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2012江省数学竞赛《提优教程》教案：第11讲 极端原理.doc 10页
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2012江省数学竞赛《提优教程》教案：第11讲 极端原理
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考虑极端情况，是解决数学问题的非常重要的思考方式。在具体解题过程中，常用到的极端元素有：数集中的最大数与最小数；两点间或点到直线距离的最大值与最小值；图形的最大面积或最小面积；数列的最大项或最小项；含元素最多或最少的集合，等等。
运用极端原理解决问题的基本思路，就是通过考虑问题的极端情形下的结果及解决极端情形的方法，寻找出解决问题的一般思路与方法，使问题得以顺利解决。
例1在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( 　　)
(D) (1994 年全国高中联赛题)
分析　利用图形的极端位置解题。
解 当正n棱锥的顶点S向下无限趋近底面正n边形中心时, 所求值趋于π；当S向上运动, 趋向无穷远时, 正n棱锥趋于正n棱柱,所求值趋于正n边形的一个内角(即),故选A.
例2有201人参加一次考试，规定用百分制记分，得分为整数，证明：（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。
分析 考虑无三人得分相同时的得分取值情况。
解 无三人得分相同的最低分值为：2×(0+1+…99)+100=10000。
无三人得分相同的最高分值为：2×(1+2+…100)+ 0=10100。
即无三人得分相同时的得分取值情况为1，…，10100。所以（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。
说明 从极端情形考虑无三人得分相同的最低分值是得0，1，…，99分各2人，得100分1人；无三人得分相同的最高分值是得1，2，…，100分各2人，得0分1人。
1．已知长方形的4 个顶点A(0 ,0) ,B(2 ,0) ,C(2 ,1) 和D(0 , 1),一质点从AB 的中点P0 沿与AB夹角为θ的方向入射到BC上的点P1后依次反射到CD 、DA和AB上的点是P2 、P3和P4 (入射角等于反射角). 设P4的坐标为(x4 ,0),若1&x4&2 ,则tanθ的取值范围是( 　　)
(2003年全国高考题)
2．已知A(2 , 3) ,B ( -3 , -2), 若直线过点P(1 , 1), 且与线段AB相交, 则直线的斜率k的取值范围为( 　　)
(B) ≤k≤2.
(C) k≥2 或k≤
例3已知对任意正自然数n,不等式nlga& (n +1) lg ( a &0)恒成立, 求实数a的取值范围.
分析 用分离变量的方法处理恒成立的问题，即a&f(x)对任意x恒成立等价于a&max｛f(x)｝.
解　当lg a &0 ,即a &1 时, 则不等式对任意正自然数n 恒成立, 因为当n 无限增大时,n 无限接近于1 ,且&1 , 所以a &1 ;
当lg a &0 ,即0& a &1 时,要使对任意正自然数n 恒成立,因为的最小值为，所以a & ,即0& a & .
故所求实数a 的取值范围是0& a & 或a &1.
说明 本题考虑了取值中的极端情形，而极值的取得充分利用了函数f(n)= 单调递增的性质。
例4　已知二次函数y = ax2+ bx + c( a &0) 的图象经过M( 1-, 0),N ( 1+ , 0) , P (0 , k) 三点, 若∠MPN是钝角, 求a的取值范围.
分析　若利用余弦定理, 并由-1&cos∠MPN &0 ,则将得到一个较复杂的不等式. 我们从钝角的极端情形直角着手。
解　当∠M PN 为直角时, 则点P 在以MN 为直径的圆周⊙O1 上, 于是P是该圆与y轴的交点, 如图, 由勾股定理不难得k =±1 , ∴当∠M PN为钝角时, 点P在⊙O1内, 由a &0 知: 点P 应在y 轴的负半轴上. 把P (0 , k) 的坐标代入y = a( x -1+ )( x -1 -) 得a =-k, 因此,0& a &1.
说明 根据平面几何的知识∠MPN是钝角意味着P点在以MN为直径的圆内。
例5黑板上写着从1开始的n个连续正整数,擦去其中一个数后,其余各数的平均值是,求擦去的数.
此题的常规方法是转变为列出并处
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穷游大洋洲
新西兰 被拒签 全过程。。。 请大家吸取教训！！！
新西兰 被拒签 全过程。。。 请大家吸取教训！！！
8月1日，北京柜台送签。
6个人，两对夫妻（家庭A、家庭B），两个单身。4张1188表，6张1027表。
8月2日，网站显示受理。
8月5日，中午12点之前，已经有3个人接到了电调。。。
某男，单身。电话直接打了单位的座机（分机），前提是他所有的资料里只留了自己的手机，在职证明里人事的座机（直拨，无总机显示）。。。但真真的，电调的座机直接打到了他的座位上！！！
问了家庭关系，并且要求提供学历证明。。。还要求是学信网的~
某女，单身。情况同上，最终也是要求学历证明。。。
某女，已婚，家庭A主申请人。（与家庭B附属申请人某男同一公司），电调直接告知，在职证明有问题，经调查该公司没有这个人，同时还告知家庭B的某男也有问题。。。但是在职证明上留的电话一个都没打过，最后是通过前台随机转接人力某一职员分机得到的结论，该员工说不认识这个人。。。
最终收到邮件，要求提供社保证明，还需额外提供驾照，固定资产，股票什么的。。。
某男，已婚。家庭B附属申请人。（与家庭A主申请人某女同一公司），未被电调。没有邮件。
某男，已婚。家庭A附属申请人。未被电调，没有邮件。
某女，已婚。家庭B主申请人。未被电调，没有邮件。
目前网站显示，受理。。。
会怎样？？？
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下午四点，家庭B主申请人收到邮件，要求提供附属申请人在职资料。。。
六个人，四个补资料，四份申请都有问题。。。团灭啊！闹哪样？
难道跟拒绝进口奶粉有关？？？
我们护照上英，美，瑞，法，德的签证都有。。。资料行程单住宿驾照公证全齐，机票已付款。。。财产对帐单存款证明，房，车都提交了。。。还要怎样？？？
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8月7日 单身男、单身女 状态变为 护照已到签证中心。。。。
家庭A，家庭B
状态无变化
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8月8日 单身男、单身女已出签：
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8月9日 15:00
第二次电调！！！
某女，家庭B主申请人。 **是你丈夫么？
**的电话是多少？
**的工作单位是什么？
某男，家庭B附属申请人。
**是你太太么？她的生日是哪天？
你的工作单位是？
你的入职时间？单位地址？
你每天怎么去上班？哪个桥哪个出口？
你们公司所在的楼一共几层？（不是公司是哪层哟。。。是一共几层）
你们公司出了电梯向那边儿走？
谁给你开的在职证明？是什么职位？
还说你必须保持5分钟通话，你说的话我会记录下来，没有你说的这个人事经理，巴拉巴拉。。。。
我觉得吧，就是不信任，从第一次电调那个小孩说不认识开始，就已经下结论了。
后面什么补充资料啊，第二次电调啊，都没啥意义了。
这已经不是电调了，是审问
看来我们是凶多吉少了
，只是想写出来，给大家参考。。。
祈祷自己别碰上这么极品的VO~
请大家交申请前复习一下这些极品的问题，多做准备。。。
如果能对别人有帮助，也算我们的损失减少一点儿吧~~~
如此美好的国度，我已经一点儿向往都没有了。。。
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家庭A、家庭B
依然显示8月2日已收到资料。。。
听说 某女（家庭A的主申请人） 社保所在公司的 人事部门 收到调查电话。验证其工作情况。验证过程很顺利，但很费解的是在我们的资料里，好像除了社保机构代码以外，没有任何资料能显示那个公司电话更别说是人事了！！！ 难道是通过社保号查到的？好神奇。。。
不管怎么说，至少又调查了，是真的就不怕被调查。希望VO能确认了吧。。。
早知道这样，就应该把所有有关的单位名字和电话在资料上都写上好了。。。省的人家还得侦查，浪费彼此时间~~~
国企那错综复杂的人事关系啊
！！！ 神啊~ 饶了我们吧！
我们的资料都是真的，我们是去旅游的。。。哇哇哇
简直就是折磨和煎熬啊
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9点查还没变化；
10点的时候终于有动静了。家庭A、家庭B都变成
11点，签证中心给取护照的人 打电话，通知可取，同时又变化了状态
还是没看到结果。。。等等等。。。
杯具了。。。
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即使杯具了，还是细节和感受写出来吧~
我提交的资料：
上述资料都提交了，其中户口本、结婚证、身份证、驾照公证书的原件当场退还；存款证明的原件拒签后退还。剩下的都没有退还。
我补充的资料：
在接到使馆邮件后，又补充了2012年度社保对账单（有红章），月社保各项费用截屏，2012年1月至2013年7月税务局出具的完税证明，外加另一个房产证的复印件。
我的拒签理由：
我的经验教训：
1. 一定要根据公司全称查询一下114或者百度，打那个电话过去，找到接电话的人，跟她说你递交了新西兰使馆的旅游签证，可能会有人调查。
打这样的招呼就是避免接电话的人在不知情的情况下坏你的事。
2. 一定要去公司人事说一下你的目的地，请假时间。最好能跟所有人打招呼，如果公司结构复杂，在尽可能的条件下，跟每一个人说明。
因为你不知道最终使馆会找到谁。
3. 打公司总机电话，询问人事负责人（即使你明确知道这个人是谁，也不要告诉前台姓名，一定要看她会转接给谁）并请她转接。自己一定要明确，一般能接到这个电话的是谁。然后跟她打招呼，告知你的单位分机，你的手机，和你近期的动向（比如外出、外调、出差等）。
要确保这个人知道有你的存在，而且可以直接找到你。
4. 填写1027补充表中学历信息时，一定要查询“学信网”，跟那个一致，即使那个资料有可能不是最新的，也必须以那个为准。
我的损失：
1. 经济损失
新加坡航空北京-基督城（中转新加坡）往返机票 8250元/人
（6人 虽然被拒签的是4个人，但我们所有的行程都是一起安排的，而且出签的两个人完全没有自由行经验，不能独立成行）
境外旅游保险
保险目的地是新加坡、新西兰）
新西兰签证费用
1080元/申请
（4份 2份家庭、2份个人）
中信公证处
驾照英文公证
（2份 觉得两个司机会更轻松）
2. 时间损失
确定去新西兰旅游是今年1月的事，游记攻略、住宿等都一直在关注，花费很多精力。
机票是3月出票的
可想而知，我们后面的资料准备已经完全。
3. 精神损失
从2004年第一次自由行去英国开始，至今所有的签证、行程我都是独立完成的，一直顺利。
我的护照上有多次申根签证，德国、瑞士、法国；同样被拒的同伴还有美国、加拿大。
我至今不知道我们做错了什么。。。
如果二签，我们提供的资料肯定和一签一样，我不可能把自己变成老板、无业或者退休；根据拒签理由，她们不会再审核我们同样的资料。我也不可能申请工作、教育、商务签证。所以，我只能和新西兰say goodbye~~~
我想，我短期也许是一生，都不会去这个地方了。
我美好旅游心情，被破坏了。
我的抱怨：
我没办法改变新西兰签证官 Cecilia Zheng 的主观结论，她自有她的道理。
但我不满意她的傲慢态度，居高临下的口气，以及刑讯审问的态度和逻辑。她一开始已经下了结论，却不停审问我的同伴，要求新资料，不停骚扰公司不同部门。（除了最初她随意找到的人事小孩说没有这个人以外，其他所有调查都确实我的同伴有工作单位且为真）。如果她希望坚持自己的结论，就不该继续骚扰我们一周，且对后面的结论完全不考虑。
她的刑讯审问，影响了我们的正常工作、心情，为此我感到非常不愉快。
我会就她的态度和方式，向新西兰使馆投诉。
哇，还需要学历证明！
没救了？家庭B主申请人也收到邮件，要求提供附属申请人在职资料
LZ, 你们都有那么多国的签证了，应该没有问题的吧！肯定能过的。。。
rubycaolei
我也希望。。。 可是各种奇葩问题，各种补资料。。。 感觉就是不信任，不让去~
早知道不如去美加了，耽误时间和精力
要不说奇葩呢。。。
学历证明~ 还必须学信网！！！
是挺折腾的，这些补充材料跟行程又没有关系。。。
你算快的了，我7月22日材料到移民局上海办公室，8月6日才来电询问情况。
完了、我上次拒签说我工作有问题，
这次我是邮寄的、6号到签证处、现在还没电调.我也不乐观啊
旅个游调查学历是蛮奇葩的。
是真的不怕，会过的
rubycaolei
就是坏在这些中国籍调查员身上了，感觉她们还是个中介形式，也没有决定权。。。又不知道自己的目的是什么？ 无尽发挥“聪明才智”，真让人崩溃。。。
那是够慢的。。。
我这个倒不是速度的问题，是碰到克克博了
拒签是个直接拒的，还是让你补充了资料再拒的？
如果一份申请上有两个人，是一起拒还是分别的？
拒了以后，二签要隔多久？有要求么？
哎~ 我碰到的调查员极品。。。同行人公司的人事更极品。。。无语了。。。
是不是真的，都是她们的主观臆断了。。。
真不知道是不是能扭转乾坤~
为什么你们同事会说，没有这个人这样的话呢？
这样一说，他们当然会具体调查啦
