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智海爽鹰（6-1）
第十六章 王老鹰首先说：“二十世纪有许多重大的科学成果，我们还没有讨论。当然，我们也不可能讨论太多的问题。下面，我们讨论一个哲学味道较浓的问题好不好？”得到一致同意以后，王老鹰接着说：“1931、、任何形式化数学公理规则体系都是‘不完备’的，因为它总是存在着一个不能被证明是正确的，也不能被证明是错误的命题。”刘小鹰打断了他的话：“我听说过王老鹰不慌不忙地说：“哥德尔不完备定理的证明中，没有考虑所有可能的情况。首先，没有考虑某些会导致错误结果。我们先说一下选择公理，通俗地讲，选择公理是说：对任何一些非空集合，都有一个方法从它们中的每个集合中各选出一个元素来。再通俗一点，还可以说：如果一群人中的每一个人身上都藏有糖果，则总有一个方法从其中的每个人身上取出一粒糖果。数学中的许多定理都要用到选择公理来证明，选择公理是现代数学中的一个基本原理。但是，从选择公理可以证明荒谬的分球定理：一个球可以特殊的方法分解和重新组合成两个大小和原来一样的球。以此类推，一个球就可以变成为无数个球。如果考虑这种从公理出发可以导致错误结果的情况，就应当承认：在某些情况下，分球定理一样刘小鹰又打断了他的话：“分球定理出现以后，当时的学者是不是就不再应用选择公理了？分球定理又是什么态度？另外，在哥德尔不完备定理的证明中，只考虑了一个命题能证明、能证伪、不能证明、不能证伪这四种情况及其组合，例如不能证明，也不能证伪的情况；而没有考虑所有可能的情况。实际上，除了上述四种情况及其组合以外，还有多种不确定情况，包括某些情况下能证明、某些情况下不能证明，某些情况下能证伪、某些情况下不能证伪，某些情况下能证明、某些情况下能证伪，某些情况下不能证明、某些情况下不能证伪，某些情况下能证明、某些情况下不能证明也不能证伪，等等情况。由于有众多的情况没有考虑，因此可以说：哥德尔不完备定理的证明有误，至少是不全面的。为了便于理解，我们考虑一个极端的情况。对于一个哥德尔不完备定理所说的‘一个不能证明，也不能证伪的命题’，假设对于这个命题需要讨论的情况有10000种，其中有9999种情况能证明这个命题，只有1种情况对于这个命题‘不能证明，也不能证伪’，这种状况在哥德尔不完备定理的证明中考虑了吗？也许有人说，这种状况可以归结为‘不能证明，也不能证伪’的情况。但是这种归结合理吗？如果1种情况可以代表全部情况，许多成熟的理论就不能应用。例如广义相对论会产生奇点问题，万有引力定律也不允许距离r=0,难道广义相对论和万有引力定律都不能应用了吗？同样，将这种状况归结为‘可以证明’也不能被认为是合理的。此外，将哥德尔不完备定理用于哥德尔不完备定理本身，可以得出这样一种可能性：在所有形式化数学公理规则体系中，可能在某一个体系中，哥德尔不完备定理不能被证明，也不能被证伪。如果能够考虑所有可能的情况，原则上就可以将哥德尔不完备定理加以改正或改进。但是，茫茫宇宙是千变万化、极为复杂的，‘考虑所有可能的情况’是不可能的。所以，王老鹰和我共同提出，改正哥德尔不完备定理，使之成为不完备公理。下面请王老鹰介绍不完备公理。”王老鹰接着说：“任何形式化数学公理规则体系中存在的任何命题，都T%I%F%刘小鹰拍手称快：“”接下来刘小鹰和两位夫人又提出，能不能谈一些轻松有趣的话题？王老鹰说：“王老鹰却说：“可是大哲学家罗素提出过许多悖论。罗素悖论中有一个很通俗也很有名的例子就是‘理发师悖论’：某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。那么就产生了一个问题：理发师究竟给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他又不该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。我的考虑是：理发师的这个宣布没有产生了矛盾。首先，许多文献将乡村中的人分为两种人：自己刮胡子的人和让理发师刮胡子的人。