&&&&7天搞定微积分（生动叙述，直观图解，让你一看就懂，一学就会！...
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问道微积分题目,有会的给我讲解下,求不定积分xcosx dx.我知道这个道题目要用分部积分方法,设u=x,dv=cosxdx,du=dx,v=sinx,问题就出在du=dx这里,为什么du=dx,而不等于1/2 x的平方,这个地方有点混了,有谁能给我详细讲解下,
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∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C这个你好像分部积分的方法掌握
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导数与微分积分的那个dx什么的老是搞不懂
个人对导数与微分很不清楚 特别是那里的dx，d之类的，不知道为什么有的时候可以约去。因为在我的感觉里，d/dx应该是一个符号而已，代表我要对它求导了，为什么有的时候和dx相乘还可以约去呢？然后就是那个积分的符号，我不知道这到底是一个符号，还是可以参与...
我有更好的答案
新年好！春节愉快！Happy Chinese New Year ！1、楼主所问的问题，不是楼主一个人的问题，是一个普遍的概念问题，& & &也是一个普遍的教学问题；2、由于现在编写讲义，印刷讲义，太容易了，太随便了。很多不负责任& & & 讲义编写者的歪解、硬拗已经泛滥成灾。例如 dy = f'(x)&△x 这种概念& & & 错乱的写法，在垃圾教材上屡见不鲜。子孙何故？希望何在？在这些& & & 混混教授的魔掌中，能不成废铜烂铁豆腐渣？下面的几张图片总结，希望能使楼主增加一些免疫力，避免混混教授的荼毒。每张图片均可点击放大，图片会非常清晰。
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不定积分的dx有什么意义 并且给出证明的过程.额　各位大虾,为什么不定积分要乘一个dx,不是单纯dx的意义
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搞清两个概念就能理解d的含义了.1、增量的概念：Δx = x2 - x1,Δy = y2 - y1这里的Δ就是增量的意思,只要是后面的量减前面的量,无论正负都叫增量.2、无限小的概念：当一个变量x,越来越趋向于一个数值a时,这个趋向的过程无止境的进行,x与a的差值无限趋向于0,我们就说a是x的极限.这个差值,我们称它为“无穷小”,它是一个越来越小的过程,一个无限趋向于0的过程,它不是一个很小的数,而是一个趋向于0的过程.3、Δ一方面表示增量的概念,如果x1与x2差距很小,这个小是有限的小.只要写得出来,无论多少位小数点,只要你写得出,只要你的笔一停,都是有限的小.当x1与x2的差距在无止境的减小,无止境的靠近,在靠近的过程中,x1与x2的差距无止境的趋近于0.这时我们写成dx,也就是说,Δx是有限小的量,dx是无限小的量.4、d的来源,本来是 difference = 差距.当此差距无止境的趋向于0时,演变为 differentiation,就变成了无限小的意思,称为“微分”.“微分”是一个过程,是无止境的“分割”,无止境的“区分”的过程.微分的动词是 differentiate.英文的 derivative 在微积分中,就是“导数”,d 在这里的意思,也是我们在翻译微积分时,我们的前辈,考虑到 derivative 源于 derive,“导数”的“导”字,来源于此,是“衍生”、“导致”、“由此而得到”的意思.5、Δy/Δx 表示的一条割线的斜率,也可以表示一条切线的斜率；dy/dx 表示的是当Δx趋近于0时的Δy/Δx,记为dy/dx,是曲线上任意一点的切线的斜率.这方面的细细斟酌是非常值得的,要全部写出,就是一本《数学分析》,也就是一本厚厚的《微积分》了.楼主若想仔细研究,有任何问题,请Hi我,我为你详细解释.1、在给定的区间上,将函数图形下的面积划分成无数个竖长的长方形,每个长方形的高是不一样的,不同的x对应于不同的高,这个高就是f(x).2、f(x)dx就是在x处的长方形的面积.3、积分符号 ∫ 的意思就是求和.∫f(x)dx 就是所有长方形的面积之和.这就是积分的几何意义.4、本来的函数f(x),我们现在给它另取了一个名字：被积函数.就是被拿来积分的函数.总而言之：a、f(x)只是在x处的竖直长方形的高,不乘以dx不成为面积；b、f(x)dx只是一个无限窄的竖直长方形的面积,不求和不是总面积；有限个或无限个离散数的求和是∑,无限个连续数求和就是∫.
