“应用题”是什么？
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应用题&&比较“应用题”与“解决问题”之优劣，犹如设计着让关公与灰太狼恶斗，其中的噱头层见叠出，还真令人忍俊不禁。&&& “应用题”与“解决问题”(另一说法是“问题解决”)是什么关系?是落后与先进的关系?是前辈与后世的关系?是从属关系?是非此即彼的关系?是风马牛不相及的关系?从各种各样的讨论看，从“数学课程标准(实验稿)”看，从时下的小学数学课本中用“解决问题”取代了“应用题”来看，从被糟践的灰头土脸的“应用题”和扮相十足的“解决问题”来看，上述诸关系诸情况似乎都沾了一点，用扑塑迷离来形容，可能更恰当。&& “应用题”是什么?说直白些，不就是一种数学习题吗?是人们从小学到大学都曾学过或做过的数学习题吗?是一个人人都熟悉的用于数学学习的专用名词吗?死抠该名词的定义对众人没有意义，因为哪怕只读过小学的，都有识别“应用题”的能力或经验。讨论“应用题”的数学教育功能，泛泛的说，意义不大，最好从“应用题”中具体的题讨论起，即某道或某类应用题是否有利于学生对某个数学概念或方法的理解和认识?难度如何?方便度如何?呈现了什么样的数学规律?总之，学解应用题不过是想通过“应用题”这个题型来达成学生对某个特定的数学知识的应知会用。&&& 一、“学以致用，为现实服务”的应用题&&& 从历史上看，中国人学数学一般是通过“应用题”来学的。这可以从“应用题”在数学或数学教育发展的历史过程中看到。1984年，我国在湖北省江陵张家山出土了一批汉简(汉朝的竹简)，学界称之为“张家山汉简”，其中有一部数学问题集《算数书》，谁写的?无人晓得!内中一共有92道数学题，据考证是公元前三世纪后段成书的。那时的数学题是什么样的?除了题叙用的是吝字如金的文言文外，与当今的应用题并无二致。例如，该书有一道现在的人们也很熟悉的应用题：分钱人二而多三，人三而少二，问几何人、钱几何。(答案：人5，钱13)这可能是通过掘墓考古发掘而被证实的用竹简书写的我国最早的“应用题”，尽管秦汉时期并设有“应用题”、“问题”这类专用名词。这道应用题也出现在了后来成书的《九章算术》中，用“盈不足术”求解。说明《算数书》与中国古典数学教科书《九章算术》具有前生后世的传承关系。经由《算数书》的佚名作者、张苍(约公元前200年)、耿寿昌(公元前50年)、刘徽(公元263年)、李淳风(656年)等中国数学家前赴后继历时九个世纪的努力完善而成的《九章算术》就是一本大多以“应用题”的方式表述数学方法或知识的数学教科书，全书共收入246个问题，有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输等篇章，书中的问题几乎都来自农经生产、社会管理、生活实践。该书的编写目的就是帮助人们通过对实例的学习来获得算法、掌握算法，运用这些算法解决实际问题。顺便提一下，汉代负责数学教育的官员(大司农)刘歆(公元前50—公元23年)认为数学教育是培养政府官员之必需，他也是提倡对儿童进行数学(算术)启蒙教育的中国第一人。《九章算术》阐发的数学教育思想支配了长达二千年的中国数学教育，这个思想就是“学以致用，为现实服务”，是中国传统的“实用理性”观念在数学教育领域中的表达，在这个思想的辖制下，是不可能产生人们现在熟知的科学理论和科学方法的。这个思想延至中国近代虽然有了些变化，但人们仍然以“通经致用”这类思想为数学教育宗旨，视数学为“实学”，忽视数学的独立价值。今天，21世纪初，仍有人在提倡“学有用的数学”、“学生活中的数学”、“有用的学，没用的不学”、“将数学生活化”等等，这些说法被说成是美国等科技发达国家的数学教育理念，是21世纪的舶来品。实际上不是!以“学是为了用”为主旨的数学教育不过是被现在的一些专家贴了美国标签的、影响了中国人达二千年的数学教育目的的白话文表达，这类说法及思想与中国古代数学教育思想中的消极方面一脉相承。中国近现代数学教育正是在与这类思想的博弈中发展起来的。&&& 二、有了“兼使精细其心思”的数学教学目标&&& 19世纪中叶，当时的清朝政府被西方列强打疼了，认识到要学习西方人的现代技术必先要掌握数理化基本理论，故在官办的学校“京师同文馆”中设立了“天文算学馆”。这个学校中的数学教师聘用的都是中国人。这个学校首次引进了西方的近代教学形式(这个形式在夸美纽斯于17世纪撰写的《大教学论》一书中有详尽的介绍)。