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在两条平行间一点分别向两条平行线作垂线,那么这两条垂线在一条直线上吗
在欧式几何的范畴里如果点与两条平行线在同一平面内,那么两条垂线是在同一直线上的；如果点与两条平行线不在同一平面内,也就是涉及到空间几何了,那么两条垂线就不在同一直线上了.
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这个要看问题的问法，即垂线是否要求相交。高中数学在空间几何里，直线和直线是可以异面垂直的。所以一般情况两条垂线不一定就是同一条直线。如果是要求相交，那肯定是同一条直线的。
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空间点线面之间的位置关系 投稿：范犮犯
空间点、线、面之间的位置关系 §一、知识总结知识结构 几何体的直观图的画法在立体几何教学中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图像的画法。我们常用斜二测画法画空间几何体的直观图。斜二…
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空间点、线、面之间的位置关系
§一、知识总结
几何体的直观图的画法
在立体几何教学中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图像的画法。
我们常用斜二测画法画空间几何体的直观图。斜二测画法是一种特殊的平行投影画法。
上述画直观图的方法称为斜二测画法，它的步骤是：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x?轴与y?轴，两轴交于点O?,且使∠x?O?y?=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x?轴与y?轴的线段。
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
下面我们探求空间几何体直观图的画法
§1、空间点、直线、平面之间的位置关系
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理1用来判断直线是否在平面内；公理2给出了确定一个平面的依据；公理3是判定两个平面交线位置的依据。
1.2、空间中直线与直线之间的位置关系 （1）位置关系的分类
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 空间两条直线的位置关系有且只有三种：
?，有且只有一个公共点；?相交直线：同一平面内共面直线??
，没有公共点；??平行直线：同一平面内
一个平面内，没有公共点。?异面直线：不同在任何
（2）公理4：（平行公理）
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4给出了判断空间两条直线平行的依据。它表述的性质通常叫做空间平行线的传递性。
（3）定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 （4）异面直线所成的角
①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
②范围：?0?。
③如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直。 1.3、空间中直线和平面之间的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种：
（1）、直线在平面内——有无数个公共点； （2）、直线与平面相交——有且只有一个公共点； （3）、直线与平面平行——没有公共点。
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
1.4、平面与平面之间的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有两种： （1）、两个平面平行——没有公共点； （2）、两个平面相交——有一条公共直线。
2.1、直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 上述定理通常称为直线与平面平行的判定定理。 2.2、平面与平面平行的判定
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 上述定理通常称为平面与平面平行的判定定理，它告诉我们，可以由直线与平面平行判定平面与平面平行。
2.3直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。
2.4、平面与平面平行的性质
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 上述定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。
3.1、直线与平面垂直的判定
（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直；
（2）直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 （3）、直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。
当直线与平面垂直和平行（含直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为900和00。
3.2、平面与平面垂直的判定 （1）、二面角的有关概念
①、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②、二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
③、一般地，两个平面相交，如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂。
（2）、两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直。 3.3、直线与平面垂直的性质 垂直于同一个平面的两条直线平行。
直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。
3.4、平面与平面垂直的性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直。
§4、回顾与思考
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形，进行逻辑推理的基础。公理1是判定直线是否在平面内的依据；公理2提供了确定平面最基本的依据；公理3是判定两个平面交线位置的依据；公理4是判断空间直线之间平行关系的一个依据。
2、空间图形问题经常转化为平面问题。“确定平面”是将空间问题转化为平面问题的重要条件，而这种转化又是空间图形中解决部分问题的重要思想方法，这种转化最基本的依据就是四个公理。
3、本章的核心是空间中点、线、面之间的位置关系，从知识结构上看，在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。我们利用直线与直线的位置关系，研究直线与平面的位置关系，利用直线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系。
反过来，由平面与平面的位置关系可进一步掌握直线与平面的位置关系，由直线与平面，平面与平面的位置关系又可进一步确定直线与直线的位置关系。这种方法，是我们研究与解决空间直线、平面位置关系的重要方法。
4、“平行”与“垂直”是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中两种最重要的位置关系，请思考，在空间中如何实现平行关系之间的转化，垂直关系之间的转化以及平行与垂直关系之间的转化？
