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离散数学图的基本概念.ppt 80页
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第14章图的基本概念本章内容14.1 图14.2 通路与回路14.3 图的连通性14.4 图的矩阵表示14.5 图的运算
作业14.1图的基本概念图的定义图的一些概念和规定简单图和多重图顶点的度数与握手定理图的同构完全图与正则图子图与补图无序积与多重集合设A，B为任意的两个集合，称a,b|a∈A∧b∈B为A与B的无序积，记作A&B。 可将无序积中的无序对a,b记为a,b，并且允许a＝b。 无论a,b是否相等，均有a,b＝b,a，因而A&B＝B&A。元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元素重复出现的次数称为该元素的重复度。 例如在多重集合a,a,b,b,b,c,d中，a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。无向图和有向图定义14.1一个无向图是一个有序的二元组&V，E&,记作G，其中 （1）V≠?称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边。定义14.2一个有向图是一个有序的二元组&V，E&，记作D，其中 （1）V≠?称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向边，简称边。例14.1图的一些概念和规定G表示无向图，但有时用G泛指图无向的或有向的。D只能表示有向图。VG，EG分别表示G的顶点集和边集。若|VG|＝n，则称G为n阶图。若|VG|与|EG|均为有限数，则称G为有限图。若边集EG＝?，则称G为零图，此时，又若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别地，称N1为平凡图。在图的定义中规定顶点集V为非空集，但在图的运算中可能产生顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记为?。标定图与非标定图、基图将图的集合定义转化成图形表示之后，常用ek表示无向边vi,vj（或有向边&vi,vj&），并称顶点或边用字母标定的图为标定图，否则称为非标定图。将有向图各有向边均改成无向边后的无向图称为原来图的基图。易知标定图与非标定图是可以相互转化的，任何无向图G的各边均加上箭头就可以得到以G为基图的有向图。关联与关联次数、环、孤立点设G＝&V,E&为无向图，ek＝vi,vj∈E， 称vi,vj为ek的端点，ek与vi或ek与vj是彼此相关联的。 若vi≠vj，则称ek与vi或ek与vj的关联次数为1。 若vi＝vj，则称ek与vi的关联次数为2，并称ek为环。 任意的vl∈V，若vl≠vi且vl≠vj，则称ek与vl的关联次数为0。设D＝&V,E&为有向图，ek＝&vi,vj&∈E， 称vi,vj为ek的端点。 若vi＝vj，则称ek为D中的环。无论在无向图中还是在有向图中，无边关联的顶点均称为孤立点。相邻与邻接设无向图G＝&V，E&，vi，vj∈V，ek，el∈E。 若?et∈E，使得et＝vi，vj，则称vi与vj是相邻的。 若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的。设有向图D＝&V，E&，vi，vj∈V，ek，el∈E。 若?et∈E，使得et＝&vi，vj&，则称vi为et的始点，vj为et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi。 若ek的终点为el的始点，则称ek与el相邻。邻域设无向图G＝&V，E&，?v∈V， 称u|u∈V∧u,v∈E∧u≠v为v的邻域，记做NGv。?称NGv∪v为v的闭邻域，记做NGv。?称e|e∈E∧e与v相关联为v的关联集，记做IGv。设有向图D＝&V，E&，?v∈V， 称u|u∈V∧&v,u&∈E∧u≠v为v的后继元集，记做Г+Dv。 称u|u∈V∧&u,v&∈E∧u≠v为v的先驱元集，记做Г-Dv。 称Г+Dv∪Г-Dv为v的邻域，记做NDv。 称NDv∪v为v的闭邻域，记做NDv。举例NGv1＝简单图与多重图定义14.3在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点和终点相同也就是它们的方向相同，则称这些边为平行边。 含平行边的图称为多重图。 既不含平行边也不含环的图称为简单图。例如：在图14.1中， a中e5与e6是平行边， b中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 a和b两个图都不是简单图。顶点的度数定义14.4设G＝&V,E&为一无向图，?v∈V，称v作为边的端点次数之和为v的度数，简称为度，记做dGv。 在不发生混淆时，简记为dv。 设D＝&V，E&为有向图，?v∈V， 称v作为边的始点次数
正在加载中，请稍后...一、单选题（共20道试题，共40分；.1；.3；.4；.5；标准答案：；2.对以下定义的集合和运算，哪个不构成代数系统？；.实数集R和数的加法运算“＋”；.自然数集N和数的减法运算“-”；.集合的幂集P()和集合的并、交运算；.n×n实矩阵的全体组成的集合和矩阵的加法运算“；标准答案：；3.任何无向图中结点间的连通关系是（）；.偏序关系；.等价关系；.相容关
一、单选题（共 20 道试题，共 40 分。）V 1.