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dx代表x的微分，也就是代表一个无限小的x的变化量。可以想象：在坐标轴上一个点（x,y），往右挪了一点点（很小很小的一点点），那么x变大了多少？答案就是变大了dx证明过程。。。所有数四以上的书都有，应该在导数和微分那一章，我就不敲了哈。...
扫描下载二维码第二节 牛顿的微积分
&&第二节 牛顿的微积分&
第二节 牛顿的微积分
一、牛顿传略
　　1643年1月4日牛顿生于英国林肯郡的沃尔索普(Woolsthorpe)村，父亲是一个农民，在牛顿出生前就死了．虽然母亲也希望他务农，但幼年的牛顿却在做机械模型和实验上显示了他的爱好和才能．例如，他做了一个玩具式的以老鼠为动力的磨和一架靠水推动的木钟．14岁时，由于生活所迫，牛顿停学务农，以后在舅父的帮助下又入学读书．1661年，不满19岁的牛顿考入剑桥大学的三一学院．1665年初，他在毕业前夕发现了二项式定理，同年获文学学士学位，并当了研究生．但不久便由于在伦敦流行鼠疫，剑桥大学关闭，牛顿只好回农村居住．在沃尔索普村的18个月里，牛顿发明了微积分，提出了万有引力定律，还研究了光的性质．牛顿一生的重大成就大都发韧于这期间．后来，他在追忆这段峥嵘的青春岁月时说：“当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致志于数学和哲学(科学)．”我们特别注意到，他于1666年10月写成的《流数后人加的)是世界上第一篇微积分论文，它标志着这一学科的诞生．虽然论文直到本世纪才公开发表，但当时有抄本流传，牛顿的不少朋友和同事都看到过．
　　1667年，瘟疫过去，牛顿又回到剑桥大学．第二年，他制成世界上第一架反射望远镜．由于他在科学上的出色成就，他的老师巴罗认为他的学识已超过自己，便于1669年10月主动把数学教授的职位让给他，于是牛顿开始了他三十年的大学教授生活．
　　他在1669年写成《运用无穷多项方程的分析学》(De
Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，1711年发表)，又于1671年写成《流数法和无穷级数(De
Me－thodis Serierum et Fluxionum，1736年发表)．这两篇论文同《流数简论》一起，奠定了微积分的理论基础．1672年，他当选为皇家学会会员，并第一次发表论文，内容是关于白色光的组成，引起广泛的兴趣和讨论．1675年，他将关于光的粒子说的论文送交皇家学会．1685年，他开始撰写《自然哲学的数学原理》(Philosophiae
Naturalis Principia Mathematiˉca)．1687年，这部伟大著作刚刚写完，便由哈雷(E．Halley，1656―1742)出资发表，立即对整个欧洲产生了巨大影响．著名的牛顿力学三定律、万有引力定律及牛顿的微积分成果都载于此书．它成为科学史上的一个里程碑．
　　1689年，牛顿代表剑桥大学进入议会．不久，牛顿的母亲病重，他彻夜不眠地守着她，但并没有能挽留母亲的生命．由于长简论》(The
October 1666 Tract on Fluxions，题目是期的紧张工作及母亲病逝的精神打击，牛顿得了精神衰竭症，大约一年后才复原．1693年，牛顿写成他的最后一部微积分专著《曲线求积术》(De
Ouadratura Curvarum)．1696年，牛顿被任命为造币厂督办，三年后当了厂长．
　　从1665年到1696年，牛顿纯粹是一个科学家，为科学事业做出了许多卓越贡献．这以后的三十一年中，他一方面在官场服务，另一方面作为英国科学界的领袖而发挥作用．1703年，牛顿开始担任皇家学会会长，1704年发表了他的名著《光学》(Op－ticks，《曲线求积术》作为《光学》的附录同时发表，获得巨大成功．1705年被女皇封为爵士，得到了一生的最高荣誉．但他的研究重心却逐渐由科学转移到神学，晚年写了大量关于神学的文字．1727年3月31日，牛顿病逝于英国的肯辛顿．
　　纵观牛顿的一生，他在科学上的最重要成就有三个：发明微积分、建立经典力学体系、提出光的性质的理论．其中任何一项成就都足以使他列入世界上的大科学家行列．但牛顿并不认为自己发现了真理的海洋，他在逝世前不久给朋友写的信中说：“我不知道世人怎样看待我；但我自己觉得，我不过像在一个海滨玩耍的小孩，为时而拾到一片比寻常更为莹洁的卵石，时而拾到一片更为美丽的贝壳而雀跃欢欣，而对于我面前的真理的海洋，却茫然无知．”
二、《流数简论》
　　《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．
　　牛顿把曲线f(x，y)＝0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f(x，y)＝0的切线斜率
所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是x和y对t的导数：
　　而它们的比就是y对x的导数
布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．
　　牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系f(x，y)＝0，求
的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度(流数)之间的关系．若用子表示，则为
　　它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则．实际上，这个式子
　　牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的．他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y＋yo代替f(x，y)＝0中的x和y，于是有
　　按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项，得
　　除以o后便得到(1)式．作为一个实例，可把y＝xn写成f(x，y)＝y－xn的形式，由(1)式推出　
的代数式)．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：
　　其中A表示曲线y=f(x)下的面积．从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：
　　设y表示曲线f(x)下的面积abc(图11．13)，并把它看作垂
　　平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be＝1而bc=f(x)．因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是
　　这显然等价于(2)式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f(x)的积分(不定积分)．
