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《导数及其应用》单元测试题(理科)
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高三导数及其应用
高三年级导数及其应用专题讲解 一、考点、热点回顾高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量 x 在 处有增量△
x（△x 可正可负），则函数 y 相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即。（Ⅱ）如果函数 此时， 对于开区间 （在开区间（ ） 内每一个确定的值）内每一点都可导，则说 ， 都对应着一个确定的导数 在开区间 （在开区间（）内可导， ）， 这样在开区间 （内构成一个新的函数， 我们把这个新函数叫做） 内的导函数 （简称导数） 记作 ，或， 即。1教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。认知： （Ⅰ）函数 一个数值； 在点 的导数 处的导数 是以 x 为自变量的函数，而函数 是 的导函数 当 在点 处的导数 时的函数值。 是（Ⅱ）求函数 ①求函数的增量在点处的导数的三部曲： ；②求平均变化率；③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。（3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数 若函数 在点 处可导，则 ）内可导，则 在点 处连续； ）内连续（可导一定连续）。在开区间（在开区间（事实上，若函数在点处可导，则有此时，教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。2记,则有即在点处连续。（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。反例：在点处连续，但在点处无导数。事实上，在点处的增量当时，，；当时，，由此可知，不存在，故在点处不可导。2、求导公式与求导运算法则 （1）基本函数的导数（求导公式） 公式 1 公式 2 公式 3 公式 4 公式 5 常数的导数： 幂函数的导数： 正弦函数的导数： 余弦函数的导数： 对数函数的导数： 。 （c 为常数），即常数的导数等于 0。 。（Ⅰ） 公式 6 （Ⅰ）； 指数函数的导数： ；（Ⅱ）（Ⅱ）。（2）可导函数四则运算的求导法则 设 法则 1 为可导函数，则有 ； 法则 2 ；法则 3。3教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。3、复合函数的导数 （1）复合函数的求导法则 设 量 x 的导数 即 引申：设 （2）认知 （Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数 结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 简单函数 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 为自变量 x 的 ， 复合成以 x 为自变量的函数 的导数 ，则复合函数 对自变，等于已知函数对中间变量 。 ，，乘以中间变量 u 对自变量 x 的导数复合成函数， 则有，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条： ；（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路 ①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函 数； ②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求； ③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。二、导数的应用 1、函数的单调性 （1）导数的符号与函数的单调性： 一般地， 设函数 减函数；若在某个区间内恒有 在某个区间内可导， 则若 ，则在这一区间上为常函数。 为增函数； 若 为（2）利用导数求函数单调性的步骤 （Ⅰ）确定函数 （Ⅱ）求导数 （Ⅲ）令 的定义域； ； ，解出相应的 x 的范围4教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。（3）强调与认知 （Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域 D，并且解决问题的过程中始终立足 于定义域 D。若由不等式 则应用 ； 确定的 x 的取值集合为 A，由 确定的 x 的取值范围为 B，（Ⅱ）在某一区间内 分（不必要）条件。因此方程 时，除去确定 间的分界点。 举例： （1）（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区是 R 上的可导函数，也是 R 上的单调函数，但是当 x=0 时，。（2） 递增。 2、函数的极值在点 x=0 处连续，点 x=0 处不可导，但在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内（1）函数的极值的定义 设函数 函数 在点 附近有定义，如果对 ； ，则说 是函数 的一个极小值，记作 附近的所有点，都有 ，则说 是的一个极大值，记作 如果对 附近的所有点，都有 。极大值与极小值统称极值 认知：由函数的极值定义可知： （Ⅰ）函数的极值点 是区间 内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的 极小值有可能大于另一点处的极大值；教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。