这个学校的数学课堂，系统的、前后连贯的、有逻辑顺序的数学教学一直与中国传统的学以致用的离散式的知识教学在打架。中国的数学教师是聪明的，他们最终对二者取了融和的方式，发展出了具有中国特色的数学教育。中国的第一所由中国人自己办的近现代意义上的小学(不包括西方教会、传教士办的学校)是1878年由张焕纶在上海创办的正蒙书院。该校以班为教学单位，是中国首次采用班级授课制教学的小学校。曾在该校就读的胡适先生回忆说：该校开有“国文、算学、英文”三项课程。当时的小学数学教材是中国人自己编写的《算经十书》、《数理精蕴》，与以往不同的是，正蒙书院还同时使用了从西方翻译来的(邹立文与美国传教士狄考文合译)《笔算数学》。该书于1872年出版，分三卷24章，上卷有加法、减法、乘法、除法等章目；中卷有小数、比例、百分数、利息等章目；而下卷12章则有保险、赔赚、粮饷等应用数学的内容。全书共收录2876个问题。这套教材与中国传统算书不一样，比较注意数学知识的逻辑结构，既讲述了西方初等数学的主要内容，也加入了一些中国古代数学的问题。值得注意的是：这本被当时的中国小学校广泛采用的课本并没有出现“应用题”三个字。事实上，当时，“应用题”这个词很可能还没有在中国的数学书中出现过，而“应用题”在中国作为事实存在已有2千多年了。至此，不难断定中国现代小学数学教育是从翻译外国教材逐步过渡到自编教材的。还值得注意的是：当时的数学教学一般是以从“问题”中归纳出“算法”的形式进行的，不大讲基本原理，这个教学现象与今天提倡的“解决问题”式的数学教学有雷同之处。&&& 20世纪初，中国向英美等西方国家学习现代技术或科学的重点移向了日本，这体现在仿日本学制制定的“癸卯学制”上。1900年，上海出版了日本文部省国定的算术课本，“教科书”这个日文名词被中国正式使用。算术教学目的也不仅是“谋生计之必需知识”，还有“兼使精细其心思”的思维训练的要求，这是中国数学教育思想的划时代的进步。&&& 三、“应用题”这个词出现了&&& 1908年，清政府学部编译局出版《高等小学算术教科书》共八册，“应用题”这个词出现在官方出版物中，还真有可能像“教科书”这个词一样，也是从日本舶来的。这部教科书中的应用题是用文言文写的，没有标点符号，其目的、内容、取材、叙述方式与中国传统的应用题不同，算是新应用题吧。例如有题：“济南府距北京九百六十里。甲由北京赴济南。已行二百二十里。乙由济南赴北京。已行二百二十里。问此时甲乙二人相距若干里。”显然，此应用题的编拟是为了训练加减运算能力、渗透整体与部分之间关系的思想而设计的。&&& “应用题”这个词好啊!可以顾名思义，做到了概念、用语的高度统一。此词的确切出处和时间，对笔者还是个谜，希望得到明示。&&& 1923年，当时的政府颁布的小学数学纲要规定了一至六年级的数学学习内容，其中并未出现“应用题”这个词。有个重要的史实值得书写：1924年，中国教育家俞子夷针对当时“珠算口诀教学”的废留争议，提出了一定要用科学的方法进行试验研究。俞先生亲自设计试验方案，实施试验，得出了科学的结论，采用了经过科学试验验证的教学方案。限于篇幅，这里不予详述。这种用科学的方法来研究数学教学问题的思想和实践，在中国具有里程碑般的意义，这个科学思想，直到今天，许多占着“得天独厚位置”的“数学教育专家”还不懂得。&&& 1929年，当时的政府颁布了《小学算术课程暂行标准》。这个标准规定的很细，包含了许多知识应用的要求，六年级作业中甚至有“中外度量衡的比较”、“关于度量衡公制的研究和应用”等作业要求(这颇似现在倡导的研究性学习。显然，贴着“研究性”标签的数学学习也不是什么新事物)。在这份官方教学文件中仍无“应用题”这个词，只是具体到教科书、课本，如复兴初小算术教材，则从三年级开始，册册都有“应用题”。有意思的是：今天的课程改革将所谓的主题图安排在数学教科书各章的章头，鼓吹说这是数学课程改革的新事物，一些专家还就此有些“创新”谁当先的争夺，现请看七十多年前的小学数学教材，可明证数学教材中安排“主题图”这类事在中国是旧事物，不算是新事物。算术第二册(1932年编写)第十八课“铜币和铜元的认识”设主题图如下：&&&&&&&&&&&&&&&&& 教学时，先要求小学生看图，教师问小学生是否拿铜元去买过东西?买的是什么东西?这些东西大约几个铜元?然后再做买卖的游戏。在这套教材中，低年级常利用主题图讲数学知识，中高年级则常用应用题讲数学知识。例如高小第三册(231页)(相当于六年级上学期)有例题：&&& 郑楠代客出卖货物，共价6000元，当时说明佣钱是货价的5%，那么郑楠可得佣钱几元?