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本帖子已过去太久远了，不再提供回复功能。pc0cbaa+ba'+b'b&；总结一下：；上述过程表述为向量的“一投一转，再加一伸”；向量叉积的分配律的几何解释2；“一投一转，再加一伸”，叉积分配率整得忒麻烦？再；42-25yx++-0《线性代数的几何意义》；一个有边界的平面（如图左），它的大小有它的面积决；nabaxbEABCD；向量a和b的叉积就是一个有向面积的例子（如图右）；前面
pc0cbaa+ba'+b'b'a'bxc0axc0bxc(a+b)xcaxc(a+b)xc0
总结一下：
上述过程表述为向量的“一投一转，再加一伸”。
向量叉积的分配律的几何解释2
“一投一转，再加一伸”，叉积分配率整得忒麻烦？再来一个简单点的几何解释。
这个简洁的叉积分配图解需要有方向的面积的概念。我们首先介绍一下有向面积。
有方向线段被用来作为向量的图形。那么面积也是有方向的。在微积分对x-y平面上的曲线与x座标轴围成的面积积分中，X座标轴上方的面积积分值为正，轴下方的面积积分值为负。这实际上也是面积有方向的表现。
42-25yx++-0 《线性代数的几何意义》
一个有边界的平面（如图左），它的大小有它的面积决定，它的方向由它在空间的法线的方向来确定，因此有向面积也可以用向量的办法来完全刻画：向量的方向就是法线的方向，向量的长度正比于它的面积。按照右手规则，如果面积周线的回转方向是ABCDE，那么法线的正向，也就是代表这面积的方向就是向上的。根据这种说法，我们可以这样说，向量不但可以表示一个有方向的线段，而且也可以表示一个有方向的面积。反过来讲，一个有向线段（一定长度的箭头）被用来作为向量的几何图形（这是几乎所有数学书的做法），而一个有方向的面积也可以表示一个向量。为了方便，我们可以称前者为线向量，称后者为面向量。
nabaxbEABCD
向量a和b的叉积就是一个有向面积的例子（如图右），以向量和为边的平行四边形的有向面积是用来表示的，因为所有向量都被处理成线向量，因此ab×ab×ab也被刻画成有向线段的图形，这个有向线段垂直于被代表的面，线段长度等于和构成的平行四边形的面积。在这里，线向量和面向量混叠在一起。下面的叙述中，我们割掉了线向量这条小尾巴，只留下了面向量-------一个具有旋转方向的平行四边形面。 ab
前面讲过，两个线向量a和相加得到一个线向量a+，这个过程满足平行四边形法则和三角形法则。那么，线向量a和b分别和第三个线向量叉积依次得到了两个面向量和bbc×ac×bc。实际上，面向量的加法运算同样满足平行四边形法则和三角形法则。向量叉积的分配律的图示如下图所示。 ×××
abca+bbcaa+b00
面向量的加法法则的证明可以从封闭面的和向量为零着手。我们这里不再证明了。实际上，我们有更形象的图证来理解这个法则。比如对于三角形法则（右图），我们可以想象有向量c的长度那么多的线向量a+的三角形叠加在一起形成面向量，叠加的方向沿着向量c的方向进行，如下图。 b
================================================================================= 第 22 页， 共 38 页
向量的混合积的几何解释
三个向量，如果先作两向量的点积,,abc,ab?ab，因为它是数量，所以再与第三个向量相乘的结果表述一个新向量，它是向量c的伸缩，与向量c平行。 c?(ab)c
如果先作两向量的叉积，这个所得的向量与第三个向量c再作点积或者叉积，前者表示数量叫做三向量的混合积或三重数积；后者表示向量，叫做三重矢积。下面我们仅对向量的混合积的几何意义进行讨论。 ,ab×ab×?(ab)c××(ab)c
三向量的混合积有关系(a，且其中cosα×?=×(ab)cabc，cosβ×?=×(bc)abca，cosγ×?=×(ca)bcab。混合积是这样的一个数，他的绝对值表示以向量为棱的平行六面体的体积。如果向量以顺序组成右手系，那么积的符号是正的；如果组成左手系，积就是负的。 ,,abc,,abc