5、观察和推理是我们认识世界的两种重要途径，两者相辅相成，缺一不可。由观察（实践）归纳出一些事实（公理），在此基础上，从这些事实出发，运用逻辑推理的方法，推导证明一些新的事实。
5.1、公垂线：
一条线段同时垂直两条或两条以上的线段或直线，那条线段就是被垂直的直线或线段的公垂线。
5.2、三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；反之，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
§二、热点难点精析
一、空间点、直线、平面之间的位置关系 （一）平面的基本性质及平行公理的应用 1、平面的基本性质的应用
（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；
（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论：
（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 （1）点共线问题
证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。
（2）线共点问题
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。
（3）证明点线共面的常用方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。
例：如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BC//
AD，BE//FA，G、H分22
别为FA、FD的中点。
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形； （2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？
思路解析：（1）G、H为中点?GH//11AD，又BC//AD?GH//BC； 22
（2）方法一：证明D点在EF、CH确定的平面内。方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交。
解答：（1）、已知G、H分别为FA、FD的中点。即GH是△FAD的中位线。
1又BC//AD。∴GH//BC，即：四边形BCHG为平行四边形。 2
1（2）方法一：∵BE//FA，G、为FA、的中点， 2∴GH//
∴BE//FG，则四边形BEFG为平行四边形。∴EF//BG。
由（1）可知BG//CH。∴EF//CH。即EF与CH共面。
又D∈FH,即：C、D、F、E四点共面。
方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，
1AF，∴B为MA中点。 2
1∵BC//AD，∴B为M′A中点， 2∵BE//
∴M与M′重合，即FE与DC交于点M（M′），
∴C、D、F、E四点共面。
（二）异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法：
1、定义法（不易操作）
2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两
直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推
理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。
3、客观题中，也可用下述结论：
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过
该点的直线是异面直线，如图：
例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别
是A1B1、B1C1的中点。问：
（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。
思路解析：（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。
解答：（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到
MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。
（2）是异面直线。证明如下：
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直
线，则存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与
ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线。
（三）异面直线所成的角
例：空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的
角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成
角的大小。
思路解析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作
两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F
作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已知角
和所求的角在一个三角形中求解。
解答：取AC的中点G，连接EG、FG，则EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。
∵ＡＢ与CD所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。
注：（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；
（2）求异面直线所成角的步骤：
①作：通过作平行线，得到相交直线；
②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；
③求：通过解三角形，求出该角。
二、直线、平面平行的判定及其性质
（一）直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有三种方法：
（1）利用定义（常用反证法）；
（2）利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。
注：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一
条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。
例：如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC，
BE//CF，∠BCF=900，求证：AE//平面DCF。
思路解析：
作EG⊥CF于G?AD//EG?AE//DG?AE//平面DCF
解答：过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，
可得四边形BCGE为矩形。
又ABCD为矩形，所以AD//EG，
从而四边形ADGF为平行四边形，
故AE//DG。
因为AE?平面DCF，DG?平面DCF，
所以AE//平面DCF
（二）平面与平面平行的判定
判定平面与平面平行的常用方法有：
（1）利用定义（常用反证法）；
）利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一
个平面。客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；
?//??（3）利用面面平行的传递性：???//?. ?//??
（4）利用线面垂直的性质：??l????//?。 ??l?