这是不全面的，还有第三种人：不自己刮胡子也不让理发师刮胡子的人。如果理发师宣称自己是第三种人而且今后不再刮胡子，就没有矛盾了。另外，如果理发师的妈妈不是理发师，理发师可是让她刮胡子。其次，理发师能否给某人刮胡子，还要看那个人同意不同意。理发师不能给所有不自己刮胡子人刮胡子，理发师只能给不自己刮胡子且愿意让理发师刮胡子的人刮胡子。理发师不能给不自己刮胡子但是又不愿意让理发师刮胡子的人刮胡子。因此，理发师可以不给自己刮胡子，而且说：‘我自己不让我给自己刮胡子。’这样就避免了矛盾。还有无法确定的情况。例如某人说：‘在我的家庭成员中，都不自己刮胡子，其中遇到外星人的人将让你刮胡子。’理发师能否给这个人的家庭成员刮胡子，就无法确定。虽然无法确定，却不会产生了矛盾。当然，理发师也可以用类似的说法为自己解脱困境，他可以说：‘我遇到外星人就给自己刮胡子，否则就不给自己刮胡子。’下面针对理发师给自己刮胡子的解决方案虽然不是非常严谨的，但也不是没有道理。任何一天，理发师都可以给自己刮胡子，然后宣称：我是‘今天给自己刮胡子的人’，而不是‘只给不自己刮胡子的人刮胡子’。开玩笑也是解决方案。理发师可以说：我的手是上帝之手，是上帝给我刮胡子。”李小鹰接着说：“另一个罗素悖论，也称为‘说谎者悖论’：古希腊时代一个克里特岛上的人说：‘克里特岛上的人都是说谎者。’如果这句话为真，那他自己（是克里特岛人）就是在说谎，所以他的话就是假的；如果这句话为假，那就是克里特岛人不说谎，那他的话就是真的了。因此，无论怎么解释，都会导致矛盾。我的解决方案如下。这个悖论之所以导致矛盾，是由于既不允许这句话是真话，也不允许这句话是假话。由于只考虑真话和假话两种情况，因此也既不允许这句话不是真话，也不允许这句话不是假话。为了化解矛盾，只需放松其中的一个限制。下面给出允许这句话不是假话的情况。首先，这里对‘说谎者’没有进行定义。考虑所有可能的情况，‘说谎者’可以分为下面几种：说的每一句话都是谎话；说的部分话是谎话、部分话是真话；说的部分话是谎话、部分话无法判断真假；说的部分话是谎话、部分话是真话、部分话无法判断真假；等等。为简便计，我们不考虑无法判断真假的情况，只考虑‘说谎者’说的部分话是谎话、部分话是真话。其次，不可能每一个克里特岛人说的每一句话都是谎话。这个结论不可能由推理得出，只能根据经验和常识得出。对于其他情况，考虑部分话是真话、部分话是假话的情况，一个克里特岛上的人说：‘克里特岛上的人都是说谎者。’就不会导致矛盾。因为根据‘说谎者’的定义以及不可能每一个克里特岛人说的每一句话都是谎话这个结论，可以允许这句话不是假话，而是真话。但是允许这个人说的其他话是假话，因此这个人依然是说谎者。”刘小鹰边听边想，等到时机成熟时，她提出：“我也要讨论一个悖论。考虑下面A和B两人的对话。A：B这句话是真的。B：A这句话是假的。假设A这句话是真的，即表示B这句话是真的，故「A这句话是假的」是真的，故A这句话是假的，和假设矛盾。我F在假设A这句话是假的，t「B这句话是真的」是假的，故B这句话是假的，所以「A这句话是假的」是假的，即A这句话是真的，这又和我的假设矛盾，结论是，A不论是真是假都得到矛盾。从B句开始，亦得到相同的结果。我认为：A和B中只要有一个人的话不能确定真假，就不会出现矛盾。另外，严格地讲，这两句对话存在严重问题。如果A先说，那么B还没有说，A如何知道B说的是真是假？反之，如果B先说，也是不合理的。如果A和B同时说，那么在没有听完对方的话的情况下，如何知道对方说的是真是假？如果一定要说两句对话不存在问题，而且不考虑真如果A先说，那么B还没有说，AB当然也知道这一点，因此B说：‘A这句话是假的’，就是真话。反之，如果B先说，那么A还没有说，BA当然也知道这一点，因此A说：‘B这句话是真的’，就是假话。如果A和B同时说，那么双方都是都真刘小鹰的精彩分析，获得了大家一致的热烈掌声。王老鹰接着说，自从爱因斯坦提出相对论以后，所谓的统一理论、终极理论等纷纷出现。“”不存在一种可从有限条数原理推导出来的终极理论。因此，哥德尔定理保证了数学家和物理学家总有事情要做，我们寻求知识的努力永远都不会到达终点，我们始终都有获得新发现的挑战。