设&G,*&是6阶群，H是G的非平凡子群，则&H,*&的阶数可能是（）。
标准答案：
对以下定义的集合和运算，哪个不构成代数系统？（）。
. 实数集R和数的加法运算“＋”
. 自然数集N和数的减法运算“-”
. 集合的幂集P()和集合的并、交运算
. n×n实矩阵的全体组成的集合和矩阵的加法运算“＋”
标准答案：
任何无向图中结点间的连通关系是（）。
. 偏序关系
. 等价关系
. 相容关系
. 逆序关系
标准答案：
下列各命题中。哪个是真命题？（）
. 若一个有向图是强连通图，则是有向欧拉图
. n（n≥1）阶无向完全图Kn都是欧拉图
. n（n≥1）阶有向完全图都是有向欧拉图
. 二分图G=〈V1,V2,〉必不是欧拉图
标准答案：
任何一个有限群在同构的意义下可以看作是（）。
. 阿贝尔群
标准答案：
设集合={,,},2上的包含关系是（）。
. 自反的、反对称的、传递的
. 自反的、对称的、传递的
. 反自反的、对称的、传递的
. 反自反的、对称的、非传递的
标准答案：
只含有有限个元素的格称为有限格，有限格必是（）。
标准答案：
函数的复合运算“ο”满足（）。
标准答案：
无向图G有6条边，各有一个3度和5度顶点，其余均为2度顶点，则G的阶数是（）。 . 2
标准答案：
设T是一棵树，有两个顶点度数为2，一个顶点度数为3，三个顶点度数为4，则T有（）片树叶。
标准答案：
图的构成要素是（）。
. 结点与边
. 结点、变和面
标准答案：
如下语句中，真命题是（）。
. 10能被2整除，3是偶数
. 如果2+2=6，则5是奇数
. 下午到办公室来开会
. 15是素数
标准答案：
在任意n阶连通图中，其边数（）。
. 至多n-1条
. 至少n-1条
标准答案：
设集合中有4个元素，则上的不同的等价关系的个数为（）。
标准答案：
量词的约束范围称为量词的（）。
标准答案：
函数的复合满足（）。
标准答案：
哈密尔顿回路是（）。
. 简答回路
. 既是基本回路也是简单回路
. 既非基本回路也非简单回路
标准答案：
设R和S是集合上的任意关系，则下列命题为真的是（）。
. 若R和S是自反的，则R。S也是自反的
. 若R和S是反自反的，则R。S也是反自反的
. 若R和S是对称的，则R。S也是对称的
. 若R和S是传递的，则R。S也是传递的
标准答案：
整数集合Z关于数的加法“+”和乘法“?”构成的代数系统&Z,+，?&是（）。 . 域
. 域和整环
. 有零因子环
标准答案：
域和整环的关系为（）。
. 整环是域
. 域是整环
. 整环不是域
. 域不是整环
标准答案：
二、判断题（共 30 道试题，共 60 分。）V 1.