　　牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝
　　在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它
变量z＝1＋xn，其流数比为
　　这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为
　　类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．
　　《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=u(x)?v(x)，则由计算流数之比的基本法则得到
至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．
　　由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的．
三、《运用无穷多项方程的分析学》
(下简称《分析学》)
　　在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为
　　其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示．由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示(图11．14)，其中oy是面积的瞬，于是有
z+oy＝a(x＋o)m．
　　根据二项式定理
　　考虑到z＝axm，并用o去除等式两边，得
　　略去仍然含o的项，得x
y=maxm-1．
　　这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率
线为y=maxm-1；反之，若曲线是y＝maxm-1，则它下面的面积是z=axm．在这里，牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)
(axm)′＝maxm-1；
　　在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：
　　 ∫[f1(x)+f2(x)＋…+fn(x)]dx=∫f1(x)dx
　　＋∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx．
　　他对如下的积分性质也有明确认识：
∫af(x)dx ＝a∫f(x)dx．
　　他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．
在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如　
　　然后对这个无穷级数逐项积分，得
　　他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了．
　　y＝1-x2＋x4－x6＋x8－…	(1)
　　y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋…	(2)
　　他说，当x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．
　　同《流数简论》相比，《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积即定积分，牛顿提出如下方法：先求出原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差．这就是著名的牛顿―莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式可表述为：若F(x)是f(x)在区间[a，b]
中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题，所以它是十分重要的．
　　《分析学》中还有其他一些出色的成果，例如，书中给出求高次方程近似根的方法(即牛顿法)，导出正弦级数及余弦级数，等等．
　　到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法．不过他在概念上仍有不清楚的地方．第一，他的无穷小增量o是不是0？牛顿认为不是．既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给出合乎逻辑的论证．第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度．牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念，他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度是实事求是的．
四、《流数法和无穷级数》(下简称《流数法》)
　　这是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作．在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论．
　　从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段．他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函数称为流量，以字母表的后几个字母v，x，y，z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表保留，并且仍用o表示．
　　他在书中明确表述了他的流数法的理论依据，说：“流数法赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的．”又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以(至少在理论上说)使之连续减小，直至……比任何一个指定的量都小．”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题．
　　第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即已知y＝f(x)或
　　例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系是x3－ax2+axy－y3=0，求它们的流数之比．
程中的x和y，得
　　展开后利用x3－ax2＋axy－y3＝0这一事实再把余下的项除以o，得
　　至此牛顿说：“我们已假定o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有．因此我把它们丢掉，而剩下
　　从表面看，这种方法与《流数简论》中的方法一致．所不同的是，
数．《简论》中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义．
　　例如，假定y=xn，牛顿首先建立
