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2017考研高数考点解析：无界函数广义积分
15:00:11 来源：新东方在线
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　　能力的提升还得从基础做起，从小的知识点开始，高等数学考点众多，占比最大，2017考生需付出较多精力来复习，新东方在线个将会针对每个考点为大家进行详细讲解，下面是关于无界函数广义积分的问题，请看下文解析。2017考点解析：无界函数广义积分
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广义积分是定积分 (黎曼积分) 的推广。广义积分基本上分为两种类型,一种是无穷区间上的...如果广义积分f（x）dx与f（x）dx都收敛，则说广义积分f（x）dx收敛，当广义积分f（x）dx与f（x）dx有一个发散时，说广义积分f（x）d
与"广义积分"相关的文献前10条
在数学分析中,菲涅耳积分等几个重要的广义积分计算时需要引入一些特殊的技巧,一般难于掌握.通过引入参数把这些实变量的广义积分视为含参变量的广义积分,进而利用拉普拉斯变换的方法来求取
介绍收敛的广义积分的2种简便算法:利用对称性计算广义积分和利用拉普拉斯变换计算广义积分.此2种方法是对教科书内容的完善、补充和推广.讨论发散的广义积分,提出单边奇异积分的Hada
考虑Beta函数偏导数的计算以及与此相关的广义积分的高精度快速计算问题.首先将Beta函数B(x,y)的定义扩展到整个复平面上,并建立了在整个复平面上Beta函数B(x,y)的偏
在经典分析文献中尚未出现过完整的关于广义曲面积分的概念,近几十年来在国内外数十部数学分析著作中普遍错误地将某些广义曲面积分问题当成常义曲面积分处理,造成了不良影响。笔者试图建立广
由无穷限广义积分和无界函数的广义积分的关系,得出了无界函数的广义积分integral from n=a to b (f(x)dx(a为奇点))收敛的两个性质。
在实际问题中,往往需要计算广义积分,有些广义积分的计算如果用数学分析中计算广义积分的方法往往是十分麻烦的,但如果应用留数定理来计算就显得比较简洁。
研究函数在某区间上的定积分时,总是假定区间为有限区间,并且函数为该区间上的有界函数。如果去掉这两个限制,则得到无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的广义积分。一般对这
一元函数与多元函数广义积分的区别在于多元函数广义积分的收敛性与其绝对收敛性等价,但这一性质对一元函数的广义积分则不然。
一元函数与多元函数在广义积分上的区别在于多元函数广义积分的收敛性与其绝对收敛性等价,但这一性质对一元函数的广义积分则不然.
概率统计中的正态分布是一个十分重要的分布,它的应用非常广泛,它的一些问题的处理与广义积分有着密切的联系,而某些广义积分又可以借助正态分布的有关概念、性质,方便地求出.本文从利用正
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6.5广义积分
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一、无穷限的广义积分????ba????????，定义设函数fx在区间a,??上连续，如果极限存在，则称此极限为fx在a,??上的广义积分，记作并称广义积分???收敛。如果上述极限不存在，则称广义如果上述极限不存在，则称广义积分???发散。????????，类似地，fx在??,b上的广义积分为设函数区间,????上连续,若?????????0???0???0limaa????bbli广义积分收敛否则称广义积分发散.结论?????收敛????与???都收敛。?????????一、无穷限的反常积分?无穷限的反常积分的定义连续函数fx在区间a,??上的反常积分定义为反常积分的计算如果Fx是fx的原函数,则有???????????????????????????????可采用如下简记形式??????????????????????????????一、无穷限的反常积分?无穷限的反常积分的定义连续函数fx在区间a,??上的反常积分定义为反常积分的计算如果Fx是fx的原函数,则有??????????类似地,有?????????,??????????????????解例1计算反常积分11???????例1?????????????????????????22?解???????????arctarctarcta??????解???????????arcta2??????21si???????????211sio??1limcoscox??????10??3计算广义积分解00edtpp?????是常数，且0edt????01edp?????01d????0011ptptteed????????201dp??????????