我们知道，向量积是一个向量，它的模在数值上等于以向量为边的平行四边形×ab,ab0ADB的平面，它的方向垂直于这个平行四边形的平面，且当向量以顺序组成右手系时，即向量与向量是朝着此平面的同一侧（如图）；且当向量以顺序组成左手系时，即向量,,abc×abc,,abc×ab与向量是朝着此平面的另一侧。所以若向量c×ab与向量之间的夹角为cα，则当向量以顺序组成右手系时，夹角,,abcα为锐角；当向量以顺序组成左手系时，夹角,,abcα为钝角。 《线性代数的几何意义》
SαbaaxbchD0BA
又因为cosα×?=×(ab)cabc，则有当向量组成右手系时，为正值；当向量组成左手系时，为正值。 ,,abc×?(ab)c,,abc×?(ab)c
因此，以向量为棱的平行六面体的底（平行四边形,,abc0ADB）的面积在数值上等于S×ab，它的高h等于向量在向量c×ab上的投影，即coshα=c，所以平行六面体的体积等于
cosVShα==×abc。
2.6 向量的积和张量之间的关系
从前面的看来，向量的内积定义和外积定义确有意义，但对于我们玩惯实数乘法且还没有得到高等数学训练的人来说，还是有点拿捏不住。为什么不能像两个多项式的乘法一样定义两个向量的乘法呢？
完全可以这样相乘。
二维向量的内积、外积和张量
先看二维空间中的两个向量(,)xyaa=a，(,)xybb=b把它们改写成带有,xy坐标轴的单位向量的形式，就是,xyxaabb=+=+aijbi ，我们对向量a和b就象普通的多项式乘法分配律一样展开运算，得到如下：
()()(xyxyxxyyxyyxaabbabababab=++=+++abijijiijjijji
这里有个关键的问题，就是如何定义坐标轴的单位向量,ij之间的运算？我们发现，不同的规
================================================================================= 第 24 页， 共 38 页 《线性代数的几何意义》
定，就会得到不同的结论：
??当定义,ij之间的运算为内积运算时，即1,0====iijjijji时上式化简为：
xxyyabab=+=?abab
这正是向量和作内积运算的定义式。 ab
??当定义,ij之间的运算为外积运算时，即0,===?=iijjijjik时上式化简为：
()xyyxxyyxabababab=+=?=abijjikab
这正是向量和作外积运算的定义式，在 二维向量空间外又生成了一个第三维向量。 ab ??当定义,ij之间的运算只是作为一个顺序的记号时，即1,0,1====?ijiijjji时上式化简
xyxyyxxyyxxyaaababababbb=+=?==aabijjib
这正是向量和作行向量构成的方阵的行列式的运算的定义式。 ab
??当定义1,1==?ij，与复数进行对应时，上式化简为：
()xxyyxyyxabababab=?++abj
这正是复数和作乘法运算的定义式。 ab
总结一下：
本等式()()(xyxyxxyyxyyxaabbabababab=++=+++abijijiijjijji 的第一部分包含了向量和b内积的结果，第二部分包含了向量a和b外积的结果或者是行列式的结果，即： a
()(=?+×ababab
从这个结论看来，向量的内积运算、外积运算覆盖了二维向量及其复数的所有乘积模式的结果。
实际上， 象上述的多项式一样的向量乘法叫做向量的直积，向量的直积是向量之间最简单的一种乘法运算，其结果是张量（向量是一阶张量的一种），所以也叫做向量（矢量）的张量积，俗称并矢。
因此，采用较高等一点的说法就是，向量的张量积包含了向量的内积和外积的结果。