&&& 当时的小学生也很怕“应用题”，所以，时任低年级的教师经常致力于将“应用题”故事化，到中高年级再减少故事化的程度。&&& 国外有科学研究结论曰：一幅图最多可替代2千字的表达，国内似乎无人就此下功夫研究。一幅主题图的效益指标究竟如何，就某个具体的数学知识来说，在给定篇幅下，是文字叙述效益高?还是简意图或情境图效益高，亦或是文字与图相配合效益高?这里可研究的事有很多，只是很少有人认真对待此事。&&& 四、“应用题”曾经占用了大量的数学学习时间&&& 解放后，1950年7月，教育部制订了《小学课程暂行标准(草案)》，其中《小学算术课程暂行标准(草案)》教学纲要列有对“应用题”的编制要求：要具体而有兴趣并能多用事实本位的方法编排。应用题的字句，要力求明白浅显，内容不可曲折太多，以免儿童不易解答。&&& 将应用题明确作为教学和编教材要求的是1952年颁布的《小学算术教学大纲(草案)》，规定从第三学年开始学习典型应用题。该文件还规定应以算术课及其课外作业的全部时间的一半左右来学习应用题。这与以往相比是十分突出的、划时代的变化。自此：分数应用题、整数应用题按复杂程度被分成了简单应用题、复合应用题。应用题自成知识系统，由简单到复杂，由二步到六步，分为归一、行程、和差、倍比、追及等十余类，在小学数学教科书中再没断过档。求和、求剩余、比多、比少、相差、等分除、包含除、求一数是另一数的几倍等数学知识或技能与应用题密合成体，或增、或减、或难、或易、几经改革再未离开过“数学教学大纲”或“义务教育数学教学大纲”及相应编写的数学教材。“应用题”本应是数学知识学习的载体、手段、方法，不知为何被强化成了数学的主体知识，甚至需用一半的数学学习时间来学习。由此造成的后果需要进行科学而又认真的评估或评价。因为，数学知识的学习是一个复杂的过程，涉及的思想或方法并不单纯。&&& 五、“数学课程标准(实验稿)”中没了“应用题”这个词?　“应用题”被规定为一题独大显然是一种片面性的教学要求，这有可能使学生产生对数学的误解。但无论如何，这都属于总结、研究、改进层面上的事，不宜用全面否定、全面替代的方式来取消他。这就是到了现在，在2001年颁布的“数学课程标准(实验稿)”中，“应用题”一词再无踪影，取而代之的是“解决问题”。本次数学课改办了类同“文字狱”的事，象“应用题”、“几何”一类的词均被列为禁忌。极其荒唐!&&& “应用题”具有编拟方便、有针对性、有助于理解、方便阅读等特点，故在数学教学中大受欢迎。像“鸡兔同笼”、“韩信点兵”等，都是应用题，是源于现实且高于现实的。对解题者来说，既可建立数学模型或数学关系式来解，也可凑出来、猜出来、磨功夫磨出来。没学过数学的，也有可能找出答案来，群众性、普及性非常强。小学数学课堂(包括小学数学奥林匹克课堂)常见的以“工程、植树、找规律、行程”为主要内容的应用题是人为构造的现实，是人人均可会意的现实，但没有人真把应用题当真。为什么?当真的事儿比这要复杂得多。应用题是简化版的现实、是模型化了的现实，教师可以根据教学需要随时编拟。例如，教师根据“10以内加法”教学的需要随口就能编“小红种了三棵树，小兰种了五棵树，他们一共种了几棵树?”显然，这丰富了“3+5”这个算式的背景，易于学生理解，这就是应用题的优势之一。这个优势不随着“应用题”的作用被人为抬高而火爆，也不随着“应用题”被人为摒弃而消亡。“应用题”的优势具有客观性，不受不同时期、不同国度、不同流行理念的左右。只要教师觉得教学需要，就可以视情况编出来、用下去。&&& 美国人为方便小学生理解“加法交换律”设计了应用题：“我想给我的布娃娃4个苹果和2个桔子，但你的布娃娃更喜欢桔子，所以给了她4个桔子和2个苹果，这两个布娃娃得到的水果个数一样吗?”&&& 英国人为一年级小学生设计了应用题：“珍妮特有5便士，约翰比珍妮特多3便士，问约翰有多少钱”和“珍妮特有5便士，约翰有3便士，问珍妮特比约翰多多少钱?”这两道题都包含了“多”，但第一个问题用加法，第二个问题用减法。显然，语言表达的丰富性对学生理解数学问题是个干扰，应用题有助于识别这种干扰，并使学生准确理解各种复杂的表达。&&& 被观念、认识所左右的是“人”，人若对某个事物的认识是僵化的、有误区的，例如对“应用题”这个事物的认识，那他在教学或运用应用题时，就会是僵化的、模式化的、“拿着鸡毛当令箭”式的，就容易强化“应用题”的非本质方面的、次要的功能，而丢弃应用题的本质的、优势的功能。就如同“买珠还椟”。