上面的论述是依据终极理论T%I%F%终极理论终极理论，因此0%0%100%00116.7%33.3%50%0.1670.3330.500终极理论终极理论包容 T%I%F%T% = I% = F% = 33.3%终极理论包容终极理论终极理论33.3%33.3%33.3%终极理论如何包容终极理论与33.3%16.7%16.7%33.3%终极理论 16.7%33.3%50%0.1670.3330.500&第十七章 统一理论，能量守恒原理，大爆炸理论王老鹰一伙经过又一段时间的休息和娱乐，决定讨论继续进行。两位夫人和刘小鹰一致同意，要讨论一下“统一理论”、“终极理论”等问题。刘小鹰说：“我听老师说，爱因斯坦穷其后半生研究将引力和电磁力统一起来的‘统一场论’问题，结果以失败告终，你怎么看待这个问题？” 李小鹰回答道：“的确有不少科学家企图建立所谓的‘统一理论’或‘终极理论’。但是，180 1980T20043霍金出人意料地宣布他已放弃对‘万有理论’（theory of everything）的追求，过去他认为人们很快就能找到一”李小鹰接着说，唯物辩证法和自然辩证法是威力无比的解剖刀，现在我们就用这把解剖刀来分析一下这个问题。、电磁力、强相互作用力和弱强相互作用力这、、、医学等领域的部分问题统一处理，因而其、、医学等领域的与能量有关的问题统一处理。今后还将会有类似的其他了这样的实例：用一个重23.5公斤的大圆盘做成一个扭摆，则在日全食期间，圆盘的重量将增加1.2公斤。而且，这种引力异常现象只能在动态测量中被发现；如果用弹簧重力计、地震仪等静态测量仪器，则观察不到这种引力异常现象。从这个现象中，应该可以得出结论：不可能建立一种处理所有引力问题的统一引力理论，只能建立处理部分引力问题的局部统一引力理论。r2a1r2a1r2r21.021.253. 36970. 561977188. 4624月平均海面水温；预测火灾总数比上一年激增的年份，并协助R/S方法（重标极差方法）预测下一年的火灾数；预测我国2010年前乙烯产量；预测股票价格和指数；预测油气田产量并用分形模型统一各种油气田产量预测模型等等。股票价格和指数？“有的。自2000年11月1日至2001年2月7日，北京有线电视台《每日财经》节目举办了股指竞猜活动，要求参赛者于每日13时以前将预测的当日收盘指数用电话传给电视台参加竞赛，每日设一等奖2名（沪市深市各1名），二等奖8名，三等奖10名。一位分形专家是在11月17日得到消息并开始用分形方法的预测结果参加竞赛的，到2月7日竞赛因故停止，共获得一等奖2次（沪市深市各1次），二等奖2次，三等奖7次。这是一次实战应用，其效果如何，读者可以做出自己的判断。下面是上证指数的全部实际预测结果（略）。&在上述连续的49次实际预测中，误差在0.5点以下的共有2次，误差在1点以下的共有5次，误差在2点以下的共有12次，误差在5点以下的共有24次，误差在10点以下的共有35次，误差在10点以上的共有14次。”&在谈到中国哲学与现代科学技术之间的关系时，李小鹰表达了如下观点。中国哲学是关于中国人对世界总的根本的看法的学说。中国哲学不仅以其悠久的历史、丰富的内涵而著称于世界，还因其独具的、与西方哲学完全不同的特色而为中外瞩目。然而，在自然科学领域，中国哲学的影响十分有限。许多人甚至认为，中国人的思考方式不利于科学技术的发展，只有西方人的思考方式才有利于科学技术的发展。但是实际情况根本不是这样。中国人的思考方式是最先进的思考方式之一。这一点不但被几乎全部外国人忽视，也为许多中国人或外籍华人所忽视。在历史上，中国人的思考方式可以产生四大发明的辉煌成就；在新的时代，中国人的思考方式也一定能够使中国在越来越多的科学技术领域成为世界第一。例如，在中国古典哲学和中国现代哲学中的光辉思想启发指导下可以建立若干全新的物理学理论和自然科学理论。
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谁有哥德尔定理的证明啊,能贴出来共享吗?感激不尽.
