是上一点（不与点A，重合），D是半圆的中点，，D在直径AB的两侧，若内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
求证：△ACE是奇异三角形；
当△ACE是直角三角形时，求AOC的度数．
（1）真命题．（2）a：b：=1：：．（3）60°或120°．
试题解析：解：（1）真命题．
（3）在RtΔABC中，2+b2=c2，
证明：AB是的直径ACB=∠ADB=90°，
在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；
在RtΔADB中，2+BD2=AB2．
D是半的中点，
AB2=AD2+BD2=2AD2，
又CB=CE．AD，∴AC2+CE2=2AE2．
ΔACE是奇异三角形．
考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.
3.阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(－)2≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，只有当a＝b
结论：在a＋b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a＝ba＋b有最小值2.
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝
时，m＋有最小值
若m＞0，只有当m＝
时，2m＋有最小值
（2）如图，已知直线L1：y＝x＋1与x轴交于点A，过点A的另一直线L2与双曲线y＝
（x>0）相交于点B（2，m），求直线L2的解析式.
（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L1于点D，试
求当线段CD最短时，点A、B、C、D围成的四边形面积.
【答案】（1）当时，有最小值为2；当时，有最小值为8
∴A（-2，0）
又点B（2，m）在上，
设直线的解析式为：，
∴直线的解析式为：；
4.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”目前，已破译出“正做数学”的真实意思是“祝你成功”若“正”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是　
　，破译的“今考试”真实意思是　
【答案】对应文字横坐标1，纵坐标2；。
【考点】探索规律题（图形的变化类），坐标的变换。
5. 对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数如，现对2进行如下操作：，这样对2只需进行3次操作后变为1，类似地，①对只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是
【答案】①3；②255。
【考点】新定义，无理数的大小比较，解一元一次不等式组。
6. 初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为，则称该生作了平移,并称为该生的位置数。若时，取最小值则该生位置数最值
【答案】。
【考点】坐标与图形的平移变化，坐标确定位置。
7.阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。
试用上述方法分解因式
【答案】。
【考点】分组分解法因式分解。
【分析】。
设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）反比例函数是闭区间[1，201]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若二次函数是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．
【答案】解：（1）反比例函数是闭区间[1，201]上的“闭函数”。理由如下：
∵反比例函数在第一象限，y随x的增大而减小，且
当x=1时，y=201；当x=201时，y=1，