　　然后用二项式定理展开右边，消去y＝xn，用o除两边，略去仍含o的项，结果得
　　当然，在对具体函数微分时，不必采用无穷小而可直接代入公式．
　　第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分．
数简论》中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才明确总结出公式．从《简论》及《流数法》两书来看，他推导此式的思路大致如下：
　　由(2)，(3)得
　　由微积分基本定理，得
　　牛顿在书中还推出分部积分公式，即
∫uv′dx=uv-∫vu′dx．
　 其中u和v都是x的函数．若求∫uv′dx有困难而求∫vu′dx
比较容易时，就可利用分部积分公式求积分．
　　牛顿总结了他的积分研究成果，列成两个积分表，一个是“与直线图形有关的曲线一览表”，另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”．这两个表为积分工作提供了许多方便．
　　至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法，他当时统称为流数法．他充分认识到这种方法的意义，说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”，它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题．”《流数法》一书便充分体现了微积分的用途，下面略举几例．
　　例1，在“问题3――极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了通过解方程f′(x)＝0来求f(x)极值的方法．他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情况恰好相反．所以求出它的流数，并且令这个流数等于0．”他用这种方法解出了九个问题．其中之一是求方程x3－ax2＋axy－y3=0中x的最大值．他先求出x和y的流数之比，得
　　即	3y2＝ax．
　　把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了．
　　例2，已知曲线方程为x3－ax2＋axy
y3＝0，AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标，求作过D点的切线(图11．15)．牛顿先求得流数之间的关系
　　由此得出
　　因BD＝y，所以
　　牛顿说：“给定D点后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的长度也就给定，由此可确定切线TD．”
　　例3，在“问题12――曲线长度的确定”中，牛顿采用流数法计算弧长．设QR是给定曲线，RN⊥MN，牛顿分别记MN＝s．NR＝t，QR＝v(图11．16)，它们的流数分别为s，t，v，然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr，由R向nr引垂线RS，则MN，NR和QR分别增加RS，Sr和Rr．”牛顿说：“因为RS，Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的
　　若换成现在通用的坐标x，y和弧长s，则牛顿的结果为
　　只要对t积分，就可求出弧长s了．
　　综上所述，《流数法》不仅在基本思想上比《分析学》有了发展，而且提供了更加有效的计算方法．但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小，因而同《分析学》一样出现逻辑困难．他尝试建立没有无穷小的微积分，于是有《曲线求积术》(下简称《求积术》)之作．
五、牛顿的极限理论
　　牛顿的四部微积分专著中，《曲线求积术》是最后写成(1693)但最早出版(1704)的一部．在书中，导数概念已被引出，而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数．牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了，他算出许多复杂图形的面积．阿达玛(J．Hadamard，1865―1963)称赞说，该书“论述的有理函数积分法，几乎不亚于目前的水平．”
　　值得注意的是，在《求积术》中，牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分．他在序言中明确指出：“数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．直线不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的流动生成的．”在这种思想指导下，他放弃了无穷小的概念，代之以最初比和最后比的新概念．为了求函数y=xn的导数，牛顿让x“由流动”而成为x＋o，于是xn变为
的最后比等于1比nxn-1．所以量x的流数与量xn的流数之比等于1比nxn-1．”牛顿认为这个比即增量的最初比，可见最初比与最后比的实质是一样的，都表示y关于x的导数，或者说是y对于x的变化率．用现在的符号可写成y′=nxn-1．
　　牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释：如图11．17，假定bc移向BC，使得c和C重合，那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于△CET的各边之比，即把这些增量看作初生量的最初比．”他说，“只有点C与c完全重合了，直线CK才会与切线(CH)重合，而CE、Ec、Cc的最后比才能求出．”显然，他是把切线CH当作割线CK的极限位置．
　　实际上，早在《自然哲学的数学原理》(下简称《原理》)一书中，牛顿就表述了明确的极限思想．他说：“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限．它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它．”在这部最早发表的包含微积分成果的书(当然不是最早写成的)中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念．例如，他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合．牛顿指出，当这些平行四边形(相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形)的最大宽度无限减小时，就成为“消失的平行四边形”，而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了．牛顿在《原理》中阐发的极限思想，成为他撰写《求积术》的理论基础．当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义．