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Excel数据分析（9）
峰度（Kurtosis）和偏度（Skewness）
峰度是描述总体中所有取值分布形态陡缓程度的统计量。计算公式是：
在Excel中的公式是：KURT
因为是与标准正态分布比较，而标准正态分布的四阶矩为3，所以公式中减去3
偏度是描述数据分布形态的统计量
在Excel中的公式为：SKEW
1. 在Excel中生成500个符合正态分布的随机变量。
2. 使用描述统计查看数据
可以看到为一个均&#2，标准差0.9479的标准正态分布
3. 手工计算峰度
使用如图公式得到3.1356191约等于3
4. 手工计算偏度
使用如图公式得到结果为-0.072302
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偏度、峰度检验法
偏度、峰度检验法
正态性检验是推断资料是否服从正态分布,或样本是否来自正态总体的统计方法。有些统计方...它是应用数学上矩的原理来检验偏度系数和峰度系数。偏度系数等于0为对称，大于0为正偏态，小于0为负偏态；峰度系数等于0为正态峰，大于0为尖峭峰，小于0为
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偏度这一指标，又称偏斜系数、偏态系数，是用来帮助判断数据序列的分布规律性的指标。
& && &在数据序列呈对称分布（正态分布）的状态下，其均值、中位数和众数重合。且在这三个数的两侧，其它所有的数据完全以对称的方式左右分布。
& && &如果数据序列的分布不对称，则均值、中位数和众数必定分处不同的位置。这时，若以均值为参照点，则要么位于均值左侧的数据较多，称之为右偏；要么位于均值右侧的数据较多，称之为左偏；除此无它。
& && &考虑到所有数据与均值之间的离差之和应为零这一约束，则当均值左侧数据较多的时候，均值的右侧必定存在数值较大的“离群”数据；同理，当均值右侧数据较多的时候，均值的左侧必定存在数值较小的“离群”数据。
& && &一般将偏度定义为三阶中心矩与标准差的三次幂之比。
& && &&&在上述定义下，偏度系数的取值无非三种情景：
& && & 1.当数据序列呈正态分布的时候，由于均值两侧的数据完全对称分布，其三阶中心矩必定为零，于是满足正态分布的数据序列的偏度系数必定等于零。
& && & 2.当数据序列非对称分布的时候，如果均值的左侧数据较多，则其右侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨，乃至于三阶中心矩取正值。因此，当数据的分布呈右偏的时候，其偏度系数将大于零。
& && & 3.当数据序列非对称分布的时候，如果均值的右侧数据较多，则其左侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨，乃至于三阶中心矩取负值。因此，当数据的分布呈左偏的时候，偏度系数将小于零。
& && & 在右偏的分布中，由于大部分数据都在均值的左侧，且均值的右侧存在“离群”数据，这就使得分布曲线的右侧出现一个长长的拖尾；而在左偏的分布中，由于大部分数据都在均值的右侧，且均值的左侧存在“离群”数据，从而造成分布曲线的左侧出现一个长长的拖尾。
& && & 可见，在偏度系数的绝对值较大的时候，最有可能的含义是“离群”数据离群的程度很高（很大或很小），亦即分布曲线某侧的拖尾很长。
& && & 但“拖尾很长”与“分布曲线很偏斜”不完全等价。例如，也不能排除在数据较少的那一侧，只是多数数据的离差相对于另一侧较大，但不存在明显“离群”数据的情景。所以，为准确判断分布函数的偏斜程度，最好的办法是直接观察分布曲线的几何图形。
与偏度（系数）一样，峰度（系数）也是一个用于评价数据系列分布特征的指标。根据这两个指标，我们可以判断数据系列的分布是否满足正态性，进而评价平均数指标的使用价值。一般地，对于一个偏态分布、肥尾分布特征很明显的数据序列来说，平均数这个指标极易令人误解数据序列分布的集中位置及其集中程度，故此使用起来要极其谨慎。