所以，对“应用题”的错误认识或不恰当的使用，以及形式化的、僵化的教学或教材处理，是“人”的问题，不是“应用题”本身的问题，不能混着谈。&&& 六、“解决问题”是一个“待解决问题”&&& 至于“问题解决”，仅从大量相关文章中看，感觉这是一个被“神话”了的概念、有人赋予其太多的功能，但从字面上却看不出可识别的功能或意义，这究竟是一种题型呢?还是一种观念呢?还是一种教学方式呢?还是一种数学问题的阐述形式呢?不好界定!恐怕对其的任何一种解说都会招惹来对立的其他的说法。太不具有确定性了!同时，这也是一个难以从反面来对比认识的说法。例如：应用题的反义词是非应用题，人们都知道非应用题有式题、选择题、证明题、操作题等等。同时，应用题也有人们熟知的与其等价的一些说法，例如叙事题、情景题、古算题等等。无论是其反义词、还是同义词都是有意义且可理解的。“解决问题”呢?其反义词不会是“应用题”吧?从时下的情况来看，的确有人这样看，否则不会到了你去我离的程度；或许是“非解决问题”?那含义一定比“解决问题”还复杂、还令人搞不懂。同义词是什么?不会是“应用题”吧?从许多迹象来看，也有这样认为的。总之，从反面或相反的意义来理解“解决问题”也是有困难的。原因在哪儿?简单说吧，因为仅就数学中的事来说，什么时候能够离开对数学问题的解决来谈数学，更何况这“解决问题”在今天，在数学教学中已经被“三维目标”极大的“丰富”了，这就更难让人说“不”字了。视力不必太好就能看出“解决问题”这个包袱皮太大，可包容的东西太多，内置空间说不清到底有多大，不好背、难掌握啊!这也可能是“解决问题”这个词的优势，这个优势虽然比不上“哲学”这个词容纳的空间大，但一想到人类面临的问题的复杂性和多样性，这“解决问题”肯定是一个令人肃然起敬且不容被疑的说辞，是足够专家们将其当作永恒主题的。放着简单方便的不用，用复杂的，这就是“数学课标”在“解决问题”和“应用题”上的作为。但是，对于一般的、广大的数学教师来说，与“解决问题”相比，“应用题”应算是比较明确、比较好理解、比较易操作、比较快实现、比较能普及的一个学数学和教数学的方式或题型，他和计算题、选择题、画图题、证明题一样，是可区分、可识别、可被明确应用、可让学生操作的一种例(习)题形式。不像“解决问题”那样，教师抓不住、学生搞不清楚，可以因永远说不清而成为“永恒的论题”。举例说，学生若向家长汇报说自己今天做了“解决问题”，那只会在教师和学生之外，再添上一位“一头雾水”的。因为，除了少数几个热心诠释“解决问题”的专家，能详知“解决问题”的，可能少之又少，包括我在内的绝大多数人属于连“皮毛”水平都不够的。当然，我们还可以为“解决问题”选择一个通俗的解释或理解，即只要是数学习题，都是人构造的问题，解决这些问题都应该属于“解决问题”。这在客观上虽然大大贬低了“解决问题”的创新价值，但这不失为一个可行的方案，尽管这样俗的解说可能不会被容忍。这有可能触及了“解决问题”这座“金矿”的真实性，即这座“金矿”能否产出金子也成了需要解决的问题，可简称“待解决问题”。&&& 七、“应用题”的好处，人所共知&&& “应用题”在从小学数学及至大学数学中的表达方式有共性，也有个性，用文字加少量的字母、数、式来表达一个问题并求解是共性；用文字叙述的往往是人们熟悉的事务和数量关系，解决问题的线索则隐含其中。高等数学中的“应用题”的情境素材往往与物理、化学、生物、经济学有关，中小学数学的应用题的情境素材多源于生活、生产等社会现实。应用题中的情境元素不复杂、不新潮，都是易理解或人所共知的，无论是遥远偏僻的山区、农村、湖区、牧区还是大城市，很少有谁因为应用题中设置的情境而犯难，这与当前的那些挂着“解决问题”招牌的情境性问题形成鲜明对照。现在的课本中的许多情境题并非所有地区的所有学生都能看懂看明白的。“应用题”涉及的情境因素不多，显得不丰富，但通用性强，适用性强，谁都能用，也方便教师自己编拟，这与数学表达的简单性思想是一致的。大家都知道英文字母有26个，但在中小学数学中被经常用到的除专用名词外，并不多，也就是x、y、z、a、b、c等。“应用题”中经常被使用的情境概念较少，是一个优势，这些情境概念无非是少先队员、大人、小孩、货币、树、沟、路、墙、屋、管、水池、汽车、自行车。但通过少量的文字和简单的情境串起来，就能表达各种数学知识，这是一种科学表达的方式，可称之为通用性或互换性思想，值得提倡。爱因斯坦给人们讲“相对论”，天文学家讲万有引力，物理学家讲力学，设计的情境就那么几个，避免了复杂性，以易学、易懂、易理解为前提，是一种智慧的教学方法。