非欧氏几何学;非欧几里得几何学,non-Euclidean geometry,音标,读音,翻译,英文例句,英语词典
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1)&&non-Euclidean geometry
非欧氏几何学;非欧几里得几何学
2)&&non-euclidean geometry
非欧几里得几何学
3)&&non-euelidean geometry
非欧几里得几何
4)&&Euclidean geometry
欧几里得几何学
5)&&non euclidean geometry
非欧几里德几何学
6)&&Euclid's geometry
欧氏几何学
补充资料：非欧几里得几何学
非欧几里得几何学geometry，nonEuclidean&&&&一般指罗巴切夫斯基几何（又称双曲几何和黎曼椭圆几何）。简称非欧几何。它们与欧几里得几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。&&&&&&图片&&&&&&&诞生&欧几里得几何学中的平行公理（通过直线外一点至多有一条直线与已知直线共面不交）与《几何原本》一书中的第五公设〔如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角之和小于两直角&，那么这两条直线在这一侧必相交（图1）〕相等价，《几何原本》中前4个公设叙述简单，几何含意明显，而第五公设则不同，很像一条定理。于是许多数学家都尝试根据其他公理、公设来证明它，这就是历史上著名的第五公设问题。第五公设的证明持续了2000年之久，结果均告失败。失败的原因不外是暗用了第五公设的等价命题或在证明过程中用了未经证明的判断。然而正是这些“失败”的工作，给非欧几何的创立准备了必要的条件。到了19世纪，俄国数学家N.I.罗巴切夫斯基企图用归谬法证明第五公设，他把欧几里得第五公设以外的公设、公理都保留，只把第五公设改换成与它相反的命题作为一个公理，如此推证下去如果出现矛盾，则假设是错误的，于是第五公设必然成立。可是他推证了一连串的命题都没有发现矛盾，而出现了一个新的几何体系。罗巴切夫斯基认为这个新体系代表一种新的几何学，他称之为虚几何学。这种几何不同于欧几里得几何，所以称之为非欧几里得几何学，罗巴切夫斯基于日在喀山大学数学会上宣读了题为《几何学原理的扼要阐释及平行线定理的严密证明》的论文，这一天就是非欧几何诞生的日子。当时德国数学家C.F.高斯和匈牙利的J.波尔约也独立地发现了非欧几何。非欧几何的创建，导致了人们对几何基础的深入研究。&&&&&&&图片&&&&&&&罗巴切夫斯基几何与欧几里得几何&19世纪末期，德国数学家D.希尔伯特建立了一个完善的欧几里得几何学的公理系统，从而使得《几何原本》中的欠缺都得以弥补。由希尔伯特公理体系中的结合、顺序、合同、连续4组公理所建立的几何体系称为绝对几何，再加上欧几里得平行公理就是欧几里得几何；如果绝对几何公理体系加上一条罗巴切夫斯基平行公理（通过直线外一点至少有两条直线与已知直线共面不相交）就成为罗巴切夫斯基几何。由于发现了罗巴切夫斯基几何，才结束了求证第五公设的工作。绝对几何是欧几里得几何与罗巴切夫斯基几何的公共部分，就是说绝对几何的定理在欧几里得、罗巴切夫斯基两种几何中都成立，例如：任何三角形内角和不大于π，设四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD是直角（图2），且AB≥CD，则∠A≤∠D，等均是绝对几何中的定理，上述后一命题中的双直角四边形，若有AB与DC相等，则称之为萨开里四边形或等腰双直角四边形，∠A、∠D称为其顶角，AD、BC分别为其上底和下底。命题“萨开里四边形顶角不大于直角，且其上、下底中点连线垂直于上、下底”，也是绝对几何定理，这些都是欧、罗两种几何的共同点。不同点在于平行公理，而罗巴切夫斯基平行公理正是欧几里得平行公理的相反命题（否定命题），由是得出罗巴切夫斯基几何中许多与欧几里得几何相违背的定理，例如：①共面不交二直线被第三线所截同位角（或内错角）不一定相等。②在平面上，一直线的垂线、斜线不一定相交。③三角形内角和小于两个直角。④两个三角形若有三对角对应相等，则此两三角形全等（即不存在相似而不全等的三角形）。⑤萨开里四边形顶角小于直角（这说明在罗巴切夫斯基平面上不存在矩形）。⑥通过不共线三点不一定能作一个圆。⑦三角形三边高线不一定交于一个点。⑧通过直线外一点与已知直线共面不相交的直线有无数条&。因为通过一条直线a外一点A，有无数条直线与a相交，由命题⑧知，又有无数条直线与a不相交，与直线a相交与不相交的界线（它本身是不相交的直线），共有两条，称为直线a的沿方向&AA′和AA″的平行线，故在罗氏平面上，通过直线外一点有两条直线于不同方向平行于已知直线。&&&&黎曼椭圆几何与欧几里得几何&另一种非欧几何黎曼椭圆几何是德国数学家B.黎曼于1854年提出的，这种几何的公理体系较之欧几里得几何有较大的差别，它用“在平面上，任何两条直线一定相交”代替欧几里得平行公理。在这种几何里“任何三角形三内角和大于两直角”。如果把球面上的一对对经点看作为一个点，就可以得到这种非欧几何。非欧几何与欧几里得几何表面上矛盾，但各自都反映了现实空间的相对真理。&&&&影响&&&非欧几何的建立不仅拓广了几何学观念，而且在数学一些分支中有着重要应用，同时对于物理学在20世纪初期关于时空观念的变革也起了重大作用。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。数学的未来
6.1 欧氏几何和非欧几何
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|个人分类:|系统分类:|关键词:style 数学