例：如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、
A1C1、A1B1的中点，求证：平面A1EF//平面BCGH
思路解析：本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面
BCGH平行，然后根据面面平行判定定理即可证明。
解答：ΔABC中，E、F分别为AB、AC的中点，∴EF//BC。又∵EF?平面BCGH，BC?平面BCGH，∴EF//平面BCGH。又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，∴A1G//FC。∴四边形A1FCG为平行四边形。∴A1F//GC。又∵A1F?平面BCGH，CG?平面BCGH，
∴A1F//平面BCGH。又∵A1F∩EF=F，∴平面A1EF//平面BCGH
（三）直线与平面平行的性质及应用
例：如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大。
思路解析：先利用线面平行的性质，判定截面形状，
再建立面积函数求最值。
解答：∵AB//平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和
平面ABD分别交于FG、EH，∴AB//FG，AB//EH，∴FG//EH，
同理可证EF//GH，∴截面EFGH是平行四边形。设
AB=a,CD=b,∠FGH=α（α即为异面直线AB和CD所成的
角或其补角）。
又设FG=x.GH=y,则由平面几何知识可得
两式相加得
∴S?EFGHxCGyBG?,?, aBCbBCxyb??1,即y?(a?x) ababbsin??FG?GH?sin??x(a?x)?sin??x(a?x). aa
∵x?0,a?x?0且x?(a?x)?a为定值，
∴当且仅当x?a?x时，absin?absin?x(a?x)?取最大值，此时x?，即当2a4
截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时，截面面积最大。
注：利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化。在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找（或作）过已知直线与已知平面相交的平面。这样就可以由性质定理实现平行转化。至于最值问题，常用函数思想解决，若题目中没有涉及边长，要大胆地设未知量，以便解题。
（四）平面与平面平行的性质及应用
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。
例：已知，平面α//平面β，AB、CD夹在α、β之间，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF//α，EF//β
思路解析：通过作辅助平面，利用面面平行得到
线线平行，再证线面平行。
解答：当AB和CD共面时，经过AB、CD的平面
与α、β分别交于AC、BD。∵α//β，∴AC//BD。
又∵AE=EB，CF=FD，∴EF//AC。∵AC?α，EF?α，
∴EF//α，同理EF//β，当AB和CD异面时，如图：
在CD现E所确定的平面内，过点E作C‘D’//CD与α、β分别交于点C‘、D’。经过相交直线AB和C‘D’作平面分别交α、β于AC‘、BD’。∵α//β，∴AC‘//BD’，又AE=EB，∴C‘E=ED’。∵C‘D’//CD，∴经过C‘D’和CD作平面与α、β分别交于C‘C和D’D。∵α//β，∴C‘C//D’D。
在平面四边形C‘D’DC中，∵C‘E=ED’，CF=FD，∴EF// D’D。∵D’D?β，EF?β
∴EF//β，同理EF//α。
三、直线、平面垂直的判定及其性质
（一）直线和平面垂直的判定和性质
证明直线和平面垂直的常用方法有：
（1）利用判定定理；
）利用平行线垂直于平面的传递性
）利用面面平行的性质
（4）利用面面垂直的性质。
当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。
例：如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、
N分别是AB、PC的中点，若∠PDA=450，求证：MN⊥平面
思路解析：M、N是中点，取PD中点E→MN∥AE→AE
⊥面PCD→MN⊥面PCD。
解答：如图，取PD的中点E，连接AE，NE。
∵E、N分别为PD、PC的中点，
∴EN//1CD， 2
又M为AB的中点， ∴AM//
∴EN//AM，即四边形AMNE为平行四边形。
∴MN//AE，又PA⊥平面ABCD,∠PDA=45°。
∴△PAD为等腰直角三角形，即AE⊥PD。
又CD⊥AD，CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD,而AE?平面PAD，
∴CD⊥AE。
又CD∩PD=D,即AE⊥平面PCD。
∴MN⊥平面PCD。
（二）平面与平面垂直的判定
证明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。
例：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。
（1）求证：BC1//平面CA1D；
（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。
思路解析：（1）连接AC1交A1C于E,连接DE→E为中点
→DE//BC1→BC1//平面CA1D
（2）、AC=BC→AB⊥CD→AA1⊥平面ABC→AA1⊥CD→CD
⊥平面A1ABB1→平面CA1D⊥平面AA1B1B。
解答：（1）连接AC1交A1C于E，连接DE，∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点。
又D是AB的中点，即DE为△ABC1的中位线，∴在DE∥BC1。
又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D。∴BC1∥平面
（2）∵AC=BC,且D为AB的中点，∴CD⊥AB。
又AA1⊥平面ABC,CD?平面ABC,∴AA1⊥CD。
又AA1∩AB=A，∴CD⊥平面A1ABB1
又CD?平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B。
（三）平面与平面垂直性质的应用
例：如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积。
思路解析：（1）因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD；
（2）四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离。
解答：（1）、在ΔABD中，∵AD=4，BD=8，AB=4，
∴AD2?BD2?AB2，即AD⊥BD。
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面
ABCD=AD,BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD。
又BD?平面BDM,∴平面MBD⊥平面PAD。
（2）、过P作PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO
⊥面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高。
又ΔPAD是边长为4的等边三角形，∴PO?AP2?AO2?42?22?23。 又（1）知△ABD是直角三角形，斜边的高为：h?AD?BD4?88。 ??AB54底梯形的面积为：S梯形ABCD?(DC?AB)h25?45??24 22
11S底h??24?2?16。 33四棱锥P-ABCD的体积为：VP?ABCD?