数学中的应用题在知识的教授和传播上应该算是智慧的“先哲”。科学家们在阐述事物原理时喜欢运用譬喻、喜欢用简单表达复杂，这与他们从小受解“应用题”的数学训练的影响有关。“应用题”的问题叙述方式对人有潜移默化的影响，易理解、好懂、不会产生歧义，也就不会对数学理解造成额外干扰。现在的“解决问题”情境可就不同了，排队买电影票的情境可以引申出尊老爱幼、礼让、拥军、守规矩等话题。这些话题虽然跟数学问题不沾边，但也不是谁都敢反对或不赞成的。因为若按“对错”来论，是没有什么不对的。把个数学课、数学教育问题弄得异常复杂，这不利于教育。总之，对“应用题”，广大数学教师都比较了解，只是对其在数学教育中的意义还缺乏科学的提炼。即使是物理、化学、劳技、德育等学科，也经常是采用应用题的叙事方式来阐述问题供学生练习或学习用的。而对“解决问题”，显然还有很多值得界定、值得明确、值得研究、值得商榷的事，研究得还很不够。用研究得还不够的东西去冲击研究得比较透的事物，在闹哄哄的、暴烈的大潮中一般都比较容易成功，就如同将一座现成的建筑物拆掉一样，并不是难事。内蒙古呼和浩特市就曾经发生过这样的事，有关部门为了给一个诱人遐想的有巨大想象空间的大厦腾地，而拆掉了一些正在使用的、有确凿无疑的使用价值的大楼。而那个用概念包装的大厦似乎永远难见天日，原因很简单，一个编造了观念中的大厦的骗子把大家“忽悠”了，这个骗子受到了法律的制裁。这提醒我们，拆掉现成的很容易，但建设新的，是一定要建立在踏实研究且落实的基础上。“事儿”并不是念千万遍“阿弥佗佛”就可以成就的。&&& 八、“应用题”是数学能力形成的“脚手架”?　“应用题”是座宝库，是经过历史大浪淘出来的金子。数学教学目标将其作为提高学生数学能力的手段、途径或方法，是正确的。利用应用题究竟能够培养学生什么能力，还不能看简单了。爱因斯坦用以光速相对而行的两列火车和车下的观测者之间的关系来说明“相对论”，这应该也算是一道应用题。只不过对这道题不能简单的用加法，不能用加法来求两列光速火车的速度和。这说明设计好的“应用题”，不仅能培养学生发现、分析、解决问题的能力，还能培养学生表达问题的能力，还能培养学生提炼问题的能力，还能帮助人们理解新知识、新概念。总体上说，好的、适当的应用题可以培养学生抽象的能力、逻辑思考的能力等等。当然，关于应用题的教学哪怕只达到了一个目的：培养了学生解决问题的能力。这已经很了不起了!问题是：是解决具体问题的能力，还是解决一类问题的能力，还是解决一般问题的能力?笼统的说法或评价并不能准确反映“应用题”的功能。“应用题”的功能不是一朝一夕就能显现的，他构成了数学学习的缓坡，每一步都是必要的，纠缠于某一步某一类应用题有什么用，培养了什么能力是没有意义的。通过“应用题”学加减乘除、学面积体积、学有理数和无理数、学初等函数、学微积分非常方便，十分有效。应用题如同数学能力形成的“脚手架”，数学能力形成了，“脚手架”也就没用了，就可以把“应用题”扔到一边，甚至可以成为被挖苦、嘲讽的对象，就象姜昆那样，用相声挖苦老师布置学生做“水管、水池、灌水、放水”这类应用题。这是“脚手架”的命运，但建筑大厦还是离不开“脚手架”的。“应用题”是座宝库，老师们应该进一步发掘他，要灵活运用、按需编拟；不要僵化灌输，只在解题模式上下功夫，将解应用题套路化，使其失去数学思考价值。我们的隔海邻居日本、陆地邻居俄罗斯都非常重视“应用题”，他们命制的应用题很有特点，请老师们注意收集或参考。另外，我国著名的数学命题专家裘宗沪先生，他原创的许多应用题极有特色，喜欢数学的学生都喜欢做他命制的应用题，他编著的《小学数学爱好者专题讲座》堪称经典，值得数学老师们认真研究。
参考资料：
[1] 中小学数学
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中学高级教师，特级教师。现任河南省罗山县教体局教研室数学教研员，中国教育学会尝试教学理论研究会、全国学习科学学会尝试学习研究会理事，尝试教育科学研究院兼职研究员。主持国家级、省级课题经专家鉴定6项荣获一等奖。指导教师参加国家级、省级优质课评比10人次获得一等奖。撰写论文百余篇在《中国教育报》、《中国教师报》、《中小学教师培训》、《中小学数学》等报刊发表。先后受邀分别在北京、天津、上海、西安、山东、浙江、四川等地举办的全国学术研讨会上作专题报告。获得河南省“学术技术带头人”、“优秀教师”，教育部课程 ...