峰度（系数）等于数据序列的四阶中心矩与标准差的四次幂之比。设若先将数据标准化，则峰度（系数）相当于标准化数据序列的四阶中心矩。
显然，一个数据距离均值越远，其对四阶中心矩计算结果的影响越大。是故，峰度（系数）是一个用于衡量离群数据离群度的指标。峰度（系数）越大，说明该数据系列中的极端值越多。这在数据序列的分布曲线图中来看，体现为存在明显的“肥尾”。当然，峰度（系数）较大也可能说明离群数据取值的极端性很严重，或者各数据距离均值的距离普遍较远。可见，峰度（系数）的大小到底能说明什么问题，最好还是看图确定。
根据Jensen不等式，可以确定出峰度（系数）的取值范围：它的下限不会低于1，上限不会高于数据的个数。
有一些典型分布的峰度（系数）值得特别关注。例如，正态分布的峰度（系数）为常数3，均匀分布的峰度（系数）为常数1.6。在统计实践中，我们经常把这两个典型的分布曲线作为评价样本数据序列分布性态的参照。
在金融学中，峰度这个指标具有一定的意义。一项金融资产，设若其预期收益率的峰度较高，则说明该项资产的预期收益率有相对较高的概率取极端值。换句话说，该项资产未来行市发生剧烈波动的概率相对较高
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终于找到组织了，相见恨晚 &img src=&static/ima ...
多谢分享！
讲解的挺全面的，就是如果能再配上公式就更好啦！
ofse 发表于
讲解的挺全面的，就是如果能再配上公式就更好啦！公式当前教材都有，就没有列出，但觉得都侧重于推导，侧重于数理，而这个讲解从实用角度解释了偏度与峰度，即这两个指标侧重于对图形的描述，在计算出具体的偏度与峰度后，更主要是要参考图形来分类分析，而不是单纯依照数值简单判断。
其二，根据这两个指标的分类，使用者可以按照自己的需求在原公式的基础上编程时再细化，即把图形数据化（因为如果数据量很大的话每个都要附上图形，计算机能受得了，但分析者还不得累死），这样得出的结果更有助于分析归纳，否则单单依靠原公式，分析归纳的难度有些大。
第三，这两个指标都是基于均值、标准差而来的，所以分析时可以根据均值与标准差来判别长尾属于哪种类型，从而确定其影响。
具体使用方法大家百度一下“收入分配公平性的偏态分布描述方法研究”这篇论文，就是偏度与峰度在实际问题中具体应用
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怎么感觉举得例子讲解错误，不是峰度越高，数据越集中，推测未来发生剧烈波动的概率应该越小嘛？求证
“在金融学中，峰度这个指标具有一定的意义。一项金融资产，设若其预期收益率的峰度较高，则说明该项资产的预期收益率有相对较高的概率取极端值。换句话说，该项资产未来行市发生剧烈波动的概率相对较高”
Goodsu 发表于
怎么感觉举得例子讲解错误，不是峰度越高，数据越集中，推测未来发生剧烈波动的概率应该越小嘛？求证
“在 ...可能是因为峰度高代表收益预期较高，虽然概率大多落在了峰值附近但是最高和最低的差距是相对大的，就比如你有30%的概率收益会在50%年化以上，但是其余70%都是受益较低的范围，但是峰值低些就有可能有50%的机会有40％的年化。
毕竟峰度高的话图像相对是尖峰肥尾。
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　　毫无疑问，数据的集中趋势和离散趋势是数据分布的最主要两个特征。因此，我们常常会借助算术平均数，中位数，方差，四分位数等指标进行描述性的统计分析，就正如我们经常讨论的正态分布，两个参数均值和标准差正是对应了集中趋势指标和离散趋势指标。
　　但实际上，数据的分布形态各异，很可能偏离于我们原有的假设分布，例如可能数据分布并不对称，例如数据分布较为“陡峭”，而为了研究这些特征以及与正态分布的偏离程度，我们还需要其他的判定指标，偏度和峰度。
　　一些预备知识
　　对于随机变量X，假若
　　存在，则称它为随机变量X的k阶原点矩；若
　　存在，则称它为随机变量X的k阶中心矩；一般，我们使用矩来描述随机变量的特征，例如随机变量的数学期望就是一阶原点矩
　　，方差则是二阶中心矩
　　1. 偏度