5（Ⅲ）当函数 极小值点交替出现。在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，（2）函数的极值的判定 设函数 可导，且在点 处连续，判定 ，右侧 是极大（小）值的方法是 ，则 为极大值；（Ⅰ）如果在点附近的左侧（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为 0 的不一定是极值点，我们不难从函数 （3）探求函数极值的步骤： （Ⅰ）求导数 ；的导数研究中悟出这一点。（Ⅱ）求方程的实根及不存在的点；考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则 在这一点取得极小值。在这一点取得极大值，若左负右正，则3、函数的最大值与最小值 （1）定理 若函数 函数 在闭区间上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间 内连续的不一定有最大值与最小值。认知： （Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函 数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。 （Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内 点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可 能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。（Ⅲ）若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）6教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。值。 （2）探求步骤： 设函数 步骤如下： （ I ）求 在 内的极值； 在 上连续，在 内可导，则探求函数 在 上的最大值与最小值的（ II ）求在定义区间端点处的函数值，；（ III ）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。引申：若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化： （ I ）求出 的导数为 0 的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；（ II ）计算并比较 最小值。 （3）最值理论的应用在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解路思路为： （ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系； （ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值； （ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函 数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点 处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。二、典型例题例 1、设函数 在点 处可导，且 ，试求（1）；教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。7（2）；（3）；（4）（为常数）。解：注意到当）（1）；（2）=A+A=2A（3）令，则当时，∴（4）教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。8点评：注意 的形式是多种多样的，但是，不论 一致是求值成功的保障。 若自变量 x 在 处的增量为的本质，在这一定义中，自变量 x 在 选择哪一种形式，相应的处的增量也必须选择相应的形式，这种步调的，则相应的，于是有；若令，则又有例 2、（1）已知，求；（2）已知，求解： （1）令 ，则 ，且当 时， 。注意到这里∴教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。9（2）∵∴①注意到，∴由已知得②∴由①、②得例 3、求下列函数的导数 （1） ； （2） ；（3）；（4）；（5）；（6）解： （1）教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。10（2） ∴，（3），∴（4），∴（5），∴（6） ∴当 ∴当 时， 时， ；∴ 即 。点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后 再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后 求”的手法显然更为灵巧。例 4、在曲线 C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线 C 关于该11教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。点对称。 解： （1） ∴当 又当 时， 时， 取得最小值-13∴斜率最小的切线对应的切点为 A（2，-12）；（2） 证明： 设 且有 ∴将 代入为曲线 C 上任意一点， 则点 P 关于点 A 的对称点 Q 的坐标为 ① 的解析式得， ∴点 ∴ 坐标为方程 的解注意到 P，Q 的任意性，由此断定曲线 C 关于点 A 成中心对称。例 5、已知曲线 求证：两曲线在公共点处相切。，其中，且均为可导函数，证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合， 设上述两曲线的公共点为 ， ∴ ∴ ，12，则有 ， ，教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。