∴当1≤x≤201时，有1≤y≤201，符合闭函数的定义，故反比例函数是闭区间[1，201]上的“闭函数”。
∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。
①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义得，
解得，或（不合题意，舍去）。
②当a＜2＜b时，此时二次函数的最小值是=a，根据“闭函数”的定义得
【考点】新定义，反比例函数、一次函数和二次函数的性质，解二元方程组，分类思想的应用。
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资源库-微信公众号２０１４年４月；新定义――中考数学压轴题的－道亮丽的风景线；◎江苏省丰县初级中学朱广科；纵观近几年很多省市的中考试题，不少地方已经将新定；问题创设和谐自然、背景公平，有利于考查学生观察、；析、猜想、验证、推理等数学活动的能力，有利于调动；高度，将研究性学习的思想和方法真正体现在中考数学；制高点处，其改革的魄力令人叹服，使考试过程变成一；各省市命题专家的不懈探
２０１４年４月
新定义――中考数学压轴题的－道亮丽的风景线
◎江苏省丰县初级中学朱广科
纵观近几年很多省市的中考试题，不少地方已经将新定义试题引入中考舞台，这些试题贴近生活、题型新、
问题创设和谐自然、背景公平，有利于考查学生观察、分
析、猜想、验证、推理等数学活动的能力，有利于调动学生自主探索、动手实践等操作活动，有利于培养学生的想象力和创造力，更能考查学生的阅读理解和语言转化能力．最引人注目之处是将新定义试题放置到压轴题的
高度，将研究性学习的思想和方法真正体现在中考数学
制高点处，其改革的魄力令人叹服，使考试过程变成一种“科研”或“微科研”的过程，为中考压轴题命题立意的创新和形式及内容的拓展作出了有益的尝试．可见经过
各省市命题专家的不懈探索，新定义试题的命制已趋于完善和稳定，成为压轴题中最为重要的一种题型．本文
选取部分２０１３年较典型的压轴题，从其命制的方式及所具有的特点和研究此类问题的解题策略的角度加以归类，并就如何在平时教学中搞好学习谈一些认识．
一、数学概念的理解和应用
此类题往往是对某个数学新概念给出一定的文字说明，要求学生在阅读的基础上对其本质作出描述性的回答，进而作出判断、概括，或让学生在变化了的新环境中运用新知识解决新问题．
（２０１３年南京卷）对于两个相似三角形，如果
沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如
图①，△ＡＢｃ与△Ａ’曰’ｃ’相似，且沿周界Ａ曰翻与Ａ’Ｂ’ｃ’Ａ’环绕的方向相同，因此△Ａ曰Ｃ与△Ａ’Ｂ’Ｃ’互为顺相似；如图②，△ＡＢｃ与△Ａ’Ｂ７ｃ’相似，且沿周界Ａ曰ｃＡ与
Ａ’曰’Ｃ７Ａ’环绕的方向相反，因此△ＡＢＣ与△Ａ’Ｂ’Ｃ’互为
（１）根据图Ｉ、图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件，可得下列三
对相似三角形：①△Ａ衄与△ＡＢｃ；②△Ｇ日０与△Ｋ阳；
③△ⅣＱ屿△删Ｑ．其中，互为顺相似的是――；互
为逆相似的是一（填写所有符合要求的序号）
（２）如图⑧，在锐角△ＡＢｃ
中，［Ａ＜［Ｂ＜￡Ｃ，点Ｐ在△ＡＢＣ的边上（不与点Ａ、日、Ｃ重合）．过点Ａ
Ｐ画直线截△Ａ口Ｃ，使截得的一个
三角形与△Ａ曰Ｇ互为逆相似．请根据点Ｐ的不同位置，探
索过点Ｐ的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条
件，不必说明理由．
点评：本题以相似为生长点．要求学生在阅读的基础上准确理解互为顺相似、逆相似的含义，把握顺相似、逆相似确定的方法，是一自定义概念的创新题、阅读理解题．本题融概念辨析、画图、说理为一体．第一问比较容
易，是学生所熟悉的知识再现或新知识初步理解的简单
应用．第二问具有挑战性，需要对问题深刻洞察，悟透问
题的本质，问题的难点在于正确理解“锐角△Ａ日Ｃ中，
［Ａ＜［Ｂ＜［Ｃ，点Ｐ在△ＡＢＣ的边上”这一条件．需要对
点雕不同的边上进行分类，要求学生在探索中明确分
类的标准，全面展现新情境下的学习过程，蕴含了转化、