　　偏度，Skewness，是研究数据分布对称的统计量。通过对偏度系数的测量，我们能够判定数据分布的不对称程度以及方向。
　　具体来说，对于随机变量X，我们定义偏度为其的三阶标准中心矩:
　　而对于样本的偏度，我们一般简记为SK，我们可以基于矩估计，得到有：
　　但考虑到，上式的分子分母都不是无偏估计量，因此也有计算公式为：
　　值得注意的是，上述两种样本偏度的最后计算结果都属于有偏估计。
　　偏度的衡量是相对于正态分布来说，正态分布的偏度为0。因此我们说，若数据分布是对称的，偏度为0.若偏度&0,则可认为分布为右偏，即分布有一条长尾在右；若偏度&0，则可认为分布为左偏，即分布有一条长尾在左，同时偏度的绝对值越大，说明分布的偏移程度越严重。
　　另外，偏度&0，分布右偏，长尾在右，高峰在左，这似乎与一般认知不太一致。但其实我们可以发现偏度实际上是三阶标准中心矩，而一个数据距离“中心”越远，对中心矩的计算影响越大。而当数据长尾在右，即有更多正偏的离群值，因此偏度&0;
　　2.峰度
　　峰度，Kurtosis，是研究数据分布陡峭或平滑的统计量，通过对峰度系数的测量，我们能够判定数据分布相对于正态分布而言是更陡峭还是平缓。
　　具体来说，对于随机变量X，我们定峰度为其的四阶标准中心矩:
　　而对于样本的峰度，我们一般简记为K，可通过如下公式计算样本的峰度系数：
　　同样考虑到，上式的分子分母都不是无偏估计量，因此也有计算公式为：
　　特别需要注意的是，峰度其实也是一个相对于正态分布的对比量，正态分布的峰度系数为0，而均匀分布的峰度为-1.2，指数分布的峰度为6。
　　当峰度系数&0，从形态上看，它相比于正态分布要更陡峭或尾部更厚；而峰度系数&0,从形态山看，则它相比于正态分布更平缓或尾部更薄。在实际环境当中，如果一个分部是厚尾的，这个分布往往比正态分布的尾部具有更大的“质量”，即含又更多的极端值。
　　从下图可以看到，拉帕拉斯，双曲正割，逻辑斯底分布的峰度系数均大于0，且他们的峰更陡峭，同时尾部也更厚。而像升余弦分布，半圆形分布，以及均匀分布则是峰度系数&0,同时也可以看到他们更加的平缓。
　　3.峰度的影响实验
　　为了进一步验证分布中各处的值如何影响峰度变化，浩彬老撕构造了如下实验：
　　（1）新增数据加在尾部：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(9,3^2),1000个样本。新增比例为原有的0.001，峰度从0增加为0.073；
　　（2）新增数据加在尾部：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(9,3^2),20000个样本。新增比例为原有的0.02，峰度从0增加为0.996；
　　（3）新增数据加在峰部（高峰更高）：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(0,1),1000个样本。新增比例为原有的0.001，峰度从0增加为0.004；
　　（4）新增数据加在峰部：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(0,1),20000个样本。新增比例为原有的0.02，峰度从0增加为0.049；
　　（5）新增数据加在山腰中部位置：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(4.5,1),1000个样本。新增比例为原有的0.001，峰度从0降低为-0.003；
　　（6）新增数据加在山腰中部位置：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(4.5,1),20000个样本。新增比例为原有的0.02，峰度从0降低为-0.084；
　　从上述实验可知，尾部或离群点对峰度影响为正向，且影响程度最大。而高概率区对峰度影响也为正向，但是比较少；而山腰位置，中等概率区域则影响为负向。
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作者简介：浩彬老撕
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