期刊分类：
800家正规期刊分类一览表
本期刊为正规期刊，已通过真伪查询！本期刊可免费赠送一本当期样刊！本期刊可用于职称评审！单位、国家均认可！
当前位置： >
云算子矩阵计算器|斜对角算子矩阵的本质谱及其应用
本文作者：其乐木格；阿拉坦仓；海国君；成功正常投稿发表论文到《内蒙古大学学报(自然科学版)》2014年06期,引用请注明来源400期刊网！【摘要】：研究了斜对角块算子矩阵H=(0BC0)的本质谱.通过算子矩阵内部元素B和C的乘积算子的本质谱给出了整体算子矩阵本质谱的刻画.作为应用,研究了矩形板弯曲方程导出的无穷维Hamilton算子的本质谱.【论文正文预览】：在物理和力学等应用学科里出现的多数算子矩阵中的元素是无界算子,而其本质谱在谱的定量研究以及控制论等领域具有重要应用,如在一定条件下,算子的本质谱为空集时它的谱点均为离散的特征值,而此时研究特征展开以及特征函数系的完备性[1-3]等问题会变得比较简单.所以,本文的目【文章分类号】：O177【稿件关键词】：Fredholm算子本质谱闭算子Hamilton算子【参考文献】:额布日力吐;阿拉坦仓;;Laplace方程的无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性[J];内蒙古大学学报(自然科学版);2008年02期侯国林;阿拉坦仓;;一类无穷维Hamilton算子族的特征函数系的完备性[J];内蒙古大学学报(自然科学版);2009年02期金国海;哈密顿算子理论选论[D];内蒙古大学;2014年陈晓敏;侯国林;程婷;王欣杰;阿拉坦仓;;矩形中厚板Hamilton正则方程的解析解[J];固体力学学报;2011年06期李天彦;任文秀;康周正;;Hamilton体系下的辛-Fourier展开法及其应用[J];哈尔滨师范大学自然科学学报;2009年05期王善微;任文秀;贺龙;;线性Schr?dinger方程辛-Fourier解的讨论[J];内蒙古工业大学学报(自然科学版);2012年02期陈晓敏;侯国林;程婷;王欣杰;;有界弦自由振动问题的辛本征函数系在一致收敛意义下的完备性[J];内蒙古大学学报(自然科学版);2011年04期王华;阿拉坦仓;;弹性地基上矩形薄板的辛本征函数展开定理[J];内蒙古大学学报(自然科学版);2012年01期宝塔娜;侯国林;;矩形中厚板弯曲问题的双正交展开解法[J];内蒙古大学学报(自然科学版);2014年05期额布日力吐;无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性及其在弹性力学中的应用[D];内蒙古大学;2012年邢利刚;二次算子族与无穷维Hamilton算子的谱分析[D];内蒙古大学;2013年刘杰;无穷维Hamilton算子生成C_0半群问题[D];内蒙古大学;2009年吴苏日塔拉图;2×2阶算子矩阵生成C_0半群问题[D];内蒙古大学;2010年冯燕;Hilbert空间中两类算子矩阵特征函数系的完备性[D];内蒙古大学;2010年金静;无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性研究[D];内蒙古大学;2010年宋宽;一类2×2算子矩阵的块状基性质及在弹性力学中的应用[D];内蒙古大学;2013年宝塔娜;某些弹性力学问题的双正交展开定理[D];内蒙古大学;2014年A;Spectra of Off-diagonal Infinite-Dimensional Hamiltonian Operators and Their Applications to Plane Elasticity Problems[J];Communications in Theoretical P2009年02期钟万勰;发展型哈密顿核积分方程[J];大连理工大学学报;2003年01期钟万勰;椭圆型方程哈密顿本征解的完备性[J];大连理工大学学报;2004年01期张鸿庆，阿拉坦仓;辛正交系的完备性问题[J];大连理工大学学报;1995年06期周建方,卓家寿,李典庆;基于Hamilton体系的分离变量法[J];河海大学学报(自然科学版);2000年06期A;Structure of the spectrum of infinite dimensional Hamiltonian operators[J];Science in China(Series A:Mathematics);2008年05期;Completeness in the sense of Cauchy principal value of the eigenfunction systems of infinite dimensional Hamiltonian operator[J];Science in China(Series A:Mathematics);2009年01期钟万勰;分离变量法与哈密尔顿体系[J];计算结构力学及其应用;1991年03期阿拉坦仓,张鸿庆,钟万勰;一类偏微分方程的Hamilton正则表示[J];力学学报;1999年03期阿拉坦仓;黄俊杰;;无穷维Hamilton算子的谱及相关问题研究[J];数学进展;2009年02期苏维钢;;拟相似算子的右本质谱[J];福建师范大学学报(自然科学版);1992年01期苏维钢;;算子的拟相似性与本质谱的性质[J];数学研究与评论;2006年03期苏维钢;;拟相似半控制算子的本质谱[J];纯粹数学与应用数学;2006年03期苏维钢;拟相似算子的右本质谱的连通分支[J];数学学报;2005年05期周玉兰;毛永华;;有界马氏算子的泛函不等式与本质谱的问题[J];北京师范大学学报(自然科学版);2006年03期姜健飞;;关于算子组本质谱的谱映象定理[J];中国纺织大学学报;1986年04期陈剑岚;;一类拟相似算子的本质谱[J];数学的实践与认识;2008年22期严子锟;拟相似算子的本质谱的连通分支[J];中国科学(A辑 