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应我在论坛的一个好朋友要求，在下把作数学时候的一点心得总结起来说几句，供大家参考。
&&一般来说，难度确实没有多大。其知识点也基本上涵盖在市面上出售的教材当中，BLACKHORSE大哥的讲义里面也总结得比较全面，我就没有必要再狗尾续貂了。想来想去，做数学唯一需要的就是认真再认真。一定要按步骤来。数学绝对不可以&想当然&，看不清题就更要不得了。一定要逐句看。仅在此说说我做题时候一些小手段吧。
GMAT数学部分分成两种类型的题。其中一种是PS，给五个选项的。这种题难度一般来说都不是大。毕竟会把答案摆在你眼前，有时候算错了是没有答案的，就知道自己错了可以重新算一次。这种题验算也比较容易。因为题目一般是把条件给出来求结果。既然给出条件你能求出结果，那么算出来以后不妨用上二三十秒的时间把答案代回去重新算一遍，看看能不能给出已知条件来。如果能，说明答案肯定正确；不能，那么可能是答案解错了也可能是你验算的时候出现了一定问题。花点时间想一想，时间是充分的。毕竟还有很多那种超级简单的小题等着你花十秒钟就可以做出来的。但是题简单并不意味着你可以不检查，每个题都要至少算两遍。而相反，难题由于你会下意识的认真做，所以难题马虎的概率反倒小。
& & 解题的时候有几种非常快捷的方法可供使用。我总结了几种，欢迎大家一起来讨论。
& &第一、挨个试答案，最笨的办法有时候是最快的方法。这种题适用的范围不是很广泛，但是准确率高，只要某个答案符合就肯定可以成立。有时候特别是选项里面有I only, II III only之类的题可能效果不错。因为顺着解有时候容易丢解，就算真正算出来了也最好哪个都试试防止不全面。反正一共就3个。
& & 150, 200, 250, n
Which of the following could be the median of the 4 integers listed above?
B. II only
C. I and II only
D. II and III only
E. I, II, and III
像这道题用这个方法非常简单
& & 第二、特殊值法。我个人比较喜欢用。这种方法用好了就出奇制胜一击必杀。但用不好就很容易出错。用的时候注意几个问题。
1． 一定要保证你所适用的特殊值是否符合题目中所规定的范围内。比方说，正负数，是否整数，可否为0，n个数能否相等之类的等等。还有些隐含的条件一定要注意。比方说8月JJ里面一个题：
21个数，第1个是后面20个平均数的4倍，问第1个数占21个数总和的几分之几。
最简单的方法就是设后面20个都是1，第一个就是4，4/24=1/6，连10秒都用不了就出来了。当然JJ做的时候可能会因为作者的原因丢掉一些限制条件，比方说如果说21个different number就要注意了。
& & 2.&&要注意什么样的题可以用特殊值法什么样的不能用。一般来说&could be&的都可以，因为你只要试出一个值可以的，就没问题，但是&must be&往往不行。比方说：
If n is an integer greater than 6, which of the following must be divisible by 3?
A. n (n+1) (n-4)
B. n (n+2) (n-1)
C. n (n+3) (n-5)
D. n (n+4) (n-2)
E. n (n+5) (n-6)
& && &&&这要是随便试个数，就很容易出现偶然情况，就是你试的那个数正好合适。要试3，就哪个都合适了。做&must&的题一定要证明。就像做数据充分性的题，一定要确认must，而不能是could。
& & 目前就想出来两种。以后要是再碰巧想起来什么我会来加上。总之一定要认真，不管什么方法，不认真都不可能做出来。
& & ETS出题虽然简单，简单在他需要的知识并不是很深很多，但并不代表都出那种傻子题。比方说见过有人问个题说，某公司规定，员工的年龄与工龄的和达到70年就可以退休。某人刚上班的时候x岁，退休时候工龄y年。问x与y的关系。这么看起来挺简单，但用英文表述起来罗罗嗦嗦一大套，个别人粗心，一看这太简单了，都给出来了x+y=70，选项里面也有这个。这是傻子题。其实ETS再弱也会拐个弯的。考试的时候一看有这么简单就能解出来的题，第一个反应就应该是&可能我看错了&，需要更认真地读一遍。然后就会发现the age of an employee后面还有两个很短但是非常关键的单词：when hired。然后就会得出结果x+2y=70。
& & 再说说数据充分性的题。一般难度相对大的题都出在这种类型的题上。因为需要一个逻辑判断的过程。就算会做也很可能被绕进去而选择错误的答案。每个人都知道那种解题流程：先在不看B的情况下看A，然后假装不知道A 看B，看完了可以确定A,B还是D。如果都不行，那么就剩下CE了。这时候两个条件并作一个条件，充分不充分就决定了C还是E。这也许有人说我是废话但平时看很多在论坛上提问的XDJM不按照这个来做。经常是&像&，&感觉&之类的。数学往往最要不得这个。解语法题，语感有时候很厉害，但数学需要系统的理论的东西。
& &&&比如：What is the value of 3^[-(x + y)] / 3^[-(x - y)]?