∴，∴ 于是，对于 对于 ∴由①得 由②得 有 ，有 ， ； ① ②∴，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，∴两曲线在公共点处的切线重合 ∴两曲线在公共点处相切。 例 6、（1）是否存在这样的 k 值，使函数 （2，∞）上递增，若存在，求出这样的 k 值；在区间（1，2）上递减，在（2）若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。解： （1） 由题意，当 ∴由函数 即 整理得 时 的连续性可知 ，当 ， 时 ，教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。13解得 验证：或（Ⅰ）当 ∴若时， ，则 ；若 ， 则 ， 符合题意；（Ⅱ）当时，， 显然不合题意。于是综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，∞）上递增。（2） 若 若 ，则 ，则 ，此时 ，此时 只有一个增区间 只有一个增区间 ，与题设矛盾； ，与题设矛盾；若，则并且当时，；当 ∴综合可知，当时， 时， 恰有三个单调区间：减区间；增区间点评：对于（1），由已知条件得，并由此获得 k 的可能取值，进而再利用已知条件对所14教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。得 k 值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例 7、已知函数 值比极小值大 4. （1）求常数 的值；，当且仅当时，取得极值，并且极大（2）求的极值。解： （1） 令 ∵ ∴ 在 或 得方程 处取得极值 为上述方程的根， ，故有 ∴ ∴ ，即 ①又∵ ∴方程 ∴方程 ∴仅当时取得极值， 的根只有 无实根， 即 或 ，而当时，恒成立，教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。15∴的正负情况只取决于 与的取值情况当 x 变化时，的变化情况如下表：1 + 0 极大值 ― 0 极小值(1，+∞) +∴在处取得极大值，在处取得极小值。由题意得 整理得 于是将①，②联立，解得 ②（2）由（1）知，点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足研究的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数 ”与“ 在 处取得极值”的必要关系。例 8、 （1）已知 的最大值为 3，最小值为-29，求 的值；（2）设 常数 解： （1）这里 的值。，函数的最大值为 1，最小值为，求，不然与题设矛盾教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。16令 （Ⅰ）若 当 又，解得 ，则当 时， 连续，故当或 x=4（舍去） 时， ， 时， 在 ， 内递减 在 内递增；取得最大值∴由已知得 而 ∴此时 ∴由 （Ⅱ） 若 又 ∴当 ∴由已知得 于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求 或 时， 有最大值， 的最小值为 得 ， 则运用类似的方法可得 当 时 有最小值， 故有 ；（2） 令 得，解得 当 在 上变化时， 与 的变化情况如下表：-1(-1,0) +0 0 ― 0 +1教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。17极小值 极大值∴当时，取得极大值；当时，取得极小值。由上述表格中展示的 ∴ 最大值在 与的单调性知 之中， 的最小值在 和 之中，考察差式 即 故 由此得 ， 的最大值为，考察差式，即 ∴ 的最小值为，由此得，解得于是综合以上所述得到所求。三、课后练习五、高考真题 （一）选择题 1、（2005? 湖南卷）设 ，则 A、 （ ）。 B、 C、 D、18，，，…，，教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。分析：由题意得 ， ， ，，∴ ∴具有周期性，且周期为 4， ，应选 C。2、（2004? 湖北卷）函数 A、 B、有极值的充要条件为（ C、 D、）分析： ∴当 当 因此 时， 时，令 且 得 ； 有解，才有极值，故应选 C。3、（2004? 湖南卷）设 ，且 A、（-3，0）∪（3，+∞） C、（-∞，-3）∪（3，+∞），分别是定义在 R 上的奇导数和偶导数，当 ，则不等式 的解集是（时， ）B、（-3，0）∪（0，3） D、（-∞，-3）∪（0，3）分析： 为便于描述， 设 ∴根据奇函数图象的对称性知，， 则为奇导数， 当时，， 且的解集为（-∞，-3）∪（0，3），应选 D。二、填空题 1 （2005? 北京卷）过原点作曲线 的切线，则切点坐标为 ，切线的斜率为 。19教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。分析：设切点为 M ∴由曲线过原点得 ∴切点为，则以 M 为切点的切线方程为 ，∴ 。 ，，切线斜率为点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。2 （2005? 重庆卷）曲线在点处的切线与 x 轴，直线所围成的三角形面积为，则=。分析：∴曲线 即在点处的切线方程为切线与 x 轴交点 又直线， ，与切线交点纵坐标为∴上述三角形面积 由此解得 即，3 （2004? 重庆卷）曲线 数作答）与在交点处的切线夹角是（以弧度分析：设两切线的夹角为，将两曲线方程联立，解得交点坐标为又 即两曲线在点， 处的切线斜率分别为-2，320教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。∴，∴，应填。（三）解答题 1 （2005? 