仅由一个孤立点构成的图称为平凡图。 . 错误
标准答案：
无向树的每条边均是桥。
标准答案：
函数f：R→R，f(x)=x+1是双射函数。
标准答案：
任意链均为分配格。
标准答案：
度数为奇数的结点个数为0个或2个的连通的无向图G可一笔画出。
标准答案：
任何代数系统都存在子代数。
标准答案：
整数集Z关于整除关系“|”是格。
标准答案：
2n元格都是布尔格。
标准答案：
n(n≥2)阶无向树都是二分图。
标准答案：
在有向图中顶点间的可达关系是等价关系。
标准答案：
函数f：N→N，f(n)=2n+1是单射函数。
标准答案：
任何无向树都是二部图。
标准答案：
如果一个有向图是单向连通图，则必为弱连通图。
标准答案：
设P1，P2，?，Pn是不同的命题变元，关于P1，P2，?，Pn的极大项是简单析取式，但简单析取式不一定是极大项。
标准答案：
设集合={1，2，3}的任何关系R都不可能既是对称的，又是反对称的。
标准答案：
哈密尔顿图是平面图。
标准答案：
设、为任意集合，，则P（－）=P（）－P（）。
标准答案：
n阶无向完全图Kn（n≥1）都是哈密顿图。
标准答案：
设={1，2，3，4，5，6}，则有26个真子集。
标准答案：
存在以序列5,4,4,3,3,2,2为度数列的无向图。
标准答案：
任何平面图G的对偶图G*都是连通平面图。
标准答案：
设、、为任意的三个集合，则笛卡尔积：×(×)=×(×)。
标准答案：
符号串集合{00，001，011}是二元前缀码。
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西安交通大学 17 年 3 月课程考试《国家...离散数学课程论文；――图论部分；姓名：XXX学号：班系：计科11；学院：计算机与信息技术学院课程名：离散数学指导老；摘要：图论属于数学的一个分支，它是一个年轻但却迅；物之间的客观规律；关键词：图；有向图；回路；最短路径；欧拉图；树；；引言：对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基；合数学领域最活跃的分支；正文：；（一）离散数学的知识体系总括
离散数学课程论文
――图论部分
姓名： XXX 学号： 班系：计科1103
学院：计算机与信息技术学院 课程名：离散数学 指导老师：胡俊
摘要：图论属于数学的一个分支，它是一个年轻但却迅速成熟的学科，它主要是研究事
物之间的客观规律。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
关键词：图；有向图；回路；最短路径；欧拉图；树；权
引言：对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，它也是目前组
合数学领域最活跃的分支。我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
（一） 离散数学的知识体系总括
离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学
基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
离散数学的四大核心是：代数系统、集合论、数理逻辑、图论。可见图论占据着不可替代的作用。
离散数学结构图
（二） 图论的起源
哥尼斯堡桥问题
1736年Euler（欧拉：圣彼得堡大学的数学教授）证明无解。
? 连通图每点连接的边数为偶数才能有解。
这就是后来的欧拉路径和欧拉回路。这项工作使欧拉成为图论〔及拓扑学〕的创始人。
（三） 图论的基本概念和定理
图论是一个重要的数学分支。数学家欧拉1736年发表了关于图论的第一论文，解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。克希霍夫对电路网络的研究、凯来在有机化学的计算中都应用了树和生成树的概念。随着科学技术的发展，图论在运筹学、网络理论、信息论、控制论和计算机科学等领域都得到广泛的应用。在这里，我将简单给出图、简单图、完全图、子图、路和图的同构等概念，接着研究一下连通图性质和规律，给出邻接矩阵、可达性矩阵、连通矩阵和完全关联矩阵的定义。最后我将介绍下欧拉图与哈密尔顿图、树、二部图、平面图和图的着色。
1. 一些常见的基本概念
（1） 图的定义
每一条边都是无向边的图称无向图 。 有向图 每一条边都是有向边的图称有向图 。 邻接边关联于同一顶点的两条边，被称为邻接边。
若两个顶点由同一条边关联，则这两个顶点被称为是邻接点。 孤立顶点
不与任何顶点相邻接的顶点，被称为孤立顶点。 零图仅由若干孤立顶点组成的图，被称为零图 。 阶图G的顶点个数称为图G的阶
仅由一个孤立顶点构成的图，被称为平凡图。
自回路或环
关联于同一顶点的一条边，被称为自回路或闭环。
平行边若有两条有向边，他们的起点和终点相同，称他们为有向平行边。
我们把联结于一对顶点间的多条边称为平行边。 简单图不含有任何平行边和自回路的图，被称为简单图。 多重图
任何含有平行边的图 ，被称为多重图。
简单图G=&V,E&中，若每对顶点间都有边相连，则称该图为完全图。 无向完全图有n个顶点的无向完全图记作Kn。
Kn的边数n个顶点的无向完全图Kn的边数为
n ? (n-1)/2.