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　? b&0 方向基本相同,夹角在 0° 到 90° 之间 正交 方向基本相反,夹角在 90° 到 180° 之间 所以,点乘的几何意义和用处就是计算两个向量之间的夹角,以及... 　特征向量的几何意义_理学_高等教育_教育专区。矩阵论 特征向量的几何意义 长时间以来一直不了解矩阵的特征值和特征向量到底有何意义 (估计很 多兄弟有同样感受)。... 　龙文教育一对一个性化辅导教案学生 科目 课题教学 重点 教学 难点 教学 目标平面向量的几何意义 平面向量的线性运算 学校数学 增城中学 年级 日期 高一 ... 　2.4.1 平面向量的数量积的物理背景 及其含义课前预习学案 一、预习目标: 预习平面向量的数量积及其几何意义;平面向量数量积的重要性质及运算律; 二、预习内容: 1... 　五、教学重点与难点 1、教学重点:两个向量的和的概念及其几何意义。 (两个向量的和的概念是 向量加法的基础, 而向量加法是向量运算的基础,向量的线性运算的另一... 　12页 免费 复数加减法及几何意义 30页 免费喜欢此文档的还喜欢 ...,则|a-b|等于 B.12 D. 6 3 A.36 3.a,b 为非零向量,且|a+ b|=... 　向量数乘运算及其几何意义教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。教案向量数乘运算及其几何意义一.教学目标 教学目标 1.知识与技能: 通过实例,掌握向量数乘运算,理... 　《向量加法运算及其几何意义》 向量加法运算及其几何意义》 河南省项城市第三高级中学 卢卫红 人教 A 版 必修四《向量加法运算及其几何意义》 河南省项城市第三高级... 　《向量的加法运算及其几何意义》教学设计授课教师:大港实验中学 武凤英 一.教学目标知识目标:理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个...[转载]矩阵的几何意义
实数组的几何意义：（a，b）和（a，b，c）分别代表平面和三维空间上的一个点
矩阵的几何意义：在线性空间中，如果确定了一个基，线性映射就可以用确定的矩阵表示。
&&&&&&&&&&&&&&&
即线性空间上的线性映射。
矩阵 独立的几何意义表现为对向量作用的结果。
矩阵对一个向量是如何作用的？
矩阵对多个向量是如何作用的？
矩阵对几何图形（由无数个向量组成的几何图形）是如何作用的？
在矩阵对一个几何图形的作用的研究中，我们会发现一些规律，如特征向量、秩
矩阵方程Ax=b和对应的向量方程xa（下标为1）+……+xa（下标为2）之间的差别仅仅是记号上的不同。
通常的情况是，把矩阵A当作一种“对象”，她通过乘法，“作用”于向量x，产生的新向量称为Ax。
深入理解 定义域，值域
定义域，值域
矩阵作为向量变换的动态观念
信号系统中的应用
线性变换（矩阵是如何工作的？）
一直都搞不清楚，矩阵是怎么样将一个向量，变换到 另一个向量的！！
任何矩阵具体的变换方式，是相对于
上面的单位正方形 来工作的。（即二维的，若是三维的，则是单位正方体……现在，矩阵的变换作用一切变得可以
理解了！）
可以理解，为什么一般矩阵要简化成 上三角 or 下三角形。
矩阵乘法对应线性变换的复合。
矩阵乘法：
矩阵乘法，左右顺序必须保持不变
一般来说，AB和BA是不同的.
这并不奇怪，因为AB的列是A的各列的线性组合；而BA的列是B的各列的线性组合
乘法一般不可交换，是矩阵代数和普通代数的重要差别。
可逆矩阵，即非奇异矩阵
可逆、非奇异，行列式不等于零……
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在这篇文章内，我们把
中的向量用黑斜体字母来标记，把张量用正黑体字母来标记。
在裏，並矢張量(dyadic tensor)是一個以特別標記法寫出的二階，是由成對的並置形成的。針對這特別標記法，有一套專門計算這種表達式，類似於規則的方法。並矢張量的每一對向量的並置稱為並矢(dyad)。兩個單位的稱為單位並矢(unit dyad)。純量與單位並矢的乘積就是並矢。
例如，設定兩個三維向量
其中， 、 、，形成了一個三維空間裏的的單位基底向量。
其中， 、 、 等等，都是單位並矢， 、 、 等等，都是並矢。
也可以表達為
根據Morse與feshbach所著作的權威教科書，在三維空間裏，並矢張量
是一個3×3，其分量
，當從一個坐標系變換到另外一個坐標系時，遵守(covariant transformation)的定律。
其中， 是變換後的分量。
所以，並矢張量是一個二階協變張量。反過來說，按照這定義推廣，任意二階協變張量都是並矢張量：
應用，並矢張量
可以與向量
綜合在一起：
