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高等数学（上）
高等数学是大学生的必修基础课程，特别对于理工科学生来说，高等数学理解得多少，很大程度会影响到后面专业课学习的深度，同时也会影响到逻辑思维的进一步发展。李换琴教授... &
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教育经历：博士()，西安交通大学系统工程专业，研究方向：大型工业生产线产品质量智能建模与控制.
导师：万百五教授硕士()，西安交通大学计算数学专业，研究方向：最优..
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什么叫高等数学
什么叫高等数学，学习起来要注重那些细节，方法或原则
高等数学简介 初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。 高等数学是理、工科院校一门重要的基础学科。作为一一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深人地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深人地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。然而,很多学生对怎样才能学好这门课程感到困惑。要想学好高等数学，至少要做到以下四点: 首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。 其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。 第三,在弄懂例题的基础上作适量的习题。要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法法在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结---- 不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。 第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程。其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用．微积分的理论是由牛顿和莱布尼茨完成的．（当然在他们之前就已有微积分的应用，但不够系统）无穷小和极限的概念微积分的基本概念但理解有很大难度。
幂函数,数列极限,导数,各级微分,积分,复数级数要注意打好基础,要会借助图象解题目,其中函数和极限是基础.
具体内容 　　　　一、 函数与极限分为　　常量与变量　　函数　　函数的简单性态　　反函数　　初等函数　　数列的极限　　函数的极限　　无穷大量与无穷小量　　无穷小量的比较　　函数连续性　　连续函数的性质及初等函数函数连续性　　二、导数与微分　　导数的概念　　函数的和、差求导法则　　函数的积、商求导法则　　复合函数求导法则　　反函数求导法则　　高阶导数　　隐函数及其求导法则　　函数的微分 　　三、导数的应用　　微分中值定理　　未定式问题　　函数单调性的判定法　　函数的极值及其求法　　函数的最大、最小值及其应用　　曲线的凹向与拐点　　四、不定积分　　不定积分的概念及性质　　求不定积分的方法　　几种特殊函数的积分举例　　五、定积分及其应用　　定积分的概念　　微积分的积分公式　　定积分的换元法与分部积分法　　广义积分 　　六、空间解析几何　　空间直角坐标系　　方向余弦与方向数　　平面与空间直线　　曲面与空间曲线 　　八、多元函数的微分学　　多元函数概念　　二元函数极限及其连续性　　偏导数　　全微分　　多元复合函数的求导法　　多元函数的极值　　九、多元函数积分学　　二重积分的概念及性质　　二重积分的计算法　　三重积分的概念及其计算法 　　十、常微分方程　　微分方程的基本概念　　可分离变量的微分方程及齐次方程　　线性微分方程　　可降阶的高阶方程　　线性微分方程解的结构　　二阶常系数齐次线性方程的解法　　二阶常系数非齐次线性方程的解法　　十一、无穷级数
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学参考书考试内容目录—数学一、数二 　　第一篇
高 等 数 学　　第一章 函数、极限与连续性　　1.1.1
函数　　1.1.2
极限　　1.1.3
连续性　　第二章 一元函数微分学　　1.2.1
导数与微分　　1.2.2
微分中值定理　　1.2.3
洛必达法则　　1.2.4
导数的应用　　第三章 一元函数积分学　　1.3.1
不定积分　　1.3.2
定积分　　1.3.3
反常积分　　1.3.4
定积分的应用　　第四章
空间解析几何　　第五章
多元函数微分学　　1.5.1
偏导数与全微分　　1.5.2
多元函数微分法的应用　　第六章
多元函数积分学　　1.6.1
二重积分　　1.6.2
三重积分　　1.6.3
曲线积分　　1.6.4
曲面积分　　第七章 无穷级数　　1.7.1
数项级数　　1.7.2
幂级数　　1.7.3
傅里叶级数　　第八章 常微分方程　　1.8.1
一阶微分方程　　1.8.2
可降阶的方程与线性常系数微分方程　　第二篇
线 性 代 数　　第一章 行列式　　2.1.1
行列式的概念、性质及其计算　　2.1.2
行列式计算的相关问题　　第二章 矩阵　　2.2.1
矩阵的概念、运算及逆矩阵　　2.2.2
矩阵的初等变换、初等矩阵及矩阵的秩　　2.2.3
分块矩阵及其运算　　第三章 向量　　2.3.1
向量的概念和线性运算及向量的线性表示·向量组的线性相关与线性无关　　2.3.2
向量组的等价、极大线性无关组及向量组的秩　　2.3.3
向量的内积及线性无关向量组的正交规范化　　第四章
线性方程组　　2.4.1
线性方程组有解、无解的判定及齐次线性方程组的基础解系和通解　　2.4.2
非齐次线性方程组的解的性质、结构及通解　　第五章
矩阵的特征值和特征向量　　2.5.1
矩阵的特征值、特征向量的概念、性质及计算　　2.5.2
相似矩阵和矩阵可相似对角化的条件及方法　　2.5.3
实对称矩阵的相似对角化　　第六章 二次型　　2.6.1
二次型及其对应矩阵·用正交变换和配方法化二次型为标准形　　2.6.2
二次型及其矩阵的正定性概念和判别法　　第三篇
概率论与数理统计　　第一章
随机事件和概率　　3.1.1 事件及其概率　　3.1.2 事件的独立性和独立试验　　第二章
随机变量及其分布　　3.2.1
随机变量的概率分布　　3.2.2
随机变量函数的分布　　第三章 二维随机变量的分布　　3.3.1
二维随机变量的联合分布　　3.3.2
二维随机变量函数的分布　　第四章 随机变量的数字特征　　3.4.1
数学期望、方差和标准差　　3.4.2
矩、协方差和相关系数　　第五章 大数定律和中心极限定理　　3.5.1 大数定律　　3.5.2中心极限定理　　第六章 统计推断的基本概念　　3.6.1
统计推断的基本概念　　3.6.2
正态总体抽样分布　　第七章 参数估计　　第八章 假设检验　　3.8.1
显著性检验和检验的两类错误　　3.8.2
正态总体的均值和方差的检验
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换一换
回答问题，赢新手礼包&p&我大一几乎没有听课，所以也算是自学了吧。&/p&&p&&br&&/p&&p&我是这样做的：&br&工具：&br&1.视频：优酷看川大徐小湛老师讲的高等数学，非常详细。老师讲的挺慢的，比较适合没有基础的人。&br&2.书：随便买一本有答案的课后辅导就可以了，我用的张宇的带你学，每章节有个总结，你可以不用做，那是针对考研的学生出的题。&/p&&p&步骤：&br&直接看视频就行，每看一节视频就把对应的课后题做了，然后在有答案的辅导书上对答案，不会的题就看解析。错题用铅笔标注下来。第二天一定一定一定要把前一天的错题再做一遍，如果能独立做出来就把标注擦掉，做不出来就下一天继续做。&/p&&p&我保证你这样学基础非常扎实，甚至有助于之后的考研。&/p&&p&&br&&/p&&p&更新&/p&&p&虽说要支持正版，但我发现这个课程无法在优酷购买了。&/p&&p&自取视频吧，看了盗版视频的同学以后一定要回报社会啊！！！&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///s/1o82w7Jc& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/s/1o82w7J&/span&&span class=&invisible&&c&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
我大一几乎没有听课，所以也算是自学了吧。 我是这样做的： 工具： 1.视频：优酷看川大徐小湛老师讲的高等数学，非常详细。老师讲的挺慢的，比较适合没有基础的人。 2.书：随便买一本有答案的课后辅导就可以了，我用的张宇的带你学，每章节有个总结，你可以…
承蒙各位点赞，葛优瘫中惊坐起，把原来惨不忍睹的公式改正为标准格式，略多图，评论内容我会仔细参考&br&&br&——原答案——&br&想必无人问津，尝试自问自答，抛个砖。求高人指点！&br&&br&&figure&&img src=&/cbacb98634_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&576& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/cbacb98634_r.jpg&&&/figure&——冈伦场合——&br&最左边的两个不全，但我捕捉到了切换镜头时的一帧，分别是：&br&①：&br&&figure&&img src=&/74d5d867aaaf5ebf30186_b.png& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/74d5d867aaaf5ebf30186_r.png&&&/figure&非相关专业人员，不敢谬断（下同），似乎表示的是电中微子与μ中微子之间的振荡关系。顺便一提，各位应该还记得，获得2015年诺诺贝尔物理学奖的，正是对中微子振荡现象的实证。&br&&a href=&/p/& class=&internal&&为什么中微子会振荡？ - 一无所知 - 知乎专栏&/a&&br&&br&上图为中微子探测器——超级神冈探测器内部场景。&br&②：&br&&figure&&img src=&/aacbfabaa7e61dcf09b1e0_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&80& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/aacbfabaa7e61dcf09b1e0_r.png&&&/figure&爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿提出的四元数关系式。&br&这个关系式初看有些烧脑，但在了解其性质后就好理解多了（四元数并不满足乘法交换律）：&br&ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j&br&③：&br&&figure&&img src=&/47ccc4bfb3adc61f365b_b.png& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&80& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/47ccc4bfb3adc61f365b_r.png&&&/figure&不详。&br&④：&br&&figure&&img src=&/30f0fde12f5_b.png& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&140& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/30f0fde12f5_r.png&&&/figure&不详。&br&⑤：&br&&figure&&img src=&/58ea22b70b398_b.png& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&140& class=&content_image& width=&400&&&/figure&我只能联想到不确定性原理，不过从没见过这种公式写法。&br&⑥：&br&&figure&&img src=&/9ec906520_b.png& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&140& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/9ec906520_r.png&&&/figure&不详。&br&⑦：&figure&&img src=&/14b1a520c4d6fa3b621f65b24b5b04af_b.png& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&140& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/14b1a520c4d6fa3b621f65b24b5b04af_r.png&&&/figure&不详。