提示01????????????01????????????01????????????例4证明广义积分???11?p时收敛，当1?p时发散.证,11?p???11p????11????1lnx,???,12?p???11p???????????111pxp???????????1,111,?p时广义积分收敛，其值为11?p当1?p时广义积分发散果函数fx在点那么点fx的瑕点也称为无界间断点?无界函数的反常积分又称为瑕积分?设函数fx在区间a,b上连续,点a为fx的瑕点?函数fx在a,b上的反常积分定义为??????在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛;否则称此反常积分发散?二、无界函数的反常积分0limxdx???????函数fx在a,c?c,b上的反常积分定义为二、无界函数的反常积分类似地,函数fx在a,b上的反常积分定义为??????设函数fx在区间a,b上连续,点a为fx的唯一瑕点?函数fx在a,b上的反常积分定义为??????0limxdx???????0limxdx???????0limlimbcbtbaacattctfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx?????????????函数fx在a,b上只有a,的反常积分定义为0limlimbcbtbaacattctfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx?????????????二、无界函数的反常积分?无界函数反常积分的定义设函数fx在区间a,b上连续,点a为fx的瑕点?函数fx在a,b上的反常积分定义为??????反常积分的计算如果Fx为fx的原函数,??????????????????????可采用简记形式?????????????????则fx在a,b上的反常积分为二、无界函数的反常积分反常积分的计算如果Fx为fx的原函数,当ca?c?b为唯一瑕点时,?????????????当,当,当瑕点只有a和b时，limlimbxafxdxFxFxFx????????limxdxFxFbFx??????limxdxFxFxFa??????且时，解因为??????221所以点解例4计算反常积分?例122arcs??20arcs????22arcs??20????例2求积分10ln.解所以此积分为瑕积分。10ln1100lnlnxxxdx???1000limlxdx??????100???0l因为当时，函数无界。0021lim1lim11?????????例3的敛散性??211,10因为函数在区间上除外连续，201x???且，所以此积分为瑕积分。01211???0011x????????.dxd??即广义积分发散，所以积分发散例4证明广义积分?101?q时收敛，当1?q时发散.证,11?q??101?10lnx?,???,12?q?101????????qxq???????????1,111,?q时广义积分收敛，其值为q?11当1?q时广义积分发散.?101瑕积分）无穷限的广义积分????????b???a?????ca（注意不能忽略内部的瑕点）?ba三、小结思考题积分的瑕点是哪几点??101ln能的瑕点是??101lnx1,0???,11?x不是瑕点,???101ln?填空题1、广义积分???1______时收敛当______时发散2、广义积分?10______时收敛当_______时发散3、广义积分???2l_____时收敛在_______时发散4、广义积分??????____练习题5、广义积分???1021______6、广义积分???的几何意义是______________________________________判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值1、????0cosht?p2、???????222、????0为自然数n）4、??2021、??211xx6、????0221、?10ln求当为何值时k，广义积分?收敛又为何值时k，这广义积分发散四、已知???????????????20,210,0，试用分段函数表示???1、1,1??2、1,1??3、1,1??4、发散5、16、过点轴平行于直线左边,曲线轴和x所围图形的面积1、12?2、?3、n4、发散5、当1?k时收敛于?111当1?k时发散??????????????????20,410,0