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第1课 5.1二元一次方程组（1）教学目的1、使学生二元一次方程、二元一次方程组的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。2、使学生了解二元一次方程、二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。3、通过和一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法。通过“引例”的学习，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点。教学分析重点：（1）使学生认识到一对数必须同时满足两个二元一次方程，才是相应的二元一次方程组的解。（2）掌握检验一对数是否是某个二元一次方程的解的书写格式。难点：理解二元一次方程组的解的含义。突破：启发学生理解概念。教学过程一、复习1、是什么方程？是什么一元一次方程？一元一次方程的标准形式是什么？它的解如何表达？如何检验x=3是不是方程5x+3(9-x)=33的解？2、列方程解应用题：香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了9千克，付款33元。香蕉和苹果各买了多少千克？（先要求学生按以前的常规方法解，即设一个未知数，表示出另一个未知数，再列出方程。）既然求两种水果各买多少？那么能不能设两个未知数呢？学生尝试设两个未知数，设买香蕉x千克，买苹果y千克，列出下列两个方程：x+y=95x+3y=33这里x与y必须满足这两个方程，那么又该如何表达呢？数学里大括号表示“不仅……而且……”，因此用大括号把两个方程联立起来：
这又成了什么呢？里面的是不是一元一次方程呢？这就是我们今天要学习的内容。板书课题。二、新授1、有关概念（1）给出二元一次方程的概念观察上面两个方程的特点，未知数的个数是多少，含未知数项的次数是多少？你能根据一元一次方程的定义给出新方程的定义吗？教师给出定义（见P5）。结合定义对“元”与“次”作进一步的解释：“元”与“未知数”相通，几个元就是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。二元一次方程和一元一次方程都是整式方程，只有整式方程才能说几元几次方程。（2）给出二元一次方程组的定义。（见P5）式子：
表示一个二元一次方程组，它由方程①、②构成。当某两个未知数相同的二元一次方程组成一个二元一次方程组时应加上大括号。（3）给出二元一次方程组的解的定义及表示法。三、练习P6练习：1，2。四、小结1、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？2、什么是二元一次方程组的解？如何检验一对数是不是某个方程组的解五、作业1、P 5.1 A：1（3、4），3，4。
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首都师范大学出版社。二、单元设计：本单元内容分四快：逆命题与逆定理，角平分线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定，轴对称图形和两个图形的轴对称。轴对称放在最后，利于学生运用观察比较归纳类比加强对问题的认识。三、教学目标：1.了解形形色色的对称现象。2.识别轴对称现象。3.理解轴对称图形的性质，会利用性质解题。四、教学过程：活动1：展示各种对称图形。 让学生体会对称美，认识生活中的数学，可提高学生学习数学的兴趣。 活动2：准备好角、等腰三角形、长方形、圆等图形，完全对折，让学生说出结论。叙述出这个过程。 这个活动可培养学生动手能力，语言表达能力，但观察的结论不一，把范围缩小，语言叙述有困难，要注重。活动3 问题引入：有两对称点，如何画出对称轴？画线段、角、等腰三角形，试画对称轴。观察，分析。 讨论：（1）△ABD和△ACD的关系，怎么说明？⑵对称点和对称轴之间存在什么关系？归纳结论。性质：对称的两个部分全等。对称轴是对称点连线的垂直平分线。 活动4：出示例题，让学生分析解答。活动5：习题解答。
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（第二课时） 一、教学目标 1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用. 2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理. 3．已知线的成已知比的作图问题. 4．通过应用，培养识图能力和推理论证能力. 5．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想. 二、教学设计 观察、猜想、归纳、讲解 三、重点、难点 l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用． 2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 【复习提问】 叙述平行线分线段成比例定理（要求：结合图形，做出六个比例式）. 【讲解新课】 在黑板上画出图，观察其特点： 与 的交点A在直线 上，根据平行线分线段成比例定理有： ……（六个比例式）然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，这样即可得到： 平行于 的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例． 在黑板上画出左图，观察其特点： 与 的交点A在直线 上，同样可得出： （六个比例式），然后擦掉图中有关线，得到右图，这样即可证到： 平行于 的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例． 综上所述，可以得到： 推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 如图， （六个比例式）． 此推论是判定三角形相似的基础． 注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，如果已知 ，DE是截线，这个推论包含了下图的各种情况． 这个推论不包含下图的情况．
后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待．（考虑改用投影仪或小黑板） 例3 已知：如图， ，求：AE． 教材上采用了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即： . 让学生思考，是否可直接未出AE（找学生板演）． 【小结】 1．知道推论的探索方法． 2．重点是推论的正确运用 七、布置作业 （1）教材P215中2． （2）选作教材P222中B组1． 八、板书设计