上，数学基础一词有时候用于的特定领域，例如，，，，和。但是寻求数学的基础也是的中心问题:在什么终极基础上可以称为真? & & &目前占统治地位的数学是基于和的。事实上，所有的数学都可以用集合论的定理表述。数学命题的在这个观点下，不过就是该命题可以从使用形式逻辑推导出来。 & & & 这个方法不能解释一些问题：为什么我们选择我们现在所用的而不是其他的公理，为什么我们使用我们所用的逻辑规则而不是其他的，为什么&真&数学命题(例如，算数的)在物理世界中似乎是真的。这被在叫做“”(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。 & & & 上述的形式化真实性也可能完全没有意义：完全可能所有命题，包括自相矛盾的命题，都可以从集合论公理导出。而且，作为的一个结果，我们永远不可能知道事情是不是就是这样。 & & & 在(有时也叫)中，独立于人类的的世界的存在性被作为一个基本假设;这些对象的真实性由人类发现。在这种观点下，自然定律和数学定律有同样的地位，而&有效性&不再&无理由&。不仅是我们的公理，而且是数学对象的真实世界构成了基础。那么，明显的问题在于，我们如何接触这个世界？ & & & 一些数学哲学的现代不承认基础在其原始意义上的存在性。有些理论倾向于聚焦于，把目标设定于描述和分析数学家作为的真实工作。其他的试图创造一个，聚焦于把人类的认知作为数学应用到&现实世界&时的可靠性的起点。这些理论建议只在人类的思考中找到基础，而不是任何&客观&的外在构造。这个主题一直很有争论性目前占统治地位的现代数学家， & & & &
& & & & & & &
& &Behavior of lines with a common perpendicular in each of the three types of geometry & & & & & & & & & & （三种几何与它们中的每一种的线之间的垂直的性质） & & & 非欧几里得几何，简称非欧几何，是几个形式系统的统称。和非欧几何的差别在于第五公设。几何原本第五公设 & & & 数学家欧几里得的《》提出了五条公设。頭四條公設分別為：由任意一點到任意一點可作直線。一條有限直線可以繼續延長。以任意點為心及任意的距離可以畫圓。凡直角都相等。 & & & 第五条公设说：同一内一条和另外两条直线相交，若在某一侧的两个的和小于两，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。 & & & 长期以来，们发现和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ & & & &罗巴切夫斯基几何，教授在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。此即数学中的。但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧氏几何一样是完善的、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称。这是第一个被提出的非欧几何学。从罗氏几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。鲍耶和高斯的贡献几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。非欧几何分类按几何特性（曲率），现存非欧几何的类型可以概括如下：坚持第五公设，引出欧几里得几何。以“可以引最少兩条平行线”为新公设，引出（或称）。以“一条平行线也不能引”为新公设，引出（或称）。这三种几何学，都是常曲率空间中的几何学，分别对应曲率为0、负常数和正常数的情况。如果完全去掉第五公设，就得到更加一般化的。这种几何不仅可以囊括前面提到的三种几何，而且允许空间的不同位置有不同的曲率。是描述任意维数任意弯曲的绝对几何空间的一种微分解析几何学。一般来讲，非欧几何有广义、狭义、通常意义三个不同含义:广义的非欧几何：泛指一切和不同的几何学；狭义的非欧几何：只是指罗式几何或黎曼几何；通常意义的非欧几何：指罗式几何和黎曼几何二者。……
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从欧几里得几何到非欧几何
【读者按】欧几里得(Euclid，约公元前330~275)的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。公元7世纪以前的所谓几何学，都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。当积累起来的几何知识相当丰富时，把这一领域的材料系统地整理，并阐明它们的关系，就显得十分必要了。由于几何学本来的对象是图形，研究它必然要借助与空间的直观性。但是直观性也有不可靠的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。欧几里得就是在这种思想的基础上，编著完成了他的《几何原本》。
《几何原本》的第一卷是全书逻辑推理的基础，给出全书最初出现的23个定义，5条公设，5条公理：
(1) 点没有部分。
(2) 线有长度，而没有宽度。
(3) 线的界限是点(注：《几何原本》中没有伸展到无穷的线)。
(4) 直线是同其中各点看齐的线。
(5) 面只有长度和宽度。
(6) 面的界限是线。
(7) 平面是与其上的直线看齐的面。
(8) 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。
(9) 当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角。
(10) ~(22)(略)(是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义)。
(23)平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延长后，在这两个方向上都不会相交的直线。
关于几何的基本规定的5条公设：
(1) 从每个点到每个其它的点必定可以引直线。
(2) 每条直线都可以无限延伸。
(3) 以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆。
(4) 所有的直角都相等。
(5) 同平面内如有一条直线与另两条直线相交，且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角，则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。
关于量的基本规定的5条公理：