其中， 、 、 ，都是標準正交基的基底向量。
；其中， 是。所以，
這點積運算得到的結果是一個協變向量。
並矢張量的(tensor contraction)運算，將每一個並置
，替換為兩個單位基底向量的點積
，以方程式表達為
只成立於三維空間，並矢張量的旋轉因子運算，將每一個並置
，替換為兩個單位基底向量的
，以方程式表達為
這也可以表達為
的完全縮併：
。 两个并矢积作形式上的相加就是并矢张量，从而并矢张量和二阶（严格地说，是二阶的）是同义词。力学、电动力学中常见的例子就是单位並矢张量
以及等；量子力学中的(angular momentum coupling)理论也要用到并矢张量。
需要注意：并矢积是不可交换的，也就是说，除非两个矢量
，否则一定有 。
在中，并矢张量最重要的应用之一就是它和向量的缩併。对于并矢积
的缩併，规定
如果要求这种规定也适用于量子力学中的，在这种情况下就要特别注意每个式子右端各个向量的先后顺序：用来写，则
上的一个线性空间，则下述定义是等价的。
定义1. 对于任意 ，称它们的
的并矢积并将其简记为
，称为并矢张量。更加推广，称
中的元素为
上的并矢张量，或者二阶反变张量。
定义2. 如果有
上的一个线性空间
以及双线性映射
线性无关时， 是
中的线性无关向量组，
中的元素为
上的并矢张量或二阶反变张量，把
上的并矢张量（或者二阶反变张量）这个概念可以按照下述规则来建立：
(1) 任意向量
并置摆放形成一个并矢积 ；
(2) 对于任意的
和任意的 ，规定
，并把上述结果不加区分地记作 ；
(3) 称有限个并矢积的形式和为一个并矢张量；
(4) 对任意正整数 ，如果
是线性无关向量组——特别是，
的充分必要条件是
(5) 对任意的 、、，成立着分配律
注： 所谓形式和，就是说我们既不刻意追究求和的实际含义，也关心求和的结果在哪个集合中，而只是知道这种求和满足和。
既然上述定义等价，我们就把
上所有的并矢张量所构成线性空间记为 。在此基础上，如果
是一个并把
的内积记为 （当
是共轭线性的），则定义并矢张量
中的向量，满足下述运算律：
(6) 对于任意的
从而可以把上述两个结果分别记为
和 。在上述公式中， 表示
的（如果 ）。
(7) 对于任意的
以及 ，总有
(8) 对于任意的
以及 ，总有
(9) 对任意的 ，总有
為一個並矢張量：
是一個二維空間的 90°
(rotation operator) 。它可以從左邊一個向量來產生一個：
或以矩陣表達，
一個一般的二維旋轉並矢張量，會產生
角度的旋轉，表達為
其中， 是三維的單位並矢張量。
是中所有的所张成的（囊括了所有可能的 ，，，，），则 。当我们要考虑角动量耦合的时候，就会遇到的并矢张量 ，而且时常把它记作
等等。任取一些 （但是其中只能有有限个非零），则
就是一个并矢张量。不妨把这个并矢张量记作 ，则它和
的缩併就是
在这其中，量子力学中最广为人知的就是通过
(Clebsch-Gordan coefficients) 所组合出来的张量。当然，在角动量耦合理论中，这样的张量被等同为某些角动量本征态，除了物理上的考虑之外，这更主要地还是有关 及其
的表示的另外一个话题，请参看 (Lie group representation) 及 (Lie algebra representation) ，在这里就不再深入探讨了。
实际上可以这样说，在量子力学中，只要物理问题涉及了系统的耦合，数学上就会导致态矢量的并矢。在这方面，还可以举一个常见的例子：由一维的态矢量所构成的并矢张量可以用来描述二维谐振子系统。
三维上的并矢张量的例子非常多，例如、、等等。这些例子实际上就是并矢张量这个概念的最初原型。
下面我们要说明，前面建议的规则 (1) 到 (9) 足以讲清楚二阶张量的运算和性质。
为的情形，则
上的有限维（设 ）而且带有的。设
的一个，则任意 、 都可以作线性展开 ，。在这里，为了充分演示规则 (1) 到 (9) （见上面的定义3以及并矢张量与向量的缩併）的使用，我们明显地写出了求和号而不使用。但是，为了简便，求和的上下限被略去了。
以下运算中，等于号上方的标号是规则的编号。
首先，我们要证明所有的二阶张量都能够用
展开。重复地利用规则 (5) 可得
接下来重复地利用规则 (2) 可得