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9.3章等腰三角形教案（一）、温故知新，激发情趣：1、轴对称图形的有关概念,什么样的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。(首先教师提问了解前置知识掌握情况,学生动脑思考、口答。)(二) 、构设悬念，创设情境:3、一般三角形有哪些特征？ （三条边、三个内角、高、中线、角平分线）4、等腰三角形除具有一般三角形的特征外，还有那些特殊特征？(把问题3作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。问题4给学生留下悬念。)（三）、目标导向，自然引入：本节课我们一起研究——9.3 等腰三角形(板书课题) 9.3 等腰三角形(了解本节课的学习内容)(四)、设问质疑，探究尝试：结合问题4请同学们拿出准备好的不同规格的等腰三角形，与教师一起演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，引导学生观察实验现象。[问题]通过观察，你发现了什么结论？（让学生由实验或演示指出各自的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的特征）[结论]等腰三角形的两个底角相等。（板书学生发现的结论）等腰三角形特征1：等腰三角形的两个底角相等在△ ABC中，∵AB=AC（ ）∴∠B=∠C（ ）[方法]可由学生从多种途径思考，纵横联想所学知识方法，为命题的证明打下基础。例1：已知：在△ABC中，AB=AC,∠B＝80，求∠C和∠A的度数。〔学生思考，教师分析，板书〕练习思考：课本P84 练习2（等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？）〔继续观察实验纸片图形〕（以下内容学生可能在前面实验中就会提出）[问题]纸片中的等腰三角形的对称轴可能是我们以前学习过的什么线？（通过设问、质疑、小组讨论，归纳总结，培养学生概括数学问题的能力）[引导学生观察]折痕AD是等腰三角形的对称轴,AD可能还是等腰三角形的什么线?[学生发现]AD是等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高.[结论]等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合.简称为:“三线合一”。等腰三角形特征2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（三线合一）（出示小黑板）[填空]根据等腰三角形特征的推论，在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠＿=∠＿，＿=＿；（2）∵AB=AC，AD是中线，∴∠＿=∠＿，＿⊥＿；（3）∵AB=AC，AD是角平分线，∴＿⊥＿，＿=＿通过直观模具演示，引出推论2，并出示小黑板[填空]、强调“三线合一”的运用方法。使学生留下深刻印象，并通过[填空]了解三线合一的运用方法。强调“三线合一”特征中的三线段前的定语的重要性，可让学生实际画图验证。（五）、启发诱导，初步运用：例2：如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，∠B＝30，求∠1和∠ADC的度数。课堂练习：（1）P85练习3（2）例3已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100，过屋顶A的立柱AD⊥BC、屋椽AB=AC．求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．（这是一道几何计算题，要使学生加深对本课内容的应用，引导学生写出解题过程）（六）、归纳小结，强化思想：（1）叙述等腰三角形的特征及其应用；（2）利用等腰三角形的特征可证明：两角相等，两线段相等，两直线互相垂直。（3） 联想方法要经常运用，对今后解题大有裨益。（七）、布置作业，引导预习：P86 习题9.3 1、3、4 预习课本：P85 等腰三角形课后思考题：等腰三角形两腰上的中线（高线）是否相等？为什么？
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第一课时 一、教学目标 1．使学生知道二元二次方程的概念、二元二次方程组的概念； 2．使学生掌握由代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 3. 通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力； 4. 通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转化的辨证唯物主义思想的教育； 5. 通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美. 二、重点难点疑点及解决办法 1．教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组. 2．教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想. 3．教学疑点：关于学生对二元二次方程组概念的理解.由于教材中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，其实不然.关于这一点，可利用课后辅导向学生做一简单的说明. 4．解决办法：关键是消元，化二元为一元，本节主要是用代入消元. 三、教学过程 1．复习提问 （1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？ （2）解二元一次方程组的基本思路是什么？ （3）解二元一次方程组有哪几种方法？ 问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法. 2．新课讲解 我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法. 关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了解，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容. （1）二元二次方程及二元二次方程组 观察方程 ，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2. 