数学 物理学 天文学 技术科学);1991年06期孙辉;有界线性算子逼近问题中算子本质谱孤立点的处理[J];数学研究;2001年01期钱颂伟;;算子超积的本质谱[J];华南工学院学报(自然科学版);1987年04期娜仁朝克吐;一类无界算子矩阵的本质谱[D];内蒙古大学;2014年苏丹;无穷维Hamilton算子的本质谱及对称性[D];内蒙古大学;2009年赵鹏;具周期边界条件奇异迁移方程本质谱的稳定性[D];郑州大学;2012年金丽花;可修复遥控系统指数稳定性分析[D];延边大学;2010年张伟伟;分数阶Schr（o|¨）dinger算子的自伴性与本质谱[D];华中科技大学;2012年应宁宁;常规故障条件下具有冗余储备可修复系统的可靠性分析[D];延边大学;2010年【稿件标题】：云算子矩阵计算器|斜对角算子矩阵的本质谱及其应用【作者单位】：内蒙古大学数学科学学院;【发表期刊期数】：《内蒙古大学学报(自然科学版)》2014年06期【期刊简介】：0......更多内蒙古大学学报(自然科学版)杂志社()投稿信息【版权所有人】：其乐木格；阿拉坦仓；海国君；
更多详细信息:
相关专题：
推荐期刊：
认准400期刊网 可信　保障　安全　快速　客户见证　退款保证
Copyright (C)
版权所有 做最专业学术期刊论文发表网站
实力代理杂志社征稿、杂志投稿、省级期刊、国家级期刊、核心期刊、学术论文发表 中国学术期刊网全文收录论文分类导航
基于Canny算子的图像边缘检测算法
石桂名1，2，魏庆涛1，孟繁盛1
（1.大连科技学院，辽宁大连.大连海事大学，辽宁大连116026）
摘要：图像边缘检测是一种非常经典的基于计算机视觉技术的图像处理技术，主要是根据图像的某种特定信息，把目标的边缘与周围的区分开来。回顾了几种传统的边缘检测方法，并分析它们的优缺点，详细阐述了Canny算子的检测原理和实验方法。实验结果表明Canny算子是最优的边缘检测算子，能够较稳定地对目标图像进行边缘信息提取，得到较好的检测效果。
期刊网 关键词 ：图像处理；边缘检测；Canny算子；参数选择
中图分类号：TN911.73-34 文献标识码：A 文章编号：X（2-02
收稿日期：
基金项目：大连科技学院科学研究一般项目（KJY201406）
边缘检测算法是图像处理中的一个重要部分，本文比较了几种常用的传统边缘检测算法，分析Canny算法的含义、原理和步骤，并将Canny算法应用于车牌和动物的检测。实验仿真结果验证了Canny 算法的良好性能：提取缘信息的同时，能很好地抑制噪声的干扰，提高了图像边缘检测效果，但对于某些细节过于复杂的图像可能丢失一些信息。
1 边缘检测算法简介
Roberts算子是一种利用局部差分来寻找边缘的边缘检测算子，它处理的边缘效果不是很好，不够平滑。Sobel算子是滤波算子，用于提取边缘时，可以利用快速卷积函数，方法简单，使用率较高，但是不能严格地模拟人的视觉生理特征，提取的图像轮廓并不能令人满意[1]。Prewitt算子是一种基于一阶微分算子的边缘检测，利用像素点周围邻点的灰度差，在边缘处达到极值检测边缘，除掉一些假边缘，起到了平滑噪声的功能。Lapla-cian算子是一个二阶微分算子，定义为梯度（-f ）的散度（- - f ）。LoG 算子也就是高斯拉普拉斯函数，常常用于数字图像的边缘提取和二值化，它结合了Gauss平滑滤波器和Laplacian锐化滤波器，效果更好。Canny算子是一个多级边缘检测算法，边缘检测效果最好[2-3]。
2 Canny 边缘检测算子
2.1 Canny算法的含义
1986年，John F.Canny找到一个可以实现多级边缘检测的算法，命名为Canny边缘检测算子，其含义如下[4]：
（1）最佳检测：能够检测到足够多的图像中实际的边缘，减少真实边缘的漏检率和误检率。
（2）最佳定位准则：检测到的边缘点的位置距离实际边缘点的位置最近。
（3）检测点与边缘点一一对应：算子检测的边缘点与实际边缘点是一一对应。为了满足这种条件，最优检测指数函数，它与高斯函数的一阶导数极为相似。
2.2 Canny算法的步骤
2.2.1 用高斯滤波器平滑图像
图像在进行边缘检测时，首先要处理原始数据，以便于更好地实现边缘检测图像分割效果。所以开始时就需要原始数据与高斯mask做卷积，处理后的图像比原来模糊了一些，有利于图像边缘检测的进行。
由于高斯函数经傅里叶变换后还是高斯函数，能构成一个在频域具有平滑性能的低通滤波器：
2.2.2 用一阶偏导的有限差分计算梯度的幅值和方向
2.2.3 非极大值抑制
为了确定边缘，不仅要得到全局的梯度，还要保留局部梯度最大的点，而抑制非极大值[4]。如何解决这个问题非常重要，这里是利用梯度的方向。如图1所示。
四个扇区的标为0~3，对应3×3 邻域的4 种可能组合。在每一点上，邻域的中心像素M 与沿着梯度线的两个像素相比较。若M 的梯度值小于或等于沿梯度线的两个相邻像素梯度值，则令M=0。即：
2.2.4 双阈值法