&br&重复出现的公式不再二次提及，下同。&br&&br&&figure&&img src=&/669bf7902f7ead41712fceaaaecb5324_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&576& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/669bf7902f7ead41712fceaaaecb5324_r.jpg&&&/figure&——助手场合——&br&①：&br&&figure&&img src=&/35be0ccc4db42c7de14e2_b.png& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&160& class=&content_image& width=&220&&&/figure&斐波那契数列的可能性最大。（谢评论）&br&②：&br&&figure&&img src=&/7ba52ccfd4e_b.png& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/7ba52ccfd4e_r.png&&&/figure&也许是分别是2、3、4维的张量表达式？&br&③&br&&figure&&img src=&/067520fbf8e411b6b9f388_b.png& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&540& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&/067520fbf8e411b6b9f388_r.png&&&/figure&助手脚下的三行公式，欧拉-麦克劳林求和公式（谢评论），不知我有没有老眼昏花打错数。&br&&br&&figure&&img src=&/a0deaeaa41e_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&576& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/a0deaeaa41e_r.jpg&&&/figure&——嘟嘟噜场合——&br&①：&br&&figure&&img src=&/d4f3e00a403ed6bce52354_b.png& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&140& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&/d4f3e00a403ed6bce52354_r.png&&&/figure&这个识别度较高，爱因斯坦场方程。&br&②：&br&&figure&&img src=&/d1d_b.png& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&140& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/d1d_r.png&&&/figure&不详。&br&&br&&figure&&img src=&/c829cec0d5acc_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&576& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/c829cec0d5acc_r.jpg&&&/figure&——琉华子场合——&br&①：&br&&figure&&img src=&/6ccac9f3dde6f8df2d954f_b.png& data-rawwidth=&680& data-rawheight=&80& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&680& data-original=&/6ccac9f3dde6f8df2d954f_r.png&&&/figure&外行依然不明就里。&br&&br&&figure&&img src=&/a59e8ccab602faf806701_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&576& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/a59e8ccab602faf806701_r.jpg&&&/figure&——秋叶原大地主场合——&br&没有新公式出现。&br&&br&&figure&&img src=&/0ae0e8ae7bd002fd8e83b6_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&576& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/0ae0e8ae7bd002fd8e83b6_r.jpg&&&/figure&——桶子场合——&br&①：&br&&figure&&img src=&/ee_b.png& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&120& class=&content_image& width=&400&&&/figure&啊呀又一个我不认识的&br&&br&&figure&&img src=&/adbbb776e15_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&576& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/adbbb776e15_r.jpg&&&/figure&——金手指场合——&br&①：&br&&figure&&img src=&/c0d174f645b27aba5eab218fffbb24b1_b.png& data-rawwidth=&956& data-rawheight=&140& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&956& data-original=&/c0d174f645b27aba5eab218fffbb24b1_r.png&&&/figure&②：&figure&&img src=&/e3ba35dec4a5bbe8d3fb4_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/e3ba35dec4a5bbe8d3fb4_r.png&&&/figure&*黑人问号*&br&&br&&figure&&img src=&/6e14b8b41a50b4fa901e_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&576& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/6e14b8b41a50b4fa901e_r.jpg&&&/figure&还是感谢 &a data-hash=&9a5b2ccb08ed6& href=&///people/9a5b2ccb08ed6& class=&member_mention& data-hovercard=&p$b$9a5b2ccb08ed6&&@香草奶昔&/a&，小动物我给忘到家了= =&br&①：&br&&figure&&img src=&/88ecbdaa7b0d_b.png& data-rawwidth=&380& data-rawheight=&80& class=&content_image& width=&380&&&/figure&问题是被挡住了&br&②：&br&&figure&&img src=&/dbddca46edb8_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&450& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/dbddca46edb8_r.png&&&/figure&球面几何里的……嗯那啥……
承蒙各位点赞，葛优瘫中惊坐起，把原来惨不忍睹的公式改正为标准格式，略多图，评论内容我会仔细参考 ——原答案—— 想必无人问津，尝试自问自答，抛个砖。求高人指点！ ——冈伦场合—— 最左边的两个不全，但我捕捉到了切换镜头时的一帧，分别是： ①： …
运算和逆运算一个难一个简单不是很正常的么——&br&把牙膏从管里挤出来是运算，把挤出来的牙膏再嘬回去是逆运算；&br&把盘子摔碎是运算，把盘子碎片再拼回去是逆运算；&br&把手表拆了是运算，把手表零件装回去是逆运算；&br&把猪变成香肠是运算，把香肠恢复成猪是逆运算；&br&把孩子生出来是运算，把生出来的孩子再塞回去是逆运算……&br&等等……&br&&br&里面有分解运算更难的，也有聚合运算更难的，题主可以自行体会一下。&br&&br&&b&这不是熵的问题，不是熵增方向上就一定比熵减方向上简单。热力学第二定律的最基本前提（孤立系统）不要忘了。&/b&
运算和逆运算一个难一个简单不是很正常的么—— 把牙膏从管里挤出来是运算，把挤出来的牙膏再嘬回去是逆运算； 把盘子摔碎是运算，把盘子碎片再拼回去是逆运算； 把手表拆了是运算，把手表零件装回去是逆运算； 把猪变成香肠是运算，把香肠恢复成猪是逆运算…
这个问题很有趣。目前的答案中，我最赞同 &a data-hash=&0ff470c8d7e023b10b90796ecd5892bd& href=&///people/0ff470c8d7e023b10b90796ecd5892bd& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@onion red& data-tip=&p$b$0ff470c8d7e023b10b90796ecd5892bd& data-hovercard=&p$b$0ff470c8d7e023b10b90796ecd5892bd&&@onion red&/a&的答案。&br&&br&自然界最常见的分布并非是正态分布。&br&&br&&a data-hash=&4dbfa9e053c& href=&///people/4dbfa9e053c& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@枭枭& data-tip=&p$b$4dbfa9e053c& data-hovercard=&p$b$4dbfa9e053c&&@枭枭&/a& 的答案中提到的正态分布是最大熵的分布，这是对于封闭的系统而言存在概率最大的分布。他提到了熵增原理，也就是说，我们如果先默认熵增原理成立，那么必须假定系统是封闭系统。而最大熵的分布对于热力学系统而言，正是当系统处于热力学平衡态时的分布。他不是装逼，只是从物理的角度，假设一个理想的情况下，来考虑这个问题。&br&&br&然而自然界最常见的分布并非是正态分布，对于热力学语言之下，这是因为自然界大多数的系统都并不是完美的处于热力学平衡态的封闭系统。在数学的视角下，它们彼此之间不是独立的，而是存在错综复杂的相互作用，不适用中心极限定理。严格的来说，自然界几乎处处都是开放的、有各种相互作用的系统，还存在许多自组织系统，即那些可以从比较混乱的初始状态，仅仅是由其局域的动力学规则，演化成有规律的体系的系统。&br&&br&有更多的系统最多只能近似的、或局域（时间或空间意义下）的可以看做处于热力学平衡态，近似的看作其中的变量相互独立，或压根就不能那样考虑。&br&&br&比如说生物的细胞中，由DNA转录为RNA、再由RNA翻译为蛋白质，然后蛋白质与蛋白质发生相互作用，或可以调控转录，这样的过程，其copy number经常并不多，而其反应过程的特征能量又与常温下的随机热扰动的能量量级不相上下，所以可以想见，其涨落非常大。生物系统正是不断地从外界摄取能量，自组织的完成一定的功能，维持低熵状态的系统。它并不适用于用热力学平衡态的那套模型去研究，也不服从正态分布。&br&&br&&a data-hash=&0ff470c8d7e023b10b90796ecd5892bd& href=&///people/0ff470c8d7e023b10b90796ecd5892bd& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@onion red& data-tip=&p$b$0ff470c8d7e023b10b90796ecd5892bd& data-hovercard=&p$b$0ff470c8d7e023b10b90796ecd5892bd&&@onion red&/a& 提到了Zipf's law，这样的分布在之前被认为是一个fine-tuning 的问题（fine-tuning 的问题我们通常认为是个问题），也就是说需要系统得到精确的调控，才可以实现。