重庆卷）已知 ，讨论导数 的极值点的个数。解析：先将 当 当 时， 时，求导，即 有两根，于是 ， 为增函数， 有两极值点。 没极值点。。本题考查导数的应用以及二次方程根、“ 解答：”等知识。令 1、当 即 不防设 于是 或，得时，方程 ，有两个不同的实根、，，从而有下表：+ J0 为极大值― K0 为极小值+ J即此时有两个极值点；教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。212、当 于是 极值；即时，方程 ，故当 时， ；当有两个相同的实根 时， ，因此， 无3、当 而 故 ∴当即时， ，，为增函数。此时 时，无极值； 有两个极值点；当 时， 无极值点。2 （2005? 福建卷）已知函数 。 （Ⅰ）求函数 的解析式；的图象在点处的切线方程为（Ⅱ）求函数的单调区间。解析：（1）由 得两个关于 的方程。在切线上，求得，再由在函数图象上和（2）令，求出极值点，求增区间，求减区间。此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。 解答 （Ⅰ）由函数 的图象在点 ，即 ， 处的切线方程为 知：教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。22∴即 解得所以所求函数解析式（Ⅱ） 令 当 当 或 时， 解得 时，所以 数。在内是减函数，在内是增函3 （2005? 山东卷）已知是函数的一个极值点，其中（Ⅰ）求与的关系表达式；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求的取值范围。解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与 方程的思想，第 2 小题要根据 的符号，分类讨论 的单调区间；第 3 小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。23性问题特殊化的数学思想。 解答： （Ⅰ） ∴ ∴ ； ， 是函数 的一个极值点（Ⅱ）令，得 与 的变化如下表：1 ― 单调递减 0 极小值 + 单调递增 0 极大值 ― 单调递减因此，的单调递减区间是和；的单调递增区间是；（Ⅲ）由（Ⅱ） 即 令 且 ， ，即 m 的取值范围是。4 （2005? 全国卷 C）教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。24已知函数 （Ⅰ）求 的单调区间和值域；。（Ⅱ） 设 使得， 函数 成立，求 的取值范围。， 若对于任意， 总存在，解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运 算能力，本题入手点容易， （Ⅰ）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，（Ⅱ）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若 关系，从而达到求解目的。成立，则二次函数值域必满足解：（Ⅰ）由得或。∵ 则 ， ，∴（舍去） 变化情况表为：0 ― K 0 + J1因而当 当 时，时为减函数；当 的值域为 ；时为增函数；教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。25（Ⅱ） 因此 因此当 又 任给 则 ， ，当 时 时 为减函数，从而当 ，即当 ，存在 时有 时有 使得由（1）得 又或，由（2）得故的取值范围为。5 （2005? 全国卷 B）已知 （1）当 为何值时，，函数 取得最小值？证明你的结论；（2）设在上是单调函数，求的取值范围。解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（Ⅰ）常 规题型，方法求 在 从中解出 上单调，而 的范围。 ，解 的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（Ⅱ）由（Ⅰ） ，因此只要 即满足题设条件，解答：（Ⅰ）令则26教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。从而 ，其中 当 变化时, ， 的变化情况如下表+ J0 极大值― K0 极小值+ J∴ 当 而当 ∴当在 时 时处取得极大值， ，处取得极小值 ，且 在 ，当 时 为减函数，在 为增函数时 时 在取最小值； 上为单调函数的充要条件是（Ⅱ）当，解得综上，在上为单调函数的充要条件为,即的取值范围为）。6．(2005? 江苏卷)已知 （Ⅰ）当 时，求使，函数 成立的 成立的 的集合；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值。答案： （Ⅰ）｛0，1， ｝27教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。（Ⅱ） 解答： （Ⅰ）由题意， 当 当 时 时 ｝ , ,解得 ，解得 或 ，综上，所求解集为｛0,1,1+(Ⅱ)设此最小值为 m ① 当 时，在区间［1，2］上， ，因为 则 ② 由 ③ 当 知 是区间［1，2］上的增函数，所以 时，在区间［1，2］， ；），时，在区间［1，2］上，如果 从而在区间（1，2）内， 在区间［1，2］上为增函数，由此得 ；如果则。当时，，从而为区间［1，］上的增函数；28教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。当 因此，当时， 时，，从而 或为区间［，2］上的减函数 。当时，故当时.综上所述,所求函数的最小值7、（2005 年全国卷 I ） (Ⅰ)设函数 求 的最小值;( Ⅱ ) 设 正 数满 足 。， 证 明解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（Ⅰ）已知函数为超越函数， 若求其最小值， 则采用导数法， 求出， 解得，再判断与时的符号，确定 到为极小值点，也是函数的最小值，对（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明，但由过渡是难点。