双阈值法[5]对非极大值抑制图像作用两个阈值τ1和τ2 ，并且2 τ1≈ τ2 ，可以得到两个阈值边缘图像N1[i，j]和N2[i，j]。使用高阈值能得到N2[i，j]，其含有假边缘相对较少。双阈值法在N2[i，j]中把边缘连接成轮廓，当到达轮廓的端点时，该算法用领域法，把在N1[i，j]的8邻点位置边缘点连接到轮廓上，最终将N2[i，j]全部连接起来，其领域结构见表1。
3 实验过程及结果
3.1 参数选择
Canny 算法包含许多可以调整的参数，它们将影响到算法的计算时间与实效。
（1）高斯滤波器的大小：首先使用平滑滤波器直接影响Canny 算法的结果[6]。要检测图像中较小的、变化明显的细线时，应采用较小的滤波器，这样产生的模糊效果才少。反之，检测图像中较大的、平滑的边缘，即将较大的一块图像区域涂成一个固定点的灰度值，就需要大的滤波器。
（2）阈值：本文采用了两个阈值，比采用一个阈值更加灵活，但是，它也有缺点，阈值存在的共性问题。如果阈值设得过高，可能会漏掉重要信息；阈值过低，就会把更多细节信息括进来。因此，想要寻找可以适用于所有图像的通用阈值，暂时还是个难点，还没有一个经过验证的方法。
3.2 实验结果
Canny边缘检测算法仿真图如图2，图3所示。
经过以上两组图片对比，发现Canny算子适合于用于提取信息相对简单的图像，效果明显；但对于一些细节复杂的图像来说，分割效果不明显，会出现边缘丢失和边缘误判的情况，需要在后续的算法中不断改进。
Canny 算子边缘检测相对其他的算子得到的处理图像效果更明显，边缘更细致，其他的算子的边缘检测得到的图像边缘并不十分明显。Canny 边缘检测算子根据对信噪比与定位乘积进行测度，得到最佳的逼近算子，所以得到的图像边缘会更清晰。它也有些缺点，无法有效地处理噪声的影响问题，会产生许多不存在的边缘，不便于观察。因此，在不同的情况下应选择相应的算法来达到检测目的。
作者简介：石桂名（1983—），女，河北任丘人，硕士，讲师。研究方向为信号处理。
魏庆涛（1978—），男，辽宁抚顺人，硕士，副教授。研究方向为智能控制。
[1] 段瑞玲，李庆祥，李玉和.图像边缘检测方法研究综述[J].光学技术，2005（3）：415-419.
[2] 徐献灵，林奕水.图像边缘检测算法比较与分析[J].自动化与信息工程，2007（3）：44-46.
[3] 王静，李竹林，贺东霞，等.基于边缘检测的各种算子及其特点[J].延安大学学报：自然科学版，2014（1）：5-8.
[4] 王佐成，刘晓冬，薛丽霞.Canny算子边缘检测的一种改进方法[J].计算机工程与应用，2010（34）：202-204.
[5] 曾发明，杨波，吴德文，等.基于Canny边缘检测算子的矿区道路提取[J].国土资源遥感，2013（4）：72-78.
[6] 韦炜.常用图像边缘检测方法及Matlab研究[J].现代电子技术，）：91-94.
浏览次数：　　更新时间： 11:09:45
网友评论《基于Canny算子的图像边缘检测算法》
本类论文总排行版
本类论文本月排行
本类论文本周排行君，已阅读到文档的结尾了呢~~
包含广义逆的算子乘积的一些不变性,矩阵乘积的逆,广义逆矩阵,广义逆,矩阵的广义逆,matlab求广义逆矩阵,广义逆矩阵求法,广义逆矩阵及其应用,moore penrose广义逆,matlab 广义逆
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
包含广义逆的算子乘积的一些不变性
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer--144.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口您的位置： &
包含广义逆的算子乘积的一些不变性拉普拉斯算子 【范文十篇】
拉普拉斯算子
范文一：拉普拉斯算子的应用
主要程序： 1：
function PQ=paddedsize(AB,CD,PARAM) if nargin==1
elseif nargin==2&~ischar(CD)
PQ=AB+CD-1;
PQ=2*ceil(PQ/2); elseif nargin==2
m=max(AB);
P=2^nextpow2(2*m);
PQ=[P,P]; elseif nargin==3
m=max([AB CD]);
P=2^nextpow2(2*m);
PQ=[p,p]; else
error('wrong number of inputs') end
作用为提取填充参数。 2：
function g=dftfilt(f,H) F=fft2(f,size(H,1),size(H,2)); g=real(ifft2(H.*F));
g=g(1:size(f,1),1:size(f,2));
此函数为滤波函数 3：
function [u,v]=dftuv(M,N) u=0:(M-1); v=0:(N-1); idx=find(u>M/2); u(idx)=u(idx)-M; idy=find(v>N/2); v(idy)=v(idy)-N; [v,u]=meshgrid(v,u);
此函数的作用为计算任意点到指定点的距离。 4：
function[H,D]=lpfilter(type,M,N,D0,n) [u,v]=dftuv(M,N) D=sqrt(u.^2+v.^2); switch type
case 'ideal'
H=double(D<=D0);
if nargin==4
H=1./(1+(D./D0).^(2*n));
case'gaussian'
H=exp(-(D.^2)./(2*(D0^2)));
error('unkown filter type.')