然而今年有篇PRL文章提出了一种可以由系统中的随机变量导致Zipf's law的具有一定普适性的机制，请看这篇文章:&br&&a href=&///?target=http%3A//journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.113.068102& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Phys. Rev. Lett. 113, 14)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&而生物系统这样的自然体系，在漫长的演化之后，还形成了一些比较好玩的规则。比如如果单从动力学网络结构的角度来看，生物系统对应的网络拓扑结构的熵总是比较低的。也就是说，不光从物理上，其系统的熵比较低，从这种非物理的、仅仅在动力学结构的意义上而言，它的熵也低。请参考这篇文章：&a href=&///?target=http%3A//www.ploscompbiol.org/article/info%253Adoi%252F10.Fjournal.pcbi.1000442& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&PLOS Computational Biology: Identification of a Topological Characteristic Responsible for the Biological Robustness of Regulatory Networks&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&所以说，你看，自然界其实是在不同的规则之下，有不同的机理，演化出不同的分布呢。&br&&br&目前为止，人们总是认为自然界里各种类似生物这样的系统是很复杂的，没有普遍规律，而要case by case讨论的系统，这么认为的生物学家、化学家非常多。而物理学家又往往更多的研究一些更理想的系统（经常不是自然界本身就符合的，比如真空中的球形鸡），倾向于去寻找更简单的、普适的规则。我不敢去评论谁对谁错，然而我总是期望着，如果哪一天我们对物理更了解，对数学更了解，也对生物、化学更了解，我们就能在更为普遍的意义下，去建立一套描述生物系统之类系统的数学语言。如果哪一天我们真的能够窥见自然界普遍存在的复杂系统的“牛顿三定律”，那么我们也许会开始惊叹自然界其实比我们想象的要聪(tou)明(lan)。
这个问题很有趣。目前的答案中，我最赞同 的答案。 自然界最常见的分布并非是正态分布。
的答案中提到的正态分布是最大熵的分布，这是对于封闭的系统而言存在概率最大的分布。他提到了熵增原理，也就是说，我们如果先默认熵增原理成立，那…
谢邀 &a data-hash=&02349a76dcacac8b1cbaba2& href=&///people/02349a76dcacac8b1cbaba2& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@肖雨涵& data-hovercard=&p$b$02349a76dcacac8b1cbaba2&&@肖雨涵&/a&&br&&br&把本来放在最后的话放到最前面来吧：&br&&b&发现说了很多主要还是废话为主……而且有很多写得太主观印象了……&br&&/b&&br&&b&所以如果有学长学姐觉得我说的太过偏颇，请不吝赐教~&br&&/b&&br&==================昏割线====================&br&&br&&br&这一学年在给大一新生做经济学原理课程的助教，有些同学也找我问过相同的问题，这个回答算是结合我的经历和了解的其它同学的情况，做一个更加详细的解答。&br&不过由于我自己也不过只在清华经管读了4年，许多方面也是道听途说为主，因此可能有许多纰漏和局限性（比如大背景是清华……），并不能很好地结合题主的背景，敬请谅解，希望能够对题主有所帮助，就当开拓一下思路，了解一下大环境吧0 0&br&&br&首先，即使你读了经济学类专业，也未必一定要从事经济相关的职业。&br&近几年，随着万众创业的兴起，清华同学创业的也不少见。清华毕竟传统上是一所工科学校，所以技术创业的也比较多，经管的同学会作为合伙人，参与财务和运营工作；不过，也有由经管同学主导的创业，据我所知的常见的有教育类（在线教育、家教等等）、设计类（动画制作、海报设计）以及餐饮类（饮料、餐馆都有），可以看出这都是围绕学生群体的。作为经济类的学生，可以去参与一些市场营销和管理运营方面的课程（严格来说这是管理学专业的课程，但是经济类一般也包括了管理学吧……），甚至像我校有专门的创业课程，这些对于数学的要求也没有那么高……&br&甚至，在我们这一届，有两位申请出国的同学分别获得了电影和戏剧方面的offer；还有把第二学位法律读成了第一学位；还有比如我的同班同学即将去心理系读研。如果你能够在大学期间发展起自己的个人爱好，或是发现新的兴趣方向，并且能够有合适的资源，那么将副业变为主业也是种不错的选择。而且，这并不意味着你的经济学知识没有用：读法律的，未来你可以注重商法、公司法、税法等等财经相关的法律；读新闻双学位的同学，如果未来去做了记者或编辑，那对于财经版肯定有更大的优势；即使是电影或者戏剧，也说不定有一天需要你的经济学知识来管理你的团队。&br&退一万步说，作为现代社会的现代人，即使从事的行业与经济学完全没有关系（真的存在吗……毕竟发工资也算经济学吧……），了解点经济学常识也不是坏事对吧？而经济学常识基本上不需要非常艰深的数学，曼昆的整本《经济学原理》没有出现超过高中水平的数学（作者自己在学习辅导书中吐了个小槽：下面我们来做一个非常困难的数学题，1+1+1=3……）&br&（再吐个槽，这学期上货币银行学，所用的教材的习题部分，凡是标有(advanced)的题目，表示其标准答案需要使用微积分……果然是advanced（高等）数学啊……）&br&&br&其次，如果你确实对于经济学感兴趣，只是觉得数学比较头大，所以还是想要继续从事经济相关的职业。如果是本科毕业就去工作，那么：&br&大部分实业类公司的营销、运营、市场等等职位，说起来其实对专业基本无限制，对数学要求也不高，我个人认为更重要的是与人交往的能力和处理事务的能力；&br&稍微有关一点也是比较常见的，投行、商行、咨询、会计，需要一些会计、公司金融、投资学方面的基础知识，但是以我所知，会计的数学要求好像连微积分都不需要吧……公司金融也是……投资学需要基础的概率论知识，也就资产组合之后需要求导……关键在于，在这些行业，你需要的是用这些工具，而不是设计工具，理解如何使用工具所需要的数学要求并不高。不过这时候影响你的可能是GPA（和学校，有些公司会“简历刷”，看到你简历上不是某些学校就不要），如果由于数学不好而把GPA弄低了确实会反映在简历上。&br&以我的观察，要想本科毕业到好一点的单位工作，实习是必须的，而实习这个东西是攒出来的，你在好一点的公司实习过，你就能够用这份实习经历去换一个更好的单位给你的实习机会，所以我有同学大一就开始实习了。第一份实习一般会找家里帮忙，如果能自己找到那就更好了，如果是大一的话大概是PTA这个水准，各种打杂吧，毕竟什么也没学……如果是大二就可以正式地作为实习生进行实习了，然后就开始一份一份地攒了换更好的工作吧。&br&此外，平时可以多参加比赛，商业案例比赛啦咨询比赛啦会计比赛啦等等等等，我有高中同学在浙大，贝恩杯六强，现在已经成功入职贝恩了。&br&关键还是人脉！人脉！人脉！重要的事情说三遍。无论是攒实习还是参加比赛，你会发现怎么和人相处更加重要，有学长学姐推荐（内推），有同级的同学帮你一起打比赛或是练习面试，才能走得更顺利，自己一个人走就艰难得多了。&br&前（十）几年还有进体制内的学长学姐，但是据我了解现在不多了……详情不清楚……&br&本科毕业就工作的职位，特别需要数学的，我想了想好像也就是Trader了，然而Trader一般就不招本科生（据说博士为主），经管也是因为有过先例才慢慢有人去尝试本科毕业就投Trader的。&br&&br&如果你觉得本科毕业之后还是想继续学习（诶我觉得题主的情况未必……数学不好和GPA不高对于保研和考研都比较尴尬），那么继续读研究生，这里先说“经济or金融”x&硕士or博士&这四大类：&br&经济方向，实证经济学往计量走，理论经济学往模型走，不过趋势貌似是最好又有模型又有计量。计量需要概率论和统计方面的知识，同样的，作为工具掌握的话，本科阶段的计量经济学就够了，不需要专门的数学课程，但是博士阶段，三高（高级微观、高级宏观、高级计量）的学习起码需要实分析、随机过程，最好是学过专门的统计课程，这个数学要求就高了；理论方向，你完全可以建立一个Naive的模型，然而不是很好用就是了，复杂一点的模型，求解比较困难，有时候就会需要上一些数学方面的奇技淫巧……&br&金融方向，金融硕的数学要求低一些，微分方程估计都用不到吧，微积分+概率论，但是金融工程起码需要微分方程吧（比如B-S模型就是解微分方程啦），实分析和随机过程也是要的；金融博，三高应该也是要的……所以这些题主不用考虑了……&br&实际上到了研究生阶段，经济类选择的余地要大的多，比如环境经济、房地产经济、农业经济（这些项目不一定在经济系），国别研究（比如中国研究，可以做中国经济研究嘛~），再比如往数学方面走读统计的也有，再比如心理学方面的行为经济学和行为金融学或者就是纯粹的行为学或心理学，还有商学院常见的决策科学、会计、市场营销等等。&br&&br&&br&所以到了大四的时候就更能体会大一的时候院长一直在说经济学的直觉什么的……即使在今天经济学的数理化程度确实已经非常高了，它也不应当被单纯地归为应用数学的一个分类，而是单独作为一个学科的存在，&b&很多时候问题不在于你不会做这个数学题（真的，大部分时候求导就够用了），而是你如何把这个问题抽象成一个合适的数学题，它能够有一个很漂亮、很符合实际的解，&/b&作为例子，找几篇经济学诺奖得主当年的获奖论文来看看就知道了，真的没有很难的数学（或者说数学就应该不要太难，要简单）。&br&&br&给一个鸡汤例子，提出Lucas Critique的小卢卡斯，之前是学历史的，自学了数学然后写出了那篇获诺奖的论文。（大意如此，细节待考证）&br&（以及吐槽，Lucas Model的数学也就那个从0~1的积分吧……其它的数学也不难……关键是求那个期望太BUG，An educated guess是什么鬼……）&br&&br&再补充一点很重要的，除非你是走学术方向（嘛，其实走学术方向也未必有什么不同），否则大部分情况下你在进入工作岗位后还是需要不断地再学习，我自己在中行实习过，实习内容和我学的完全没关系……但是也不代表学的东西没用，你可以尝试把自己所学的知识用进去，比如我就尝试了下用部门给的数据跑回归……&br&&br&====================昏割线================&br&然后安利下我院同学的公众号：&b&邻家FM&/b&（公众号搜索页面直接搜“邻家FM”即可）&br&这两天正好在连载《离开经管的二十种方式》，今天的文章是“养马”……主人公南希是我同班同学，将要去迪拜养马实习一年然后入职贝恩……&br&所以你看，就算是学经济学，也不影响你成为一个“套马的汉子”……哦不对，套马的女汉子……&br&（学姐看到了请不要打我……）
把本来放在最后的话放到最前面来吧： 发现说了很多主要还是废话为主……而且有很多写得太主观印象了……
所以如果有学长学姐觉得我说的太过偏颇，请不吝赐教~
==================昏割线==================== 这一学年在给大一新生做经济学原…
我大一的时候经常回忆定理的证明，但是现在发现这其实没用。我回忆过的大多数证明都忘记了，除了考试从未用上过。而当你开始读研究生，过了qualify（不一定有），这辈子的考试就算到头了。这时候你十几年的考试成绩就全部作废了，你找工作的时候总不能用考试成绩来充当论文吧？至于现在，做研究太忙，不是要想问题就是要学新东西，根本没时间回忆证明。现在我学会一个东西也比过去要快，因为周围有人给你讲，再加上自己经验丰富，所以很快就知道要点在哪里。&br&&br&学东西一定要知道要点是什么，这个要点是理解上的要点，不一定是证明上的。准确来说，把一个东西想通了，证明就不重要，而这个东西在整体理论框架下的位置，和其他理论的联系是重要的。假如你对这些大图景很清楚，那么用到的时候临时学也是很快的。我所认为的做学问踏实也就是说当你用到一个东西的时候一定要把细节学明白了，不要半懂不懂就急着下结论，这样容易出错。&br&&br&即使是有些证明比较重要，需要知道的也就是证明的要点。一旦证明的要点清楚，对做研究就没有影响了。实在回忆不起来，就找个reference看一看。现在是网络时代，能上Google就足以自学不少数学，Smale大概在十几年前就说，要用网络而不是纸和笔来学数学。找reference的技巧比什么算工，基础扎实之类的重要多了。有些人就是不会找reference，结果吃大亏。其实数学上有些东西是你想破头都想不出来的，这时候找到正确的reference至少是可以给你相关的启发，有时候甚至直接把问题解决了，何乐而不为？至于说计算能力，就更加是低级技能。我15年底在韩国参加一个winter school，当时Ekholm和Oh这两个辛几何界的专家想了半天还是把&img src=&///equation?tex=%5Clog+x& alt=&\log x& eeimg=&1&&的Taylor展开给写错了，我觉得没什么大不了。我还知道这个Taylor展开怎么写只是说明我做研究的年限还不够长。现在可以用Python编程，一些复杂的组合数学计算用编程比你所谓的基础扎实算起来高效得多。说实话，有些人刷了几万道题，积累了一辈子的所谓基础，就是为后半生当个平庸的教书匠准备的。谁的悲哀？&br&&br&这就是为什么有时候我见到某些人数学学得苦大仇深，一副拼老命的样子，整天在那里吭哧吭哧，算啊算，我就知道这个人不行。不少厉害的数学家都很灵巧，不是那种专门挑繁重的体力劳动做的，而是能够既避免那些吃力不讨好的体力劳动，又获得深刻有趣的结果，而把剩下的体力工作留给那些笨拙的人，而中国人往往就会去充当这个笨拙的角色。我实在想不通，为什么我们不能来引领潮流呢？为什么大多数中国数学家都只能以follow别人，解决问题来成名，而不是为数学引入自己的想法，烙上自己的印记？我很欣赏的辛几何学家Ivan Smith，他没有一个工作是特别困难的，有些文章的证明甚至还比较简单，你觉得自己也能做，可是你没有他那种学问，也就不会有类似的想法。我看了他的文章就觉得有趣，就想去发展他的工作，这就是好的数学，尽管可能技术和证明在他的数学里占的比重并不多。不只是我欣赏Smith的数学，现代辛几何的创始人之一，Salamon也很欣赏，可见我的审美并没有错。&br&&br&在我看来，数学更倾向于是构建性的。先利用几何直觉和对整体理论图景的理解确认自己认为是正确并且有意思的问题，然后还是凭着自己对这个图景里每个理论所处位置的了解想明白要证明所希望的结果，每一步大概用什么。然后就是能找reference的就去看reference，reference上没有的，或者虽然有，但是generality不够的，再自己做些工作把它们做出来或者是推广。这就有了把所有观察和直觉严格化所需要的零件，一篇文章就基本完成了。再加几个例子润色一下就更完整。&br&&br&许多人一直推崇什么刷题啊这些笨办法，这是几十年前人们资源不足时的产物。做题适可而止，大家相互攀比谁做的题多更是无聊的。尤其是那种基本的题目，你都会做了，还浪费那个时间去刷它们干嘛？这样效率太低了。我想你要是想进步就得做一些自己不会的题。
