数学难题；一．填空题（共2小题）；1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第；2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（3，0；二．解答题（共28小题）；23．已知：关于x的一元二次方程kx+2x+2；（1）求证：方程总有两个实数根；；（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数；4．已知：关于x的方程kx+（2k3）x+k；（1）求证：方程
一．填空题（共2小题）
1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1=BOn=
2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为 _________ ；抛物线C8的顶点坐标为 _________ ．
二．解答题（共28小题）
23．已知：关于x的一元二次方程kx+2x+2k=0（k≥1）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．
4．已知：关于x的方程kx+（2k3）x+k3=0．
（1）求证：方程总有实数根；
2（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx+（2k3）x+k3=0的两个实数根均为负整数？
5．在平面直角坐标系中，将直线l：
将抛物线C1：沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，2沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m的解析式．
6．已知：关于x的一元二次方程x+（m+4）x4m=0，其中0＜m＜4．
（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；
（2）设抛物线y=x+（m+4）x4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，2），且AD?BD=10，求抛物线的解析式；
（3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．
7．点P为抛物线y=x2mx+m（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．
（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；
（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；
（3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值．
8．关于x的一元二次方程x4x+c=0有实数根，且c为正整数．
（1）求c的值；
（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x4x+c与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；
（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．
9．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD=FB?FC． 222
10．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
求证：（1）∠EAD=∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC=∠B．
11．已知：关于x的一元二次方程（m1）x+（m2）x1=0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m1）x+（m2）x1总过x轴上的一个固定点；
22（3）关于x的一元二次方程（m1）x+（m2）x1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m1）x+（m
2）x1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
12．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC= _________ ；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
222（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD=4AH+BC时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，
请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
13．已知关于x的方程mx+（32m）x+（m3）=0，其中m＞0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若，求y与m的函数关系式； 2
（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y≤m成立的m的取值范围．
14．已知：关于x的一元二次方程x+（n2m）x+mmn=0①
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）若mn1=0，求证：方程①有一个实数根为1；
（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a．当x=2时，关于m的函数y1=nx+am与y2=x+a（n2m）x+mmn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D．当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．
15．如图，已知抛物线y=（3m）x+2（m3）x+4mm的顶点A在双曲线y=上，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）确定直线AB的解析式；
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；
（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．
16．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．
（1）证明BF是⊙O的切线；
（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．
17．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．
（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p= _________ ；
（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是 _________ ．
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．
18．已知关于x的方程x（m3）x+m4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；
2（3）设抛物线y=x（m3）x+m4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=x的对称点恰
好是点M，求m的值．
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