注：（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。
（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最常用方法。
（四）线面角、二面角求法
高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一。有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查。
求这两种空间角的步骤：
根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作（找）出该角，再解三角形
求出该角，步骤是作（找）?认（指）?求。
在客观题中，也可用射影法：
设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′,AB与α所成角为θ,则cosθ=A'B'
设ΔABC在平面α内的射影三角形为?A'B'C',平面ABC与α所成角为θ,则cosθ=S?A'B'C'. S?ABC
例：三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点。
（1）证明：平面GFE//平面PCB；
（2）求二面角B-AP-C的正切值；
（3）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值。
思路解析：（1）利用三角形的中位线性质；
（2）利用定义作出二面角B-AP-C的平面角；
（3）利用线面垂直构造直线与平面所成角。
解答：（1）、∵E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，即EF、GF分别是△ABC、△ACP的中位线，
∴EF//BC，GF//CP。
∵EF，GF?平面PCB，∴EF//平面PCB，GF//平面PCB。
又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。
（2）、过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H，连接HB。
∵BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC，则BC⊥CH。
在RT⊿APC中：
AP?AC2?PC2?22?12?5，
11AC?PC2?12AC?PC?AP?CH，即：CH???， 22AP在RT⊿PHC中：PH2?PC2?CH2?12?(2
在RT⊿BCH中：BH2?CH2?CB2?(2
5)2?12?9。 5
在RT⊿BCP中：PB2?BC2?PC2?12?12?2
∴在△PHB中，PB2?PH2?BH2
∴△PHB是直角三角形，即BH⊥AP。
∴∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。
BHC=1 ?。 2即：二面角B-AP-C
的正切值是
（3）、如图，设PB的中点为K，连接KC，AK，。在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M。
∵ΔPCB为等腰直角三角形，∴KC⊥PB；
又∵AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，∴AC⊥平面PCB，则AC⊥PB。 又∵AC∩CK=C，∴PB⊥平面AKC；
又∵PB?平面PAB，∴平面AKC⊥平面PAB。
又∵FM⊥AK,且平面ACK∩平面APB=AK,∴FM⊥平面PAB。
则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角。
在RT⊿PFC中，PF?PC2?CF2?2?12?2。
在RT⊿CPB中，CK?12。 PB?22
AC2?CK2?22?(223)?。 22在RT⊿ACK中，AK?
又RT⊿ACK∽RT⊿AMF，AK：AF=CK:MF,FM?AF?CK?AK1?2?1。 33
FM2??又在RT⊿PFM中，sin∠MPF=。 PF62
即直线PF与平面PAB
所成的角的正弦值是
§三、高考真题解析
1、（2010四川文数18）（本小题12分）在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点。
?（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小。 A?
解：（1）、连接AC′、A′C,由正方体可知交于O点，
且OA=OA′。 MC∴OM是△OAA′的中线，即OM⊥AA′.
连接MB、MD′在平面MBD′中，由正方体可知MB=MD′ A∴OM是△MBD′的中线，即OM⊥BD′.
又因为OM与异面直线AA′和BD′都相交， 故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线.
(2)、过M点作MN⊥BB′于N,过N点作NH⊥BC′于H,连接MH。 ∵MN⊥BB′,∴MN⊥面BCC′B′,即：MN⊥BC′. 又MN∩NH=N，∴BC′⊥面NMH,即BC′⊥MH。 ∴∠MHN是二面角M－BC′－B′的平面角。 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，设AB=1，
则NH?BN?sin45??
在RT⊿MNH中，tan∠MHN=
故二面角M－BC′－B′的大小为arctan22.
2、（2010四川理数18）（本小题12分）已知正方体 ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'?的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线； ?（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
M（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. C
解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD
A的中点，连结OK
因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点
所以AM//DD'//OK
所以MO//AK由AA’⊥AK，得MO⊥AA’
因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’ 所以AK⊥BD’ 所以MO⊥BD’
又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线
（2）、取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’ 过点N作NH⊥BC’于H，连结MH 则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角
MN=1,NH=BNsin45°=? ?
