高二数学必修5第三章不等式知识点总结
高二数学必修5第三章不等式知识点总结
学习啦【高二数学】 编辑：凤婷
　　高中数学不等式知识点不仅是考查重点也是考查难点，很多考生都被高中数学不等式知识点困惑，下面是学习啦小编给大家带来的高二数学必修5第三章第三章不等式知识点总结，希望对你有帮助。
　　高二数学不等式的定义：
　　① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
　　②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
　　作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
　　高二数学不等式的性质：
　　① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
　　不等式基本性质有：
　　&即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。
　　② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
　　(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
　　(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
　　(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
　　高二数学不等式易错易混知识点：
　　1、利用均值不等式求最值时，你是否注意到：&一正;二定;三等&。
　　2、绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?
　　3、解分式不等式应注意什么问题?用&根轴法&解整式(分式)不等式的注意事项是什么?
　　4、解含参数不等式的通法是&定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键&，注意解完之后要写上：&综上，原不等式的解集是&&&。
　　5、在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。
　　6、两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同正可乘;同时要注意&同号可倒&即a》b》0，a
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【高二数学】图文推荐三角不等式的证明
proof of a trigonometric inequality
三角不等式的证明
基于1个网页-
运用不同的方法，证明了一组三角形轮换对称不等式。
The paper established a group of inequalities of rotating symmetry in a triangle with different methods.
你可以简要地说其实证明就是初等矩阵理论，三角不等式和鸽笼原理的运用。
You can say that the proof uses nothing beyond elementary matrix theory, repeated use of the triangle inequality, and the pigeonhole principle.
本文就柯西不等式在证明不等式、解三角形相关问题、求最值、解方程等问题的应用方面举几个例子予以说明。
In this paper, we mainly give some examples to demonstrate its applications in proving inequality, solving triangle, solving the most value and solving the equation and so on.
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感谢您的反馈，我们会尽快进行适当修改！(2)若函数h(x)?ax?3?lnx?；1?a；是A型函数,求函数h(x)的单调区间；x；(3)若函数f(x)是A型函数,当x1?0,x2；【思考】11年函数题是一个新定义的问题，需要关注；【一道附加题，权作调节】；请关注这个问题，你做的什么地方？为什么做不下去的；4.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1；,AB?AC?BC?BB1?4，D,E分别
(2) 若函数h(x)?ax?3?lnx?
是A型函数,求函数h(x)的单调区间； x
(3) 若函数f(x)是A型函数,当x1?0,x2?0时,证明f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)．
【思考】11年函数题是一个新定义的问题，需要关注，新定义的问题与函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、图像、零点有什么关系？请对最近所做的函数题中的新定义问题（填空题也行）如何转化为函数问题的？如何去理解那些背景的含义？本题中的“xf'(x)?f(x)”如何理解？如何从所给不等式结构去理解，并进行转化为函数的性质的？第二小问是用的什么方法，该问参数分离的优势在哪？第三小问为给定条件下不等式证明，是将条件化为结论，还是结论像条件转化，还是两边一起逼近？条件和结论之间的差异有哪些，如何化异为同？
【一道附加题，权作调节】
请关注这个问题，你做的什么地方？为什么做不下去的？
4.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?平面ABC
,AB?AC?BC?BB1?4，D,E 分别1
为BC，BB1的中点，点M在棱B1C1上，且B1M?B1C1．
（Ⅰ）求证：平面ACE?平面AC1D；
（Ⅱ）若F是侧面ABB1A1上的动点，且MF∥平面AC1D． （i）求证：动点F的轨迹是一条线段；
（ii）求直线AF与平面AC1D所成角的正弦值的取值范围
参考答案 1. 解：（I）设甲公司第n年市场占有率为an，依题意，
???????????????????????????????? 2分 ?an?是以a1?A为首项，以d?A为公差的等差数列． ?
∴ an?A?(n?1)??n?． ???????????????????????????????????????????????????????????? 3分
设乙公司第n年市场占有率为bn，根据图形可得：
???????????????????????????????????????????????????????? 5分 bn?A?A?2A?3A?...?n?1A ?
??2?n?1?A． ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（II）依题意，2012年为第20年，则
?????????????????????????????????? 9分 a20??20??A?10A，b20?(2?19)A?2A， ?
?20%，即b20?20%?a20， ?∴ 20???????????????????????????????????????????????? 11分
a2010A∴ 2012年会出现乙公司被甲公司兼并的局面． ??????????????????????????????????????? 12分
ππa，时，点P在线段OG上，AP＝2. 解析：(1)当θ∈?
π3πaa时，点P在线段GH上，AP＝当θ∈?＝ ?24sin?π－θ?sinθπ
当θ＝AP＝a.
综上所述，AP＝，θ∈??4，4. sinθ所以弧AD的长l＝AP?2θ＝
故所求函数关系式为l＝，θ∈??4，4. sinθ
ππaacosθ
，时，OP＝OG－PG＝a－(2)当θ∈?a； ?42tanθsinθ
π3πaaacosθ时，OP＝OG＋GH＝a当θ∈?a－＝a－ ?24tanθsinθtan?π－θ?π
当θ＝OP＝a.
π3πacosθ
所以OP＝a－θ∈??4，4. sinθOPsinθ－cosθ从而＝.
sinθ－cosθπ3π?记f(θ)＝θ∈??44?. 2θθ?cosθ＋sinθ?－?sinθ－cosθ?则f′(θ)＝.