―ｈ，―Ｌ．Ｊ【ｃ
▲．?。?，
．―，―■■―■■■■■■―?――■
分类等数学思想．在阅读的同时．考查学生能否把概念的抽象性与图形结合起来．如何处理后续问题中不能直
２０１４年４月
（３）将直线ｆ平移到ｃ点时得到直线ｆ’，求两直线ｆ与ｚ’的距离．
点评：作为压轴题，本题综合难度不算大，但是对学生的阅读能力要求还是比较高的．它需要学生认真细致、积极的思维活动的参与．中点坐标公式和两点间的距离公式对初中学生来说是一个较为陌生的公式，此题不仅要求学生理解公式．而且让学生根据阅读材料了解公式的来龙去脉．关键是通过图形理解公式的使用条
件，所以公式的理解更是一个数形结合问题，从这一点
接运用新知识解决的情境，必须搞清新知识的本质特
征。寻找到新情境与上一个问题的差异所在，通过构造
出新知识适用的条件来加以解决．让学生明白准确理解
数学概念并不是单一的，而是多层次、多角度的．
通过寻找旧知识的生长点来挖掘与形成新定义是
最重要的一条渠道，此类题重点考查学生对新知识的理
解深刻程度以及多角度、多层次深入运用新知识的能
力．关键是抓住新旧知识的关联，将新知识转化为旧知识．这就要求教师在概念教学中，要联系实际，重点揭示
概念的本质属性和内在联系，帮助学生理解概念的内涵
来讲。数学阅读不是停留在表面文字的理解，而是数学
思维的前奏．本题形式设计为由浅入深、环环相扣的三
个问题．使题目形成一个完整的探究链条．它不仅考查
学生对新概念内涵的理解和应用程度，让不同层次的学
和外延．同时使学生理解每个概念的作用：首先要抓住
概念的关键字和词；其次对易混淆的概念或近似的概
生都有一个充分展示自己能力的机会，而且也能很好地考查学生自主学习、探究学习、高效学习的能力．第一问
通过求Ａ、曰、Ｃ三点的坐标，为第二问求Ａ、Ｂ两点间的距离以及中点坐标创造条件．第二问是在学生理解两点间
念．要讲清它们的区别和联系．
二、数学公式的发现和运用
此类试题通常是通过文字或图形诠释一个数学公式的推导和应用，让学生阅读其过程，探究其规律，搞清其本质，从而提炼出数学公式并加以运用．
例２（２叭３年益阳卷）阅读材料：如图１，在平面直角坐标系中，Ａ、曰两点的坐标分别为（戈。，），。）、（戈：，ｙ：），ＡＢ的中点Ｐ的坐标为（却，弦）．由ｚＰ吨１≈２哪Ｐ，得ｘＰ＝
距离公式的基础上直接利用公式来解决．第三问是对公
式的进一步应用，具有一定难度，关键是求出点日的坐标．要求对公式有深刻的认识．通过问题串引导学生对新定义公式的认识逐步提升，在问题解决的过程中，渗
透了转化、数形结合的思想．
本题是题海战的克星，给背题、搞模拟考试等以致
命一击．在公式教学中．如果只重视公式结论的教学，忽视公式证明方法和证明过程的教学．结果只会使学生“只知其然．而不知其所以然”，既影响了学生对公式的掌握和应用，又影响了学生思维能力的培养．这启示我
兰＃，同理弦＝盟≠，所以ＡＢ的中点的坐标为
／戈ｌ＋‰Ｚ止塑＼
们在今后的教学中要更多地创设参与数学活动的情境．
从中使学生获得基本的数学活动经验，更加关注体验数
由勾股定理得Ａ口２＝Ｉ戈：咄。Ｍ），：了。１２，所以Ａ、日两点间
的距离公式为４Ｂ＝、／瓦ｉ币耳丐；孑了．
注：上述公式对Ａ、日在平面直角坐标系中其他位置也成立．
解答下列问题：
如图２，直线ｆ：ｙ＝氨＋２与抛物线ｙ＝数ｚ交于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为４日的中点，过Ｐ作祷由的垂线交抛物线于点ｃ．
（１）求Ａ、日两点的坐标及Ｃ点的坐标；
（２）连接Ｂｃ、ＡＣ，求证△Ａ曰ｃ为直角三角形；
学活动的过程性教学，以不变应万变．
三、数学方法的指导和模拟
此类试题是让学生通过阅读背景材料了解问题解决的过程，经过思考和提炼，掌握其中蕴含的方法，通过
这种方法再去解决相应或类似的问题．
例３（２叭３年佛山卷）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质．同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．
已知平行四边形ＡＢｃＤ，厶４＝６０。，４Ｂ＝２Ⅱ，ＡＤ＝伍
――■●裹十。７敷’７初中版
２０１４年４月
（１）把所给的平行四边Ｄ