(1)& &x = 2
(2)& &y = 3
猛一看指数都不知道，很可能有人选E，得俩都知道才行么。但是把指数形式写成乘积形式，就看出来3^(-x)可以约分掉就剩一个y了。选B。很可能算的时候算错了然后一看答案，突然就明白了哇原来这样。分析的必要几个步骤，绝对一个都不能少。
& & 数据充分性的某些题也可以用特殊值法，但是排除不是确定。因为充分性都是问你能不能must的。对于自己感觉不对的答案，不要急于直接排除，想两个不同的值，代进去看看是不是能算出同一个结果来。如果不能，那么肯定不充分了；如果能，可能该选项充分也可能自己举的例子都比较特殊。总之如果举例子判断是否must的，举的例子越偏越奇怪往往越能说明问题。
& & 先说这么多吧一时半会也想不起来太多。以后想起什么我会回来补上。反正这东西最根本的东西是你的知识水平，比方说概率，或者解析几何之类某方面的知识不够硬，就有可能碰上知识范围以外的东西，那怎么着也做不出来。其次一定要认真，不认真，就算会做的题也做不对，一点办法都没有。而且这种错误比不会做还窝囊。细致再细致。You can never be too细致。我说的这都是一些基本tricks，可以有一定帮助，但不能主宰你的最后分数。GMAT数学虽然简单，但是都做对了并不容易；虽然都做对了不容易，但是错一两个也能拿到满分吧。我说话的时候用了很多词&一般，大概，往往&之类的。因为数学不会有一个什么定势让你去算的，不同的方法适应不同的题，具体问题要具体分析。所以还需要大家多多练习。努力+细致，51分，轻松愉快。
& & 有些朋友可能觉得我说的有不少是挺废话的东西，但我觉得都做到了不是很容易。而且有的地方还不是很全面。大家见笑了。我以后还会把这个帖子补全。
& & 祝那孩子，还有广大CD友们考试成功。
Patch 1.1，概率问题
& && &概率问题的难度普遍不算小，而且占的比重比较大，基本上每套题里都得变着花样出几个。公式也较为复杂。
& &&&有关于集合类型的公式，AUBUC等于什么什么之类的，花样又多记忆也繁琐，所以韦氏图是一定要会画的。会了这个什么公式都能自己推出来。比方说AUBUC等于什么？画一个图，
AUBUC=三块加起来，但是会发现橙色，绿色和紫色的地方每个加了两遍，再都减去一遍；减完了发现中心黑色的地方多减了一遍，再加回来，就是那个公式了：P（A U B U C)= P(A)+P(B)+P(C)&&- P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
所有的那种“多少属于A多少属于B，多少人又有A又有B多少人什么都没有”这乱七八糟的东西用韦恩图都非常方便。
& && &概率第二个难点是排列组合。
& && &什么时候用排列什么时候用组合，什么时候用指数形式？后一次选择跟前一次选择没有关系的，用指数。比方说一个屋子五个人，问他们各自出生在星期几的事件有几种可能。甲星期几生跟乙丙丁若干人没有任何关系，你生你的我生我的。一星期七天，所以所有的可能性就是7^5。而排列组合问题，往往是第一次抽的时候拿出来了，第二次就没它了。比方说十二个人里选三个，第一次抽了我，再选第二个人的时候就没我了。指数形式适用于“不放回”，而排列组合用于“放回”
& && &什么时候用排列什么时候用组合？能区分的用排列，不能区分的用组合。比方说从8个人里选三个人出国，问有几种可能。选出来就是出国，没有分别，就是8个里面选3个，C38。从8个人里选三个人分别去老挝越南和柬埔寨，有几种可能？老挝，越南，柬埔寨抽象地看就是三个位置的编号，表明三个地方是不同的，抽出来以后要排列。我去老挝你去越南跟我上越南你上柬埔寨是不一样的。所以排列，P38。
& &&&排列组合的题还有一个容易混淆的地方，什么时候用减什么时候用除。以前也有朋友问过。
& & 题一：有1,2,3,4,5五个数，如果偶数不能够相邻，问能够构成多少个5位数？
& & 解：P55-P44 x P22=72
& & 题二：4个* 号和2个？号一共能够组成多少种可能的密码？
& & 解：P66 / P44*P22 =15
& & 像买鱼，咱们掐头去尾说中段，用最精炼的话找出两个题所给信息中最大的不同来，就是上面两个题最大的不同来。题一是“不能要”，题二是“不能区别”。不能区别的，用除法；不能要的，用减法。举个极端的例子，十位数是1的两位数，不能是11，有几种可能性。这个问题比较极端但我就是借此说问题。十位数是1的一共有10---19共10个，不能是11，怎么办？减掉。还剩下9个。具体到第一题：不能偶数相邻怎么办？把偶数相邻的情况，用全部的情况减掉，就行了。
& & 而第二题，能要吗？哪个都能要，只是他们无法区分。先全排列，然后发现，对于某个密码，其中的两个*相互交换位置，所排列出来的密码是一样的；同理4个?号也无法区分。用除法把他们各自的排列除掉。不是很好理解。还有个题，我记不清数字了自己编一个。红黄蓝三种车。三个红的，两个黄的两个兰的。如果每个车都不同，有夏利有法拉利有捷达有奔驰什么的，排列怎么排？P88。如果三个红的都是一样的，都是夏利。怎么排？还是P88，他们仨不能区分，就除以他们仨的全排列P33，P88/P33答案。如果黄的也都不能区分，都是奔驰。再除他俩的排列P22，P88/(P33*P22)。如果兰的也不能区分呢？再除。
& &&&先说这么两句。概率题花样多解法多，trick也多。以后想好了再补上。补丁版本也会更新。感谢大家支持。