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A ，否则称 x 不属于 A，记作 x ? A 。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别表示自 然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 ? 来 表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法： 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如{有理数}， {x x ? 0} 分别表示有理数集和正实数集。 定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素， 则 A 叫做 B 的子集，记为 A ? B ，例如 N ? Z 。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集， A ? B ? {x x ? A且x ? B}. 定义 4 并集， A ? B ? {x x ? A或x ? B}. 定义 5 补集，若 A ? I , 则C1 A ? {x x ? I , 且x ? A} 称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 差集， A \ B ? {x x ? A, 且x ? B} 。 定义 7 集合 {x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作开区间 (a, b) ，集合{x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作闭区间 [a, b] ，R 记作 (??,??).定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C，有： （1） A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); （2） A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ； （3） C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B); （4） C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B). 【证明】这里仅证（1）（3） 、 ，其余由读者自己完成。 （1） x ? A ? ( B ? C ) ， x ? A ， x ? B 或 x ? C ， 若 则 且 所以 x ? ( A ? B) 或 x ? ( A ? C ) ， 即 x ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ； 反之，x ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ， x ? ( A ? B) 或 x ? ( A ? C ) ， 则 即 x ? A 且 x ? B 或 x ? C ，即 x ? A 且 x ? ( B ? C ) ，即 x ? A ? ( B ? C ). （3） x ? C1 A ? C1 B ， x ? C1 A 或 x ? C1 B ， 若 则 所以 x ? A 或 x ? B ， 所以 x ? ( A ? B) ， 又 x ? I ，所以 x ? C1 ( A ? B) ，即 C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B) ，反之也有C1 ( A ? B) ? C1 A ? C1 B.定理 2 加法原理：做一件事有 n 类办法，第一类办法中有 m1 种不同的方法，第二类办法 中有 m 2 种不同的方法，…，第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。定理 3 乘法原理：做一件事分 n 个步骤，第一步有 m1 种不同的方法，第二步有 m 2 种不同 的方法，…，第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不 同的方法。 二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例 1 设 M ? {a a ? x ? y , x, y ? Z } ，求证：2 2（1） 2k ? 1 ? M , (k ? Z ) ； （2） 4k ? 2 ? M , (k ? Z ) ； （3）若 p ? M , q ? M ，则 pq ? M . [证明]（1）因为 k , k ?1 ? Z ，且 2k ? 1 ? k ? (k ? 1) ，所以 2k ? 1 ? M .2 2（2）假设 4k ? 2 ? M (k ? Z ) ，则存在 x, y ? Z ，使 4k ? 2 ? x ? y ， 由于 x ? y 和 x ? y2 2有相同的奇偶性，所以 x ? y ? ( x ? y )( x ? y) 是奇数或 4 的倍数，不可能等于 4k ? 2 ，2 2假设不成立，所以 4k ? 2 ? M . （3）设 p ? x ? y , q ? a ? b , x, y, a, b ? Z ，则 pq ? ( x ? y )( a ? b )2 2 2 2 2 2 2 2? a 2 a 2 ? y 2 b 2 ? x 2 b 2 ? y 2 a 2 ? ( xa ? yb) 2 ? ( xb ? ya) 2 ? M（因为 xa ? ya ? Z , xb ? ya ? Z ） 。 2．利用子集的定义证明集合相等，先证 A ? B ，再证 B ? A ，则 A=B。 例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足 。 A ? M ? B ? M ? A ? B, A ? B ? M ? A ? B ，求集合 M（用 A，B 表示） 【解】 先证 ( A ? B) ? M ， x ? ( A ? B) ， 若 因为 A ? M ? A ? B ， 所以 x ? A ? M , x ? M ， 所以 ( A ? B) ? M ； 再证 M ? ( A ? B) ，若 x ? M ，则 x ? A ? B ? M ? A ? B. 1）若 x ? A ，则x ? A ? M ? A ? B ；2）若 x ? B ，则 x ? B ? M ? A ? B 。所以 M ? ( A ? B).综上， M ? A ? B. 3．分类讨论思想的应用。 例3A ? {x x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0}, C ? {x x 2 ? mx ? 2 ? 0} ，若A ? B ? A, A ? C ? C ，求 a, m.【解】依题设， A ? {1,2} ，再由 x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 解得 x ? a ? 1 或 x ? 1， 因为 A ? B ? A ，所以 B ? A ，所以 a ?1 ? A ，所以 a ? 1 ? 1 或 2，所以 a ? 2 或 3。 因为 A ? C ? C ，所以 C ? A ，若 C ? ? ，则 ? ? m 2 ? 8 ? 0 ，即 ? 2 2 ? m ? 2 2 ，若 C ? ? ，则 1 ? C 或 2 ? C ，解得 m ? 3. 综上所述， a ? 2 或 a ? 3 ； m ? 3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 。 4．计数原理的应用。 例 4 集合 A，B，C 是 I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集， （1）若 A ? B ? I ， 求有序集合对（A，B）的个数； （2）求 I 的非空真子集的个数。 【解】 （1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；A\B，B\A， A ? B, I 中的每个元素恰属于其 中一个子集，10 个元素共有 310 种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合 对有 310 个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1 或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，…，第 10 步，0 也有两种，由 乘法原理，子集共有 210 ? 1024 个，非空真子集有 1022 个。 5．配对方法。 例 5 给定集合 I ? {1,2,3,?, n} 的 k 个子集： A1 , A2 , ? , Ak ，满足任何两个子集的交集非 空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求 k 的值。 【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得 2n ?1对，每一对不能同在这 k 个子集中，因此， k ? 2n ?1 ；其次，每一对中必有一个在这 k 个子集中出现，否则，若 有一对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设 A ? A1 ? ? ，则 A1 ? C1 A ，从而可以在 k 个子 集中再添加 C1 A ，与已知矛盾，所以 k ? 2 n ?1 。综上， k ? 2 n ?1 。 6．竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理；用 A 表示集合 A 的元素个数，则 A ? B ? A ? B ? A ? B ,A? B ?C ? A ? B ? C ? A? B ? A?C ? B ?C ? A? B ?C ， 需要 xy 此结论可以推广到 n 个集合的情况，即??Ai ?1ni? ? Ai ? ? Ai ? A j ?i ?1 i? jn1?i ? j ? k ? n?Ai ? A j ? Ak ? ? ? (?1) n ?1 ? Ai .i ?1n定义 8 集合的划分：若 A1 ? A2 ? ? ? An ? I ，且 Ai ? A j ? ?(1 ? i, j ? n, i ? j ) ，则 这些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。 定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理： mn ? 1 个元素放入 n(n ? 1) 个抽屉， 将 必有一个抽屉放有不少于 m ? 1 个 元素，也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素；将无穷多个元素放入 n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1，2，3，…，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。 【解】 记 I ? {1,2,3,?,100}, A ? {x 1 ? x ? 100 , 且x能被2整除（ 记为2 x）} ，B ? {x 1 ? x ? 100 ,3 x}, C ? {x 1 ? x ? 100 ,5 x} ，由容斥原理，?100 ? ?100 ? A? B ?C ? A ? B ? C ? A? B ? B ?C ? C ? A ? A? B ?C ? ? ??? ?? ? 2 ? ? 3 ??100 ? ?100 ? ?100 ? ?100 ? ?100 ? ? 5 ? ? ? 6 ? ? ? 10 ? ? ? 15 ? ? ? 30 ? ? 74 ，所以不能被 2，3，5 整除的数有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?I ? A ? B ? C ? 26 个。例 7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最 多含有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个数。 又因为 × 11+2，所以 S 一共至多含有 182× 5+2=912 个元素，另一方面，当S ? {r r ? 11k ? t , t ? 1,2,4,7,10, r ? 2004 , k ? N } 时， 恰有 S ? 912 ， S 满足题目条件， 且所以最少含有 912 个元素。 例8 求所有自然数 n(n ? 2) ，使得存在实数 a1 , a 2 , ?, a n 满足：{ ai ? a j }1 ? i ? j ? n} ? {1,2,?,n(n ? 1) }. 2【解】 当 n ? 2 时， a1 ? 0, a 2 ? 1 ；当 n ? 3 时， a1 ? 0, a 2 ? 1, a3 ? 3 ；当 n ? 4 时，a1 ? 0, a 2 ? 2, a3 ? 5, a 4 ? 1 。下证当 n ? 5 时，不存在 a1 , a 2 ,?, a n 满足条件。令 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ，则 a n ?n(n ? 1) . 2所以必存在某两个下标 i ? j ，使得 a i ? a j ? a n ? 1 ，所以 a n ? 1 ? a n ?1 ? a1 ? a n ?1 或a n ? 1 ? a n ? a 2 ，即 a 2 ? 1 ，所以 a n ?（）若 a n ?n(n ? 1) , a n?1 ? a n ? 1，考虑 a n ? 2 ，有 a n ? 2 ? a n?2 或 a n ? 2 ? a n ? a 2 ， 2n(n ? 1) n(n ? 1) ， a2 ? 1 。 , a n?1 ? a n ? 1或 an ? 2 2即 a 2 ? 2 ，设 a n ?2 ? a n ? 2 ，则 a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ? a n ?1 ，导致矛盾，故只有 a 2 ? 2. 考虑 a n ? 3 ，有 a n ? 3 ? a n ? 2 或 a n ? 3 ? a n ? a3 ，即 a3 ? 3 ，设 a n ? 3 ? a n ? 2 ，则a n ?1 ? a n ?2 ? 2 ? a 2 ? a0 ，推出矛盾，设 a3 ? 3 ，则 a n ? a n?1 ? 1 ? a3 ? a 2 ，又推出矛盾，所以 a n ?2 ? a 2 , n ? 4 故当 n ? 5 时，不存在满足条件的实数。 （）若 a n ?n(n ? 1) , a 2 ? 1，考虑 a n ? 2 ，有 a n ? 2 ? a n ?1 或 a n ? 2 ? a n ? a3 ，即 2这时 a3 ? a 2 ? a 2 ? a1 ， 推出矛盾， a n ?1 ? a n ? 2 。 故 考虑 a n ? 3 ， a n ? 3 ? a n ? 2 有 a3 ? 2 ， 或 an ? 3 ? an ? a 3 ，即 a 3 =3，于是 a3 ? a 2 ? a n ? a n ?1 ，矛盾。因此 a n ?2 ? a n ? 3 ，所以a n ?1 ? a n ?2 ? 1 ? a 2 ? a1 ，这又矛盾，所以只有 a n ?2 ? a 2 ，所以 n ? 4 。故当 n ? 5 时，不存在满足条件的实数。 例 9 设 A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在 A 中取三个数，B 中取两个 数组成五个元素的集合 Ai ， i ? 1,2, ?,20, Ai ? A j ? 2,1 ? i ? j ? 20 . 求 n 的最小值。 【解】 nmin ? 16. 设 B 中每个数在所有 Ai 中最多重复出现 k 次，则必有 k ? 4 。若不然，数 m 出现 k 次 （ k ? 4 ） 3k ? 12. 