对称有向图对于无向图G，将G中的每条边用两条与e有相同端点的对称边e和e‘来代替后得到的一个有向图 。
有向完全图 对Kn中每条边任意确定一个方向，称该图为n顶点的有向完全图。 有向完全图的边数n个顶点的有向完全图边数也为n(n-1)/2 。
完全有向图完全图的对称有向图称为完全有向图(complete digraph），记作
（2） 图的顶点度数
，的度数记
相关联的边的条数。
有向图最大度
d(vi)?d(vi)?d(vi)
?(G)?max?d(v)v?V?
min?d(v)v?V?
设D是有向图 相应地还有，
（3）握手定理
定理1：设图
为无向图或有向图，
V??v1,v1,?,vn?
（m为边数）
握手定理：
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
为有向图，
V??v1,v1,?,vn?
（4）度数序列
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离散数学-(第3版) 内容简介
本教材是参照acm和ieee*新推出的computing curricula，根据教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会*新编制的“高等学校计算机科学与技术专业规范”中制定的关于离散数学的知识结构和体系撰写的。全书共14章，内容包含证明技巧、数理逻辑、集合与关系、函数、组合计数、图和树、初等数论、离散概率、代数系统等。本书体系严谨，文字精练，内容翔实，例题丰富，注重与计算机科学技术的实际问题相结合，并选配了大量难度适当的习题，适合教学。另外，本书有配套的习题解答与学习指导等教学辅导用书，以及用于课堂教学的ppt演示文稿和在线数字资源等，以满足教学需要。
　　本书适合作为高等学校计算机及相关专业本科生“离散数学”课程的教材，也可以作为对离散数学感兴趣的人员的入门参考书。
离散数学-(第3版) 本书目录
第1章数学语言与证明方法　1.1常用的数学符号　1.1.1集合符号　1.1.2运算符号　1.1.3逻辑符号　1.2集合及其运算　1.2.1集合及其表示法　1.2.2集合之间的包含与相等　1.2.3集合的幂集　1.2.4集合的运算　1.2.5基本集合恒等式及其应用　1.3证明方法概述　1.3.1直接证明法和归谬法　1.3.2分情况证明法和构造性证明法　1.3.3数学归纳法　1.4递归定义　习题第2章命题逻辑　2.1命题逻辑基本概念　2.1.1命题与联结词　2.1.2命题公式及其分类　2.2命题逻辑等值演算　2.2.1等值式与等值演算　2.2.2联结词完备集　2.3范式　2.3.1析取范式与合取范式　2.3.2主析取范式与主合取范式42目录[][][]离散数学（第3版）[]2.4推理　2.4.1推理的形式结构　2.4.2推理的证明　2.4.3归结证明法　2.4.4对证明方法的补充说明　习题第3章一阶逻辑　3.1一阶逻辑基本概念　3.1.1命题逻辑的局限性　3.1.2个体词、谓词与量词　3.1.3一阶逻辑命题符号化　3.1.4一阶逻辑公式与分类　3.2一阶逻辑等值演算　3.2.1一阶逻辑等值式与置换规则　3.2.2一阶逻辑前束范式　习题第4章关系　4.1关系的定义及其表示　4.1.1有序对与笛卡儿积　4.1.2二元关系的定义　4.1.3二元关系的表示　4.2关系的运算　4.2.1关系的基本运算　4.2.2关系的幂运算　4.3关系的性质　4.3.1关系性质的定义和判别　4.3.2关系的闭包　4.4等价关系与偏序关系　4.4.1等价关系　4.4.2等价类和商集　4.4.3集合的划分　4.4.4偏序关系　4.4.5偏序集与哈斯图　习题第5章函数　5.1函数的定义及其性质　5.1.1函数的定义　5.1.2函数的像与完全原像　5.1.3函数的性质　5.2函数的复合与反函数　5.2.1函数的复合　5.2.2反函数　习题第6章图　6.1图的基本概念　6.1.1无向图与有向图　6.1.2顶点的度数与握手定理　6.1.3简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图　6.1.4子图、补图　