形ＡＢＣＤ用两种方式分割并作说明（见答题卡表格Ｊ４
里的示例）．图３
分割或图形说明
①分割成两个菱形．
②两个菱形的边长都为口，锐
角都为６００．
Ｄｃ、＿／＼＼＜
、．／／过
要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．
（２）图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题，现在请计算两条对角线的长度．
要求：计算对角线肋长的过程中要有必要的论证；
直接写出对角线ＡＣ的长．
点评：本题以黄金矩形为背景，从学生熟悉的平行四边形、矩形入手，先是通过阅读，理解模拟材料中所述的过程、方法。再去解决类似的相关问题．此类试题除考查学生的阅读能力以外。还考查合理猜想或合理推断等能力。其背景公平、材料新颖，给考试似曾相识的感觉，一开始就拉近了与考生之间的距离，但随着解题的深入．发现问题又不是那么简单，这就是命题者的高超之处。分层设置、步步深入，一步一个台阶，具有较强的区分度．第一问通过类比、转化，侧重考查几何图形的分割、剪拼、动手操作能力和空间想象能力，掌握方法在于把握问题的本质．模拟不是简单的机械模仿．因此，在平时教学中。教师不仅要长期有意识地渗透这些思想方法，要适时、适当地对教学方法给予提炼和概括，让学生有深刘的印象．而且还要大力开展研究性学习．
本题为学生提供了现场动手操作的平台，亲身经历“做数学”的过程．在这个操作的过程中，学生经历了观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程，对自己的发现进一步寻求证据。给出证明，无形中就把知识技能、思想方法很好地融进了学生的动手探究中．在考试中，既考
查学生对几何图形的把握水平。又切实了解学生过程性目标的达成情况。这对今后学生的学习与教师的教学起到了引领和与示范作用．它暗示了师生在以后的数学教
学活动中。应高度关注知识生成和发展的过程。积极倡导学生参与其中。更多进行一些力所能及的数学实验操作。在操作中发现问题、提出问题、解决问题，这正是考试应有的功能与数学教育价值的体现．
总之，解决新定义类问题，首先应准确理解新定义的概念。深刻揭示新定义的内涵和本质，并从中获取新的数学公式、定理、性质、运算法则或解题思路，进而用类比的方法将他们转化为熟悉的知识解决．该类试题的
学习素材首先是具有问题性，这里所说的新知识有时是
一种新情境，其中隐含的数学问题更多的是要学生自己去挖掘。而“解决”是要调用自身的各种能力，去找出问题的数量关系与空间形式或揭示数学知识的发生过程，
绝非简单模仿所能解决．这就要求我们在教学中有意识
地设计编选具有趣味性和惊奇性的问题，使学习内容是现实的、有意义的、富有挑战性的，极力去开展有利于学
生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等的
丰富多彩的数学活动．
中考数学压轴题承担着检测学生对知识的掌握程度，对数学思想和解题方法的理解与运用状况，区分学生综合运用数学知识的能力和创新能力的使命．故肩负
着考查学生此项任务之一的“薪定义”压轴题越来越显
示出其重要作用，已成为中考数学压轴题中的一朵奇葩，必将是命题专家研究的新课题，所以“新定义”压轴题已在中考数学命题改革的风头浪尖，其必将对今后教
学的变革产生深远的影响，其发展变化必将牵动每个数
学教学工作者的神经，期待有更多、更精彩的“新定义”
压轴题的诞生．
参考文献：
１．中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．
２．范鸿．２０１０年中考阅读理解型试题赏析［Ｊ］．中国数学教育。２０１ｌ（３）．
３．朱广科．变一变精彩在后面［Ｊ］．教学与管理（中学版），２０１２（１２）．
４．武瑞雪．对中学数学建模教学的探讨［Ｊ】．教学月
刊，２０１１（１２）．田
三亿文库包含各类专业文献、文学作品欣赏、专业论文、中学教育、外语学习资料、各类资格考试、行业资料、高等教育、幼儿教育、小学教育、新定义――中考数学压轴题的一道亮丽的风景线_图文20等内容。　
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