在 m 出现的所有 Ai 中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是 ，则 1，就有集合{1， a1 , a 2 , m, b1 } {1, a3 , a 4 , m, b2 }, {1, a5 , a6 , m, b3 } ，其中 ai ? A,1 ? i ? 6 ， 为满足题意的集合。a i 必各不相同， 但只能是 2， 4， 6 这 5 个数， 3， 5， 这不可能， 所以 k ? 4. 20 个 Ai 中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以 n ? 16 。当 n ? 16 时，如下 20 个集合满足要求： {1，2，3，7，8}， {1，3，4，10，11}， {1，4，6，13，16}， {2，3，6，14，16}， {3，4，5，12，16}，{1，2，4，12，14}， {1，3，5，13，14}， {1，5，6，8，11}， {2，4，5，8，10}， {3，4，6，8，9}，{1，2，5，15，16}， {1，3，6，12，15}， {2，3，4，13，15}， {2，4，6，7，11}， {3，5，6，7，10}，{1，2，6，9，10}， {1，4，5，7，9}， {2，3，5，9，11}， {2，5，6，12，13}， {4，5，6，14，15}。例 10 集合{1，2，…，3n}可以划分成 n 个互不相交的三元集合 {x, y, z} ，其中 x ? y ? 3z ， 求满足条件的最小正整数 n. 【解】 设其中第 i 个三元集为 {xi , y, z i }, i ? 1,2, ?, n, 则 1+2+…+ 3n ?? 4zi ?1ni,所以n 3n(3n ? 1) 当 有 所以 n ? 8 ， n 为奇数时， 8 3n ? 1 ， 当 有 ? 4? z i 。 n 为偶数时， 8 3n ， 2 i ?1所以 n ? 5 ，当 n ? 5 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10， 14，8}满足条件，所以 n 的最小值为 5。第二章 二次函数与命题 一、基础知识 1．二次函数：当 a ? 0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴 为直线 x=-b b ，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=，下同。 2a 2a2．二次函数的性质：当 a&0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量 x 增大 函数值减小（简称递减） ，在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a&0 时， 情况相反。 3．当 a&0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c&0?②及 ax2+bx+c&0?③与 函数 f(x)的关系如下（记△=b2-4ac） 。 1）当△&0 时，方程①有两个不等实根，设 x1,x2(x1&x2)，不等式②和不等式③的解集分别是 {x|x&x1 或 x&x2}和{x|x1&x&x2}，二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2）当△=0 时，方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0= ? {x|x ? ?b ,不等式②和不等式③的解集分别是 2a3）当△&0 时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 ? .f(x)图象与 x 轴无公 共点。 当 a&0 时，请读者自己分析。 4． 二次函数的最值： a&0， x=x0 时， 若 当 f(x)取最小值 f(x0)=b }和空集 ? ，f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 2a4ac ? b 2 b ,若 a&0， 则当 x=x0= ? 4a 2a时，f(x)取最大值 f(x0)=4ac ? b 2 .对于给定区间[m,n]上的二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a&0)，当 4ax0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0); 当 x0&m 时。f(x)在[m, n]上的最小值为 f(m)； 当 x0&n 时，f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出） 。 定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“3&5”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联 结词“或”“且”“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合 、 、 命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题； 且 q”复合命 “p 题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q； 逆否命题：若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 p ? q 否则记作 p ? q.在命题“若 p 则 q”中， 如果已知 p ? q,则 p 是 q 的充分条件；如果 q ? p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 p ? q 但 q 不 ? p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 ? q 但 p ? q，则 p 称为 q 的必要非充 分条件；若 p ? q 且 q ? p，则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1．待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是α ，β ，求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x).【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a ? 0), 则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得（α -β ）[（α +β ）a+b+1]=0， 因为方程 x2-x+1=0 中△ ? 0， 所以α ? β ，所以(α +β )a+b+1=0. 又α +β =1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1， 所以 c-1=1，所以 c=2. 又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f(α )=β 得 aα 2-(a+1)α +2=β , 所以 aα 2-aα +2=α +β =1，所以 aα 2-aα +1=0. 即 a(α 2-α +1)+1-a=0,即 1-a=0， 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2．方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4?f(1)?-1, -1?f(2)?5，求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4?f(1)=a-c?-1, 所以 1?-f(1)=c-a?4.8 5 f(2)- f(1), 3 3 8 5 8 5 所以 ×(-1)+ ?f(3)? × 5+ × 4, 3 3 3 3又-1?f(2)=4a-c?5, f(3)= 所以-1?f(3)?20. 3．利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a ? 0)， 若方程 f(x)=x 无实根， 求证： 方程 f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若 a&0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口 向上，所以对任意的 x∈R,f(x)-x&0 即 f(x)&x，从而 f(f(x))&f(x)。 所以 f(f(x))&x，所以方程 f(f(x))=x 无实根。 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4．利用二次函数表达式解题。 例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a&0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0&x1&x2& （Ⅰ）当 x∈(0, x1)时，求证：x&f(x)&x1； （Ⅱ）设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称，求证：x0&1 , ax1 . 2【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. （Ⅰ）当 x∈(0, x1)时，x-x1&0, x-x2&0, a&0，所以 f(x)&x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+1 ]&0，所以 f(x)&x1. a综上，x&f(x)&x1. （Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,所以 x0=a( x1 ? x 2 ) ? 1 x1 ? x 2 1 , ? ? 2a 2 2ax1 x 1 1? 1? ? 2 ? ? ? x2 ? ? ? 0 ， 2 2 2a 2 ? a?所以 x0 ?所以 x 0 ?x1 . 25．构造二次函数解题。 例 5 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a&1，求证：方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2&0, f(-1)=(a-1)2&0, f(0)=1-a2&0, 即△&0， 所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 6．定义在区间上的二次函数的最值。 例 6 当 x 取何值时，函数 y=x4 ? x2 ? 5 取最小值？求出这个最小值。 ( x 2 ? 1) 2【解】 y=1-1 1 5 ,令 2 ? 2 ? u,则 0&u?1。 2 x ? 1 ( x ? 1) x ?1221? 19 19 ? y=5u -u+1=5 ? u ? , ? ? ? 10 ? 20 20 ?2且当 u ?1 19 即 x= ? 3 时，ymin= . 10 20 1 ，求 b 的值。 2例 7 设变量 x 满足 x2+bx?-x(b&-1)，并且 x2+bx 的最小值是 ? 【解】 由 x2+bx?-x(b&-1)，得 0?x?-(b+1). )-b2 b2 1 b ,? ? ? ，所以 b2=2，所以 b ? ? 2 ?-(b+1)， b?-2 时， 2+bx 的最小值为即 x 4 4 2 2（舍去） 。b &-(b+1)，即 b&-2 时，x2+bx 在[0，-(b+1)]上是减函数， 2 1 3 所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=- ,b=- . 2 2 3 综上，b=- . 2) 7.一元二次不等式问题的解法。 例 8 已知不等式组 ??x 2 ? x ? a ? a 2 ? 0 ? x ? 2a ? 1①②的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a?0，则 x1&x2.①的解集为 a&x&1-a，由②得 x&1-2a. 因为 1-2a?1-a，所以 a?0,所以不等式组无解。 若 a&0，）当 0&a&1 时，x1&x2,①的解集为 a&x&1-a. 2因为 0&a&x&1-a&1，所以不等式组无整数解。1 时，a=1-a，①无解。 2 1 ）当 a& 时，a&1-a，由②得 x&1-2a， 2）当 a= 所以不等式组的解集为 1-a&x&a. 又不等式组的整数解恰有 2 个， 所以 a-(1-a)&1 且 a-(1-a)?3， 所以 1&a?2，并且当 1&a?2 时，不等式组恰有两个整数解 0，1。 综上，a 的取值范围是 1&a?2. 8．充分性与必要性。 例 9 设定数 A，B，C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)?0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立，问 A，B，C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且 限定用只涉及 A，B，C 的等式或不等式表示条件） 【解】 充要条件为 A，B，C?0 且 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA). 先证必要性，①可改写为 A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2?0 ② 若 A=0，则由②对一切 x,y,z∈R 成立，则只有 B=C，再由①知 B=C=0，若 A ? 0，则因为② 恒成立， 所以 A&0， △=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2?0 恒成立， 所以(B-A-C)2-4AC?0， A2+B2+C2 即 ?2(AB+BC+CA) 同理有 B?0，C?0，所以必要性成立。 再证充分性，若 A?0，B?0，C?0 且 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA)， 1）若 A=0，则由 B2+C2?2BC 得(B-C)2?0，所以 B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）若 A&0，则由③知△?0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 9．常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|?|a+b|?|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|?a?