柒夜雪00395
是哥德尔不完备定理吗?.里面有个PDF专讲这个很详细,你可以看下目录,相遇也是缘分,谢就不用了~
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哥德尔定理&定理是数理逻辑中的一个定理，1931年逻辑、数学家(Kurt Godel)发现并证明的，这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想。为理解这个定理及其意义，需要相当的数理逻辑和集合论知识。要把这些预备知识都在这里整理出来，工作太繁重了，这也就是我一直没敢动手写这篇东西的原因之一。这里仍然也不打算详细介绍这些东西，只是在必要的时候给些简单的说明，要想更深刻地理解，有兴趣的朋友可以自学相关课程。 哥德尔定理其实是两个定理，其中哥德尔第一是最重要、也是误解最多的，从这一定理的版本众多就可以看出。如： “如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾，则T必定是不完备的。” “任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以在其中定义自然数的概念，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。” “任何一个足够强的一致公设系统,必定是不完备的” 第二不完备性定理是第一定理的一个推论：“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性” 如果没有相关的知识基础，要理解这个定理真的是比较难。至于证明就更不容易看懂了。我偷点懒，跳过这些直接介绍其意义吧。 哥德尔定理是一阶逻辑的定理，在形式逻辑中，数学命题及其证明都是用一种符号语言描述的，在这里我们可以机械地检查每个证明的合法性，于是便可以从一组公理开始无可辩驳地证明一条定理。上世纪初，以希尔伯特为代表的形式主义派，希望能通过形式逻辑的方法，构造一个有关数论（自然数）的有限的公理集合，推出所有数论原理（完备性），且无矛盾（相容性），并以此出发构造整个形式主义的数学体系。而哥德尔第一不完备定理，粉碎了这一设想。这两个定理实际上表明，这样的公理系统要么不完备，要么有矛盾。数论的相容性为根茨（G.Gentaen，）在1936年使用蕴涵着非演绎逻辑的所证明。 因而，该定理揭示在多数情况下，例如在数论或者实分析中，永远不能找出公理的完整集合。你可以在公理体系不断加入新的公理，甚至构成无穷的公理集合，但是这样的公理列表不再是递归的，不存在机械的判断方法判断加入的公理是否是该公理系统的一条公理。这对于计算机科学意义重大，在计算机语言中，一阶逻辑的定理是递归可枚举的，然而哥德尔第一不完备定理表明，无法编制这样的程序，通过递归的定理证明，可在有限时间内判断命题真假。彭罗斯的中用停机问题描述了这一点，他甚至认为由此可知电脑永远不能超越人脑，甚至不可能达到人脑的水平。当然这点还不是定论，存在很大争议。 想说的简明一些，看来还是不行。还是结合对常见误解的分析，尽量来澄清模糊认识吧。 常见误解一：“所有的公理系统都是不完备的”。这是最常见的，甚至有人用这点来否定逻辑学，这是错误的。拿欧氏几何来说，就可以被公理化为一个完整的系统。 常见误解二：“所有包含到自然数的公理系统都是不完备的”。这个错误从上面的有些哥德尔定理的描述中都能看得出来。该定理仅假设公理系统能“定义”自然数。很多包含自然数的系统，例如“实数”和“复数”都有完备的公理化系统。 常见误解三：“因为不完备，我们永远无法证明一个公理系统无矛盾”。不，我们可以用其他方法证明，如上面提过的超限归纳法。其实该定理只表明我们不能从系统的内部证明相容性，不排除我们可以通过其他系统给出证明。例如，数论中的皮亚诺公理不能单独在数论范围内证明，但可在集合论中证明。 二 哥德尔定理主要还是在数学领域中应用的，至于在实际中的运用，很多都是基于错误的理解在盲目套用，论坛中的某些传教贴子中就多次出现。要想避免错误，还是应该真正的弄懂这个定理的意思，但矛盾的是，这的确需要相当的数学知识为基础，才可能，对于很多人来说，实在太难了。所以在文中我指出一些错误理解，进行了简单的分析，大家如果加以注意，就可以避免很多错误。