在Rt△MNH中，tan∠MHN
故二面角M-BC’-B’的大小为arctan
(3)、连接A′B、D′C,过点M作MG⊥A′B于G.
∵面A′ABB′⊥面A′BCD′, ∴MG⊥面A′BCD′.
又△OBC在面A′BCD′内,
∴MG是三棱锥M－OBC的高。
MG?A?Msin45??
, SA?BCD???1?2?
. VM?OBC????
3、（2010重庆文数20）（本小题12分）如题（20）图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?底面ABCD
，PA?AB?，点E是棱PB的中点.
（Ⅰ）证明：AE?平面PBC；
（Ⅱ）若AD?1，求二面角B?EC?D的平面角的余弦值。
（Ⅰ）证明：∵PA?底面ABCD，∴PA?AB, 又PA=AB,故△PAB是等腰直角三角形，而点E是PB的中点，所以AE⊥PB。
∵PB?面PAB, ∴面PAB⊥面ABCD, 又ABCD是矩形，∴BC⊥面
又PB∩BC=B, ∴AE⊥面PBC。
（Ⅱ）解：取CE的中点F，连接BF、DF，连接BD. 由上可知AD（BC）⊥面PAB, ∴AD⊥AE,BC⊥PB,
PA2?AB2?1, 在RT△PAB,PA=AB=2,AE=PB=
22从而在RT△DAE中，DE=AE2?AD2?2. 在RT△CBE中，CE=BE2?BC2?2,又CD=2,
∴△CED为等边三角形，则DF⊥CE,
∵BE=BC=1，且BC⊥BE,则△EBC为等腰直角三角形，即：BF⊥CE. 所以∠BFD为二面角B?EC?D的平面角。 在△BFD中，DF=CD?sin60??BD=BC2?CD2?3
DF2?BF2?BD23
∴cos∠BFD=, ??
，BF=CE?, 222
故二面角B?EC?D的平面角的余弦值为?
4、（2010重庆理数19）（本小题12分，）如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?底面ABCD，
E是棱PB的中点。
（1）求直线AD与平面PBC的距离；
AD=A-EC-D的平面角的余
解：在矩形ABCD中，AD//BC,从而AD//面PBC, 故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离。
因PA⊥面ABCD,故PA⊥AB,由PA=AB, ∴△PAB为等腰直角三角形， 又点E是PB的中点，故AE⊥PB. ∵PA?底面ABCD,PA?面PAB,
故面PAB⊥面ABCD.又ABCD是矩形， ∴BC⊥面PAB,即：BC⊥AE, 从而AE⊥面PBC.
故AE为直线AD与平面PBC的距离。
PA2?AB2?3. 在Rt△PAB中，PA=AB=6,所以AE=PB
（2）过D点作DF⊥CE,交CE于F,过点F作FG⊥CE,交AC于G,连接GD, 则∠DFG为二面角A-EC-D的平面角。 由（1）可知AD⊥面PAB,故AD⊥AE, 在RT△ADE中，DE?AE2?AD2?6. 在RT△CBE中,CE?BE2?BC2?6. 由于
∴△CDE为等边三角形，故F是CE的中点，且DF?CD?sin60??∵AE⊥面PBC，即AE⊥CE, ∴FG//
1AE,即FG=,G为AC的中点， 22
在RT△ADC中,DG=
113AC?AD2?CD2?. 222
DF2?FG2?DG26
∴cos∠DFG=. ?
∴二面角A-EC-D的平面角的余弦值是
5、（2010全国卷1理数19）（本小题12分）如图，四棱锥S-ABCD中，SD?底面ABCD，AB//DC，AD?DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC。
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小。
（Ⅰ）证明：连接BD,过B点作BF?CE于F. 在直角梯形ABCD中，BC?2,根据勾股定理得BD?BC.
∵SD?底面ABCD,即面SDB?面ABCD, ∴BC?面SDB,即BC?DE.
∵平面EDC?平面SBC,即BF?平面EDC ∴BF?DE
∴DE?面SBC,即DE?SB.
在Rt△SDB中，BD=2,SB=6, 又Rt△BED∽Rt△BDS,即
即BE=SB,∴SE=2EB.
（Ⅱ）解：过E作EK//AB,交SA于K.分别取ED、DC的中点G、H,连接AG、GH.