|a|,-|b|?b?|b|，所以-(|a|+|b|)?a+b?|a|+|b|, 所以|a+b|?|a|+|b|（注：若 m&0，则-m?x?m 等价于|x|?m）. 又|a|=|a+b-b|?|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|?|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,b∈R, 则 a2+b2?2ab；若 x,y∈R+,则 x+y? 2 xy . (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 第三章 函数 一、基础知识 定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: A→B 为一个映射。 定义 2 单射，若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x ? y, 都有 f(x) ? f(y)则称之为单射。 定义 3 满射，若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B，都有一个 x∈A 使得 f(x)=y，则称 f: A→B 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射，若 f: A→B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射，记作 f-1: A→B。 定义 5 函数，映射 f: A→B 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定 义域，若 x∈A, y∈B，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集 合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义 的未知数的取值范围，如函数 y=3 x -1 的定义域为{x|x?0,x∈R}. 定义 6 反函数，若函数 f: A→B（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: A→B 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 y=1 1 的反函数是 y=1- (x ? 0). 1? x x定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 7 函数的性质。 （1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1& x2，总有 f(x1)&f(x2) (f(x)&f(x2))，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。 （2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的 x ∈D，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 x∈D，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶 函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 （3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数 时，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小 的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 a&b，则数集{x|a&x&b, x∈R}叫做开区间，记作（a,b） ，集合{x|a?x?b,x ∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|a&x?b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a?x&b}记作半闭半 开区间[a, b)，集合{x|x&a}记作开区间（a, +∞） ，集合{x|x?a}记作半开半闭区间（-∞,a]. 定义 9 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义 域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b&0)； （1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象； （2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象； （3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象； （4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称； （5）与函数 y=-f(-x) -1 的图象关于原点成中心对称； 与函数 y=f (x)的图象关于直线 y=x 对称； 与函数 y=-f(x) （6） （7） 的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性，记住四个字： “同增异减” 。例如 y= ∞,2）上是减函数，y=1 , u=2-x 在（2? x1 1 在（0，+∞）上是减函数，所以 y= 在（-∞,2）上是增函数。 u 2? x注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1．数形结合法。 y 1 x x 1 x1 的正根的个数. x 1 【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 的图象， 由图象可知两者有唯一交点， 所以方程有一个正根。 x例 1 求方程|x-1|=4 2 例 2 求函数 f(x)= x ? 3 x ? 6 x ? 13 ?x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。2 2 2 2 2 2 【解】 f(x)= ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? ( x ? 0) ，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ，B（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。 因为|PA|-|PA|?|AB|= 3 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? 10 ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时 等号成立。 所以 f(x)max= 10 . 2.函数性质的应用。2 ? ?( x ? 1) ? 1997 ( x ? 1) ? ?1 例 3 设 x, y∈R，且满足 ? ，求 x+y. ?( y ? 1) 3 ? 1997 ( y ? 1) ? 1 ?【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若 a&b，则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)&0，所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)&0，求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设 f(1-a)&f(a2-1)。 又 f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1&1-a&a2-1&1，解得 0&a&1。 例 5 设 f(x)是定义在 （-∞， +∞） 上以 2 为周期的函数， k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1]， 对 2 已知当 x∈I0 时，f(x)=x ，求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik，则 2k-1&x?2k+1， 所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数， 所以当 x∈Ik 时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例 6 解方程：(3x-1)( 9 x ? 6 x ? 5 ? 1 )+(2x-3)( 4 x ? 12 x ? 13 +1)=0.22【解】 令 m=3x-1, n=2x-3，方程化为 m( m ? 4 +1)+n( n ? 4 +1)=0.22①若 m=0，则由①得 n=0，但 m, n 不同时为 0，所以 m ? 0, n ? 0. )若 m&0， 则由①得 n&0， f(t)=t( t ? 4 +1),则 f(t)在 设 （0， +∞） 上是增函数。 f(m)=f(-n)， 又24 5 4 )若 m&0，且 n&0。同理有 m+n=0,x= ,但与 m&0 矛盾。 5 4 综上，方程有唯一实数解 x= . 5所以 m=-n，所以 3x-1+2x-3=0，所以 x= . 3.配方法。 例 7 求函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域。1 [2x+1+2 2 x ? 1 +1]-1 2 1 1 1 = ( 2 x ? 1 +1)-1? -1=- . 2 2 2 1 1 1 当 x=- 时，y 取最小值- ，所以函数值域是[- ，+∞） 。 2 2 2【解】 y=x+ 2 x ? 1 = 4．换元法。 例 8 求函数 y=( 1 ? x + 1 ? x +2)( 1 ? x +1),x∈[0,1]的值域。2【解】令 1 ? x + 1 ? x =u，因为 x∈[0,1]，所以 2?u2=2+2 1 ? x ?4,所以 2 ?u?2,2u2 2 ?2 u?2 u?2 2 所以 ? ?2，1? ?2，所以 y= ,u ∈[ 2 +2，8]。 2 2 2 2所以该函数值域为[2+ 2 ，8]。 5．判别式法。 例 9 求函数 y=x 2 ? 3x ? 4 的值域。 x 2 ? 3x ? 4【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当 y ? 1 时，①式是关于 x 的方程有实根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2?0，解得1 ?y?1. 7又当 y=1 时，存在 x=0 使解析式成立， 所以函数值域为[1 ，7]。 76．关于反函数。 例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证： y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设 x1&x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则 x1=f(y1), x2=f(y2)，若 y1?y2，则因为 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，所以 x1?x2 与假设矛盾，所以 y1&y2。 即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。 例 11 设函数 f(x)= 44x ? 1 ，解方程：f(x)=f-1(x). 3x ? 2【解】 首先 f(x)定义域为（-∞，-2 1 ）∪[- ，+∞） ；其次，设 x1, x2 是定义域内变量，且 3 4x1&x2&-5( x 2 ? x1 ) 2 4 x 2 ? 1 4 x1 ? 1 ? ; = &0, 3 3 x 2 ? 2 3x1 ? 2 (3x 2 ? 2)(3x1 ? 2)2 1 ）上递增，同理 f(x)在[- ，+∞）上递增。 3 4所以 f(x)在（-∞，-在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y?0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x?0,所以 x,y∈ [-若 x ? y，设 x&y，则 f(x)=y&f(y)=x，矛盾。 同理若 x&y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x，化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为 x?0，所以 3x4+5x3+5x2+5x+1&0，所以 x=1. 第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如 y=ax(a&0, a ? 1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为 （0，+∞） ，当 0&a&1 时，y=ax 是减函数，当 a&1 时，y=ax 为增函数，它的图象恒过定点（0， 1） 。 2．分数指数幂： a1 n1 ，+∞）. 4? a,anm n? a ,an m?n1 ? ? n ,a n ? am1n。am3． 对数函数及其性质： 形如 y=logax(a&0, a ? 1)的函数叫做对数函数， 其定义域为 （0， +∞） ， 值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 0&a&1，y=logax 为减函数，当 a&1 时，y=logax 为增函数。 4．对数的性质（M&0, N&0） ； x 1）a =M ? x=logaM(a&0, a ? 1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； 3）loga（nM ）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M； ， N5）logalog c b 1 M = loga M；6）aloga M=M; 7) loga b= (a,b,c&0, a, c ? 1). log c a na x5. 函数 y=x+ （a&0） 的单调递增区间是 ? ?,? a 和 和 0, a 。 （请读者自己用定义证明）?? ?a ,?? ，单调递减区间为 ? a ,0?????6．连续函数的性质：若 a&b, f(x)在[a, b]上连续，且 f(a)?f(b)&0，则 f(x)=0 在（a,b）上至少 有一个实根。 