Patch 1.2，数列及其相关性质
<font color="#ff.1 数列
& && & 数列就是一坨数。可以有限个数也可以无限个数，可以有相等的也可以全不相等也可以全都相等。按照数列的表达形式不同，题目中经常出现的数列大概可以分为那么两种：
& && & 第一是用通项公式表示的。把an用n来表示。表明数值与其编号的关系。最常见的是等差数列an=a1+(n-1)d，和等比数列an=a1*q^(n-1)。求和问题也是很常见的。两个求和公式。等差数列求和公式=（首项+末项）*项数/2，不难记。等比数列前n项和公式a1*(1-q^n)/(1-q)，也不复杂，念顺了就行了。特别的当无穷等比数列的公比q的绝对值小于1的时候，就是说-1&q&1时，因为当n趋近于无穷时q^n---&0，所以该等比数列的所有项的和可以求出来，等于a1/(1-q)，不难算。这个公式经常被用于近似等比数列中某几项的和，求其范围。因为不管挑出多少项来，其和肯定比全部的和要小，所以a1/(1-q)就是上限。要具体到题来说。我一时也想不起来合适的题，以后见到再补。
& && &第二就是那种后一项用前一项或者前几项来表示的。比方说给了a1, a2，然后说对于任何n&2，an=an-1&&- an-2之类的，然后让你求前100项和之类的。这种题肯定有规律。把前面十项八项的都算出来，别怕麻烦，然后加加就发现，从1开始，每4个数，或者6个数，或者每p个数的和都是一个数d，然后用乘法看看前100个里面有几个p个数就有几个d，若是不能整除，差几个就单独加上。要细心。
<font color="#ff.2 平均数和中位数
& && &这种题很多但感觉都不难。对于中位数的题就把所有的项，不管有多少，从大到小或者从小到大排队，找中间的那一个数，或者中间两个数的平均值。有的题给个复杂的大图表。做100个的有15个人，90个的有20个，80个的有40个……，作10个的有10个，求median。数字是我编的就说个意思。有人问过这种题。一样把他们排队。15个做100的，就写15个100（不用真写自己明白就行了），然后写20个90…………最后写10个10，看最中间那个就是median，不难。
<font color="#ff.3 方差与标准差
& && &方差有点复杂了。关键是不很好理解而且计算太麻烦。首先说方差说明一个什么问题？两个班考试，平均分都是70分。看起来都一样。但分析每个人的成绩发现，一班有同学考100，有90，有60有30的。二班呢，每个人成绩都是六七十分，左右差不离。就说明一班比二班成绩波动要大，分布的不够集中。假设第i个人的成绩是Xi，平均成绩是X，则每个人跟平均成绩的差距就是Xi-X，把一个班每个人和平均成绩的差距加起来就是：
(X1-X)+(X2-X)+……(Xn-X)=(X1+X2+……Xn)-nX=0。可见平均数不具有衡量分布的集中程度的性质。因为其中有正有负就抵消了。那么把每项都平方，就都变成正数了，加起来可以说明问题，这就是方差DX=[(X1-X)^2+(X2-X)^2+……+(Xn-X)^2]/n。
& && &上面方差的定义公式一定要记住，但是还有一个比较重要的公式有时候比较方便分析：
是由定义公式推导而来的，我就不再证明了。简化一下就是DX=nE(X^2)-(EX^2)。GMAT里面考方差一般不是考计算而是考你对方差的理解，只要明白方差是跟数据密集程度有关的量就行了。另外要注意是方差还是标准差。
& && &还是那句话，有题再补上。
<font color="#ff.4 正态分布
& && &正态分布的题我只见过一个。说一个地区什么什么在68%的范围之内那个，问过好多遍的，GWD或者天山里面的我一时也找不到。最后答案是84%。
& && &感觉很多人对正态分布有极大的误解。经常看到有朋友言必称正态分布。问概率题，方差题，还有抛物线，都有叫“正态分布”的，感觉大家对这个有点怕怕，所以看见不会做得就说是正态分布。正态分布反映的实际上是一个“中庸”思想。就是越中间的越多。在生活中广泛存在。比方说生产一批零件，因为我们的车床都是相同的，生产出来的规格也都是固定的，比方说是10厘米。但我们知道由于生产情况不同不可能哪个零件都一模一样，肯定有大点的有小点的，但不会太离谱。所生产出零件的大小肯定都在10厘米左右。肯定接近10的最多，然后9.9或者10.1的就稍微少一点但是也不少，如果偏得太离谱，5厘米或者15厘米一个，基本上是不可能出现的。除非机器坏了。9厘米一个的可能有但是比较少。于是就形成了一个，10厘米附近概率最大，越往两边概率越小得这么一个图。生活中很多东西都是这样的。比方说成年人的身高，肯定是一米六七八的比较多，一米二三的
就少，姚明也少。比方说班里考试的成绩，考100分的可能就一两个，考二三十分的也不多。多数应该都是六七八十分。这种中间高两边低成对称状分布的就可以近似认为是正态分布。（数学上的正态分布有公式非常复杂。
[size=1em]形状像一个钟又叫钟形分布。统计上面还有“左偏”，“右偏”，比方说某老师人称X校“四大名补”之首，判卷子苛刻无比以挂学生为乐，他判出来的卷子肯定分比别人低。那个钟形分布也就会低分部分人多高分部分人比较少不是标准正态分布。造成右边偏出来一大块空白，就叫“右偏”。这不是GMAT讨论的了。帮助大家理解。