解答： （Ⅰ）函数 f（x）的定义域为（0，1）教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。29令当时，f′(x)&0, ∴f(x)在区间是减函数；当时，f′(x)&0,∴f(x)在区间是增函数。∴f（x）在时取得最小值且最小值为(Ⅱ)用数学归纳法证明 （i）当 n=1 时，由（Ⅰ）知命题成立；(ii)假定当 n=k 时命题成立，即若正数 满足 当 n=k+1 时，若正数 ,则 满足令 则 由归纳假定知, 为正数，且① 同理，由 ,可得 ≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). 综合①、②两式 ②≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1). 即当 n=k+1 时命题也成立。教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。30根据（i）、(ii)可知对一切正整数 n 命题成立。8 （2005? 辽宁卷）函数 设 （Ⅰ）用 ， 、 、 是曲线在区间 在点 表示 m；内可导，导函数是减函数，且，处的切线方程，并设函数（Ⅱ）证明：当时,（Ⅲ）若关于 x 的不等式 值范围及 a 与 b 所满足的关系。 解答： （ I ） 即 因而 ； 在点在上恒成立，其中 a、b 为实数，求 b 的取处的切线方程为(Ⅱ)证明：令 因为 所以 因此 是 0即 递减，所以，则 递增,因此，当 时， ；当 的最小值为 0 时， ，唯一的极值点，且是极小值点，可知 ；（Ⅲ） 解法一： 是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立。，即对任意成立的充要条件是，另一方面，由于满足前述题设中关于的条件，利用(Ⅱ)的结果可知，的充要条件是：过点与曲线相切的直线的斜率31教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。不大于， ，该切线的方程为：于是的充要条件是综上，不等式对任意成立的充要条件是① 显然，存在 使①式成立的充要条件是：不等式 ②有解，解不等式②得 因此，③式即为 的取值范围，①式即为实数 与③ 所满足的关系。（Ⅲ） 解法二： 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。，即对任意成立的充要条件是令，于是对任意成立的充要条件是。由 当 时，得 ；当 时， ，所以，当 时，取最小值。因此成立的充要条件是，即综上，不等式 ①对任意成立的充要条件是显然，存在 a、b 使①式成立的充要条件是：不等式②有 ③解，解不等式②得因此，③式即为 b 的取值范围，①式即为实数 a 与 b 所满足的关系。教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。32点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数 之间的关系， 考查考生的学习能力， 抽象思维能力， 以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。 （Ⅰ） 对 ， 曲线 即 在 ∵ ∴ 由 递减 ， 则 所以 成立， 因而 ；对（Ⅲ）有两种思考方法，是该题难点，其求解过程比较详细。 是 的极值点，且为极小值点， 极小值为 ，即 恒 ，则 ∴ 递增，则当 时 ，当 时， 在点 处切线斜率为 ，因而 时恒成立，构造函数 ∴ 则 ， 切线方程为 ， ；对（Ⅱ）即证明9 ． (2005? 江 卷 ) 设 点 浙和抛物线其中由以下方法得到： 点 到 的距离是 到 上，点 （Ⅰ）求 及 的方程；，点在抛物线上， 在抛物线 上点的最短距离。上点的最短距离，…，点 到 的距离是 到（Ⅱ）证明是等差数列。解答： （Ⅰ）由题意得 设点 是 上任一点33教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。则 令 则 由题意得： 即 又 解得 故 方程为： 在 上，∴（Ⅱ）设点 则是上任意一点。令由题意得 即 又∵点 ∴ ∴ 即 下面用数学归纳法证明： ①当 n=1 时， ，等式成立。 在 上②假设 n=k 时，等号成立，即教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。34则当 n=k+1 时，由（*）知：又∴ 即当 n=k+1 时，等式成立 由①②知，等式 ∴ 是等差数列 成立点评： （Ⅰ）设 ∵ 为 上任一点 处 取得最小值。，换句话说：在点令 ∴ 此为关键（Ⅱ）方法同（Ⅰ）推导出：然后用数学归纳法证明。10. （2004? 山东卷）已知函数 （Ⅰ）求函数 的反函数 及 的导数 ；（Ⅱ）假设对任意 不等式 解答： （Ⅰ）解：由 所以， 成立，求实数 m 的取值范围。，得，教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。35（Ⅱ） 解法 1 由 ，得即对于恒有①设，于是不等式①化为② 当 ， 、 时，，， 所以 都是增函数。因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当，即，于是得解法 2：由，得 ，设，36教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。于是原不等式对于恒成立等价于③由 注意到 从而可知 与 均在， ，故有 ， 上单调递增，， ，因此不等式③成立当且仅当，即教师寄语：学源于思，思源于疑。 小疑则小进，大疑则大进。37
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