我大一的时候经常回忆定理的证明，但是现在发现这其实没用。我回忆过的大多数证明都忘记了，除了考试从未用上过。而当你开始读研究生，过了qualify（不一定有），这辈子的考试就算到头了。这时候你十几年的考试成绩就全部作废了，你找工作的时候总不能用考…
下面我一开始不提梯度的概念，完全根据自己的理解进行下文的梳理，一步一步推出梯度的来历：&br&&ul&&li&&b&导数&/b&&/li&&/ul&导数的几何意义可能很多人都比较熟悉: 当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的变化率。&br&&br&&figure&&img src=&/v2-9d7be84c543e53aea4fa19e7ff87b683_b.png& data-rawwidth=&361& data-rawheight=&73& class=&content_image& width=&361&&&/figure&将上面的公式转化为下面图像为：&br&&figure&&img src=&/v2-ed8881c32_b.png& data-rawwidth=&483& data-rawheight=&357& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&483& data-original=&/v2-ed8881c32_r.png&&&/figure&&p&&i&（来自维基百科）&/i&&/p&&p&直白的来说，导数代表了在自变量变化趋于无穷小的时候，函数值的变化与自变量变化的比值代表了导数，&b&几何意义&/b&有该点的切线。物&b&理意义&/b&有该时刻的（瞬时）变化率...&/p&&p&注意在一元函数中，只有一个自变量变动，也就是说只存在一个方向的变化率，这也就是为什么一元函数没有偏导数的原因。&/p&&ul&&li&&b&偏导数&/b&&/li&&/ul&既然谈到偏导数，那就至少涉及到两个自变量，以两个自变量为例，z=f(x,y) . 从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面. 曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面的一点，切线有无数条。&br&&p&而我们所说的偏导数就是指的是多元函数沿坐标轴的变化率.&/p&&br&&p&&img src=&///equation?tex=f_%7Bx%7D+%28x%2Cy%29& alt=&f_{x} (x,y)& eeimg=&1&&指的是函数在y方向不变，函数值沿着x轴方向的变化率&br&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=f_%7By%7D+%28x%2Cy%29& alt=&f_{y} (x,y)& eeimg=&1&&指的是函数在x方向不变，函数值沿着y轴方向的变化率&br&&/p&&p&对应的图像形象表达如下：&/p&&figure&&img src=&/v2-1acf601a44a71a0d4c41f_b.png& data-rawwidth=&487& data-rawheight=&407& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&487& data-original=&/v2-1acf601a44a71a0d4c41f_r.png&&&/figure&&p&那么偏导数对应的几何意义是是什么呢？&/p&&ul&&li&&b&偏导数&img src=&///equation?tex=f_%7Bx%7D+%28x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D+%29& alt=&f_{x} (x_{0},y_{0} )& eeimg=&1&&就是曲面被平面&img src=&///equation?tex=y%3Dy_%7B0%7D& alt=&y=y_{0}& eeimg=&1&&所截得的曲面在点&img src=&///equation?tex=M_%7B0%7D& alt=&M_{0}& eeimg=&1&&处的切线&img src=&///equation?tex=M_%7B0%7DT_%7Bx%7D& alt=&M_{0}T_{x}& eeimg=&1&&对x轴的斜率&/b&&/li&&li&&b&偏导数&img src=&///equation?tex=f_%7By%7D+%28x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D+%29& alt=&f_{y} (x_{0},y_{0} )& eeimg=&1&&就是曲面被平面&img src=&///equation?tex=x%3Dx_%7B0%7D& alt=&x=x_{0}& eeimg=&1&&所截得的曲面在点&img src=&///equation?tex=M_%7B0%7D& alt=&M_{0}& eeimg=&1&&处的切线&img src=&///equation?tex=M_%7B0%7DT_%7By%7D& alt=&M_{0}T_{y}& eeimg=&1&&对y轴的斜率&/b&&/li&&/ul&&p&&b&可能到这里，读者就已经发现偏导数的局限性了，原来我们学到的偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率，但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率，那么就引出了方向导数.&/b&&/p&&br&&ul&&li&&b&&i&方向导数&/i&&/b&&/li&&/ul&&p&终于引出我们的重头戏了，方向导数，下面我们慢慢来走进它&/p&&br&&p&假设你站在山坡上，相知道山坡的坡度（倾斜度）&/p&&p&山坡图如下：&/p&&figure&&img src=&/v2-48bd2e62e07b381a82c142e_b.png& data-rawwidth=&458& data-rawheight=&482& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&458& data-original=&/v2-48bd2e62e07b381a82c142e_r.png&&&/figure&&p&假设山坡表示为&img src=&///equation?tex=z%3Df%28x%2Cy%29& alt=&z=f(x,y)& eeimg=&1&&,你应该已经会做主要俩个方向的斜率.&/p&&p&y方向的斜率可以对y偏微分得到.&/p&&p&同样的，x方向的斜率也可以对x偏微分得到&/p&&p&那么我们可以使用这俩个偏微分来求出任何方向的斜率（类似于一个平面的所有向量可以用俩个基向量来表示一样）&/p&&p&现在我们有这个需求，想求出&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&方向的斜率怎么办.假设&img src=&///equation?tex=z%3Df%28x%2Cy%29& alt=&z=f(x,y)& eeimg=&1&&为一个曲面，&img src=&///equation?tex=p%28x_%7B0%7D+%2Cy_%7B0%7D+%29& alt=&p(x_{0} ,y_{0} )& eeimg=&1&&为&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&定义域中一个点，单位向量&img src=&///equation?tex=u+%3Dcos%5Ctheta+i%2Bsin%5Ctheta+j& alt=&u =cos\theta i+sin\theta j& eeimg=&1&&的斜率，其中&img src=&///equation?tex=%5Ctheta+& alt=&\theta & eeimg=&1&&是此向量与&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&轴正向夹角.单位向量&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&可以表示对任何方向导数的方向.如下图：&/p&&figure&&img src=&/v2-bcec_b.png& data-rawwidth=&383& data-rawheight=&409& class=&content_image& width=&383&&&/figure&&p&那么我们来考虑如何求出&img src=&///equation?tex=u%0A& alt=&u
& eeimg=&1&&方向的斜率，可以类比于前面导数定义，得出如下：&/p&&p&设&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&&为一个二元函数，&img src=&///equation?tex=u+%3Dcos%5Ctheta+i%2Bsin%5Ctheta+j& alt=&u =cos\theta i+sin\theta j& eeimg=&1&&为一个单位向量，如果下列的极限值存在&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bt+%5Crightarrow+0%7D%7B%5Cfrac%7Bf%28x_%7B0%7D%2Btcos%5Ctheta+%2Cy_%7B0%7D%2Btsin%5Ctheta+%29-f%28x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D%29%7D%7Bt%7D+%7D+& alt=&\lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(x_{0}+tcos\theta ,y_{0}+tsin\theta )-f(x_{0},y_{0})}{t} } & eeimg=&1&&此方向导数记为&img src=&///equation?tex=D_%7Bu%7Df+& alt=&D_{u}f & eeimg=&1&&&br&&/p&&p&则称这个极限值是&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&沿着&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&方向的方向导数，那么随着&img src=&///equation?tex=%5Ctheta+& alt=&\theta & eeimg=&1&&的不同，我们可以求出任意方向的方向导数.这也表明了方向导数的用处，是为了给我们考虑函数对任意方向的变化率.&/p&&p&&i&&b&在求方向导数的时候，除了用上面的定义法求之外，我们还可以用偏微分来简化我们的计算.&/b&&/i&&/p&&p&&i&表达式是&/i&：&img src=&///equation?tex=D_%7Bu%7Df%28x%2Cy%29%3Df_%7Bx%7D%28x%2Cy%29cos%5Ctheta+++%2Bf_%7By%7D%28x%2Cy%29sin%5Ctheta++& alt=&D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)cos\theta
+f_{y}(x,y)sin\theta