[size=1em]& && &总之GMAT考正态分布应该不会考太多花样，只要知道mean是最中间的那个对称轴所在的地方，出现频率最高；越往两端越低而且都是对称的就可以了。曲线与X轴围成的面积，就是该数值在某一范围内发生的概率。全域上面的整个面积就是事件发生的总概率1。到时候画个图，用竖线标出值来，在围成的面积上写上所发生的概率，根据意义和所求值加加减减的就可以了。我那时解84%那个题画了个巨丑的图找了半天没找到。
[size=1em]& && &补充一个关于正态分布的题，今天有朋友问到的。
[size=1em]& && &常规分布的一组数，68%的数落在与一个standard deviation区间内，95%落在2个standard deviation， 然后一个研究显示1000只猴子的身长也是这么一个常态分布的情况，这组猴子的平均身长是60厘米，standard deviation是10厘米，问多少percent的猴子身长是在70厘米到80厘米区间的？
[size=1em]& & 还借那个正态分布的图说明吧。
[size=1em]
[size=1em]
[size=1em]50--70的面积是68%，40---80的面积是95。求70—80的面积，理解了就很简单
[size=1em]
[size=1em]1.3 关于几何问题
[size=1em]& & 几何问题遇到的也不少。一般可以分为两个方面的东西。第一是立体几何或者平面几何，考察几何基本知识和空间想象能力等；第二类是解析几何，考验对常见图形解析式的理解。
[size=1em]
[size=1em]1.3.1立体几何与平面几何
[size=1em]& & 一直觉得这类题目应该都是白给分的题目，因为图形摆在那里想算错也困难。一些有难度的题要么考察公式公理要么考察想象能力。考察公式的没办法只能去记忆。勾股定理不用说，正弦余弦定理的公式推荐也记住，尽管没见过什么要求用此计算的但有助于分析问题。圆柱圆锥球体等常见旋转体的表面积公式体积公式必须烂熟于心。考验想象能力的题目关键就是连辅助线。记得上初中时候学平面几何，每天大家都讨论不少难题，有时候老师也挑难题让同学们上去做。基本上每个题都得作辅助线。上去同学一连，老师要看连对了这题就不用讲了。总之平面几何立体几何题看大家问得很少想必没什么困难我也不多废话了。注意要看清题。几何题给出条件的方式多种多样，有时候就在图上标出不很显眼容易被忽略。注意看图和题中的每一句话。
[size=1em]1.3.2 解析几何
[size=1em]& & 我见过的GMAT出的解析几何图形只有直线和抛物线。圆都没见过，椭圆更没有了。双曲线似乎也没有。直线要注意斜率问题，注意直线与y轴平行的时候直线没有斜率。有题问一个直线斜率的范围，计算出来之后一定注意正负性。抛物线公式y=ax^2+bx+c，对称轴是x=-b/2a，与y轴交于(0,c)点，顶点（就是最高或者最低点）坐标是(-b/2a, (4ac-b^2)/4a)，这几个公式用于根据给定条件判断参数范围用。顶点问题也用于判断极大值极小值。
[size=1em]& & 因为解析几何参数多，所以经常出数据充分性的题。计算繁琐，常涉及到不等式，出错的概率蛮大的一定要细心。
[size=1em]
[size=1em]1.4 百分数，比例，倍数等
[size=1em]& & 因为GMAT的特殊性质，跟商业活动有关的工资啊，成本，利息，利润等经常用来出题。出的最多的就是哪年是哪年的百分之多少之类的题了，计算比较繁琐，特别是若考充分性的题，极易出错。对于这些问题需要注意几点。
[size=1em]1.& && & 分清分子分母。有几个朋友问过分不清百分数中分子分母怎么办。有个窍门就是，翻译成汉语，“比”字，“是”字后面的是1倍量，“的”字前面的是1倍量。比如说1998年比1997年多10%，1997年是1倍量，98年是110%；97年比98年少10%，98年是1倍量，97年是98年的90%，如果还设97年是1，那么98年是111.1%。
[size=1em]2.& && & 倍数问题注意：是哪年的几倍和比哪年多几倍。英语汉语都是一样的。翻译过来就能通。
[size=1em]3.& && & 对于给字母的题，千万要注意是P&&percent还是P，比上一年增长了P和增长了P%是不一样的。假设增长了百分之五十。如果说增长了P，那么P就是0.5；增长了P%，就是P/100，那么P就等于50。很多题在这上面玩文字游戏绕人进去。小心。
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正态分布求概率问题!分析二中，根据对称性解得概率=1
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那个N（0,2Q²)前面的那个0就是说明关于x=0对称的,正态分布是N(0,1）,那个2Q²是表示上下的宽度变化的,跟对称轴无关
类似问题类似问题1：这个正态分布的概率 怎么算[数学科目]
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不知道出现1056回什么?但还是可以计算.等可能事件,每面出现的概率为1/6某面出现的概率：相当于做了6480次试验,有1056次出现某面,属于二项分布B()出现i次的概率：P（x=i）=C(i,6480）*（1/6)^i*（5/6)^(6480-i)要出现1056回以下的概率则i=0,1,2,...1055.代入即可C(i,6480）为组合数.