二、方法与例题 1．构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1&0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则 f(x)是关于 x 的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证 f(-1)&0 且 f(1)&0（因为-1&a&1）. 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)&0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)&0， 所以 f(a)&0，即 ab+bc+ca+1&0. 例 2 （柯西不等式） a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数， 1, b2,?,bn∈R， （ 若 b 则?ai ?1n2 i） ? （?bi ?1n2 i）?(?a bi ?1 ini)2，等号当且仅当存在 ? ? R，使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n 时成立。n【证明】 令 f(x)= （? ai2 ）x2-2( ? ai bi )x+ ? bi2 = ? (ai x ? bi ) 2 ,i ?1nnni ?1i ?1i ?1因为?ai ?1n2 i&0，且对任意 x∈R, f(x)?0，所以△=4(? ai bi )-4（ ? ai2 ）( ? bi2 )?0.i ?1i ?1 i ?1 n nnnn展开得（? ai2 ）( ? bi2 )?( ? ai bi )2。i ?1 i ?1ni ?1等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在 ? ，使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n。 例 3 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2]，求 u= ? x ?? ?1 ?? 1? ?? y ? ? 的最小值。 ? x ?? y? ?【解】u= ? x ?? ?1 ?? 1? x y 1 1 x y ? ?? y ? ? =xy+ ? ? ?xy+ +2? ? ? y x x ?? y? xy y x xy=xy+1 +2. xy令 xy=t，则 0&t=xy?( x ? y) 2 c 2 c2 1 ? ,设 f(t)=t+ ,0&t? . 4 4 4 t? c2 ? c2 因为 0&c?2，所以 0& ?1，所以 f(t)在 ? 0, ? 上单调递减。 ? 4 4 ? ?c2 c2 4 c2 4 所以 f(t)min=f( )= + ，所以 u? + +2. 4 4 c2 4 c2当 x=y=c2 4 c 时，等号成立. 所以 u 的最小值为 + +2. 4 c2 22．指数和对数的运算技巧。 例 4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q)，求q 的值。 p【解】 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t，则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t，?4? ?4? 所以 9 +12 =16 ，即 1+ ? ? ? ? ? . ?3? ?3?t t tt2tq 12 t ? 4 ? 1? 5 记 x= ? t ? ? ? ，则 1+x=x2，解得 x ? . p 9 2 ?3?又tq q 1? 5 &0，所以 = . 2 p p1 1 1 1 ? ? ? ，求 x y z w例 5 对于正整数 a, b, c(a?b?c)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且 证：a+b=c. 【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以1 1 1 1 1 1 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70， y x z w w w?1 1 1? 1 1 1 1 1 (lga+lgb+lgc)= ? ? ? ? lg70，由题设 ? ? ? ， ?x y z? x y z w w ? ?相加得所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a&1. 又 a?b?c，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x ? 1, ac ? 1, a ? 1, c ? 1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得log a x ?log a x 2 log a x ? ， log a c log a b因为 ac&0, ac ? 1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。 值得注意的是函数单调 性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为 ? ? ? ? ? ? ? ? =1。设 f(x)= ? ? ? ? ? ? ? ? , 则 f(x)在(-?1? ?2?x?2? ?3?x?5? ?6?x?1? ?2?x?2? ?3?x?5? ?6?x∞,+∞)上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3.? x ? y ? y 12 ?x 例 8 解方程组： ? x ? y （其中 x, y∈R+）. 3 ?y ?x ?【解】 两边取对数，则原方程组可化为 ??( x ? y ) lg x ? 12 lg y . ?( x ? y ) lg y ? 3glx①②把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6， 代入①得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y&0，所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 ?? ? ? x1 ? 1 ? x 2 ? 4 ;? . ? y1 ? 1 ? y 2 ? 2 ? ?例 9 已知 a&0, a ? 1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。?( x ? ak ) 2 ? x 2 ? a 2 ? 【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足 ? x ? ak ? 0 .①②③ ?x 2 ? a 2 ? 0 ?若①、②同时成立，则③必成立， 故只需解 ??( x ? ak ) 2 ? x 2 ? a 2 ? x ? ak ? 0.由①可得 2kx=a(1+k2)， ④ 当 k=0 时，④无解；当 k ? 0 时，④的解是 x=a(1 ? k 2 ) 1? k 2 ，代入②得 &k. 2k 2k若 k&0，则 k2&1，所以 k&-1；若 k&0，则 k2&1，所以 0&k&1. 综上，当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。 第五章 数列 一、基础知识 定义 1 数列，按顺序给出的一列数，例如 1，2，3，?，n，?. 数列分有穷数列和无穷数 列两种，数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,?，an 或 a1, a2, a3,?，an?。其中 a1 叫做数 列的首项，an 是关于 n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理 1 若 Sn 表示{an}的前 n 项和，则 S1=a1, 当 n&1 时，an=Sn-Sn-1. 定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n，都有 an+1-an=d（常数） ，则{an}称为等差数列， d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列，即 2b=a+c，则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若公差 为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质：1）通项公式 an=a1+(n-1)d；2）前 n 项和公式： Sn=n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d ；3）an-am=(n-m)d，其中 n, m 为正整数；4）若 n+m=p+q， 2 2则 an+am=ap+aq；5）对任意正整数 p, q，恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若 A，B 至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn. 定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n，都有 比。a n ?1 ? q ，则{an}称为等比数列，q 叫做公 ana1 (1 ? q n ) 定理 3 等比数列的性质：1）an=a1q ；2）前 n 项和 Sn，当 q ? 1 时，Sn= ；当 1? qn-1q=1 时，Sn=na1；3）如果 a, b, c 成等比数列，即 b2=ac(b ? 0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项；4） 若 m+n=p+q，则 aman=apaq。 定义 4 极限，给定数列{an}和实数 A，若对任意的 ? &0，存在 M，对任意的 n&M(n∈N), 都有|an-A|& ? ，则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限，记作 lim a n ? A.n??定义 5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比 q 满足|q|&1，则称之为无穷递增等比数 列，其前 n 项和 Sn 的极限（即其所有项的和）为a1 （由极限的定义可得） 。 1? q定理 3 第一数学归纳法：给定命题 p(n)，若： （1）p(n0)成立； （2）当 p(n)时 n=k 成立时能 推出 p(n)对 n=k+1 成立，则由（1）（2）可得命题 p(n)对一切自然数 n?n0 成立。 ， 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法：给定命题 p(n)，若： （1）p(n0)成立； （2）当 p(n)对一切 n?k 的自 然数 n 都成立时（k?n0）可推出 p(k+1)成立，则由（1）（2）可得命题 p(n)对一切自然数 n ， ?n0 成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为α , β :(1)若α ? β ，则 xn=c1an-1+c2β n-1，其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的值确定；(2)若α =β ， 则 xn=(c1n+c2) α n-1，其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律， 当然结论未必都是正确的， 但却是人类探 索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例 1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明） ；1）0，3，8，15，24，35，?；2）1，5， 19，65，?；3）-1，0，3，8，15，?。 【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n. 例 2 已知数列{an}满足 a1= 【解】 因为 a1=1 ,a1+a2+?+an=n2an, n?1，求通项 an. 21 ,又 a1+a2=22?a2, 2所以 a2=a ?a 1 1 1 ，a3= ? 2 2 ? ,猜想 a n ? (n?1). n(n ? 1) 3? 2 3 ?1 3? 41 ，猜想正确。2）假设当 n?k 时猜想成立。 2 ?1证明；1）当 n=1 时，a1=当 n=k+1 时，由归纳假设及题设，a1+ a1+?+a1=[(k+1)2-1] ak+1,，所以1 1 1 =k(k+2)ak+1, ? ?? ? 2 ?1 3 ? 2 k ? (k ? 1)1 1 1 1 1 =k(k+2)ak+1, ? ? ??? ? 2 2 3 k k ?1即1 ? 所以1 k =k(k+2)ak+1,所以 ak+1= . (k ? 1)( k ? 2) k ?1 1 . n(n ? 1)1 ，求证：对任意 n∈N+,有 an&1. an由数学归纳法可得猜想成立，所以 a n ?例 3 设 0&a&1，数列{an}满足 an=1+a, an-1=a+【证明】 证明更强的结论：1&an?1+a. 1)当 n=1 时，1&a1=1+a，①式成立； 2)假设 n=k 时，①式成立，即 1&an?1+a，则当 n=k+1 时，有1 ? a ? a k ?1 ?1 1 1? a ? a2 1? a ?a? ?a ? ? ? 1. 1? a 1? a 1? a ak由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。 2．迭代法。 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立，因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 等，这种办法通常称迭代或递推。 例 4 数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, n?3，q ? 0，求证：存在常数 c，使得2 2 a n ?1 ? pan ?1 ?an+ qan ? cq n ? 0.2 2 2 2 【证明】 a n ?1 ? pan ?1 ?an+1+ qan ?1 ? a n ? 2 (pan+1+an+2)+ qan ?1 =an+2?(-qan)+ qan ?1 =2 2 2 2 q(a n ?1 ? a n a n ? 