∵SD?底面ABCD,即面SDB?面ABCD, ∴BA?AS,由（1）可知EK=
212AB=,AK=SA=， 3333
则AE=EK?AK?1,即△ADE为等腰三角形。
由（1）可知DE?面SBC,即DE?CE.
由于GH是△DEC的中位线，即GH?DE. ∠AGH为二面角A-DE-C的平面角。 ∵DE=
,AG=AE2?GE2?. ?
,AH=AD2?DH2?2 3
GH=DH2?DG2?
AG2?GH2?AH21
?? 在△AGH中，cos∠AGH=
∴∠AGH=120?,即二面角A-DE-C的平面角为120?。
6、（2010全国卷2理数19）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，
AA1?AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE?3EB1．
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1?AC1?B1的大小． 解：（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为
因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1， 又AE=3EB1，所以FE=EB1，
又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.,,,,,,3分 作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.
又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG， 由三垂线定理，得DE⊥CD.
所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.
（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=22，DG=2，CG=2，AC=. 作B1H⊥A1C1，H为垂足，
因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C. 又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K， 由三垂线定理，得B1K⊥AC1，
因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.
A1B1?A1C1?(A1B1)2
HC1?B1C1?B1H2?
AC1?22?()2?7,HK?
AA1?HC12, ?
tan∠B1KH=
所以二面角A1?AC1?B1的大小为。
7、（2010北京理数16）（本小题14分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥
AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。 证明：（I）、设AC与BD交与点G。
因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1，
所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF//平面EG，
因为EG?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF//平面BDE。 （II）、∵ABCD是正方形，DB⊥AC,
又正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直， ∴DB⊥面ACEF.即DB⊥CF.
又由（1）可知GCEF是正方形，即CF⊥EG ∴CF⊥面BDE。 (III)、过G点作GK⊥BE,交BE于K,过G点作GN//AB,交BC于N,连接NK.过K点作KH⊥BC,交BC于H.
∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC, ∴CE⊥面ABCD,则面ECB⊥面ABCD, ∴AB⊥面BCE,即AB⊥BE, ∴GN⊥BE.
∴∠KGN是二面角A-BE-D的平面角。
在图中，可求得：BE=3,EG=2,GN=
在△DBE中，可求得：GK=在△CBE中，可求得： BH=
,KH=,KN=NH2?HK2?.
GK2?GN2?KN23
在△KGN中,cos∠KGN=。 ?
因为二面角A?BE?D为锐角，即：∠KGN=所以二面角A?BE?D的大小为
8、（2010浙江理数20）（本题15分）如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE?EB?AF?
FD?4.沿直3
线EF将 VAEF翻折成VA'EF，使平面
A'EF?平面BEF。
（Ⅰ）求二面角A'?FD?C的余弦值； （Ⅱ）点M,N分别在线段FD,BC
上，若沿直线
MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A'重合，求线段FM的长。
（Ⅰ）解：取线段EF的中点H,AF的中点G,连结A'G,A'H,GH。 因为A'E=A'F及H是EF的中点，
所以A'H?EF
又因为平面A'EF?平面BEF， 所以A'H?平面BEF, 又AF?平面BEF, 故A'H?AF，
又因为G、H是AF、EF的中点， 易知GH∥AB， 所以GH?AF， 于是AF?面A'GH，
所以?A'GH为二面角A'?DH?C的平面角， 在Rt?A'GH中，A'H
=GH=2，A'G
所以cos?A'GH?
故二面角A'?DF?
C的余弦值为（Ⅱ）解：设FM?x,
因为翻折后，C与A'重合，所以CM?A'M，
而CM2?DC2?DM2?82?(6?x)2，
A'M2?A'H2?MH2?A'H2?MG2?GH2=(22)2?(x?2)2?22
即：8?(6?x)?(22)?(x?2)?2
经检验，此时点N在线段BC上，
9、（2010湖北文数18）（本小题12分）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ， 证明：PQ⊥OA；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。 解：（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA，交AB于N,连接CN.在△AOB中，∠AOB=120°，且OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°。
在Rt△AON中，∠OAN=30°, ∴ON=AN。
在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠OBN,
∴NB=ON=AN,又AB=3AQ,即Q为AN的中点。
在△CAN中,P、Q分别为AC、AN的中点，即PQ//CN。
由OA⊥OC，OA⊥ON,则OA⊥面CON.