定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程. 二元二次方程的一般形式是： （a、b、c不同时为零）.其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项. 定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如： 都是二元二次方程组. （2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法. 我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解. 解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程. 对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法. 例1 解方程组 分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得 再代入①可以求出 的值，从而得到方程组的解. 解：由②，得 把③代入①，整理，得 解这个方程，得 . 把 代入③，得 ； 把 代入③，得 . 所以原方程的解是 说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生解题过程. 巩固练习：教材P57 1、2 四、总结、扩展 关于本节的小结，教师引导学生共同总结. 本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解. 学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤： 1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式. 2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程. 3．解一元二次方程或一元一次方程. 4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数. 5．写出方程组的解. 五、布置作业 教材P58 1，2. 六、板书设计
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一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和外角和定理． 2．了解四边形的不稳定性及它在实际生产，生活中的应用． （二）能力训练点 1．通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力． 2．通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归思想． 3．会根据比较简单的条件画出指定的四边形． 4．讲解四边形外角概念和外角定理时，联系三角形的有关概念对学生渗透类比思想． （三）德育渗透点 使学生认识到这些四边形都是常见的，研究他们都有实际应用意义，从而激发学生学习新知识的兴趣． （四）美育渗透点 通过四边形内角和定理数学，渗透统一美，应用美． 二、学法引导 类比、观察、引导、讲解 三、重点难点疑点及解决办法 1．教学重点：四边形及其有关概念；熟练推导四边形外角和这一结论，并用此结论解决与四边形内外角有关计算问题． 2．教学难点：理解四边形的有关概念中的一些细节问题；四边形不稳定性的理解和应用． 3．疑点及解决办法：四边形的定义中为什么要有“在平面内”，而三角形的定义中就没有呢？根据指定条件画四边形，关键是要分析好作图的顺序，一般先作一个角． 四、课时安排 2课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、四边形模型、常用画图工具 六、师生互动活动设计 教师引入新课，学生观察图形，类比三角形知识导出四边形有关概念；师生共同推导四边形内角和的定理，学生巩固内角和定理和应用；共同分析探索外角和定理，学生阅读相关材料．第一课时 七、教学步骤 【复习引入】 在小学里已经对四边形、长方形、平形四边形的有关知识有所了解，但还很肤浅，这一章我们将比较系统地学习各种四边形的性质和判定分析它们之间的关系，并运用有关四边形的知识解决一些新问题． 【引入新课】 用投影仪打出课前画好的教材中P119的图． 师问：在上图中你能把知道的长方形、正方形、平行四边形、梯形找出来吗？（启发学生找上述图形，最后教师用彩色笔勾出几个图形）． 【讲解新课】 1．四边形的有关概念 结合图形讲解四边形，四边形的边、顶点、角，凸四边形，四边形的对角线（同时学生在书上画出上述概念），讲解这些概念时： （1）要结合图形． （2）要与三角形类比． （3）讲清定义中的关键词语．如四边形定义中要说明为什么加上“同一平面内”而三角形的定义中为什么不加“同一平面内”（三角形的三个顶点一定在同一平面内，而四个点有可能不在同一平面内，如图4—2中的点 ．我们现在只研究平面图形，故在定义中加上“在同一平面内”的限制）． （4）强调四边形对角线的作用，作为四边形的一种常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形来解（渗透化归思想），并观察图4－3用对角线分成的这些三角形与原四边形的关系． （5）强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写四边形如图4—1． （6）在判断一个四边形是不是凸四边形时，一定要按照定义的要求把每一边都延长后再下结论如图4－4，图4－5． 2．四边形内角和定理 教师问： （1）在图4－3中对角线AC把四边形ABCD分成几个三角形？ （2）在图4－6中两条对角线AC和BD把四边形分成几个三角形？ （3）若在四边形ABCD 如图4－7内任取一点O，从O向四个顶点作连线，把四边形分成几个三角形．
我们知道，三角形内角和等于180，那么四边形的内角和就等于： ①如图4—6； ②＝360如图4－7． 例1 已知：如图4—8，直线 于B、 于C． 求证：（1） ; （2） . 本例题是四边形内角和定理的应用，实际上它证明了两边相互垂直的两个角相等或互补的关系，何时用相等，何时用互补，如果需要应用，作两三步推理就可以证出． 【总结、扩展】 1．四边形的有关概念． 2．四边形对角线的作用． 3．四边形内角和定理． 八、布置作业 教材P128中1（1）、2、 3． 九、板书设计四边形（一）四边形有关概念四边形内角和例1 十、随堂练习 教材P122中1、2、3.
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