资源描述：一、 无穷限的广义积分???blim dxxfba)(? ( b > a ) dxxfa)(???????blim dxxfba)(? ， 定义 设函数 f(x)在区间 [a, ??)上连续， 如果极限存在， 则称此极限为 f(x)在 [a, ??)上的广义积分， 记作并 称 广义积分 dxxfa)(???收敛。 如果上述极限不存在， 则 称 广义 如果上述极限不存在， 则 称 广义积分 dxxfa)(???发散。 dxxfb )(??? ? ???alim dxxfba)(? ， 类似地， f(x)在 (??, b] 上的广义积分为： 设函数 )( xf 在区间 ),( ???? 上连续 , 若 ? ???? dxxf )( ? ??? 0 )( dxxf ? ??? 0 )( dxxf????? 0 )(l i m aa dxxf ????? bb dxxf0 )(l i m两个极限均存在，称广义积分收敛；否则称广义积分发散 . 结论：dxxf )(?????收敛 ? dxxfc)(???与 dxxfc)(???都收敛。 dxxfdxxfbaba)(lim)( ???????? ? 一、无穷限的 反常 积分?无穷限的反常积分的定义连续函数 f(x)在区间 [a,??)上的反常积分定义为o反常积分的计算如果 F(x)是 f(x)的原函数 ,则有)()(lim)]([)( aFxFxFdxxfxaa??????????? ? babbabaxFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(?????????? ?? )()(lim)()(lim aFxFaFbFxb??????????? 可采用如下简记形式：babbabaxFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(?????????? ?? )()(lim)()(lim aFxFaFbFxb??????????? dxxfdxxfbaba)(lim)( ???????? ? 一、无穷限的 反常 积分?无穷限的反常积分的定义连续函数 f(x)在区间 [a,??)上的反常积分定义为o反常积分的计算如果 F(x)是 f(x)的原函数 ,则有)()(lim)]([)( aFxFxFdxxfxaa??????????? ? 类似地 , 有)(lim)()]([)( xFbFxFdxxfxbb??????????? , )(lim)(lim)]([)( xFxFxFdxxfxx ?????????????????? ? 解例 1 计算反常积分 dxx 211??????? 例 1)(lim)(lim)]([)( xFxFxFdxxfxx ?????????????? ???? ? ??? ???? )2(2? 解 ???????????][ a r c ta n112 xdxx xxxxa r c ta nlima r c ta nlim???????? 解 ?? ?????????][ a r c t a n112 xdxx 例 2 计算广义积分解.1sin12 2????dxxx????21s i n12 dxxx ????????????211s i nxdx21c o sx????1l i m c o s c o s2x x?? ? ???10?? .1?例 3 计算广义积分解0( 0 ) .ptt e d t p p?? ??? 是 常 数 ， 且0ptt e d t?? ??01()ptt e d p tp???? ? ??01 ptt d ep?? ??? ? 0011p t p tt e e d tpp??? ? ? ?? ? ? ?2 01()pte d p tp???? ? ??02211.ptepp? ? ?? ? ?提示：01limlimlim ????????????? pttpttptt peette ? 01limlimlim ????????????? pttpttptt peette ? 01limlimlim ????????????? pttpttptt peette ? 例 4 证明广义积分 ???11dxxp当 1?p 时收敛， 当 1?p 时发散 . 证 ,1)1( ?p ? ??1 1 dxx p ? ??? 1 1 dxx ? ? ??? 1ln x ,???,1)2( ?p ???11 dxx p???????????111 px p???????????1,111,ppp因此当 1?p 时广义积分收敛，其值为11?p；当 1?p 时广义积分发散 .注：如果函数 f(x)在点 x0的任一邻域内都无界 , 那么点 x0称为函数 f(x)的 瑕点 (也称为无界间断点 )?无界函数的反常积分又称为 瑕积分 ?设函数 f(x)在区间 (a, b]上连续 , 点 a为 f(x)的瑕点 ? 函数 f(x)在 (a, b]上的反常积分定义为?? ??? btatba dxxfdxxf )(lim)( ? 在反常积分的定义式中 , 如果极限是存在的 , 则称此反常积分收敛 ; 否则 称此反常积分发散 ?二、无界函数的 反常 积分0l i m ( )baf x d x?? ???? ?函数 f(x)在 [a, c)?(c, b]上 (c为唯一瑕点 )的反常积分定义为二、无界函数的 反常 积分类似地 , 函数 f(x)在 [a, b)上 (b为唯一瑕点 )的反常积分定义为dxxfdxxf tabtba )(lim)( ?? ??? ? 