2 ) ? q[a n ?1 +an(pqn+1+qan)]=q( a n ?1 ? pan ?1 a n ? qan ).2 2 若 a 2 ? pa2 a1 ? qa1 =0，则对任意 n, a n ?1 ? pan ?1 a n + qan =0，取 c=0 即可.222 2 2 若 a 2 ? pa2 a1 ? qa1 ? 0， a n ?1 ? pan ?1 a n + qan }是首项为 a 2 ? pa2 a1 ? qa1 ， 则{ 2 公式为 q22的等比数列。2 2 所以 a n ?1 ? pan ?1 a n + qan = (a 2 ? pa2 a1 ? qa1 ) ?qn.22取 c ? ?(a 2 ? pa1 a 2 ? qa1 ) ?2 21 即可. q综上，结论成立。 例 5 已知 a1=0, an+1=5an+ 24 a n ? 1 ，求证：an 都是整数，n∈N+.2【证明】因为 a1=0, a2=1，所以由题设知当 n?1 时 an+1&an.2又由 an+1=5an+ 24 a n ? 1 移项、平方得2 2 a n ?1 ? 10 a n a n ?1 ? a n ? 1 ? 0.①2 2 当 n?2 时，把①式中的 n 换成 n-1 得 a n ? 10 a n a n ?1 ? a n ?1 ? 1 ? 0 ，即 2 2 a n ?1 ? 10 a n a n ?1 ? a n ? 1 ? 0.②2 因为 an-1&an+1，所以①式和②式说明 an-1, an+1 是方程 x2-10anx+ a n -1=0 的两个不等根。由韦达定理得 an+1+ an-1=10an(n?2). 再由 a1=0, a2=1 及③式可知，当 n∈N+时，an 都是整数。 3．数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 例 6 已知 an=1 (n=1, 2, ?)，求 S99=a1+a2+?+a99. 4 ? 2100n【解】 因为 an+a100-n=2 ? 2100 ? 4 n ? 4100? n 1 1 1 ? 100 ， + 100?n = 100 100 n 100? n n 100 100 4 ? 2 ? 2 (4 ? 4 ) 2 4 ?2 4 ?2所以 S99=1 99 1 99 99 ? (an ? a100?n ) ? 2 ? 2100 ? 2101 . 2 n ?1例 7 求和： S n ?1 1 1 +?+ . ? n(n ? 1)( n ? 2) 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 1 k ?2?k ? k (k ? 1)( k ? 2) 2k (k ? 1)( k ? 2)【解】 一般地，?? 1? 1 1 ? ? k (k ? 1) ? (k ? 1)( k ? 2) ? ， ? 2? ?所以 Sn=? k (k ? 1)(k ? 2)k ?1n1?? 1? 1 1 1 1 1 1 ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) ? (n ? 1)( n ? 2) ? 2? ? ? 1 ?1 1 ? 2 ? (n ? 1)( n ? 2) ? 2? ???1 1 ? . 4 2(n ? 1)( n ? 2)例 8 已知数列{an}满足 a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn 为数列 ?? an ? 的前 n 项和，求证：Sn&2。 n ? ?2 ?【证明】 由递推公式可知，数列{an}前几项为 1，1，2，3，5，8，13。 因为 S n ?a 1 1 2 3 5 8 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ??? n ， 2 2 2 2 2 2 2n①所以a 1 1 2 3 5 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? nn 1 。 2 2 2 2 2 2 ?a 1 1 1 ?1 1 S n ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? n?2 ?2 2 2 2 2 ? 2 n?2 ? an ? ? n ?1 ， ? 2 ?②由①-②得所以a 1 1 1 S n ? ? S n ?2 ? nn 1 。 2 2 4 2?又因为 Sn-2&Sn 且 所以an &0, 2 n ?11 1 1 1 1 S n ? ? Sn, 所以 S n ? ， 2 2 4 4 2所以 Sn&2，得证。 4．特征方程法。 例 9 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求 an. 【解】 由特征方程 x2=4x-4 得 x1=x2=2. 故设 an=(α +β n)?2n-1，其中 ??3 ? ? ? ? ， ?6 ? (? ? 2 ? ) ? 2所以α =3，β =0， 所以 an=3?2n-1. 例 10 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项 an. 【解】 由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=-1, 所以 an=α ?3n+β ?(-1)n，其中 ??3 ? 3? ? ? ， ?6 ? 9? ? ?3 3 ，β ? ? ， 4 4 1 所以 a n ? [3 n ?1 ? (?1) n ?1 ?3]。 4解得α = 5．构造等差或等比数列。 例 11 正数列 a0,a1,?,an,?满足 a n a n ? 2 ?a n ?1 a n ? 2 =2an-1(n?2)且 a0=a1=1，求通项。【解】 由 a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ? 2 ? 2a n ?1 得an a ? 2 n ?1 =1， a n ?1 a n?2即? a ? an ? 1 ? 2? n ?1 ? 1?. ? an?2 ? a n ?1 ? ?an a1 +1，则{bn}是首项为 +1=2，公比为 2 的等比数列， a n ?1 a0令 bn=所以 bn=a an +1=2n，所以 n =（2n-1）2， a n ?1 a n ?1n an a a a ? n ?1 ? 2 ? 1 ?a0= ? (2 k ? 1) 2 . a n ?1 a n ? 2 a1 a0 k ?1所以 an=注：?Ci ?1ni? C1?C2???Cn.2 xn ? 2 ,n∈N+, 求通项。 2 xn例 12已知数列{xn}满足 x1=2, xn+1=【解】 考虑函数 f(x)=x2 ? 2 x2 ? 2 的不动点，由 =x 得 x= ? 2 . 2x 2x2 xn ? 2 因为 x1=2, xn+1= ,可知{xn}的每项均为正数。 2 xn2 又 x n +2? 2 2 x n ，所以 xn+1? 2 (n?1)。又Xn+1- 2 =2 xn ? 2 (x ? 2)2 ? 2= n , 2 xn 2 xn 2 xn ? 2 (x ? 2)2 ? 2= n , 2 xn 2 xn①Xn+1+ 2 =②?x ? 2? 由①÷②得 ?? n ? 。 xn?1 ? 2 ? xn ? 2 ? ? ? xn ?1 ? 2又2③x1 ? 2 x1 ? 2&0，由③可知对任意 n∈N+，xn ? 2 xn ? 2&0 且 lg ?? x n ?1 ? 2 ? ? xn ? 2 ? ? ? 2 lg ? ?, ? x n ?1 ? 2 ? ? xn ? 2 ? ? ? ? ?所以 lg ?? xn ? 2 ? ?2 ? 2 ? ? 是首项为 lg ? ? ，公比为 2 的等比数列。 ? xn ? 2 ? ?2 ? 2 ? ? ??2 ? 2 ? xn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 n ?1 ? lg ? ?? 所以 lg ? ，所以 ? xn ? 2 xn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2? 2? ?xn ? 22 n ?1，解得 x n ?2?(2 ? 2 ) (2 ? 2 )2 n ?1 2 n ?1? (2 ? 2 ) ? (2 ? 2 )2 n ?1 2 n ?1。注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。 第六章 三角函数 一、基础知识 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则 角为正角， 若旋转方向为顺时针方向， 则角为负角， 若不旋转则为零角。 角的大小是任意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对 的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|α |=L , r其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数， 在直角坐标平面内， 把角α 的顶点放在原点， 始边与 x 轴的正半轴重合， 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y） ，到原点的距离为 r,则正 弦函数 sinα =x y y x ,余弦函数 cosα = ,正切函数 tanα = ， 余切函数 cotα = ， 正割函数 sec y r x rα =r r ,余割函数 cscα = . y x1 1 1 ,sinα = ， cosα = ； cot? csc? sec?定理 1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系： tanα = 商数关系：tanα =sin ? cos? ；乘积关系：tanα ×cosα =sinα ,cotα ×sinα =cos , cot? ? cos? sin ?α ；平方关系：sin2α +cos2α =1, tan2α +1=sec2α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式（Ⅰ）sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα , cot(π+α )=cot α ;（Ⅱ）sin(-α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; （Ⅲ）sin(π-α )=sin α , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα , cot(π-α )=-cotα ; （Ⅳ）sin ??? ? ? ? ? =cosα , ?2 ?cos ??? ? ?? ? 。 ? ? ? =sinα , tan ? ? ? ? =cotα （奇变偶不变，符号看象限） ?2 ? ?2 ?定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间? ?? ? 3 ? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? 上为增函数，在区间 ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? 上为减函数，最小正周期 ? ? ? ?为 2 ? . 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+ 取最小值-1。对称性：直线 x=k ? +? 均为其对称轴，点（k ? , 0）均为其对称中心，值域为 2? ? 时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k ? - 时, y 2 2[-1，1]。这里 k∈Z. 定理 4 余弦函数的性质， 根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。 单调区间： 在区间[2kπ, 2kπ+π] 上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性：偶函数。对称性： 直线 x=kπ 均为其对称轴，点 ? k? ?? ??? ,0 ? 均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2kπ 时，y 2 ?取最大值 1；当且仅当 x=2kπ-π 时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里 k∈Z.? ? ? )在开区间(kπ- , kπ+ )上为增 2 2 2 ? 函数, 最小正周期为 π，值域为（-∞，+∞） ，点（kπ，0）（kπ+ ，0）均为其对称中心。 ， 2 定理 6 两角和与差的基本关系式：cos(α ? β )=cosα cosβ ? sinα sinβ ,sin(α ? β )=sinα定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(x ? kπ+ cosβ ? cosα sinβ ; tan(α ? β )=(tan ? ? tan ? ) . (1 ? tan ? tan ? )定理 7 和差化积与积化和差公式: sinα +sinβ =2sin ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? ,sinα -sinβ =2sin ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? , cosα -cosβ =-2sin ? ? sin ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?cosα +cosβ =2cos ?1 1 [sin(α +β )+sin(α -β )],cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )], 2 2 1 1 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )],sinα sinβ =- [cos(α +β )-cos(α -β )]. 2 2sinα cosβ = 定理 8 倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ,tan2α =2 tan? . (1 ? tan 2 ? )定理 9 半角公式:sin ?(1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? ?? ? ,cos ? ? = ? , ?=? 