& eeimg=&1&&（至于为什么成立，很多资料有，不是这里讨论的重点）&/p&&p&&i&那么一个平面上无数个方向，函数沿哪个方向变化率最大呢？&/i&&/p&&p&目前我不管梯度的事，我先把表达式写出来：&/p&&img src=&///equation?tex=D_%7Bu%7Df%28x%2Cy%29%3Df_%7Bx%7D%28x%2Cy%29cos%5Ctheta+++%2Bf_%7By%7D%28x%2Cy%29sin%5Ctheta++& alt=&D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)cos\theta
+f_{y}(x,y)sin\theta
& eeimg=&1&&&br&&p&设&img src=&///equation?tex=A%3D%28f_%7Bx%7D%28x%2Cy%29+%2Cf_%7By%7D%28x%2Cy%29%29& alt=&A=(f_{x}(x,y) ,f_{y}(x,y))& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=I%3D%28cos%5Ctheta+%2Csin%5Ctheta+%29& alt=&I=(cos\theta ,sin\theta )& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&那么我们可以得到：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=D_%7Bu%7Df%28x%2Cy%29%3DA%5Cbullet+I%3D%5Cleft%7C+A+%5Cright%7C+%2A%5Cleft%7C+I+%5Cright%7C+cos%5Calpha+& alt=&D_{u}f(x,y)=A\bullet I=\left| A \right| *\left| I \right| cos\alpha & eeimg=&1&&(&img src=&///equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&为向量&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&与向量&img src=&///equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&&之间的夹角)&br&&/p&&p&&b&那么此时如果&img src=&///equation?tex=D_%7Bu%7Df%28x%2Cy%29& alt=&D_{u}f(x,y)& eeimg=&1&&要取得最大值，也就是当&img src=&///equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&为0度的时候，也就是向量&img src=&///equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&&（这个方向是一直在变，在寻找一个函数变化最快的方向）与向量&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&（这个方向当点固定下来的时候，它就是固定的）平行的时候，方向导数最大.方向导数最大，也就是单位步伐，函数值朝这个反向变化最快.&/b&&/p&&p&&b&好了，现在我们已经找到函数值下降最快的方向了，这个方向就是和&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&向量相同的方向.那么此时我把A向量命名为梯度（当一个点确定后，梯度方向是确定的），也就是说明了为什么梯度方向是函数变化率最大的方向了！！！（因为本来就是把这个函数变化最大的方向命名为梯度）&/b&&/p&&p&&b&我的理解是，本来梯度就不是横空出世的，当我们有了这个需求（要求一个方向，此方向函数值变化最大），得到了一个方向，然后这个方向有了意义，我们给了它一个名称，叫做梯度（纯个人理解~希望对大家理解有帮助）欢迎知友提出问题交流~&/b&&/p&&br&&p&原文地址：&a href=&/p/& class=&internal&&知乎专栏&/a&&/p&
下面我一开始不提梯度的概念，完全根据自己的理解进行下文的梳理，一步一步推出梯度的来历： 导数导数的几何意义可能很多人都比较熟悉: 当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的…
首先，所有的科学结论都是假说，是目前实验和观测水平下最严谨的解释，而不是绝对真理。我之前写过这方面的分析：&br&&br&&blockquote&所谓科学理论，首先是一套描述事实的自洽假说……同样是逻辑推导，从事实（不管是纯观测的还是实验室的）出发的叫科学，从无法验证的假设（比如上帝至高无上）出发的是神学。&br&&br&事实上，所有的科学理论都是假说，我们挑出眼下最好的假说叫理论。一旦有了新的无法解释的事实，或是有了解释世界更精确的假说，这个理论就退到科学史里面去了。&/blockquote&&br&其次，科学的所谓严谨，不是“必须精确”，而是有什么水平的测量-计算精度，就给出什么水平的结论（假说）。只要结论不超出你的证据，就可以说严谨。比如说，在有人做定量测量实验之前，“重的物体下落更快”都不能说完全不科学，因为它和日常定性观测结论比较匹配，实际上在金星这种大气浓密的地方，这个结论的普适性还挺强的……&br&&br&但是，一旦伽利略用两个密度足够大，能相对忽略空气阻力的物体（铁球）做了实验，旧的规律就必须立刻放弃科学规律的称号，爬到科学史看看能否占个位置。这里关键性的因素是我们有了精确程度更高的实验和测量。而且这个实验可以让别人也来做一遍。这就是之前钟庆同学总结的另一套衡量模式：&br&&br&&blockquote&科学从根本上来讲，就象你说的，就是“&b&可重复，可检验&/b&”的治学态度，在这个意义上，科学也是神学的一种，是一种信仰。你所看到的自然科学能在实践中能很好地满足“可重复，可检验”，是科学家不断用主观“可重复，可检验”去逼近客观的“可重复，可检验”结果。科学只能逼近客观真理，自然科学其实也是根本做不到“可重复，可检验”，因为没有100%重复过程，还是测不准的。 &br&&br&你谈到历史学，在自然科学里对应的是天文学，研究的是天体历史，从历史中总结规律，预测天体的演化趋势。&b&历史是不能重复的，所以天文学其实也是不能重复的。&/b&但历史是相似的，可以&b&把相似条件定义为重复条件，去逐步逼近历史演化的客观规律。&/b&比如说，天文学发现了恒星有诞生消亡的过程，那些星体被人类发现，往往已经过了多少亿年，完全走入了历史。但太阳有与其它恒星的相似性，那么天文学也预测太阳也会最终消亡。 &/blockquote&&br&&blockquote&比如心理学，现在还不能在实践中给予很好的证实和复现，但心理学家和心理学著作，主动地把自己的研究结果公布出来，给出重复条件、检测方法和评价标准，主动让这些学说接受实践检验和时间考验。这说明心理学是信仰科学精神的，科学当然接受心理学为其一个分支。再比如考古学和天文学，实际研究的是历史，人文历史和天体历史。历史可以相似，但不会重复。考古学和天文学把历史作为自己的实验室，&b&把历史的相似条件定义为重复条件&/b&，努力使自己的研究结果可以被重复被检验。既然信仰科学精神，那么考古学和天文学也是科学门类。 &/blockquote&&br&&figure&&img src=&/v2-bfc240e2f34eeb26c77b_b.png& data-rawwidth=&1095& data-rawheight=&570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1095& data-original=&/v2-bfc240e2f34eeb26c77b_r.png&&&/figure&&br&&blockquote&“可重复，可检验”虽然是科学精神和信仰。但实际操作中，却有些问题。“可重复”，&b&实际不可能100%复现原始条件。&/b&“可检验”，则需要建立客观的检测方法和评价标准，这是很困难的事，甚至不可能。为了克服“可重复，可检验”不易操作的问题，退而求其次，即“有不有标准，能不能贯彻标准”。重复条件、检测方法和评价标准可以由自己自由定义，只要在著述中贯彻这个自定义标准。其他人，不论信仰，不论种族肤色，都可以用这自定义的重复条件、检测方法和评价标准去探查事物，得到一致的结论。当然这个一致的结论是基于这个自定义的重复条件、检测方法和评价标准下的一致。 &/blockquote&&br&这里说的很清楚了，你没法保证任何两次实验条件是一样的，历史学和天文学甚至根本没办法做实验，但只要做到有什么精度的证据就说什么话，没人会说你不严谨。之所以有人觉得科学不严谨，是因为他们自己简化了科学结论，忽视了前提（实验精度）和表述（可靠性分析），属于自己树一个靶子自己打。这就没意思了。&br&&br&相关回答：&br&&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&有什么事让你觉得科技远没有我们想象的发达？ - 马前卒的回答 - 知乎&/a&&br&&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&这个世界上有足球、篮球转播，为啥没有数学、物理竞赛的转播呢？ - 马前卒的回答 - 知乎&/a&&br&&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&有哪些原理简单，但是设计精妙，让人感到惊艳的设计或机械结构？ - 马前卒的回答 - 知乎&/a&
首先，所有的科学结论都是假说，是目前实验和观测水平下最严谨的解释，而不是绝对真理。我之前写过这方面的分析： 所谓科学理论，首先是一套描述事实的自洽假说……同样是逻辑推导，从事实（不管是纯观测的还是实验室的）出发的叫科学，从无法验证的假设（…
本人数学博士，研究方向为分析和偏微分方程。&br&下面我回答以下你给出的问题。&br&&br&1. 其实数学里面真正的“&b&公理”&/b&很少，绝大部分结果都是可以被证明出来的，我没研究过数理逻辑就不不乱说了。数学最重要的东西是研究概念，和&b&“发现&/b&”这些&b&概念&/b&之间的&b&“关系”。 &/b&关系可以是公式，论断，不等式估计。举例，我定义了“连续”，“黎曼可积”，“可导”之后，就自然会有问题，一个函数的这三个性质会有什么关系？这些关系不是我们创造的，是我们发现的，&b&因为只要概念被定义出来了，联系就在那里，静静等待我们的发现。 &/b&为什么可以推出那么多“公式”，因为我们创造了很多很多的&b&“定义”。只要我们给一个新的定义以生命，它就不可避免的要和其他定义产生羁绊，这是命运啊！&/b&&br&&br&&br&2. 我不懂什么叫信息论，但是直觉告诉我，你也不懂，不要乱用你不懂的定义。&br&&br&3. 掌握数学变换不是高等数学本质的问题，数学变换只是一个思维方法，并不本质。不要觉得掌握这个就能大杀四方了。如果你看清楚我以上论述，本质是去定义一个&b&新的概念，并且研究这些概念之间的本质联系。&/b&作为数学的初学者，你要经常思考这样这样一个问题&b&：&/b&&br&&b&“为什么要引入这个定义？它有什么优点和缺点，这个定义是“最好的”吗？这个定义和其他概念之间有什么关系”&/b&&br&一个“连续”就可以玩出下面几个变化：&br&弱连续，弱*连续，强连续，算子拓扑连续，一致连续，在范数下的连续，&br&积分：&br&黎曼积分，勒贝格积分，伊藤积分，Bocher积分&br&导数：&br&古典微分，广义函数意义上的微分，测度的微分&br&&br&&br&4. 要掌握数学演绎，我觉得不需要去读什么专门的书（罗素之类的），只要你好好的学习高等代数和抽象代数，基本就能理解号数学演绎了，你之所以没有掌握好数学演绎是因为高中数学没什么很多的&b&定义&/b&。侧重点也是在应用数学工具去解决一些特意的题目。其实没什么价值。&br&&br&5. 给入门者的几个建议：&br&a.&b&重视概念，重视概念，&/b&&b&重视概念！&/b&&br&&b&b.要养成严谨的逻辑思维。&/b&&br&&b&c 构建自己的思维宫殿：&/b&把掌握的知识和概念在脑海内串联在一起，把它们变成自己血肉的一部分，人类在掌握新技能后，大脑在“物理结构”上是会改变的。
本人数学博士，研究方向为分析和偏微分方程。 下面我回答以下你给出的问题。 1. 其实数学里面真正的“公理”很少，绝大部分结果都是可以被证明出来的，我没研究过数理逻辑就不不乱说了。数学最重要的东西是研究概念，和“发现”这些概念之间的“关系”。 关…
&p&谢邀。&/p&&p&&img src=&///equation?tex=lim_%7Bx%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bln%281%2Bx%29%7D%7Bx%7D%3Dlim_%7Bx%5Cto+0%7Dln%281%2Bx%29%5E%7B1%2Fx%7D%3Dlne%3D1.& alt=&lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=lim_{x\to 0}ln(1+x)^{1/x}=lne=1.& eeimg=&1&&
很多人学数分的时候可能没想过e的定义为什么要定义成那样吧？现在明白了吧。&/p&