又NC?面CON, ∴ON⊥CN. 由PQ//CN,则OA⊥PQ （Ⅱ）连接PN，PO。
由OC⊥OA,则ON⊥面AOC,
∴OP是NP在平∠NOB面AOC的射影。
在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，则AC⊥OP. 根据三垂线定理可知：AC⊥NP.
∠OPN为二面角O-AC-B的平面角。
在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，则OP=
在Rt△AON中，ON=OAtan30°=
在Rt△PON中，PN=OP2?ON2?
∴cos∠OPN=
10、（2011年四川理）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA。 （I）求证：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； （Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离． 解析：（1）连接B1A交BA1于O,
?B1P//面BDA1
B1P?面AB1P,面AB1P?面BA1D?OD, ?B1P//OD,又O为B1A的中点，
?D为AP中点，?C1为A1P,??ACD??PC1D?C1D?CD,D为CC1的中点。
（2）由题意AB?AC,AB?AA1?AB?面AA1C1C, 过B 作AH?AD,连接BH，则BH?AD,
??AHB为二面角A?A1D?B的平面角。
AH2AH?BH??AHB???
h?S?A1B1?S?PCD?B1PD?VB1PCD
3，所以3,A1B1?1
S?PCD?S?PC1C?S?PC1D?
在?B1DP中，
3??DBP?B1D?,B1P?PD??DB1P?1
11、（2011年、重庆理19） 如题（19）图，在四面体ABCD中，平面ABC?平面ACD，AB?BC，AD?CD，?CAD????．
（Ⅰ）若AD??，AB??BC，求四面体ABCD
（Ⅱ）若二面角C?AB?D为???，求异面直
线AD与BC所成角的余弦值．
（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，
由于AD=CD，所以DF⊥AC.
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，
即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，
且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°
在Rt△ABC中，因
AC=2AF=AB=2BC，
BC?AB? 由勾股定理易知
故四面体ABCD的体积
1114V??S?ABC?DF???.3325
（II）解：如答（19）图1，设G，H分
别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，
从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角
设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，
故由三垂线定理知DE⊥AB.
所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60° 设AD?a,则DF?AD?sinCAD?a.2
在Rt?DEF中,EF?DF?cotDEF?
因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，
FG?1aAD?,22从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得
FH?1aBD?22， 又
FG2?GH2?FH2GHcosFGH???2FG?GH2FG
因此，异面直线AD与BC
所成角的余弦值为
12、（全国新课标理18）如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，?DAB?60?，AB?2AD，PD?底面ABCD．
（I）证明：PA?BD；
（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．
解：（Ⅰ）因为?DAB?60?,AB?2AD，
由余弦定理得：
2?AD2?AB2?2AD?AB?cos60?，即BD?
从而BD2?AD2?AB2，故BD?AD
又PD?底面ABCD，可得BD?PD
所以BD?平面PAD. 故 PA?BD。
（Ⅱ）过A点作AH⊥PB,
由(1)可知，BD⊥AD,则BD⊥BC,
又面PDB⊥面ABCD, ∴BC⊥PB,即AD⊥PB.
∴∠DAH补角是二面角A-PB-C的平面角。
1设AD=1，则：AB=2，PA=2
,BD=，cos∠BPD=. 2
在△PAB中，
?7222AH?222????AH?HP?AP?AH?HP?(2)?2。
即：解得：???222222???AH?HB?AB?PH?1?AH?(2?HP)?2?2?
在△PGH中,DH?PD2?PH2?2PD?PHcos?BPD?
AH2?AD2?DH227在△ADH中,cos∠DAH= ?2AH?AD75. 2
所以二面角A-PB-C的余弦值为?2。 7
13、（2011年北京理16）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB?2,?BAD?60.
（Ⅰ）求证：BD?平面PAC;
（Ⅱ）若PA?AB,求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的
证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
（Ⅱ）过B点作BG//AC,交DA的延长线于G，
∴∠GBD为PB与AC所成的角。
由图可知： GB=AC=23,PG=22,PB=22,
在△PGB中：
BG2?BP2?PG26cos∠GBD= ?2BG?BP4?
（Ⅲ）过B点作BEPC,交PC于E，连接DE.
∵BE⊥PC,面PBC⊥面PDC, ∴BE⊥面PDC,即：BE⊥DE.