2 2 ?2? ?2?tan ?sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? = ? . ?=? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) sin ? ?2??? ? ?? ? 2 tan? ? 1 ? tan 2 ? ? ? 2 ? , cos? ? ?2?, 定理 10 万能公式: sin ? ? ?? ? ?? ? 1 ? tan 2 ? ? 1 ? tan 2 ? ? ?2? ?2? ?? ? 2 tan? ? ?2? . tan ? ? ?? ? 1 ? tan 2 ? ? ?2?定理 11 辅助角公式： 如果 a, b 是实数且 a2+b2 ? 0， 则取始边在 x 轴正半轴， 终边经过点(a, b)的一个角为β ，则 sinβ =b a ?b2 2,cosβ =a a ? b22，对任意的角α .asinα +bcosα = ( a 2 ? b 2 ) sin(α +β ). 定理 12 正弦定理：在任意△ABC 中有a b c ? ? ? 2 R ，其中 a, b, c 分别是 sin A sin B sin C角 A，B，C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理：在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的 对边。 定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+ ? )的图象 （相位变换） 纵坐标不变， ； 横坐标变为原来的1?， 得到 y=sin ?x ( ? ? 0 )的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变 换） ；y=Asin( ? x+ ? )( ? &0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得 到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y=Asin( ? x+ ? )( ? , ? &0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移 个单位得到 y=Asin ? x 的图象。 定义 4 函数 y=sinx ? x ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? , ? ? 的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函 ? ? 2 2 ??数 y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数 y=tanx ? x ? ?? ?? ?? ? ? ?? , ? ? 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, ? ? 2 2 ??π])的反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集， 如果 a∈(-1,1)， 方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。 方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx ? arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R，方程 tanx=a 的解集是 {x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa= 定理 16 若 x ? ? 0,? ? ；arctana+arccota= . 2 2? ???? ，则 sinx&x&tanx. 2?二、方法与例题 1．结合图象解题。 例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象（见图） ，由图象可知两者有 6 个交 点，故方程有 6 个解。 2．三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈(0, π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。 【解】 若 x ? ??? ? ? ? ? , ? ? ，则 cosx?1 且 cosx&-1，所以 cos x ? ? ? ,0? ， ?2 ? ? 2 ?所以 sin(cosx) ?0,又 0&sinx?1, 所以 cos(sinx)&0， 所以 cos(sinx)&sin(cosx). 若 x ? ? 0,?? ???2? ?，则因为sinx+cosx= 2 ?? 2 ? 2 ? ? ? sin x ? cos x ? ? 2 (sinxcos +sin cosx)= 2 sin(x+ )? ? 2 ? 2 4 4 4 ? ?2&? ? -cosx& ， 2 2 ? 所以 cos(sinx)&cos( -cosx)=sin(cosx). 2所以 0&sinx& 综上，当 x∈(0,π)时，总有 cos(sinx)&sin(cosx).? ， 2? cos? ? ? cos ? ? ? 例 3 已知α ，β 为锐角，且 x? +β - ）&0，求证： ? （α ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? 2. ? 2 ? ? ? ?xx【证明】 若α +β &? ? ? ，则 x&0，由α & -β &0 得 cosα &cos( -β )=sinβ , 2 2 2所以 0&cos? ? cos ? &1，又 sinα &sin( -β )=cosβ , 所以 0& &1， sin ? 2 sin ?x x 0 0? cos? ? ? cos ? ? ? cos? ? ? cos ? ? 所以 ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若α +β &? ? ? ? ，则 x&0，由 0&α & -β & 得 cosα &cos( -β )=sinβ &0, 2 2 2 2所以cos? ? cos ? &1。又 0&sinα &sin( -β )=cosβ ，所以 &1， sin ? 2 sin ?x x 0 0? cos? ? ? cos ? ? ? cos? ? ? cos ? ? 所以 ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? 2 ，得证。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2π 是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx） ；其次， 当且仅当 x=kπ+所以若最小正周期为 T0，则 T0=mπ, m∈N+，又 sin(2cos0)=sin2 ? sin(2cosπ)，所以 T0=2π。 4．三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+ 1 ? cos x ，求函数的最大值与最小值。2? 时，y=0（因为|2cosx|?2&π）, 2【解法一】 令 sinx= 2 cos? , 1 ? cos2 x ? 则有 y= 2 cos? ? 2 sin ? ? 2 sin(? ? 因为3 ? ?? 2 sin ? ? ? 0 ? ? ? , 4 ? ?4?4).?3 ? ? ? 0 ? ? ，所以 ? ? ? ? ? ， 4 4 2 4所以 0 ? sin(? ? 所以当 ? ??? 3 ? ，即 x=2kπ- (k∈Z)时，ymin=0， 2 4 ? (k∈Z)时，ymax=2. 22(sin 2 x ? 1 ? cos2 x ) ,4) ?1，当? ??4，即 x=2kπ+2 【解法二】 因为 y=sinx+ 1 ? cos x ?=2（因为(a+b)2?2(a2+b2)） ， 且|sinx|?1? 1 ? cos x ，所以 0?sinx+ 1 ? cos x ?2，2 2所以当 1 ? cos x =sinx，即 x=2kπ+2当 1 ? cos x =-sinx，即 x=2kπ2例 6 设 0& ? &π，求 sin?2? (k∈Z)时, ymin=0。 2? (k∈Z)时, ymax=2， 2(1 ? cos? ) 的最大值。【解】因为 0& ? &π，所以 0 ??2??2，所以 sin? ? &0, cos &0. 2 2所以 sin? ? ? ? ? 2 ? ? cos2 ? cos2 （1+cos ? ）=2sin ?cos2 = 2 ? 2 sin ? 2 2 2 2 2 23? ?? ? 2 ? ? cos2 ? cos2 ? ? 2 sin 2 2 2 ? = 16 ? 4 3 . 2?? 27 9 3 ? ? ? ? ? ?当且仅当 2sin22 4 3 ? ? ? ? =cos2 , 即 tan = 时，sin (1+cos ? )取得最大值 。 9 2 2 2 2 2例 7 若 A，B，C 为△ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因为 sinA+sinB=2sinA? B A? B A? B cos , ① ? 2 sin 2 2 2sinC+sin?3? 2 sinC? 2?3 cos C? 2C? 2?3 ? 2 sinC? 2?3 ,②A? B 又因为 sin ? sin 2?3 ? 2 sinA? B?C ??3 cosA? B ?C ? 4?4 ? ? 由①，②，③得 sinA+sinB+sinC+sin ?4sin , 3 3所以 sinA+sinB+sinC?3sin3 ? 2 sin ? ，③ 3? 3 3 = , 2 3当 A=B=C=3 3 ? 时， （sinA+sinB+sinC）max= . 2 3注：三角函数的有界性、|sinx|?1、|cosx|?1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯 西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。 例8 求y?sin x cos x 的值域。 1 ? sin x ? cos x? 2 ? 2 ? sin x ? cos x ? ? 2 sin(x ? ). ? 2 ? 2 4 ? ?【解】 设 t=sinx+cosx= 2 ? 因为 ? 1 ? sin(x ? 所以 ? 2 ? t ??4) ? 1,2.又因为 t2=1+2sinxcosx,x2 ?1 t 2 ?1 t ?1 所以 sinxcosx= ，所以 y ? 2 ? ， 2 1? t 2所以? 2 ?1 ?y? 22 ?1 . 2因为 t ? -1，所以t ?1 ? ?1 ，所以 y ? -1. 2所以函数值域为 y ? ??? ?2 ?1 ? ? 2 ? 1? ,?1? ? ? ? 1, ?. ? ? 2 2 ? ? ?例 9 已知 a0=1, an=1 ? a n ?1 2 ? 1 a n ?1(n∈N+)，求证：an&?2 n?2.【证明】 由题设 an&0，令 an=tanan, an∈ ? 0,? ?? ? ，则 ? 2?an=1 ? tan 2 a n ?1 ? 1 tan a n ?1?sec a n ?1 ? 1 1 ? cos a n ?1 a ? ? tan n ?1 ? tan a n . 2 tan a n ?1 sin a n ?1na 1 ?1? ? ?? 因为 n ?1 ，an∈ ? 0, ? ，所以 an= a n ?1 ，所以 an= ? ? a 0 . 2 2 ?2? ? 2?? ? ?1? 又因为 a0=tana1=1，所以 a0= ，所以 a n ? ? ? ? 。 4 4 ?2?n又因为当 0&x&? ? ? 时，tanx&x，所以 a n ? tan n ? 2 ? n ? 2 . 2 2 2注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当 x∈ ? 0,? ?? ? 时，有 tanx&x&sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证 ? 2?明是很容易的。 6．图象变换：y=sinx(x∈R)与 y=Asin( ? x+ ? )(A, ? , ? &0). 由 y=sinx 的图象向左平移 ? 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后 再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1?，得到 y=Asin( ? x+ ? )的图象；也可以由 y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来? 个单位，得到 y=Asin( ? x+ ? )的图象。 ? ? 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( ? x+ ? )( ? &0, 0? ? ?π)是 R 上的偶函数，其图象关于点的1，最后向左平移? 3? ? ? ?? M? ,0 ? 对称，且在区间 ?0, ? 上是单调函数，求 ? 和 ? 的值。 ? 2? ? 4 ?【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin( ? + ? )=sin(- ? x+ ? )，所以 cos ? sinx=0， 对任意 x∈R 成立。 又 0? ? ?π，解得 ? = 因为 f(x)图象关于 M ?? ， 23 3 ? 3? ? ,0 ? 对称，所以 f ( ? ? x) ? f ( ? ? x) =0。 4 4 ? 4 ?取 x=0，得 f ( ? ) =0，所以 sin ?3 4?? ? 3? ? ? ? ? 0. 2? ? 43? ? 2 ? ? k? ? (k∈Z)，即 ? = (2k+1) (k∈Z). 3 4 2 ? ? 又 ? &0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+ )在[0， ]上是减函数； 2 2 ? ? 取 k=1 时， ? =2，此时 f(x)=sin(2x+ )在[0， ]上是减函数； 2 2 ? ? 10 取 k=2 时， ? ≥ ，此时 f(x)=sin( ? x+ )在[0， ]上不是单调函数， 2 2 3 2 综上， ? = 或 2。 3所以 7．三角公式的应用。 例 11 已知 sin(α-β)= 的值。 【解】 因为 α-β∈ ?5 5 ?? ? ? 3? ? ， sin(α+β)=， α-β∈ ? , ? ? ， 且 α+β∈ ? 求 ,2? ? ， sin2α,cos2β 13 13 ?2 ? ? 