谢邀。lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=lim_{x\to 0}ln(1+x)^{1/x}=lne=1. 很多人学数分的时候可能没想过e的定义为什么要定义成那样吧？现在明白了吧。
&p&&b&（为什么收藏的人比赞的人还多呀！好气！）&/b&&/p&&p&高数应该是高中进入大学之后的第一门数学课了，同时也是学分比较高的一门课了。&/p&&p&怎么学好高数，应该是很多人都在思考的一件事情了。以下是我个人的一些看法，仅供参考吧！&/p&&p&首先，分析一下为什么学不好高数的吧。一个很重要的点就是：大学的数学教学方式和高中的很不一样。在高中，围绕一个小的知识点，老师可以反复地讲几节课，而且不断的做重复知识点的练习，而且一周都有好几次数学课，不断重复地去接触知识点；但是在大学数学课堂里，老师的节奏很快，可能一节课里面老师可以讲好几个小节的知识点，定义概念，定理公式，而且大学的教学里面没有所谓地复习，每次课都是新的东西，同时，一周也就两次或者一次上数学课的时间，也就是说在大学里面，就是老师教的时间少，但是教的的内容量却特别的多。所以在大学里面，跟不上老师的节奏的同学就慢慢地掉队了，随着一周一周地积累，也就越来越学不动了。&/p&&p&接下来说一下怎么样学好高中的一些建议的吧。&/p&&p&1.如果有时间可以先预习一下老师要讲的内容，能看懂多少就看多少的吧。&/p&&p&2.如果第一条做不到，其实也没有关系（因为应该有很大一部分人都没法做得到的吧）。没有了预习环节，那么做好复习工作就显得尤为重要。老师讲完课之后，一定要及时地复习一下知识点，千万不要隔天。如果隔一两天再来看之前老师讲的内容，肯定看得很费劲的，而且效果肯定也不怎么好的。所以记住：老师当天讲完课之后，一定要在当天及时地复习强化相应的知识点。复习的重要手段就是：多看书多做题。不仅要能看懂书上教材的例子，也要多做一些相应的练习题。&/p&&p&3.除了老师使用的教材，一定要多备至少一本参考书。这个还蛮重要的吧。因为不同人编写的教材，对定义定理的理解深浅重要性以及陈述可能都会有些差别的，找的例子，练习题也不尽相同的。通过对比不同教材，可以更容易理解知识点，同时也可以逐渐地找到属于自己的陈述理解风格。&/p&&p&4.要尝试记住一些做过的题目的结论。大学里面的有些例子，不仅仅单单是例子，也是一些常用的结论，对于后面的理解或者解题都是很有帮助的！所以要对你做过的题目要有印象！做题的时候要多思考，不要单单地以做对最后的结果为目的。有时候解题的过程和方法才是重要的，反而结论并不是那么重要！&/p&&p&5.主观上一定要重视数学！重视了才会花时间去学习，花时间进去了，才有大概率学懂学会高数！&/p&&p&&br&&/p&&p&学数学的，文笔不好，可能有些语句并不怎么通顺，请见谅！（求赞一个，第一次码那么多字，不容易！）&/p&&p&&br&&/p&&p&——————————————分割线——————————————&/p&&p&&br&&/p&&p&从万能的淘宝上找的几本相关的辅导书：&/p&&p&&br&&/p&&p&1。淘宝封面如下，&a href=&///?target=https%3A//s./wUrIUaw& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&链接在此&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&figure&&img src=&/v2-934ecfbee7a9fedf9e4c9790_b.jpg& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-934ecfbee7a9fedf9e4c9790_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&2。淘宝封面如下，&a href=&///?target=https%3A//s./h1xHUaw& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&链接在此&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&figure&&img src=&/v2-16baf8fda87e_b.jpg& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-16baf8fda87e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&3。淘宝封面如下，&a href=&///?target=https%3A//s./yieHUaw& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&链接在此&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&figure&&img src=&/v2-76ce9e64c176b84f0c0c83b729ed31bc_b.jpg& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-76ce9e64c176b84f0c0c83b729ed31bc_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&4。淘宝封面如下，&a href=&///?target=https%3A//s./r3THUaw& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&链接在此&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&figure&&img src=&/v2-19cbff8f30d9_b.jpg& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-19cbff8f30d9_r.jpg&&&/figure&
（为什么收藏的人比赞的人还多呀！好气！）高数应该是高中进入大学之后的第一门数学课了，同时也是学分比较高的一门课了。怎么学好高数，应该是很多人都在思考的一件事情了。以下是我个人的一些看法，仅供参考吧！首先，分析一下为什么学不好高数的吧。一个…
&p&&b&（为什么回答这种推荐书籍的问题，收藏的人总是比赞的人还多呀！好气！）&/b&&/p&&p&国外英文版本的：&b&（优先推荐看英文版本的哦）&/b&&/p&&p&1。Kuttler-LinearAlgebra-AFirstCourse-YorkU-MATH1021-Fall2015 百度网盘：&/p&&p&链接: &a href=&///?target=https%3A///s/1eSdBi0a& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/s/1eSdBi0&/span&&span class=&invisible&&a&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 密码: 7iti&/p&&figure&&img src=&/v2-aa8e6f5db1e4775f2eacfb8ac54ccdb8_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&557& data-rawheight=&704& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&557& data-original=&/v2-aa8e6f5db1e4775f2eacfb8ac54ccdb8_r.jpg&&&/figure&&p&2。Linear algebra done right, 3rd Edition, 2015
百度网盘：&/p&&p&链接: &a href=&///?target=https%3A///s/1c2F8SJu& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/s/1c2F8SJ&/span&&span class=&invisible&&u&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 密码: 4aju&/p&&figure&&img src=&/v2-c7e8fca442a2eeb36f03ddcaca918bf7_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&481& data-rawheight=&742& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&481& data-original=&/v2-c7e8fca442a2eeb36f03ddcaca918bf7_r.jpg&&&/figure&&p&3。Introduction to Linear Algebra, 4th edition--Gilbert Strang
百度网盘：&/p&&p&链接: &a href=&///?target=https%3A///s/1kVf2Kyb& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/s/1kVf2Ky&/span&&span class=&invisible&&b&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 密码: syx6&/p&&figure&&img src=&/v2-13fb19b6c8d3d29fefc2e85_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&521& data-rawheight=&732& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&521& data-original=&/v2-13fb19b6c8d3d29fefc2e85_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&国内的版本：&/p&&p&&b&国内的参考书，如果你们的老师有推荐的参考书，建议优先使用老师推荐的！&/b&&/p&&p&如果任课老师没有推荐，推荐使用同济版的！&/p&&p&&br&&/p&&p&从万能的淘宝上找的几本相关的辅导书：&/p&&p&1。淘宝封面如下，&a href=&///?target=https%3A//s./t%3Fe%3Dm%253D2%D%252BFrPDFCxhvgcQipKwQzePOeEDrYVVa64K7Vc7tFgwiHjf2vlNIV67gybPmttgXvR%252FpU2SWJU0cLoFMszjBCaofHaQ7lUnR27W8GNStBTDlvA3nhmwS24eUgZMvk9zhYwFy4IZxOcEoi9SOa%252FJVEJfLtGqf%252BK%252B4Tm%26pvid%3D10_58.200.129.144_719_2& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&链接在此&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&figure&&img src=&/v2-c447f560c01d430a02fede_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-c447f560c01d430a02fede_r.jpg&&&/figure&&p&2。淘宝封面如下，&a href=&///?target=https%3A//s./t%3Fe%3Dm%253D2%DlP1Ul0BUWzscQipKwQzePOeEDrYVVa64K7Vc7tFgwiHjf2vlNIV67m59uNUGpjGDz%252BnB8CFd%252BwLoFMszjBCaofHaQ7lUnR27W8GNStBTDlvS%252B114oWnfTwUOOdPFRgNrlrfKbc84rldpcWPfdedynOLMfcrKAy76xiXvDf8DaRs%253D%26pvid%3D10_58.200.129.144_719_2& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&链接在此&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&figure&&img src=&/v2-76ce9e64c176b84f0c0c83b729ed31bc_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-76ce9e64c176b84f0c0c83b729ed31bc_r.jpg&&&/figure&&p&3。