下面我介绍一些实际运用的例子，只是我个人认为比较正确的应用，也许对帮助大家理解这个定理有帮助， 既然是数学定理，最直接的应用领域还是在数学里，尤其是数论。很多数论中的命题的证明，都需要用到哥德尔定理。这我就不多介绍了。这个定理表明，有些关于自然数的命题，本身可能是真命题，但是不能仅从自然数公理系统内证明或证否，需要其他的手段或者方法，如集合论等，才可以证明。曾经有人猜测，“哥德巴赫猜想”可能就是这样的一个命题。因此即便对于极为抽象和形式化的数学，数学家的直觉——也就是大量实践经验的积累——比纯形式的数学逻辑推理更基本，更可靠。但并不能就此说逻辑就毫无用处了，后者可以用来验证前者是否正确，也可以推导出一些新正确的命题，只是不能代表全部。而如前文所说，即便不能在形式系统内证明，还可以通过其他方法，或从其他系统中证明。另外，再次强调，“该定理仅假设公理系统能‘定义’自然数”，是一阶的逻辑定理，不要任意扩大。这里经常发生错误理解，还是建议有兴趣的朋友多了解掌握有关的基础知识。 该定理的另一个主要应用领域，是数学的一个应用分枝——计算机和人工智能。现在把我文中提过的停机问题简单介绍一下。计算机到现在有了极大的发展，但是基本原理还是冯·诺依曼提出来的，只是速度和效率大大提高了。从根本上说，计算机的程序，就是一种基于字运算的命题演算系统。其中给出的公理是有限的，规则是可计算，而判定出命题的真伪时，输出结果，停机并转向下一个命题的处理。这就符合了哥德尔第一不完备定理的条件。可如该定理所说，这样的系统必然是不完备的，也就是说至少有一个命题不能通过这样的“程序”被判明真伪，系统在处理这样的命题时，就无法“停机”，用俗话说就是被“卡”住了，永远不能绕过。无论你怎样扩充公理集，只要是有限的，这个现象就始终存在。而无限的公理集对于计算机来说，就意味着无限大的存储空间，这显然是不可能的。因此，有些数学家，如我提过的彭罗斯就认为，这表明了计算机是有致命缺陷的，而人类的“直觉”不受该定理的限制，所以计算机永远不可能具有人脑的能力，人工智能期望中的真正具有智慧的“电脑”，只不过是如“皇帝的新衣”那样的“”。关于这个问题的详细情况，可阅读彭罗斯的《》。 为什么人脑与电脑有这样的根本差别呢，彭罗斯认为可能是量子力学不确定性和复杂非线形系统的混沌作用共同造成的。但也有的数学家并不这样认为，他们指出，人脑就基本意义和工作原理来说，与人工智能原理的“图灵机”无根本差别，电脑也存在上述两种作用，这就说明人脑也要受到哥德尔定理的限制。两者间的差别，可用包含非确定性的计算系统说明，就是所谓的“模糊”处理。人脑正是这样的包含了非确定性的自然形成的神经网络系统，它之所以看上去具有电脑不具备的“直觉”，正是这种系统的“模糊”处理能力和效率极高的表现。而传统的图灵机则是确定性的串行处理系统，虽然也可以模拟这样的“模糊”处理，但是效率太低下了。而正在研究中的量子计算机和计算机神经网络系统才真正有希望解决这样的问题，达到人脑的能力。 对于是“真脑”还是“皇帝的新脑”，还存在很大的争议，有很多的问题需要解决，很多都是现在世界上的顶尖科学家研究的尖端课题。我没有能力判断孰对孰错，但是我个人认为“人类思维也受哥德尔定理的限制”这点很有意思，很可能是正确的。各方面研究都表明，人脑在“运算”时，的确与电脑的基本原理是一样的，只不过电脑是用电子元件的“开、闭”和电信号的传递体现，人脑则表现为神经原的“冲动、抑制”和化学信号（当然也包括电信号）的传递。这与哥德尔定理的条件没有本质上的差别。而认识过程中的“思维是客观实在的近似反映，语言是思维的近似表达”这点，正是受哥德尔定理限制的结果。就拿语言（指形式上的）来说，完全可以转化为有限公理和一定规则下的符号逻辑系统，也就是一种符合定理条件的。该定理恰恰说明，这样的系统中不完备，存在不能用该系统证实的命题，对于这个系统来说，就是语言对思维的表达不完全，也就是我们常说的“只可意会，不可言传”。这也与我们经常感觉到的“辞不达意”是相吻合的，任何形式上的语言都不能完全准确的表达我们的思想。还有另一个事实也说明这点，就是翻译。文对文的形式语言翻译虽然不难，可是如实地表达原来语言中的准确蕴义就非常难了，甚至可以说是不可能的事情。如果能证明人类的思维也可以转化为这样的形式公理系统，那人脑也一定受哥德尔定理的限制。
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