在RT△BCE中,BE2?EC2?BC2?22,
在RT△BDE中，BE2?DE2?BD2?22,
∵PA⊥面ABCD,即：面PAC⊥面ABCD,
∴BD⊥面PAC,即：BD⊥CE.
∴CE⊥面BDE,即：CE⊥DE.
在△DEC中，DE=CE,CE⊥DE,DC=2
在Rt△PBE和Rt△PAB中：PE2?BE2?PB2?PA2?AB2. 在Rt△PAC中，AP2?AC2?PC2. 2222???PE?(2)?PA?2?PE?22即：?解得:?. 222???PA?(23)?(PE?2)?PA?6
14、（2011年、湖北理18）（本题12分）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合． （Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；
（Ⅱ）设二面角C?AF?E的大小为?，求tan?的最小值．
解法1：过E作EN?AC于N，连结EF。
（I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC?侧面A1C。
又度面ABC?侧面A，C=AC，且EN?底面ABC，
所以EN?侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影， 在Rt?CNE中，CN?CEcos60?=1， CFCN1??
则由CC1CA4，得NF//AC1，
1,故NF?AC1。 又AC1?AC
1. 由三垂线定理知EF?AC
（II）如图2，连结AF，过N作NM?AF于M，连结ME。 由（I）知EN?侧面A1C，根据三垂线定理得EM?AF, 所以?EMN是二面角C—AF—E的平面角，即?EMN??，
设?FAC??,则0????45?
CNE中，NE?EC?sin60??
在Rt?AMN中,MN?AN?sina?3sina,
tan??NE?MN
故又0????45?,?0?sina?
故当sina?即当??45?时，tan?达到最小值；
tan???，此时F与C1重合。
15、（2011年广东理）（本小题13分）如图5，在椎体P?ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60
°，PA?PD?PB?2,E、F分别是BC、PC的中点。
（1）、证明：AD⊥平面DEF；
（2）、求二面角P?AD?B的余弦值。
解：（1）、设AD中点为H，连接PH、BH。
∵PA=PD，∴PH⊥AD。
1在△ABH中，AH=，AB=1，∠DAB=60°, 2
BH?AH2?BH2?2AH?BH?COS60?。
113 BH?()2?12?2??1?COS60??222
故AH2?BH2?AB2,△ABH是直角三角形，∴AH⊥HB,即AD⊥HB。 ∴AD⊥平面PHB。
在△PBC中，E、F分别是BC、PC的中点，∴
EF//PB,即EF//平面PHB。
又DH//BE,∴DE//BH,即DE//平面PHB。
∵DE∩EF=E，DE、EF?平面DEF，
∴平面DEF//平面PHB。
∴AD⊥平面DEF。
(2)、由（1）知PH⊥AD，BH⊥AD,且面
∩面BAD=AD,
∴∠PHB就是二面角P-AD-B的平面角。
在△PAH中，
17 PH?(2)2?()2?22
在△PHB中，
73??4PH?BH?PB21Cos∠PHB=。 ???2PH?BH772??22222
即二面角P-AD-B的余弦值为-21。 7
16、（2012年全国理数）（本小题满分12分）如图，直三
1棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1,D是棱AADC11的中点，2
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1?BD?C1的大小。
(1)证明：在矩形AA1C1C中，D是AA1的中点，且AC=AD=DA1，易得DC1⊥DC,
又DC1⊥BD，所以DC1⊥面BCD,则DC1⊥BC。
（2）取A1B1得中点O,连接C1O、DO。
由（1）知DC1⊥BC，又BC⊥CC1,所以BC⊥面AA1C1C， ∴BC⊥AC。
在等腰三角形A1B1C1中，O是中点，则C1O⊥A1B1， ∴C1O⊥面A1B1BA,即C1O⊥BD
又DC1⊥BD，所以BD⊥面DOC1,即BD⊥DC1、BD⊥面DO。
∴∠C1DO是二面角A1?BD?C1的平面角。
由图可知DC1=2，C1O=26
DC1?DO2?C1O23在△C1DO中，cos∠C1DO=. ?2DC1?DO2
∠C1DO=30°。
日星期二 2
空间点、线、面之间的位置关系 §一、知识总结知识结构 几何体的直观图的画法在立体几何教学中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图像的画法。我们常用斜二测画法画空间几何体的直观图。斜二…
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