淘宝封面如下，&a href=&///?target=https%3A//s./t%3Fe%3Dm%253D2%DtSuqTFYWVFUcQipKwQzePOeEDrYVVa64K7Vc7tFgwiHjf2vlNIV67qP4%252FxwuSd4%252FxeoNewupcd7oFMszjBCaofHaQ7lUnR27W8GNStBTDlvA3nhmwS24eUgZMvk9zhYwrO7VWU786epOKt%252Bn%252FsTCeggsD3aJ6KDe%26pvid%3D10_58.200.129.144_719_2& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&链接在此&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&figure&&img src=&/v2-148af69f390a7f9d24b33d54a287ade6_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-148af69f390a7f9d24b33d54a287ade6_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&4。淘宝封面如下，&a href=&///?target=https%3A//s./t%3Fe%3Dm%253D2%DpIPj7jD9I7ocQipKwQzePOeEDrYVVa64K7Vc7tFgwiHjf2vlNIV67u1X7pX%252F7LF4tTN3K9waqqjoFMszjBCaofHaQ7lUnR27W8GNStBTDlvj3ywtj1j4aUlFqtBKwlqOFy4IZxOcEogR4m%252FcTcV7cj26Jdy48stq%26pvid%3D10_58.200.129.144_719_2& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&链接在此&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&figure&&img src=&/v2-64c332eeee54a78dfa1b_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-64c332eeee54a78dfa1b_r.jpg&&&/figure&
（为什么回答这种推荐书籍的问题，收藏的人总是比赞的人还多呀！好气！）国外英文版本的：（优先推荐看英文版本的哦）1。Kuttler-LinearAlgebra-AFirstCourse-YorkU-MATH1021-Fall2015 百度网盘：链接:
密码: 7iti2。Linear algebra d…
&p&首先 &img src=&///equation?tex=x%5E2& alt=&x^2& eeimg=&1&& 是无限次可导，别看不起0，人家很努力的，它可是印度人们的伟大贡献，你敢辱印吗？ 第二，无限次可导有时候叫“光滑性”，顾名思义，它的曲线光滑的，反之，那些不光滑有尖角的函数就不可能是无限次可导（甚至未必可导），比如 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%7Cx%7C& alt=&f(x)=|x|& eeimg=&1&& ，它就不是“光滑”的。 第三，我真是闲得蛋疼回答这种问题。 &/p&&p&好吧，我自己提升一下难度，我猜你说的“没有无限次导数”其实是“在每个点数次导数之后归零”。那么，有下面的结果：假设一个光滑函数 &img src=&///equation?tex=f%3A%5B0%2C1%5D%5Cto+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&f:[0,1]\to \mathbb{R}& eeimg=&1&& 满足：对于任意一个点 &img src=&///equation?tex=x%5Cin+%5B0%2C1%5D& alt=&x\in [0,1]& eeimg=&1&& ,都存在一个整数 &img src=&///equation?tex=n%28x%29& alt=&n(x)& eeimg=&1&& （也就是说此处的整数n可以依赖于 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& ）使得 &img src=&///equation?tex=f%5E%7B%28n%29%7D%28x%29%3D0& alt=&f^{(n)}(x)=0& eeimg=&1&& ， 那么可以证明这个函数一定是一个多项式。如果这个整数是一致的（不依赖于 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& ）, 那么这个结论是显然的。但是一般情形就没那么简单了，关键的技巧是一个叫做baire纲技巧的东西：&/p&&p&&a href=&///?target=https%3A//mathoverflow.net/questions/34059/if-f-is-infinitely-differentiable-then-f-coincides-with-a-polynomial& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&If $f$ is infinitely differentiable then $f$ coincides with a polynomial&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，&/p&&p&那么你的问题就有回答了，&b&不是多项式的光滑函数必然不可能在每个点都可以在多次导数后归零&/b&。哦对了，存在一个变态的函数叫Fabius函数，这个函数光滑，而且在一个稠密集合上满足多次求导后归零，但是这个函数不是多项式。&/p&&p&&a href=&///?target=https%3A//mathoverflow.net/questions/16829/what-are-your-favorite-instructional-counterexamples/5& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&What are your favorite instructional counterexamples?&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&现在我说的这些东西可以算高等数学了。&/p&
首先 x^2 是无限次可导，别看不起0，人家很努力的，它可是印度人们的伟大贡献，你敢辱印吗？ 第二，无限次可导有时候叫“光滑性”，顾名思义，它的曲线光滑的，反之，那些不光滑有尖角的函数就不可能是无限次可导（甚至未必可导），比如 f(x)=|x| ，它就不…
&p&之前我写过一篇文章： &a href=&/question//answer/& class=&internal&&关于牛顿插值法的&/a& ，其中解释了什么是插值法？为什么要有插值法？大家对此感兴趣可以去看看。&/p&&p&还有另外一种插值法，叫做拉格朗日插值法，也是以大牛冠名的，我们来看看它是怎么推导的？&/p&&p&&b&1 拉格朗日插值法&/b&&/p&&p&比如说，已知下面这几个点，我想找到一根穿过它们的曲线：&/p&&figure&&img src=&/v2-f7a1a7fd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&/v2-f7a1a7fd_r.jpg&&&/figure&&p&使用多项式画出这根曲线是完全可行的，关于这点可以参看我写的 &a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何理解泰勒公式？&/a&。&/p&&p&我们可以合理的假设，这根曲线是一个二次多项式：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=y+%3D+a_0+%2B+a_1x+%2B+a_2x%5E2%5C%5C& alt=&y = a_0 + a_1x + a_2x^2\\& eeimg=&1&&&/p&&p&这是因为有三个已知的点，可以通过下列方程组解出这个二次多项式：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=+%5Cbegin%7Bcases%7D+y_1+%3D+a_0+%2B+a_1x_1+%2B+a_2x_1%5E2%5C%5C+y_2+%3D+a_0+%2B+a_1x_2+%2B+a_2x_2%5E2%5C%5C+y_3+%3D+a_0+%2B+a_1x_3+%2B+a_2x_3%5E2+%5Cend%7Bcases%7D+%5C%5C& alt=& \begin{cases} y_1 = a_0 + a_1x_1 + a_2x_1^2\\ y_2 = a_0 + a_1x_2 + a_2x_2^2\\ y_3 = a_0 + a_1x_3 + a_2x_3^2 \end{cases} \\& eeimg=&1&&&/p&&p&不过这里不打算通过解方程来得到这根二次曲线，我们来看看拉格朗日是怎么解出这根曲线的？&/p&&p&&b&1.1 拉格朗日的思考&/b&&/p&&figure&&img src=&/v2-f15e3bd0ce8d26bf9492_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&235& data-rawheight=&264& class=&content_image& width=&235&&&/figure&&p&约瑟夫·拉格朗日伯爵（1736 － 1813），可能是这么思考的。&/p&&p&首先，肯定得是二次曲线，这个之前我们就已经说明过了。&/p&&p&其次，拉格朗日认为可以通过三根二次曲线相加来达到目标。那这是怎么的三根二次曲线呢？&/p&&p&第一根曲线 &img src=&///equation?tex=f_1%28x%29& alt=&f_1(x)& eeimg=&1&& ，在 &img src=&///equation?tex=x_1& alt=&x_1& eeimg=&1&& 点处，取值为1，其余两点取值为0：&/p&&figure&&img src=&/v2-085cca3fb3f1c23c0d138_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&/v2-085cca3fb3f1c23c0d138_r.jpg&&&/figure&&p&为什么这么做？看下去就知道了。&/p&&p&第二根曲线 &img src=&///equation?tex=f_2%28x%29& alt=&f_2(x)& eeimg=&1&& ，在 &img src=&///equation?tex=x_2& alt=&x_2& eeimg=&1&& 点处，取值为1，其余两点取值为0：&/p&&figure&&img src=&/v2-cbd46c5c9f5d45f7944b3a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&/v2-cbd46c5c9f5d45f7944b3a_r.jpg&&&/figure&&p&第三根曲线 &img src=&///equation?tex=f_3%28x%29& alt=&f_3(x)& eeimg=&1&& ，在 &img src=&///equation?tex=x_3& alt=&x_3& eeimg=&1&& 点处，取值为1，其余两点取值为0：&/p&&figure&&img src=&/v2-276e27d2c27f49cbdf7ce_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&/v2-276e27d2c27f49cbdf7ce_r.jpg&&&/figure&&p&这三根曲线就是拉格朗日需要的，我们来看看为什么？&/p&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=y_1f_1%28x%29& alt=&y_1f_1(x)& eeimg=&1&& 可以保证，在 &img src=&///equation?tex=x_1& alt=&x_1& eeimg=&1&& 点处，取值为 &img src=&///equation?tex=y_1& alt=&y_1& eeimg=&1&& ，其余两点取值为0。&/li&&li&&img src=&///equation?tex=y_2f_2%28x%29& alt=&y_2f_2(x)& eeimg=&1&& 可以保证，在 &img src=&///equation?tex=x_2& alt=&x_2& eeimg=&1&& 点处，取值为 &img src=&///equation?tex=y_2& alt=&y_2& eeimg=&1&& ，其余两点取值为0。&/li&&li&&img src=&///equation?tex=y_3f_3%28x%29& alt=&y_3f_3(x)& eeimg=&1&& 可以保证，在 &img src=&///equation?tex=x_3& alt=&x_3& eeimg=&1&& 点处，取值为 &img src=&///equation?tex=y_3& alt=&y_3& eeimg=&1&& ，其余两点取值为0。