2 ? 12 ?? ? , ? ? ，所以 cos(α-β)=- 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? . 13 ?2 ?又因为 α+β∈ ?12 ? 3? ? ,2? ? ，所以 cos(α+β)= 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? . 13 ? 2 ? 120 , 169所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例 12 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且1 1 2 ，试求 ? ?? cos A cos C cos BcosA?C 的值。 2【解】 因为 A=1200-C，所以 cosA?C =cos(600-C)， 21 1 1 1 cos( 0 ? C ) ? cos C 120 ? ? ? ? 又由于 0 cos A cos C cos( 120 ? C ) cos C cos C cos( 0 ? C ) 120=2 cos 60 0 cos(60 0 ? C ) 1 [cos120 0 ? cos( 0 ? 2C )] 120 2?2 cos(60 0 ? C ) 1 cos( 120 ? 2C ) ? 20? ?2 2 ，所以 4 2 cos2A?C A?C ? 2 cos ? 3 2 =0。 2 2解得 cosA?C 2 A?C 3 2 或 cos 。 ? ?? 2 2 2 8又 cosA?C 2 A?C &0，所以 cos 。 ? 2 2 2例 13 求证：tan20 ? +4cos70 ? .sin 20 ? 【解】 tan20 +4cos70 = +4sin20 ? ? cos 20? ??sin 20 ? ? 4 sin 20 ? cos 20 ? sin 20 ? ? 2 sin 40 ? ? cos 20 ? cos 20 ? sin 20 ? ? sin 40 ? ? sin 40 ? 2 sin 30 ? cos10 ? ? sin 40 ? ? cos 20 ? cos 20 ??sin 80 ? ? sin 40 ? 2 sin 60 ? cos 20 ? ? ? ? 3. cos 20 ? cos 20 ?第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A，B，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各 边长， p ?a?b?c 为半周长。 2 a b c 1．正弦定理： =2R（R 为△ABC 外接圆半径） 。 ? ? sin A sin B sin C 1 1 1 推论 1：△ABC 的面积为 S△ABC= ab sin C ? bc sin A ? ca sin B. 2 2 2推论 2：在△ABC 中，有 bcosC+ccosB=a. 推论 3：在△ABC 中，A+B= ? ，解 a 满足a b ? ，则 a=A. sin a sin(? ? a)1 再证推论 2， 因为 B+C= ? -A， absin C ； 2正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论 1，由 正弦函数定义， 边上的高为 bsinC， BC 所以 S△ABC=所以 sin(B+C)=sinA，即 sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a；再证 推论 3， 由正弦定理 等价于 ?sin a sin(? ? a) a b ? ， 所以 ， sinasin( ? -A)=sin( ? -a)sinA， 即 ? sin A sin(? ? A) sin A sin Bcos( ? -A+a)=cos( ? -a+A)， 因为 0& ? -A+a，? -a+A& ? . 所以只有 ? -A+a= ? -a+A， 所以 a=A，1 1 [cos( ? -A+a)-cos( ? -A-a)]= ? [cos( ? -a+A)-cos( ? -a-A)] ， 等 价 于 2 2得证。 2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA ? cos A ?b2 ? c2 ? a2 ，下面用余弦定理证明几个常 2bc用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是 BC 边上任意一点，BD=p，DC=q，则b2 p ? c2q ? pq. AD = p?q2（1）【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos ?ADB ， 所以 c2=AD2+p2-2AD?pcos ?ADB. ① 2 2 2 同理 b =AD +q -2AD?qcos ?ADC ， ② 因为 ? ADB+ ? ADC= ? ， 所以 cos ? ADB+cos ? ADC=0， 所以 q×①+p×②得b2 p ? c2q ? pq. qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q)，即 AD = p?q2 2 2 2注：在（1）式中，若 p=q，则为中线长公式 AD ? （2） 】 】2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2：因为2 S ?ABC ??1 4b c sin A=2 221 4bc2 2(1-cos A)=21 4bc2 2? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) 2 ? 1 2 2 2 2 ?1 ? ? ? [(b+c) -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 2 2 4b c ? ? 16这里 p ?a?b?c . 2所以 S△ABC=p( p ? a)( p ? b)( p ? c).二、方法与例题 1．面积法。 例 1 （共线关系的张角公式）如图所示，从 O 点发出的三条射线满足 另外 OP， OQ， 的长分别为 u, w, v， OR 这里 α， α+β∈(0, ? )， β， ?POQ ? ? , ?QOR ? ? ， 则 P，Q，R 的共线的充要条件是sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? ? . u v w【证明】P，Q，R 共线 ? S ΔPQR ? 0 ? S ?OPR ? S ?OPQ ? S ?ORQ1 1 1 uv sin (α+β)= uwsinα+ vwsinβ 2 2 2 sin(? ? ? ) sin ? sin ? ，得证。 ? ? ? w u v ?2．正弦定理的应用。 例 2 如 图 所 示 ， △ ABC 内 有 一 点 P ， 使 得 ? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB。 求证：AP?BC=BP?CA=CP?AB。 【证明】 过点 P 作 PD ? BC，PE ? AC，PF ? AB，垂足分别为 D，E，F，则 P，D， C ， E ； P ， E ， A ， F ； P ， D ， B ， F 三 组 四 点 共 圆 ， 所 以 ? EDF= ? PDE+ ? PDF= ? PCA+ ? PBA= ? BPC- ? BAC 。 由 题 设 及 ? BPC+ ? CPA+ ? APB=3600 可得 ? BAC+ ? CBA+ ? ACB=1800。 所以 ? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB=600。 所以 ? EDF=600，同理 ? DEF=600，所以△DEF 是正三角形。 所以 DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin ? ACB=APsin ? BAC=BPsin ? ABC，两边同时 乘以△ABC 的外接圆直径 2R，得 CP?BA=AP?BC=BP?AC，得证： 例 3 如图所示，△ABC 的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2 相切，直线 GF 与 DE 交于 P，求 证：PA ? BC。 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M， 因为 O1G ? BC，O2D ? BC，所以只需证GM O1 A AF ? ? . MD AO2 AE由正弦定理AP AF PA AE ， ? , ? sin(? ? ?1) sin ? sin(? ? ?2) sin ?所以AE sin ?1 sin ? ? ? . AF sin ?2 sin ?另一方面，GM PM MD PM ， ? , ? sin ? sin ?1 sin ? sin ?2所以GM sin ?2 sin ? ， ? ? MD sin ?1 sin ?GM AF ，所以 PA//O1G， ? MD AE 即 PA ? BC，得证。所以 3．一个常用的代换：在△ABC 中，记点 A，B，C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z，则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例 4 在△ABC 中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)? 8 xy ? yz ? zx =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。 例 5 设 a, b, c∈R+，且 abc+a+c=b，试求 P ? 【解】 由题设 b ?a?c ，令 a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 1 ? ac22 2 3 的最大值。 ? 2 ? 2 a ?1 b ?1 c ?121? 10 10 ? 则 tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos γ≤ ， ? 3? sin ? ? ? ? 3? 3 3 ?当且仅当 α+β=2? 2 2 1 10 ，sinγ= ，即 a= 时，Pmax= . , b ? 2, c ? 2 4 2 3 31 2例 6 在△ABC 中，若 a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc& . 【证明】 设 a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β ? ? 0,? ????. 2?因为 a, b, c 为三边长，所以 c& 从而 ? ? ? 0,1 , c&|a-b|， 2? ?? 2 2 2 ? ，所以 sin β&|cos α?cos β|. 4? ?因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α?cos4β?cos2β1 [1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β] 4 1 1 = + cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β) 4 4 1 1 1 & + cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)= . 4 4 4 1 所以 a2+b2+c2+4abc& . 2= 第八章 平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表 示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书 中用黑体表示向量，如 a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是 任意的。零向量和零不同，模为 1 的向量称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量） ，规定零向量与任意一个 非零向量平行和结合律。定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都 满足交换律和结合律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 ? ? 0，使得 a= ?b. f 定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量 a, b 不共线，则对同一平面内任意向是 c，存在唯一一对实数 x, y，使得 c=xa+yb，其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底，任取一个向量 c，由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y，使得 c=xi+yi，则（x, y） 叫做 c 坐标。 定义 4 向量 的数量 积， 若非零 向量 a, b 的夹 角为 ? ， 则 a, b 的数量 积记 作 a?b=|a|?|b|cos ? =|a|?|b|cos&a, b&，也称内积，其中|b|cos ? 叫做 b 在 a 上的投影（注：投影 可能为负值） 。 定理 4 平面向量的坐标运算：若 a=(x1, y1), b=(x2, y2)， 1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)， 2．λa=(λx1, λy1), a?(b+c)=a?b+a?c， 3．a?b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=x1 x2 ? y1 y 2 x ?y ? x ?y2 1 2 1 2 2 2 2(a, b ? 0),4. a//b ? x1y2=x2y1, a ? b ? x1x2+y1y2=0. 定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1， 2 的一点， p 则存在唯一实数 λ， P P ? ? PP2 ， 使 1 λ 叫 P 分 P1 P2 所成的比，若 O 为平面内任意一点，则 OP ?OP1 ? ? OP2 。由此可得若 1? ?? x1 ? ?x 2 ?x ? x ? x1 y ? y1 ? 1? ? P1，P，P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则 ? .? ? ? . x2 ? x y 2 ? y ? y ? y1 ? ?y 2 ? 1?