2θ令f′(θ)＝0，得θ(cosθ＋sinθ)＝sinθ－cosθ.(10分)
π3πsinθ－cosθ，所以cosθ＋sinθ≠0，从而θ因为θ∈?. ?44cosθ＋sinθsinθ－cosθtanθ－1ππ
θ－. 显然θ≠，所以θ＝＝＝tan??42cosθ＋sinθtanθ＋1
θ－的θ＝θ0，下面证明θ0是函数f(θ)的极值点． 记满足θ＝tan??4π3π?
设g(θ)＝θ(cosθ＋sinθ)－(sinθ－cosθ)，θ∈??44?. π3π则g′(θ)＝θ(cosθ－sinθ)＜0在θ∈??4，4上恒成立， π3π从而g(θ)在θ∈??4，4上单调递减．(14分)
，θ0?时，g(θ)＞0，即f′(θ)＞0，f(θ)在?θ0?上单调递增；当θ∈?θ0，时，g(θ)所以当θ∈?4?4??4??3π
θ0，上单调递减． ＜0，即f′(θ)＜0，f(θ)在?4?
故f(θ)在θ＝θ0处取得极大值，也是最大值． πOP
θ－时，函数f(θ)即. 所以当θ满足θ＝tan??4l3. 解：（1）因为 g?(x)?2x，所以xg?(x)?g(x)?2x
?1)?x2?1?0
在(0,??)上恒成立，
即xg?(x)?g(x)在(0,??)上恒成立，所以g(x)?x?1是A型函数．
⑵h?(x)?a?
11?a1?a1?a?2(x?0)，由xh?(x)?h(x)，得ax?1??ax?3?lnx?， xxxx
因为x?0，所以可化为2(a?1)?2x?xlnx，
令p(x)?2x?xlnx，p?(x)?3?lnx，令p?(x)?0，得x?e， 当x?(0,e?3)时，p?(x)?0，p(x)是减函数； 当x?(e?3,??)时，p?(x)?0，p(x)是增函数， 所以p(x)min?p(e?3)??e?3，所以2(a?1)??e，a?1?①当a?0时，由h?(x)?
?0，得x?1，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,??)； x2
1?aa(x?)(x?1)
②当a?0时，由h?(x)??0，得0?x?1， 2x
所以增区间为(0,1)，减区间为(1,??)；
11?ax?1x?③当0?a?时，由h?(x)?，得，或， ?022ax
,??)，减区间为(1)； ,1)和(所以增区间为(0
?0，所以，函数增区间为(0,??)； ④当a?时，h?(x)?2
11?31?ax?⑤?a?1?e时，由h?(x)?，得，或x?1， ?0222ax
)，减区间为(,1) 所以增区间为(1,??)和(0,aa
（3）函数f(x)是(0,??)上的每一点处都有导数，且xf?(x)?f(x)在(0,??)上恒成立，设
f(x)xf?(x)?f(x)
?0在(0,??)时恒成立， ，F?(x)?
在(0,??)上是增函数，
所以函数F(x)?
因为x1?0,x2?0，所以x1?x2?x1?0,x1?x2?x2?0，
x1),F(x所以F(x1?x2)?F(
x?2)F?(x)2
，f(x1?x2)f(x)f(xx?)fx()
x1?x2x1x1?x2x2
所以f(x1)?
x1f(xxf(x?x)1?x2),f(x2)?212，两式相 加，得f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)． x1?x2x1?x2
4. 解法一：
（Ⅰ）解：如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?平面ABC
AB?AC?BC?4，得AB?AC，
如图建立空间直角坐标系A?xyz， 1分
则CEA(0,0,0),C1D0)．
?????????????
CE??AC1?AD?，
?????????????????
所以CE?AC1?0,CE?AD?0， ∴ CE?AC1,CE?AD， 且AC1?AD?A， ∴CE?平面AC1D． 因为直线CE在平面ACE内，
∴ 平面ACE?平面AC1D． ????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 （Ⅱ）（i）取A1B1的中点为N，B1C1的中点为O,连接MN,ME,NE,AO1,BO， 则MN∥A1O∥AD,ME∥BO∥C1D,且MN?ME?M,
∴ 平面MNE∥平面AC1D, ?????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 ∵F是侧面ABB1A1上的动点，且MF∥平面AC1D， ∴动点F的轨迹是平面MNE与平面ABB1A1的交线NE，
即点F在线段NE上. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
（ii）设EF??EN,??[0,1]，得(xF?yF,zF?2)??(
2?)，AF?,0,2?2?), ????????????????????????????????? 9分
由（Ⅰ）知CE?平面AC1D
，所以CE??为平面AC1D的一个法向量． 设直线AF与平面AC1D所成角为?，
????????CE?AF????????∴sin??cos?AF,CE??, ?????????????? 11分 ?|CE|?|AF|∵??
[0,1],sin??， ． ??????????? 13分 所以直线AF与平面AC1D
所成角的正弦值的取值范围为解法二：（Ⅰ）同解法一；
?????z?4) ，MF?(x????
由MF∥平面AC1D，且由（Ⅰ）知平面AC1D
的法向量为CE??，
???MF?CE?0?z?6， ?故由??????????????????????????????????????????????????????????? 6分
??0?x?又?x?????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅱ）（i）设F(x,0,z
所以动点F的轨迹是侧面ABB1A1内的一条线段. ???????????????????????????????????????? 8分
（ii）由（i
）得F(x,0,6
，故AF?(x,0,6).
由（Ⅰ）知CE?平面AC1D
，所以CE??为平面AC1D的一个法向量． 设直线AF与平面AC1D所成角为?，
????????CE?AF????????∴sin??cos?AF,CE??
|CE|?|AF|, ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
， ． ??????????? 13分 ∵x?
,sin??所以直线AF与平面AC1D
所成角的正弦值的取值范围为
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