此函数为低通滤波器的函数 5：
function H=hpfilter(type,M,N,D0,n) if nargin==4
Hlp=lpfilter(type,M,N,D0,n); H=1-H
此函数为高通滤波器的函数； 主要过程：
首先输入f=imread('D:\照片\收藏\1.gif')将图像放进matlab环境中，然后使用p_down文件对图像进行低通处理。
P_down文件：
PQ=paddedsize(size(f)); D0=0.05*PQ(1);
[H,D]=lpfilter('ideal',PQ(1),PQ(2),D0); g=dftfilt(f,H); figure,imshow(g,[])
再使用p_high文件对图像进行高通处理 P_high文件：
PQ=paddedsize(size(f)); D0=0.05*PQ(1);
H=hpfilter('ideal',PQ(1),PQ(2),D0); g=dftfilt(f,H); figure,imshow(g,[]);
处理的图像显示的结果为： 第一个图为原图像。
第二个图为低通滤波的结果图像。 第三个图为高通滤波的结果图像。
制作人：涂展鹏 电子07级02班
范文二：拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：
作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k ≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ : C(R) → C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ : C(Ω) → C(Ω)，对于任何开集Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：
坐标表示式
其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标：
另外极坐标的表示法为：
笛卡儿坐标系下的表示法
圆柱坐标系下的表示法
球坐标系下的表示法
在参数方程为（其中以及）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：
其中是N - 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。
如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为： f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此： 球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。
拉普拉斯-贝尔特拉米算子
主条目：拉普拉斯-贝尔特拉米算子
拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯-贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子）。
另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯-德拉姆算子，它运行于微分形式。这便可以通过Weitzenb&ck恒等式来与拉普拉斯-贝尔特拉米算子联系起来。
范文三：维普资讯
２０ ０ ８年 ６月 　
郧 阳 师 范 高等 专 科 学校 学报　
Ｊ ｕｎｌ ｆ ｏ ｒ ａ　 　 ｎ ａ ｇ Ｔｅ ｃ ｅ ｓ Ｃ ｌ ｇ 　 ｏ Ｙｕ ｙ ｎ 　 ａ ｈ ｒ 　 ｏ ｌ ｅ ｅ
Ｊ ｎ ２ ０　 ｕ． ０８
Ｖｏ 　 ８ ＮＯ ３ Ｌ２ 　 ．　
第 ２ 卷 第 ３期　 ８
拉 普 拉斯 算子 的研 究　
傅 秋 桃　
（ 阳师 范高等 专科 学校 郧
数 学 系 ，湖 北　 丹江 口
４２０ ） ４ ７ ０　
要］ 在许 多的教科 书中， 通过利 用直角坐标和极 坐标 的转换 ， 然后 再应用复合 函数 的求导法则， 出 得 　
了拉 普拉 斯 算 子 的表 达 式 ， 本 文 则 用 变分 原 理 导 出 了柱 面坐 标 下 的拉 普 拉 斯 算 子 的 表 达 式 ． 而 　
［ 键 词 ］ 普 拉 斯 算 子 ； 分 法 ； 林 函 数　 关 拉 变 格
［ 中图分类号３ ３ ｏ１　
［ 文献标识码］ 　 Ａ
［ 文章编号］ ｏ８ Ｏ ２ ２ ｏ ）３ ｏｌ 一Ｏ　 ｌ ｏ —６ ７ ｆｏ ８ Ｏ一 ｏ３ ２
百冗 介　 后 囱用 剑 的 内个 公 式 ： 　
格林第一公式 ： 　
（　＋ｕｖ　 　 毫 　ａ ａ ａ ＋ｕ 　 　）
格林第二公式 ： 　
【　 ０ ｉ　 　 　 　 ０ Ｊ
Ⅲ“ 一 ） 一 （ 　 ） ｃ　　“Ｏ　“ △ ｄ 　一 　
调 和方 程 （ 又称 拉普 拉斯 方 程 ）为 ： 　
△ “一 　 Ｚ ａｕ
右 一 　 　ｅ ａ。 边 赛 十ｕ十ｕ ａ－ 　 　， ｅ 。 － 　 　