设函数 f(x)在区间 (a, b]上连续 , 点 a为 f(x)的 唯一瑕点 ? 函数 f(x)在 (a, b]上的反常积分定义为?? ??? btatba dxxfdxxf )(lim)( ? 0l i m ( )baf x d x?? ???? ?0l i m ( )baf x d x?????? ?0( ) ( ) ( ) l i m ( ) l i m ( )b c b t ba a c a tt c tf x d x f x d x f x d x f x d x f x d x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?函数 f(x)在 (a, b)上 (只有 a,b为瑕点 )的反常积分定义为0( ) ( ) ( ) l i m ( ) l i m ( )b c b t ba a c a tt c tf x d x f x d x f x d x f x d x f x d x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?二、无界函数的 反常 积分?无界函数反常积分的定义设函数 f(x)在区间 (a, b]上连续 , 点 a为 f(x)的瑕点 ? 函数 f(x)在 (a, b]上的反常积分定义为?? ??? btatba dxxfdxxf )(lim)( ? o反常积分的计算如果 F(x)为 f(x)的原函数 ,btatbtatbaxFdxxfdxxf )]([lim)(lim)(?? ???? ?? )(lim)()(lim)( xFbFtFbFaxat ?? ?????? ? )(lim)()]([)( xFbFxFdxxfaxbaba ?????? ? 可采用简记形式 ?btatbtatbaxFdxxfdxxf )](lim)(lim)(?? ???? ?? )(lim()(lim)( xFbFtFbFaxat ?? ?????? ? 则 f(x)在 (a, b]上的反常积分为二、无界函数的 反常 积分o反常积分的计算如果 F(x)为 f(x)的原函数 ,当 c (a?c?b)为唯一瑕点 时 ,)](lim)([)]()(lim[)()()( xFbFaFxFdxxfdxxfdxxfcxcxbccaba ?? ???????? ??? ? 当 a为唯一瑕点 时 ,当 b为唯一瑕点 时 ,当 瑕点只有 a 和 b 时， ( ) [ ( ) ] l i m ( ) l i m ( ) .bbaax b x af x d x F x F x F x????? ? ?? ( ) [ ( ) ] ( ) l i m ( ) .bbaaxaf x d x F x F b F x??? ? ?? ( ) [ ( ) ] l i m ( ) ( ) .bbaaxbf x d x F x F x F a??? ? ?? 且 ab ? 时， 解 因为 ?????? 221limxaax, 所以点 a为被积函数的瑕点 ?解例 4 计算 反常 积分 dxxaa2201??? 例 1aaaxdxxa0 0 22 ][ a r c s in1 ???20a r c s inlim?????? axax? aaaxdxxa0 0 22 ][ a r c s in1 ???20arcsinlim?????? axax? 例 2 求 积分 10ln xdx? . 解所 以 此 积 分 为 瑕 积 分 。10ln xdx? 1100l n l nx x x d x?? ?1000 l i m l nxx x d x??? ? ? ?100lnlim1xxxx??? ? ?0 l nxx??因 为 当 时 ， 函 数 无 界 。0021l i m 1 l i m 11xxxxx????? ? ? ? ? ??例 3 讨论广义积分解1211.dxx??的 敛 散 性? ?21 1 , 1 0xx??因 为 函 数 在 区 间 相关资源
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所需积分：0瑕积分/广义积分
设函数f(x)定义在[a,b)上，而f(x)在x=b的任一左邻域内f(x)无界（此时称x=b为f(x)的瑕点）。若f(x)在任意[a,b-ε](0类似可定义a为瑕点时的瑕积分。又设c∈(a,b),函数f(x)以点c为暇点，那么当两个反常积分∫(a → c) f(x)dx和∫(c → b) f(x)dx均收敛时，反常积分∫(a → b) f(x)dx收敛。其值定义为：∫(a → b) f(x)dx=∫(a → c) f(x)dx+∫(c → b) f(x)dx=lim(ε →0+)∫[a→c-ε] f(x)dx+lim(ε →0+)∫[c+ε →b] f(x)dx,否则该反常积分发散
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