&/li&&/ul&&p&那么：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Dy_1f_1%28x%29%2By_2f_2%28x%29%2By_3f_3%28x%29%5C%5C& alt=&f(x)=y_1f_1(x)+y_2f_2(x)+y_3f_3(x)\\& eeimg=&1&&&/p&&p&可以一一穿过这三个点，我们来看看：&/p&&figure&&img src=&/v2-369e7b90a0dd39b0e1fd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&479& data-rawheight=&397& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&479& data-original=&/v2-369e7b90a0dd39b0e1fd_r.jpg&&&/figure&&p&拉格朗日伯爵说，看，这三根曲线就可以组成我在寻找的曲线：&/p&&figure&&img src=&/v2-32cff0b00e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&/v2-32cff0b00e_r.jpg&&&/figure&&p&真的是非常精彩的思考啊。&/p&&p&&b&1.2 插值法的推导&/b&&/p&&p&到了严格化的时候了，我们用符号来表示 &img src=&///equation?tex=f_+i%28x_+j%29%2Ci%3D1%2C2%2C3%2Cj%3D1%2C2%2C3& alt=&f_ i(x_ j),i=1,2,3,j=1,2,3& eeimg=&1&& 。&/p&&p&首先， &img src=&///equation?tex=f_+i& alt=&f_ i& eeimg=&1&& 必须是二次函数。&/p&&p&其次，需要满足的条件：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=+f_+i%28x_+j%29%3D%5Cbegin%7Bcases%7D+1%26+i%3Dj%5C%5C+0%26+i%5Cne+j%5Cend%7Bcases%7D+%5C%5C& alt=& f_ i(x_ j)=\begin{cases} 1& i=j\\ 0& i\ne j\end{cases} \\& eeimg=&1&&&/p&&p&那么，如下构造 &img src=&///equation?tex=f_1%28x%29& alt=&f_1(x)& eeimg=&1&& 很显然可以满足上述条件（代值进去就可以验算）：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+f_1%28x%29%3D%5Cfrac%7B%28x-x_2%29%28x-x_3%29%7D%7B%28x_1-x_2%29%28x_1-x_3%29%7D%5C%5C& alt=&\displaystyle f_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&更一般的有：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+f_+i%28x%29%3D%5Cprod+_%7Bj%5Cne+i%7D%5E%7B1%5Cleq+j+%5Cleq+3%7D%5Cfrac%7B%28x-x_+j%29%7D%7B%28x_+i-x_+j%29%7D%5C%5C& alt=&\displaystyle f_ i(x)=\prod _{j\ne i}^{1\leq j \leq 3}\frac{(x-x_ j)}{(x_ i-x_ j)}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&因此，最终我们得到：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+f%28x%29%3D%5Csum+_%7Bi%3D1%7D%5E3+y_+if_+i%28x%29%5C%5C& alt=&\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^3 y_ if_ i(x)\\& eeimg=&1&&&/p&&p&这就是拉格朗日插值法。上面的思路要推广到更多点的插值也非常容易。&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&牛顿插值法的&/a& 也是多项式插值法，拉格朗日插值法也是多项式插值法，那么，两者得到的多项式是否是同一个多项式？&/p&&p&&b&2 拉格朗日插值法、牛顿插值法、范德蒙行列式&/b&&/p&&p&要回答刚才提出的问题，得看看我们最早提出的方程组怎么解？&/p&&p&&img src=&///equation?tex=+%5Cbegin%7Bcases%7D+y_1+%3D+a_0+%2B+a_1x_1+%2B+a_2x_1%5E2%5C%5C+y_2+%3D+a_0+%2B+a_1x_2+%2B+a_2x_2%5E2%5C%5C+y_3+%3D+a_0+%2B+a_1x_3+%2B+a_2x_3%5E2+%5Cend%7Bcases%7D+%5C%5C& alt=& \begin{cases} y_1 = a_0 + a_1x_1 + a_2x_1^2\\ y_2 = a_0 + a_1x_2 + a_2x_2^2\\ y_3 = a_0 + a_1x_3 + a_2x_3^2 \end{cases} \\& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%28x_1%2Cy_1%29%2C%28x_2%2Cy_2%29%2C%28x_3%2Cy_3%29& alt=&(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)& eeimg=&1&& 这三个点是已知的，所以上面实际是一个线性方程组：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=+%5Cunderbrace%7B%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+y_1+%5C%5C+y_2+%5C%5C+y_3+%5Cend%7Bpmatrix%7D%7D_%7B%5Cvec%7By%7D%7D%3D%5Cunderbrace%7B%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+1+%26+x_1+%26+x_1%5E2+%5C%5C+1+%26+x_2+%26+x_2%5E2+%5C%5C+1+%26+x_3+%26+x_3%5E2+%5Cend%7Bpmatrix%7D%7D_%7BA%7D%5Cunderbrace%7B%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+a_0+%5C%5C+a_1+%5C%5C+a_2+%5Cend%7Bpmatrix%7D%7D_%7B%5Cvec%7Ba%7D%7D+%5C%5C& alt=& \underbrace{\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}}_{\vec{y}}=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}}_{\vec{a}} \\& eeimg=&1&&&/p&&p&简写就是：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cvec%7By%7D%3DA%5Cvec%7Ba%7D%5C%5C& alt=&\vec{y}=A\vec{a}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 就是所谓的范德蒙矩阵， &img src=&///equation?tex=%7CA%7C& alt=&|A|& eeimg=&1&& 自然就是范德蒙行列式。&/p&&p&根据 &a href=&/question//answer/& class=&internal&&矩阵与线性方程组解的关系&/a& ，如果 &img src=&///equation?tex=%7CA%7C%5Cne+0& alt=&|A|\ne 0& eeimg=&1&& ，那么此方程就只有唯一的解，自然牛顿插值法、拉格朗日插值法得到的就是同一根多项式曲线。&/p&&p&求一下 &img src=&///equation?tex=%7CA%7C& alt=&|A|& eeimg=&1&& ，先把 &img src=&///equation?tex=r_2-r_1%2Cr_3-r_1& alt=&r_2-r_1,r_3-r_1& eeimg=&1&& ，得到（ &img src=&///equation?tex=r_1& alt=&r_1& eeimg=&1&& 表示第一行，以此类推。这么做是不会改变行列式的值的）：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%2A%7D+%7CA%7C%26+%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D+1+%26+x_1+%26+x_1%5E2+%5C%5C+0+%26+x_2-x_1+%26+x_2%5E2-x_1%5E2+%5C%5C+0+%26+x_3-x_1+%26+x_3%5E2-x_1%5E2+%5Cend%7Bvmatrix%7D%5C%5C+%26+%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D+x_2-x_1+%26+x_2%5E2-x_1%5E2+%5C%5C+x_3-x_1+%26+x_3%5E2-x_1%5E2+%5Cend%7Bvmatrix%7D%5C%5C+%26+%3D%28x_3-x_1%29%28x_3-x_2%29%28x_2-x_1%29+%5Cend%7Balign%2A%7D%5C%5C& alt=&\begin{align*} |A|& =\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 0 & x_2-x_1 & x_2^2-x_1^2 \\ 0 & x_3-x_1 & x_3^2-x_1^2 \end{vmatrix}\\ & =\begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_2^2-x_1^2 \\ x_3-x_1 & x_3^2-x_1^2 \end{vmatrix}\\ & =(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_2-x_1) \end{align*}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&从给出的三个点来看， &img src=&///equation?tex=x_1%2Cx_2%2Cx_3& alt=&x_1,x_2,x_3& eeimg=&1&& 都不相等，所以 &img src=&///equation?tex=%7CA%7C%5Cne+0& alt=&|A|\ne 0& eeimg=&1&& 。&/p&&p&所以，牛顿插值法、拉格朗日插值法得到的是同一根多项式曲线。&/p&
之前我写过一篇文章：
，其中解释了什么是插值法？为什么要有插值法？大家对此感兴趣可以去看看。还有另外一种插值法，叫做拉格朗日插值法，也是以大牛冠名的，我们来看看它是怎么推导的？1 拉格朗日插值法比如说，已知下面这几个点，我想…
&p&作为我的研究方向，我简单地介绍一下张量网络是什么，以及它有什么应用。&/p&&p&1. 张量（tensor）&br&张量网络中的张量，和微分几何和GR中的张量场并不完全相同。在微分几何中，一点处的张量是基于流形上该点的切空间的。一个(m,n)型张量是指将m个协变矢量（余切矢量，cotangent vector）和n个逆变矢量（切矢量，tangent vector）映射到数域上的多重线性映射。取定一组基，这个多重线性映射可以用一系列分量表示出来。这些分量当然和基的选取有关。在张量网络中，我们通常不会去作坐标变换，因此，任何一个具有n个指标的分量集合就称为一个张量。例如，christoffel符号在几何意义上不构成张量，但它是可以出现在张量网络中的。&/p&&p&2.量子力学里的张量&br&量子力学有一个基本假设，复合系统的Hilbert空间是其子系统Hilbert空间的张量积。因此，多体波函数天然就是一个张量。对于n体系统来说，它的波函数是一个n阶张量。当然，由于维数相同的线性空间是同构的，所以也可以把波函数看成一个矢量，这个矢量的维数是d^n。n体系统的哈密顿量是d^n维的矩阵，当然也可以看成一个(n,n)型的张量。单体算子可以看成2阶张量。两体算子可以看成d^2维的二阶张量，也可以看成维数为d的（2，2）型（四阶）张量。&br&量子力学中所有可观测量的平均值都可以写成内积，从矩阵的观点看这是二次型。如果波函数是一个张量的形式，算符也可以写成局域张量的求和，那么算符的平均值也可以看作这些张量的缩并的和。&/p&&p&3. 张量网络