ａＺ ＝ 。 ｕ 　 十　
其 中拉普拉斯算子在柱面坐标 （ ，，）下可以写成　 ｒ　 ｚ
（ ’ 　　Ｔ 　， ａ Ａ 　’ 　， ‘ ｕ 　
△＝ 　（ ） “专 ｒ ＋ 筹 　雾＋ ． 舅　
下面用变分法求 出柱 面坐标 下 的拉普 拉斯 算子 的表　
达式 ： 　
证 ：Ｅ） 专 ｌ ｌ　ｚ 明 （＝ Ⅲ “出 　 令“ 　。
则　 一 　 △ “? 　 砷 　
Ｊ 　 ／　
／　．　 ＼ ｒ 　 　 ／
（ 　，） 　， 凳　
粤 ｅ＋ ｅ 　ｕｅ ｌ 　粤 一 ａ 　 ２ 　３ ＋ 　
取　 ，２ｅ 为 Ｒ ｅ， 一 　 ３ 。中 相 互 垂 直 的单 位 向 量　
ａｕ ａｕ 　 　
老 ｉ 　ｌ ｍ 　
： 舅 ÷　
［ 收稿 日期］ Ｏ ８ ４ ３ ２ Ｏ 一Ｏ —１　 ［ 作者简介］傅： ， １ ６ －） 男， Ｉ ￣（ ， ］ ９ ８ ， 湖北Ｋ） 人 ， 阳师范高等 专科 学校数 学系讲 师， Ｋ ｔ 郧 １ 主要从 事应 用数 学研 究． 　
Ｙ Ｙ ＳＺＸＢ　
ｌ　 　 ３
傅 秋 桃 ：拉 普拉 斯 算 子 的研 究　
ｄ ａ云ｄ云 券 ＋ｅ ＋ｅ　 　 　 　 ｅ ２ ３ ｌ 　
（ 。 １ａ。（ ） 　） 　／） 爱。 十　ｕ＋ 　 　
　 　 ｄ（ ＋ ，ｆ ＼打 　 Ｅ 副 ）ｌ
－ ： ＩＩＩＩＩ 　 Ｉ 。差。轰。 蠹＋ ＋ 　
ｆｏ 。　 。
Ⅲ （ ） 雾＋券） （ｒ＋ 　　 ÷ ｒ 　
Ⅲ÷８ｒ） （　（ ＋ 碧 　斋＋嘉） ｒ　
Ｅ）÷ ｌ Ｉｄ　 （一 Ⅲ “如　 “ 　。ｄ
÷ （ ） 广ａ。（）ｒＯ Ⅲ（ 。 １ 　＋凳。 ｒ　 　 Ｆ ／　 、＼ ｕ ， ｄｄ ｄ
（ “＋ 副 ）
ｔ Ｏ ｍ 　
Ⅲ“ 如 △? 　 　
Ⅲ÷ ｒ）…２＿　　 ｄ （　（ｕ １ ｕｒｕ 棚 　 　 ＋　 　ａＪ ａ ａ４ ２ — ． 　 ＼
Ⅲ　￣ｌ ｙ瓦 一 　 （ －－ ￣ａ ， １ 十ｕ ． 　ｏ，　） 　 － 　
Ⅲ　ｒ　十　　　 　／ 　） （（ｕ，ａ７ｕ＼ａｒ ） 　 ￣ ／ ａ Ｊ 　爱 　 ａ ， １ 十 　
对 任 意 的　 成 立 ， 只要　 有 各 阶 导数 ， 且在 ａ 并 Ｄ附 近　 等于 零 ， 以 有　 所
△＝ 　（ ＋ “ ÷ ｒ 　窘＋ 　 　） 舅
［ 参考文献］ 　
［］ １ 同济大学应用数学系 主编． 高等效学 （ ） Ｍ］ 北京 ｔ 等教　 下 ［ ． 高
捌 Ⅲ （ ） 翥＋爱　 眺一 （ ｒ ＋ 　 碧 ÷ ｒ）
育出版社 ，０ ５ ２０． 　
ｒ’（ ）＝ 　ｒ ｄ ｏ ８　 ｒ 　 Ⅲ　ｌｏｄＯ 　 ￣） ｄ ａ ｚ ｒ　 ｏｄ 。 　
［］ ２ 谷超豪． 数学物理方程［ ． Ｅ 。 Ｍ］ ｊ 京 高等教育出版社 ，０ ６ ２０． 　 ［］ ３ 朱长江． 偏微分方程教程［ ， Ｍ］ 北京ｔ 科学出版社 ，０ ４ ２０． 　 ［］ 京 大学 数 学系． 等代 数 ［ ． ４北 高 Ｍ］ 北京 ｔ 等教 育 出 版社 ， 高 　
２ ０ ． ０ ０　
． － ）＝（ 函） ｒ ￣ ｄ ｏ期数 　 ＇８ 周 　 ８ ｗ 　１
【 编校 ： 军福】 胡 　
肛 　 　（ 　ｄ ｏ ｒ’ ｒ ）—　 ８笔 　
Ａ　 ｓ ａ ｃ ｏ Ｌａ ａ ｉ ｎ Ｏｐｅ ａ ｏ 　 Ｒｅ ｅ ｒ ｈ　 ｎ　 ｐｌ ｃ ａ 　 ｒｔｒ
Ｆ Ｑｉ — ｔｏ Ｕ　 ｕ ａ 　
（ ｔ ｓＤｅ ａ ｔ ｎ ，Ｙｕ ｙ ｎ 　 ａ ｈ ｒ ｏｌｇ ，Ｄａ ａ ｇ ｏ 　 ４ ７ ０，Ｃ ｉａ　 Ｍａ ｈ　 ｐ ｒｍｅ ｔ ｎ ａ ｇＴｅ ｃ ｅ￣Ｃ ｌ ｅ ｅ ￣ｉｎ ｋ ｕ４ ２ ０ ｈｎ ）
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｍａ ｙ ｔ ｘ ｂ ｏ ｓ ｈ 　 ｒ ｌ　 ｆＬ ｐ ａ ｉｎ Ｏｐ ｒ ｔ ｒｉ　 ｂ ａｎ ｄ ｂ 　ｈ 　ｈ ｎ ｅｏ 　ｅ ｔ ｎ ｕ ａ 　 ｏ ｒ ｉ ａ ｅ 　 ｓｒ ｃ ：Ｉ 　 ｎ 　ｅ ｔ ｏ ｋ ，ｔ ｅｆ ｍｕ ａ ｏ 　 ａ ｌｃａ 　 ｅ ａｏ 　 ｏ ｔ ｉ ｅ 　 ｙ ｔ ｅ ｃ ａ ｇ 　 ｆ ｃ ａ ｇ ｌｒｃ ｏ ｄ ｎ ｔ ｓ ｏ ｓ ｒ ａ
ｄ ｐ ｌｒ ｃ ｒ ｉ ａ ｅ 　 ｎ 　 ｈ 　 ｅ ｉ ａ ｉ ｎ ｒ ｌ　 ｆｃ ｍｐ ｕ ｄ ｆ ｎ ｔ ｎ Ｉ 　ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｈ 　 ｏ ｍ ｕａ ｏ 　 ｐ ａ ｉ ｎ Ｏｐ ｒ ｔ ｒｉ 　 ｎ 　 ｏａ 　 ｏ ｄ ｎ ｔ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｄ ｒｖ ｔ 　 ｕ ｅ ｏ 　 ｏ ｏ ｎ 　 ｕ ｃ ｉ ． ｎ ｔ ｉ　 ａ ｅ ，ｔ ｅ ｆ ｒ ｌ　 ｆＬａ ｌ ｅａ 　 ｅ ａ ｏ 　ｎ ｏ ｏ ｃ ｌ ｄ ｉａ　ｏ ｒ ｉ ａ ｅ 　 　 ｂ ａｎ ｄ ｂ 　 ｈ 　 ａ ｉｔ ｎ ｌｐ ｉ ｃｐ ｅ ｙ ｉ ｒｃ ｌｃ ｄ ｎ ｔ ｓ ｉ ｏ ｔ ｉ ｅ 　 ｙ ｔ ｅ ｖ ｒａ ｉ ａ 　 ｒｎ ｉ ｌ ． ｎ ｓ ｏ 　 Ｋｅ 　 ｒ ｓ：Ｌ ｐ ａ ｉｎ ｏ ｅ ａ ｏ ；ｖ ｒ ｔｏ ａ 　 ｔ ｏ ￣ｇ ｅ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ａ ｌｃａ 　 ｐ ｒ ｔ ｒ ａ ｉ ｉ ｎ ｌ ａ ｍｅ ｈ ｄ ｒ ｅ 　 ｕ ｃ ｏ 　 ｉ