6.1.5图的同构　6.2图的连通性　6.2.1通路与回路　6.2.2无向图的连通性与连通度　6.2.3有向图的连通性及其分类　6.3图的矩阵表示　6.3.1无向图的关联矩阵　6.3.2有向无环图的关联矩阵　6.3.3有向图的邻接矩阵　6.3.4有向图的可达矩阵　6.4几种特殊的图　6.4.1二部图　6.4.2欧拉图　6.4.3哈密顿图　6.4.4平面图　习题第7章树及其应用　7.1无向树　7.1.1无向树的定义及其性质　7.1.2生成树　7.2根树及其应用　7.2.1根树及其分类　7.2.2*优树与哈夫曼算法　7.2.3*佳前缀码　7.2.4根树的周游及其应用　习题第8章组合计数基础　8.1基本计数规则　8.1.1加法法则　8.1.2乘法法则　8.1.3分类处理与分步处理　8.2排列与组合　8.2.1集合的排列与组合　8.2.2多重集的排列与组合　8.3二项式定理与组合恒等式　8.3.1二项式定理　8.3.2组合恒等式　8.3.3非降路径问题　8.4多项式定理与多项式系数　8.4.1多项式定理　8.4.2多项式系数　习题第9章容斥原理　9.1容斥原理及其应用　9.1.1容斥原理的基本形式　9.1.2容斥原理的应用　9.2对称筛公式及其应用　9.2.1对称筛公式　9.2.2棋盘多项式与有限制条件的排列　习题第10章递推方程与生成函数　10.1递推方程及其应用　10.1.1递推方程的定义及实例　10.1.2常系数线性齐次递推方程的求解　10.1.3常系数线性非齐次递推方程的求解　10.1.4递推方程的其他解法　10.1.5递推方程与递归算法　10.2生成函数及其应用　10.2.1牛顿二项式定理与牛顿二项式系数　10.2.2生成函数的定义及其性质　10.2.3生成函数的应用　10.3指数生成函数及其应用　10.4catalan数与stirling数　习题第11章初等数论　11.1素数　11.2*大公约数与*小公倍数　11.3同余　11.4一次同余方程与中国剩余定理　11.4.1一次同余方程　11.4.2中国剩余定理　11.4.3大整数算术运算　11.5欧拉定理和费马小定理　习题第12章离散概率　12.1随机事件与概率、事件的运算　12.1.1随机事件与概率　12.1.2事件的运算　12.2条件概率与独立性　12.2.1条件概率　12.2.2独立性　12.2.3伯努利概型与二项概率公式　12.3离散型随机变量　12.3.1离散型随机变量及其分布律　12.3.2常用分布　12.3.3数学期望　12.3.4方差　12.4概率母函数　习题第13章初等数论和离散概率的应用　13.1密码学　13.1.1恺撒密码　13.1.2rsa公钥密码　13.2产生伪随机数的方法　13.2.1产生均匀伪随机数的方法　13.2.2产生离散型伪随机数的方法　13.3算法的平均复杂度分析　13.3.1排序算法　13.3.2散列表的检索和插入　13.4随机算法　13.4.1随机快速排序算法　13.4.2多项式恒零测试　13.4.3素数测试　13.4.4蒙特卡罗法和拉斯维加斯法　习题第14章代数系统　14.1二元运算及其性质　14.1.1二元运算与一元运算的定义　14.1.2二元运算的性质　14.2代数系统　14.2.1代数系统的定义与实例　14.2.2代数系统的分类　14.2.3子代数系统与积代数系统　14.2.4代数系统的同态与同构　14.3几个典型的代数系统　14.3.1半群与独异点　14.3.2群　14.3.3环与域　14.3.4格与布尔代数　习题　参考文献
离散数学-(第3版) 作者介绍
屈婉玲1969年毕业于北京大学物理系物理学专业，现任北京大学信息科学技术学院教授、博士生导师，中国人工智能学会离散数学专委会委员。主要研究方向是算法设计与分析，发表论文20多篇，出版教材、教学参考书、译著20多部，其中包含多部国家级规划教材和北京市精品教材。所讲授的离散数学课程被评为国家级精品课程，两次被评为北京大学十佳教师，并获得北京市优秀教师称号。曾主持过多项国家级教材和课程建设项目，并获得北京市教育教学成果(高等教育)一等奖。
离散数学-(第3版)
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