关键词： 二中单摆实验仪、电子或机械秒表、尺、正态概率纸
利用正态概率纸（Histogram with Probabilities）作图法来了解单摆振动周期的多次测量数据的变化是否符合正态分布的统计规律；通过学习制作频数分布表、绘制频数分布的直方统计图（Histogram Chart），加深对测量列的平均值和标准偏差的统计规律理解。
统计规律的分析是以大量的实验数据为基础的。大量的实验表明，对某物理量进行多次重复等精度的测量，其结果大多服从正态分布。但是，正态分布并不能够适用于实验中的一切情况，要确定某一等精度测量中随机误差是否服从正态分布的统计规律，应该对其进行统计检验。
频数分布表、频数分布的直方统计图及其概率直方统计图（可用正态概率纸来描述）是用实验方法研究统计规律的三种简单而又有效的方法，因此在许多情况，尤其是在被研究对象的统计规律不了解的情况下，不失为一种初步的统计分析手段。
必做部分：振动周期的测量和统计规律的研究
用电子或机械秒表测量单摆振动周期的时间，在数据记录本上每一行记录十个数据，共记录12行，共120个数据，然后进行数据处理。
先对100个数据进行数值计算，求出测量结果的平均值X和测量数据列中单次测量的标准偏差σ。如果发现有其数值在X±3σ范围以外的测量数据，则应将它作为粗大误差（异常值）而予以剔除，并用备用数据补缺，以凑足100个数据，重新计算X和σ，直到100个数据全部落在X±3σ区间内为止。值得注意的是：目前有多种异常值的判断方法，具体请参见附录中的相关内容。
以所取定的100个数据中的最大值和最小值为界，将所有的数据分成10组，作频数分布表，然后画出频数分布的直方统计图。
在频数分布表中，对实验数据进行整理和处理，给出相应的累计频率（以％表示）数值。以各分组的右端值为横坐标，以累计频率为纵坐标，在正态概率纸上作图。如果测量的数据点近似在一直线上，则测量数据遵从正态分布。一般说来，中间的数据点不应偏离直线太远，而在两端的数据点，由于该处的坐标分度比较精细，允许有较大的偏离。
由上述拟合直线与纵坐标为50.0的水平线交点找出平均值X的估计值；由该拟合直线与15.9的水平线交点找出标准偏差σ的估计值（为什么？）。
对测量数据进行数值计算，求出其平均值、标准偏差以及合成不确定度，再将所得结果与以正态概率纸所求得的估计值进行比较。
实验室有打印好的正态概率纸,做完实验勿忘记取一张回去作图!
为什么由正态概率纸上的亨利直线可以得到测量列的平均值及单次测量的标准偏差的 估计值？
若你所测得的一组实验数据，其离散程度比上述例子中的数据大得多（即s比较大），则所得到的平均值与例中的平均值之间的差异也很大吗？
测单摆周期时，为何要注意小振幅，且使单摆只作平面摆动？应选择哪个位置作为计时的起点和终点。为什么？
若测量结果偏离正态分布，请分析其产生的主要原因。
实验前：认真预习，写出预习报告。应包括以下内容：实验目的、原理、简要说明实验内容和步骤，并画出数据记录表格；
实验中：记录必要的实验条件，简要描述观察到的主要实验现象，认真记录实验数据；及时记录实验中出现的问题和自己的想法等；完成测量后记录实验仪器的规格和型号。
实验后：解释实验现象、分析实验数据、得出实验结论，针对实验中出现的问题和想法给予分析讨论；欢迎针对实验教材、实验内容本身或教师的带教方式提出各种意见或建议等。
在规定时间内将报告交至指定信箱。
中国科学院数学研究所统计组 编，常用数理统计方法，北京：科学出版社.
贾玉润，王公治，凌佩玲 主编， 大学物理实验， 上海：复旦大学出版社. ；83～88
叶卫平，方安平，于本方 编著，Origin 7.0科技绘图及数据分析，北京：机械工业出版社. 2004
沈元华，陆申龙 主编，基础物理实验，北京：高等教育出版社. 2003
肖明耀 编著，误差理论与应用，北京：计量出版社. 1985
朱鹤年 编著，新概念物理实验测量引论——数据分析与不确定度评定基础，北京：高等教育出版社. 2007
我觉得人在有些时候是可以记忆时间间隔的。因为掐表的时候是数012345的，每个数都是一样的间隔，掌握了这个节拍之后就很容易记住它，然后无意识的照着这个节拍掐表，这就会造成实验数据中有一段连续的数据都是同一个值，然后在数据处理的时候出现误差。另外实验中发现秒表老是不出现258这三个数字，于是今天下午又去实验室测了一下，我用的方法和下面的同学一样，遮住后两位看它跳然后掐表看数字，我请了另一个同学一起做这个实验，但为了防止出现刚刚说的记住时间间隔这种情况，做了一些改进，我们看到1的时候掐一下记数字，让秒表继续变2的时候再掐再记，依次到10，然后再重复了一次。两个人四个表共做了160组数据，其中2只有1个，5有3个，8一个都没有，这说明秒表它就是掐不出某几个数字啊！这对实验造成了很大的误差，建议换成机械表，机械表估读的时候还有个随机误差，这个应该能使实验更加理想吧？——俞铭蓉
我抽查了十几份同学的数据,确实有3份中没有出现一个末尾8的数据,不过其他报告中没有这个问题,只是末尾8的数据较为少,那么说明有几个秒表确实存在着问题,质量问题啊!考虑去消费者协会或技术质量监督局投诉…但这不能说是引起了很大的误差,只能说影响了数据正态规律的出现,综合来说就是8的出现是个小概率事件,但不影响我们做这个实验和合理的分析,随机误差嘛,当然也得允许一定的随机性,而且正态规律不是说到达200组数据就能保证一定会完美出现的,况且本实验还只要求了120组数据,只是个粗略的统计,没有明显的正态规律怎么办啊?去实验室重新做吗?可以去做做看,但是重新做或者换个新的秒表就一定能保证出现正态规律吗?未必…所以本实验着重掌握正态规律这个概念以及数据处理方法,保证操作处理过程正确分析合理到位.对于换用指针式机械秒表的建议,倒也值得考虑,不过本学期是不换啦,抱歉. — 高渊