Ｙ ＹＳＺＸＢ　
ｌ　 　 ４
范文四：拉普拉斯算子
在数学和物理中，拉普拉斯算子或拉普拉斯算符（Laplace operator， Laplacian）是一个微分算子，通常写成△或▽2；拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。 定义
拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
f 的拉普拉斯算子也是xi中的所有非混合二阶偏导数：
作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把 Ck 函数映射到 Ck-2 函数，对于k ≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ : Ck(Rn) → Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ : Ck(Ω) → Ck-2(Ω)，对于任何Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：
坐标表示式 二维空间
其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标 另外极坐标的表示法为：
笛卡儿坐标系下的表示法
圆柱坐标系下的表示法
球坐标系下的表示法
在参数方程为x=rθ∈RN（其中r∈[0,+∞)以及θ∈SN-1）的N 维球坐标系中，拉普拉斯算子为：
其中△SN-1是N-1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成
如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：
f是径向函数f(r)且g是Ylm(θ,?)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向矢量，而角函数的梯度与径向矢量相切，因此：
球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：
复杂空间上的实值函数
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子 c 是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果 x 方向用寸来衡量，y 方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。 值域为复杂空间
矢量值函数的拉普拉斯算子
拉普拉斯算子作用在矢量值函数上，其结果被定义为一个矢量，这个矢量的各个分量分别为矢量值函数各个分量的拉普拉斯，即
更一般地，对没有坐标的矢量，我们用下面的方式定义（受矢量恒等式的启发）：
也可用类似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定义，然后证明“旋度的旋度”矢量恒等式． 拉普拉斯－贝尔特拉米算子
拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。
另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。
范文五：?：向量微分算子、哈密尔顿算子、Nabla
算子、劈形算子，倒三角算子是一个微分算子。Strictly speaking, ?
del is not a specific operator, but rather a convenient mathematical notation for those three operators, that makes many equations easier to write and remember. The del symbol can be interpreted as a vector of partial derivative operators, and its three possible meanings—gradient, divergence, and curl—can be formally viewed as the product of scalars, dot product, and cross product, respectively, of the del "operator" with the field.