这样，我们就证明了所有的并矢，即形如
的张量都能够写成
的线性组合。接下来，按照规则 (3) 以及上面的结论，所有的二阶张量最终都能够表达为
的线性组合。
反之，由规则 (1) 和 (3)，每一个
都是一个二阶张量，再由规则 (3)，它们的任意线性组合也是二阶张量。至此，我们证明了二阶张量等价于
的线性组合。
然后，从规则 (4) 可以证明，全部的
是的，因此构成了
最后，利用规则（6）到（9）不难把所有的缩併最终归结为计算 。特别是，如果所给的基是，那么结果就非常简单了。
而言，由于 ，规则 (6) 和 (8) 表明，给定任意一个并矢张量
之后，从矢量
到 （或者 ）的映射是线性映射，所以，欧几里得空间上的并矢张量总是对应着它自身上的。下面要证明，从并矢张量到线性变换的这种对应是。为了准确起见，把
上的线性变换分别记为
引理1. 对于欧几里得空间
上的任意一个线性变换 ，总是存在着
上的并矢张量
证明： 由于证明方法类似，我们只证明
的存在性。设
的一个（不必是），令
则的正定性导致
上的一个线性变换
之后，我们可以借助於基底得到一个 ，其中，上标号是横标号，下标号是竖标号：
在这里我们使用了。现在我们利用
构造一个并矢张量
类似地也可以构造一个
，使之满足
。事实上，还可以证明
的——用基底来展开，就是说
结论证毕。
维欧几里得空间
上的所有的线性映射所构成的线性空间记为 ，则后者的维数为 . 由并矢张量和向量的缩併中的规则 (6) 和 (7) 不难得到
引理2. 映射
都是线性映射。
前面已经分析过，
根据引理2和引理1，我们就得到了
这就是说，对于欧几里得空间来说，它上面的并矢张量和线性变换可以互相等同。一般说来，用
作等同比较自然些。这种等同就是在中用所引入的指标升降法(尽管其中的线性空间是，但是方法是相似的)。具体来说，并矢张量是具有两个上指标的二阶反变张量，而线性变换则是一阶协变一阶反变的张量， 就是用度规张量把二阶反变张量的右指标降下来，而
则是把左边的反变指标降下来。
特别是，当
为时，，从而得到
上的单位张量（这是中的叫法，在中则常常被称为的逆）定义为与恒等映射相对应的那个并矢张量（不管是
还是 ，结果都一样），则它可以借助于基底展开为
在上述讨论过程中我们实际上没有真正用到内积的正定性，而真正实质性的条件有两点：（1）；（2） 可逆。所以欧几里德空间可以放松为
上带有一个的对称的线性空间。相对论中所用到的闵可夫斯基空间就是这样的。
Papanastasiou, Tasos C.; Georgios C. Georgiou, Andreas N. Alexandrou. Viscous Fluid Flow. CRC Press. 2000:  pp. 26-27.  .
Spencer, Anthony James Merrill. Continuum mechanics. Courier Dover Publications. 2004:  pp. 19-20.  .
Morse, P Feshbach, Herman, Methods of theoretical physics, Part 2, McGraw-Hill. 1953:  pp. 54-92,  
H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd ed., Addison-Wesley, Massachusetts 1980, p.194.
吳望一，《流體力學》上册，北京：北京大学出版社，节，1.14节。
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二维、三维向量内积的几何意义？望知道的人士能帮我解决下，谢谢啦！
ycycrfv2500
向量内积a.b代表两个向量对应坐标值相乘后相加，得到的是一个数，数值上等于两向量长度积乘以夹角的余弦几何上的应用：可以求两向量夹角；如果两向量内积为零，说明两向量垂直；一个向量对自己内积开方后是该向量长度向量外积a×b得到的是一个向量，一个行列式，以三维向量为例，等于|i
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