补充讲义第16页的频数分布表分组方法值得商榷。在“表2-脉冲周期的频数分布表”中，最小值3.937计入第1分组3.937~3.9485，说明分组区间是左闭的；但是，最大值4.049被计入了第10分组4.，又说明分组区间是右闭的。显然，全闭区间是不允许的！尽管讲义通过提高分组精度避开了“骑墙”的麻烦，但问题始终存在：要么左闭右开，要么左开右闭——第1或第10分组中必有1组多计了1个频数。再观察讲义第17页由Origin制作的“频数分布的直方统计图”，可知总的频数为99，而非100，即Origin没有将4.049计入第10分组，可知Origin的分组区间是左闭右开的。（需要说明的是，第16页的频数分布表8，9，10组频数统计疑有误，如第10组即便算入4.049也只有3个频数而非4个）
无论如何，“提高分组精度”的分组方法看似解决了问题，实则引入了更大的问题：第一组或最后一组一定会多计一个频数，且每组的组距不一（如第6页表2中第1组组距deltaX1=0.0115，第10组deltaX10=0.0105，而deltaX6=deltaX8=0.012，其余组deltaX=0.011）。由于分组直接关系到直方统计图的形状，这种方法似乎太过随意了。
这里尝试提出另一种分组方法：仍由最大值和最小值之差得级差R=Xmax-Xmin，分为(K+1)组，组距设为deltaX=R/K=(Xmax-Xmin)/K，设初值(Xmin-0.5*deltaX)，终值(Xmax+0.5deltaX)，每分组区间左闭右开。这样，尽管增加了一个分组，但不会出现频数误计的问题，每组组距相等，且不用担心“骑墙”。——王磊
谢谢王磊提出上述问题，已经在补充讲义中进行了修改，关于Origin分组区间左闭右开的问题，经过商讨，现在讲义中将最后一个数据手工分入最后一组；讲义中原数据每组组距不一的问题也已修正；教材中方便起见把100组数据分为10组，实际上在符合分组规则下完全可以分为不同组数。再次感谢王磊，若还有不妥之处希望广大同学提出建议，我们的实验内容和教材很需要大家一起来完善，谢谢！ —
老师，我计算出的标准偏差为0.01，平均值为10.03，也就是说小于10.00大于10.06的数据都要被剔除，但是我的数据中不满足这个范围的有很多，剩下的20个数据根本不够补充，怎么办？——张晗
估计是你测量过程中按秒表和单摆摆动状况没有保持好，使得数据起伏过大。两个办法：1：对这个情况进行分析讨论，剔除20个偏差最大的数据，用剩下的100个数据进行处理，掌握本实验中的数据处理方法，也算达到了本实验的目的，以后做实验要倍加细心和耐心；2：周二下午1点半来重新测量120个数据，要是因此造成报告晚交，要跟当时任课老师说明一下 。—
老师，我数据得出的最大值为10.31，最小值为9.91，级差0.40，组距0.040，分组的时候9.95，9.99等一系列边界值都骑墙了，对于这些值应该归在哪边呢？是全部左开右闭然后最后一组加上10.31，还是分成11组？但那样组距又需要近似，不十分准确了。遇到这种情况应该怎么处理呢？——黄思言
可以采用你所说的第一种方法，教材上例子也是这样处理的，当然如果组距不需要近似的话，也可以分成非10组的，可以参考书上组数的计算公式。 —
老师，本次实验中频数分布表分组方法直接影响到直方统计图，对于“骑墙”的数据，若按教材上所说的一种方法进行重新分组势必将使原有的表格浪费，而将骑墙数据全部划归后一组问题更严重，当某一组最小值不骑墙而最大值骑墙，会使这一组的频数偏低，反之将使这一组的频数偏高，从而使直方图偏离正态分布甚至出现“双峰”的现象，建议把骑墙的数据均匀分配到左右两组，并允许某些组的频数不为整数，只要频数是0.5的整数倍即可，这样可以消除“双峰”等由于分组方式而产生的异常现象。——周瀛
由于测量的数据量不够多以及其他操作上仪器上带来的影响，所以出现不够理想的情况也属正常，左右均匀分配等办法在很多情况下并不适用，出现双峰不能绝对归于分组的缘故，怎么不考虑操作或者其他原因呢？频数不同会带来很多问题，频数不为整数或者改变组数倒是可以考虑；应该采用合理的方式处理数据，为了使数据达到某种要求而进行特殊处理很多情况下不是很好，所以建议还是按照教材通用原则进行分组，我们要求学生掌握的是数据处理方法，操作过程正确处理方式正确，数据不够合理并不会多扣分数。 —
老师，我最后在正态概率纸上描出的点基本都在一条直线上，但是最后一个点偏了很多，这是为什么呢？我拟合直线的时候要不要把最后一个点也描进去呢？还是只按前面的点描一条直线，让最后那个点偏离直线？
最后一个点偏离说明那个数据异常，一般可以舍掉。 —
老师，我做的数据出现了较严重的偏离正态分布的现象。我在测量时，5周期值有许多次测出8.47和8.50的情况，但8.48和8.49几乎没有，导致如分组在6组以上时，会出现两个极大值，且两个极大值之间数据急剧减少的情况。我是否可以将组距减少，减少分组个数，使图像尽量靠近正态？—沈逸元
老师，我在预习的时候发现个问题;在计算标准偏差的时候，如果异常值偏离比较大，必然会影响标准差和平均值，这时会不会导致本来准确的数据被判定为异常值而被剔除？—–李赟
一般不会，偏离比较大的属于高度显著的异常值，这种数值在测量的时候就应该注意到了，一开始即可剔除，用备用的数据补上。 —
老师，补充教材第16页正文第一行末尾“最大值和最小值”和后面跟的xmax和xmin是不是位置放反了？（很无趣的问题，偶尔发现，冒个泡~~）–陈亦丁