(1) 等于同量的量相等;
(2) 等量加等量，总量相等;
(3) 等量减等量，余量相等;
(4) 彼此重合的量是全等的;
(5) 整体大于部分。
欧几里得在此基础上运用逻辑推理，导出了许许多多的命题(在《几何原本》中包含了465个命题)，从而构成了欧几里得几何学。
由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图，因此这两件仪器被称为欧几里得工具，使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图，即尺规作图。这种作图增加了几何学的趣味性。人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：
(1) 倍立方问题：求作一个立方体，使体积为已知立方体的二倍;
(2) 三等分角问题：三等分一个(任意的)已知角;
(3) 化圆为方问题：求作一个正方形，使其面积为已知圆的面积。
尽管是徒劳的，但从各方面推动了数学的发展。
将公设、公理分开是从亚里士多德开始的，现代数学将公设、公理都叫做公理。第五条公设与&在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线不相交(平行)&相等价。现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理。
自《几何原本》问世以来，直到19世纪大半段以前，数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点，并设法纠正。首先，欧几里得的定义不能成为一种数学定义，完全不是在逻辑意义下的定义，有的不过是几何对象的直观描述(比如点，线，面等)，有的含混不清。这些定义在后面的论证中根本是无用的。其次，欧几里得的公设和公理是远不够的。因而在《几何原本》中许多命题的证明不得不借助直观，或者无形中引用了欧几里得的5个公理之外的公设或公理的东西。
针对欧氏几何的上述缺陷，数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷。到19世纪末，德国数学家希尔伯特(D.Hilbert，)于1899年发表了《几何基础》，书中成功地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统。首先他提出了8个基本概念，其中三个是基本对象：点、直线、面;5个是基本关系：点属于(或关联)直线，点属于(或关联)平面，一点在两点之间，两线段合同，两角合同。这些基本概念应服从5组公理：关联公理;顺序公理;合同公理;连续公理;平行公理。(参见沈纯理等，经典几何，科学出版社，2004或郑崇友等，几何学引论(第二版)，高等教育出版社，2005)。
另外，人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题，即平行公理可否能用其它公理推导出来。虽然有很多学者(包括一些很有名的数学家)曾宣称已经证明平行公理能用其它公理推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的。于是从意大利数学家Saccheri(1733)开始，人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的，即它不能从其它公理推导出来。罗巴切夫斯基(Лобачевский,Н.И.，)和波尔约(J，Bolyai，)分别在1829年和1832年独立地用平行公理的反命题，即用&过给定直线外一点，存在着至少两条直线与给定的直线不相交&来代替欧几里得平行公理，并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题，但并没有导致任何的矛盾，非欧几何就这样产生了。但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系，还是应该将这种&虚&的几何学真正地构造出来，即提供这种&虚&几何的现实模型。19世纪70年代，德国数学家克莱因(F.Klein，)提出了Klein模型，庞加莱(J.H.Poincare，)提出了上半平面Poincare模型。这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来。这样的非欧几何叫做双曲几何。
另一种非欧几何的发现者是德国数学家黎曼(G.F.B.Riemann,)。那是他在1854年讨论无界和无限概念时得到的成果。欧几里得的第二条公设说：直线可以无限延长。但是，并不定蕴涵着直线就长短而言是无限的，只不过是说它是无端的或无界的。例如，连接球面上两点的大圆的弧可被沿着该大圆无限延长，使得延长了的弧无端，但确实就长短而言它不是无限的。将欧几里得的公设(1)，(2)和(5)作如下的修正：
(1)两个不同的点至少确定一条直线;
(2)直线是无界的;
(3)平面上任何两条都相交。
就可得到一种相容的几何学，称为黎曼的非欧几何(椭圆几何)。这样的几何可以在球面上实现。
由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现，几何学从传统的束缚中解放出来了，从而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路，并有广泛的应用，如：在爱因斯坦发现的广义相对论中，用到黎曼几何;由1947年对视空间(从正常的有双目视觉的人心理上看到的空间)所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描述。
如果实数系是相容的，则可以证明以上几种几何的公理系统都是各自相容的、独立的，但都不是完全的。然而奥地利数学家哥德尔(K.Godel,)证明了&对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，存在F中的不可判定命题。&及&对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明。&因而想证明数学的内部相容性问题也就无望了。
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