陈亦丁同学，非常感谢你指出讲义中的错误。 — 乐永康
老师，亨利直线中的标准差为什么要取15.9处呢？我查了一些资料有的说用0.84，有的说用13.5处值与平均值之差的1/3，这是怎么回事呢？—侯东妮
老师，亨利直线中的标准差为什么要取15.9处呢？15.9是怎么算出来的？——樊静丹
详见补充教材20、21页附录中内容。 —
老师，我的数据严重的偏离了正态分布规律。具体十组频数分别为：3，3，5，26，3，28，25，0，6，1，所以在作频数直方图以及正态分布规律时偏差很大，请问这是应怎样处理？可以将第五组数据忽略吗？–宋阳丽
不能随意忽略数据，你可以照书上例子处理并分析结果，实验并不要求非要得出很理想的正态分布数据，但要求掌握概念及数据处理方法；或者你再研究一下讲义，改变数据处理方式，看看能不能得出更合理的结果。之后如果你力求完美，则可以来实验室重新尝试。 —
老师，讲义上说以各组的右端值为横坐标，以累计概率为纵坐标画正态分布图，那么最后一组概率即为100%，画在99.99%的位置是否会有些不妥？在这样就规定了最后一组的纵坐标，图像若符合正态分只能是较陡的 一直线，我看讲义上的图最后一组并未画到99.9-9%的位置，图线就很合理。为什么不以每组的中间值为横坐标作图呢？这样不是更合理一些吗？（我也不知道是不是我哪里少根筋想错了，前辈们都是这样做的，就我觉得有些怪）–王丽
老师，我错了，只要是以累计概率为纵坐标，无论最后取哪一个横坐标值都是取99.99%的纵坐标，您就当我啥也没说好了。
老师，我想最后一组的概率是不是应该把最大值忽略掉，累计频率就直接以1减去最大值的频率当成最后一个点的纵坐标，这样就合理了。看来我琢磨这麽久才想到这样，还是预习没做好啊
以每组的中间值为横坐标作图完全可以，用Origin软件作图就是以每组中间值为横坐标的，而且软件确实是以99%为最后一点的纵坐标的，横坐标取的也是最后一组的中间值，书上的例图就是用Origin软件画的，注意到正态概率纸上纵坐标是没有0和100%的，我们看到的是0.01到99.99%，或许这就是原因？此处还有待验证。手工画图不必完全根据书上例子，两端偏离较大的点可以舍去，也可以作出合理的图。 —
老师，我认为以各组的右端值为横坐标、累计频率为纵坐标绘制图像才正确，否则若用中间值为横坐标，利用图像求出的平均值将偏小半组距。不过如果只是定性分析是否服从正态分布、或求标准偏差（此时两个横坐标相减恰好将半组距的偏差抵消），用中间值为横坐标倒也无妨。但以右端值为横坐标做出的图像的统计意义才正确，表示测量值小于右端值x0的频率，当数据数量足够多时，就是测量值小于右端值的概率，即为补充教材附录中的累计分布函数φ(x)在x0处的数值。而亨利直线就是由φ(x)经过不等分度的伸缩变换得到的。补充教材中的例子的平均值若加上半组距0.0056s，实际上与利用数据直接求得的平均值偏差仅为0.0008s，而不像讲义中高达0.0048s。——陈绿洲
陈绿洲说的没错,所以手工作图应以书上步骤中要求取坐标,Origin软件作正态概率纸上的统计图坐标变换时会以中间值为横坐标,暂时没研究过怎么进行设置更改,大家有兴趣可以去尝试一下,或者先分组取右端值后再以Origin拟合出直线. — 高渊
老师,我觉得那个秒表是有问题的.当真实时间落在一个2到3毫秒的小区间的时候,显示的时间有很大的概率是其中的某一点或几点.比如说所有在7.80到7.83秒之间,基本上都是7.82和7.81，而很少出现7.80和7.83(事实上在我的实验数据中就没出现这两点,而且似乎是每隔3毫秒就有一个数显示的概率很小).这样的话如果分组不当有可能会严重影响实验结果和正态分布的符合程度.(其实我早就发现现在市售的电子表的秒表都有这个缺陷,不知是什么原理…) — 盛祥海
非常认真细致的观察和分析。非常好的问题，实验中心老师也可能都不清楚具体的原因。很巧，我们最近在开发有关时间测量的系列教学/演示实验，其中就有电子表的内容。高老师也参与此项目，负责其中一部分的内容，欢迎你来参与这个项目。 — 乐永康
有些时间点确实很难被秒表掐出来，对秒表内部计时装置不了解，无法解答。对于实验数据的处理，终点要求掌握方法，由于各种不确定因素，不要求非得测出很完美的正态曲线. — 高渊
我觉得这需要实验验证,就像我们做这个单摆实验的目的一样:验证测量单摆周期的误差是否符合正态分布.(我先猜一下，如果秒表没问题的话，结果也符合正态分布)而且这两种测量方式都是人看到一种现象然后手做出掐表的反应,所以是不是可以这么想,这个实验本质是验证人的反应时间是否符合正态分布?不过就算人都是在同一时间掐表,表的示数有可能还不一样…(难道,这就是传说中的测不准原理?)所以引起实验误差的因素不止人的反应时间. 或者再进一步,符合正态分布的条件是什么? “根据概率论的中心极限定理,只要总的测量误差是由一系列相互独立的个别因素引起的基本误差之和,且每一因素对总的测量误差的贡献是均匀和细小的,那么不管这些因素服从什么分布,总的测量误差都服从正态分布.”—摘自补充教材.
但我们很难对这个条件做出判断,所以还是要实验验证..
—–盛祥海
今天中午去拿实验报告，去早了，我就在实验室验证了这个实验。秒表从0：00开始计时，用手盖住后两位，当第一位的1刚出现的时候，停止计时，读出后两位，测出110个数据，做出的折线图基本满足正态分布。可能由于注意力的原因，部分数据有偏差。这个实验也可以验证盛祥海同学关于秒表的问题。实验共用时20分钟。附数据：
奇怪了,这个数据很正常啊…完全没有我说的那个现象发生..
我分别用实验室秒表和手机上的秒表软件做了一次上面的实验,数据如下，可以看出实验室秒表的问题依旧,手机上的软件基本上是没问题的.改天去拜会一下王烁同学用的秒表.. — sxh
我用找了4个人在电脑上做了5组数据，，这个网址上有个计时器，（其实自己也可以编一个计时器，但是目前我无能为力）。我们依旧是盖住后两位，当出现1的时候按下空格。这次的实验结果表明确实有若干个值是很少很少出现的，几乎是不出现的。其中前三组数据时在一台电脑上进行的，最后一个数据是在另一台电脑上进行的，而且实验者也不一样，但是每个人除了时间不一样外，一些值总是不出现，这说明不是由于个人和电脑键盘的因素，而是由于程序的问题，而程序的问题归根到底是电脑内部计时器的问题。而秒表内部也应该有计时器的问题。但为什么我上次用秒表做出的结果很好的符合正态分布，而盛祥海同学用的秒表确掐不出有些值，不懂… — 王烁
以上各位同学的讨论和探索很有意思，观察分析很细致，对比测量设计得也很好，非常期望你们能进一步探索下去。
另外，实验室正在开发一组有关时间测量原理的演示实验仪，其中就有“电子表计时”的内容，如果你们有兴趣，欢迎你们来参与。可与高老师、苏老师或者我联系。 — 乐永康
我以前也注意到过类似的问题。我认为可能是由于这些计时器的精确度就不是0.01秒，而是0.02秒之类的，所以导致类似0.03、0.05这样的数据不可能出现。 — 胡逸然
老师，我想问一下，为什么讲义上计算A类不确定度的时候，分母上除以的是100，而不是100*99呢？
我翻看了前面A类不确定度的计算，分母应该是n(n-1)，这样才对吧？
我不知道是什么原因，用这两种方法算出来的不确定度差别很大，我不清楚是我公式用的不对，还是书上写的有些问题。请老师指正，谢谢！–王博
A类不确定度公式中分子上是该测量列单次测量的标准偏差，基础物理实验教材上该标准偏差估计值的计算公式分母上是（n－1），所以代入到A类不确定度中应再除以n。 — 高渊
楼上的同学，单摆的周期是不随振幅大小改变而变化的，只要摆角足够小，符合单摆要求即可。具体可以参照物理书关于简谐振动部分。——宋润喆
王烁同学，我同意你的观点。一个随机过程多次测量结果的统计应该是趋近于正态分布的。你建议的这种测量，也是一个随机过程。当然，不同测量的分布宽度等会不一样。 — 乐永康
前面的问答很有探讨价值啊。赞一个。这里我只想问一个平常且简洁却又核心的问题，就是：实验数据的正态分布(或者我们说t分布)，到底是由于秒表误差造成的，还是由于人掐表的误差造成的？或者说谁的贡献更大？谢谢。我倾向于认为是后者。(另外这个提问版面有点小乱啊，最好指定一个提问发布顺序，比如按时间从上到下什么的) — 刘享洋
我也倾向于后者，掐表的随机性太大了。秒表的误差属于系统误差，本身数值上较小，影响肯定也小。 — 高渊
老师，我们上了实验数据处理课之后计算不确定度时，那些非常复杂的公式是不是要求记忆呢（比如计算最小二乘法的k，b的不确定度）？—危孟泱
最小二乘法中的计算公式非常复杂，都不用背。但是A类B类合成和传递的不确定度计算公式一定掌握并且记住。 — 高渊
这个实验最后拟合直线时是手工作图吗？不需要再建立坐标然后用最小二乘法？还有就是（一89）的应该把报告交到哪个信箱？谢了~
本实验提供正态概率纸，每人一张，手工作图，不需要用最小二乘法，周一89节804做的实验交到卢鹏老师信箱，上课的时候要问好。或者你自己去看信箱上面信息就应该知道交哪儿了。 — 高渊
老师您好！我做的实验数据中出现了“双峰”，严重不符合正态分布。是分析一下失败原因还是重做试验？——杨佳柠
建议重做！如在实验过程中，没有注意到“问题”并做原因分析及验证实验，仅在写报告时对结果做“失败原因”分析，往往只能停留在猜测层面，分析是否合理无从判断，那么分析的价值就大打折扣了。 — 乐永康
谢谢老师！
老师您好，我做实验时忘了拿正态概率纸了，找同学的借去复印了一下，可以吗？——邵以琳
可以的！ — 乐永康
老师您好！在实验过程中，球的摆动因为空气阻力作用振幅减小，由于球质量比较大，角度也比较小，如果不考虑这对T的影响，那么，每次用手加大球的振幅，很难保证每个测量过程球完全在一个平面内运动，摆动角度也不一样了，这些误差是不是会累加，使得数据出现很大偏差呢？ — 黄帅淇
每次摆动保持小角度,手要稳,手指不要给球施加其他方向的力,或者用尺子将球推开一个角度是一个好方法,使球在平面内运动并不是很难的一件事,每摆一次采集数据不超过5个,这样角度也不会有明显的衰减,那误差也不会累加. — 高渊
老师，由于振幅改变，单摆的周期在测量中是变的。我有一个想法，单摆是不需要的，只要有一个固定的量，比如秒表从0开始计时，到看到5的时候按下秒表，由于每次测量不一样，最后得到的结果也应该是正态分布吧？
单摆角度控制合适，周期可以近似认为是不变的。你说的按秒表测量，也是一个可行的方法。另：提问不要放在中间，看了半天才发现你的问题。 — 高渊
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