Δ、?2 or ?·?：拉普拉斯算子（Laplace operator），定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。
grad F=▽F，梯度（gradient），标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。▽f=
div F=▽·F,散度(divergence),是算子▽点乘向量函数,矢量场的散度是一个标量函数，与求梯度正好相反,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量源的密度，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div =0，表示该点为无源场。即闭合曲面的面积分为0是无源场，否则是有源场。 rot F 或curl F=? × F,旋度(curl，rotation)，是算子▽叉乘向量函数,矢量场的旋度依然是矢量场，意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫无旋场，只有这种场才有势函数，也就是保守场。即闭合环路的线积分为0是无旋场，否则就是有旋场。
基本关系：
一个标量场f的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：
一个矢量场F的旋度场是无源场，也就是说它的散度处处为零： F的旋度场的旋度场是：
亥姆霍兹分解、亥姆霍兹定理或矢量分析基本定理：对于任意足够平滑、快速衰减的三维矢量场可解为一个保守矢量场和一个螺线矢量场的和。简单的说就是任何矢量都可以分解为简单的无旋场和无源场之和，即其标量位和矢量位两部分。
Helmholtz's theorem, also known as the fundamental theorem of vector calculus, states that any sufficiently smooth, rapidly decaying vector field in three dimensions can be resolved into the sum of an irrotational (curl-free) vector field and a solenoidal (divergence-free) this is known as the Helmholtz decomposition.
范文六：第17卷第6期　2009年11月
河南机电高等专科学校学报
JournalofHenanMechanicalandElectricalEngineeringCollege　　Vol.17№.6
基于高斯2拉普拉斯算子的图像边缘检测方法
李　雪,王普明
(河南机电高等专科学校,河南新乡453002)
摘要:提出了一种基于高斯-拉普拉斯算子的图像边缘检测方法,通过MATLAB软件仿真实验,证实了这种方法
的可行性和有效性。
关键词:图像处理;高斯-拉普拉斯算子;边缘检测;MATLAB仿真中图分类号:TN911.73　　　　　　文献标识码:A　　　　　　文章编号:09)06-0081-02
数在边缘处会通过零点(由正到负或由负到正)。
考虑坐标旋转变换,设旋转前坐标为(x,y),旋转
),则有:物体的边缘是图像局部变化的重要特征,以不连后为(x’,y’
续性的形式出现,通常用方向和幅度描述图像的边缘θ-y’θθ-y’θx=x’cossin　=cos特性。一般来讲,沿边缘走向的像素变换平缓,而垂θsinθcos
9xx9x9y直于边缘走向的像素变化剧烈。基于边缘检测的基
(式3)本思想是先检测图像中的边缘点,成轮廓,从而构成边缘图像。θcosθ=sin9y’9x9y’9y9y’9x9y
2　高斯-(式4)
,该算子通常容易看出,虽然,不是各向同性的,但是它们9x9y
有下列计算公式表示:[1]
2的平方和是各向同性的。?f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+
(式1)f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y))+)=)+)(式5)即9x’9y’9x9y2
式1中?f(x,y)表示数字图像中每个像素关于
由以上推导可以看出拉普拉斯算子为二阶差分,
x轴和y轴的二阶偏导数之和,即处理后像素(x,y)处
拉普拉斯算子是各向同性(isotropic)的微分算子。具
的灰度值,f(x,y)是具有整数像素坐标的输入图
有旋转不变性,从而满足不同走向的图像边界的锐化[1,2]
和检测的要求。用拉普拉斯算子检测边缘就是估算
高斯算子如式2所示:
拉普拉斯算子的输出,找出它的零点位置,也就是检22
(式2)测到了图像的边缘位置。?G(r)4(1-2)exp(-2)
πσσσ22
2但是拉普拉斯算子在边缘处会产生一个陡峭的式2中,σ是方差,r是离原点的径向距离,即r
22零交叉,其方向信息丢失,常产生双像素,对噪声有双=x+y,x、y为图像的横坐标和纵坐标。高斯2拉普拉斯算子是两种算子的结合,既具备高倍加强作用,因此拉普拉斯算子很少直接用于边缘检斯算子的平滑特点又具备拉普拉斯算子锐化特点。测。
如果把基于高斯算子的高斯平滑滤波器和基于平滑和锐化,积分和微分是一对矛盾的两个侧面,统
拉普拉斯算子的拉普拉斯锐化滤波器结合了起来,因一在一起后就变成了最佳因子。
为图像中包含噪声,平滑和积分可以滤掉这些噪声,
3　基于高斯拉普拉斯算子的边缘检测方法消除噪声后再进行边缘检测(锐化和微分),就会得到
因为图像边缘有大的灰度变化,所以图像的一阶较好的效果。基于高斯拉普拉斯算子的图像边缘检偏导数在边缘处有局部最大值或最小值,则二阶偏导测过程如图1所示。
3收稿日期:
作者简介:李雪(19802),女,河南新乡人,学士,主要从事电子信息技术研究。
河南机电高等专科学校学报　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年6期
图1　基于高斯-拉普拉斯算子的图像边缘检测过程
4　实验结果及讨论
下面就用本文提出的方法,在Matlab的编程环境下,对常用的如图2所示的“lena图像”用高斯-拉普
拉斯算子进行边缘检测,其结果显示如图3所示:
)[imagemap]=imread(D’:\LENA256.BMP’
image-edge-1=edge(image,’log’,[],2);imshow(image,map)figure,imshow(image-edge-1)…
;改变滤波参数…
)[imagemap]=imread(D’:\LENA256.BMP’
image-edge-1=edge(image,’log’,[],3);imshow(image,map)figure,imshow(image-edge-1)
由图3可以看出,基于高斯-拉普拉斯算子的图像边缘检测方法将高斯滤波和拉普拉斯边缘检测结合在一起,先对图像进行平滑和积分以滤掉噪声,消除噪声后再进行边缘检测(),检测的结果,,消除了双边缘现象,-,必,过低的截止频率会影响滤4所示。
本文提出了用高斯-拉普拉斯算子处理图像边缘的方法,通过matlab软件进行仿真实验,得到了比较好的效果,证实了基于高斯-拉普拉斯算子的图像的边缘检测的可行性和有效性。
(责任编辑　吕春红)
[1]缪绍纲.数字图像处理———活用Matlab[M].成都:西南交通大学
出版社,2001.
[2]ChenWunfan,etal.ANewAlgorithmofEdgeDetectionforColorIm2
age:GeneralizedFuzzyOPerator.ScienceinChina(A),):1272.
TheImageEdgeDetectionwithLaplacianofGaussianOperator
LIXue,etal
(HenanMechanicalandElectricalEngineeringCollege,Xinxiang453002,China)
Abstract:TheImageEdgeDetectionwithLaplacianofGaussianoperatorisstudiedinthispaper,andthispaperprovesthefeasibilityofthismethodsandeffectivenesswiththesimulationthroughtheMATLABsoftware.
Keywords:LaplacianofGsimulationthroughtheMATLABsoftware
范文七：【OpenCV】边缘检测：
Sobel、拉普拉斯算子
边缘(edge)是指图像局部强度变化最显著的部分。主要存在于目标与目标、目标与背景、区域与区域(包括不同色彩)之间，是图像分割、纹理特征和形状特征等图像分析的重要基础。 图像强度的显著变化可分为：
阶跃变化函数，即图像强度在不连续处的两边的像素灰度值有着显著的差异；
线条（屋顶）变化函数，即图像强度突然从一个值变化到另一个值，保持一较小行程后又回到原来的值。
图像的边缘有方向和幅度两个属性,沿边缘方向像素变化平缓,垂直于边缘方向像素变化剧烈.边缘上的这种变化可以用微分算子检测出来,通常用一阶或二阶导数来检测边缘。
）分别是阶跃函数和屋顶函数的二维图像；（c
）是阶跃和屋顶函数的函数
）对应一阶倒数；（g）（h）是二阶倒数。
一阶导数法：梯度算子
对于左图，左侧的边是正的（由暗到亮），右侧的边是负的（由亮到暗）。对于右图，结论相反。常数部分为零。用来检测边是否存在。
梯度算子 Gradient operators
函数f(x,y)在(x,y)处的梯度为一个向量：
计算这个向量的大小为：
梯度的方向角为：
sobel算子的表示：
梯度幅值：
用卷积模板来实现：
【相关代码】
[cpp] view plaincopy
1. CV_EXPORTS_W void Sobel( InputArray src, OutputArray dst, int ddepth,
int dx, int dy, int ksize=3,
double scale=1, double delta=0,
int borderType=BORDER_DEFAULT );
1. /////////////////////////// Sobe l////////////////////////////////////
2. /// Generate grad_x and grad_y
3. Mat grad_x, grad_y;
4. Mat abs_grad_x, abs_grad_y;
5. /// Gradient X
6. //Scharr( src_gray, grad_x, ddepth, 1, 0, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
7. //Calculates the first, second, third, or mixed image derivatives using an e
xtended Sobel operator.
8. Sobel( src_gray, grad_x, ddepth, 1, 0, 3, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
9. convertScaleAbs( grad_x, abs_grad_x );
10. /// Gradient Y
11. //Scharr( src_gray, grad_y, ddepth, 0, 1, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
12. Sobel( src_gray, grad_y, ddepth, 0, 1, 3, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
13. convertScaleAbs( grad_y, abs_grad_y );
14. /// Total Gradient (approximate)
15. addWeighted( abs_grad_x, 0.5, abs_grad_y, 0.5, 0, grad );
二阶微分法：拉普拉斯
二阶微分在亮的一边是负的，在暗的一边是正的。
常数部分为零。
可以用来确定边的准确位置，以及像素在亮的一侧还是暗的一侧。
LapLace 拉普拉斯算子
二维函数f(x,y)的拉普拉斯是一个二阶的微分，定义为：
可以用多种方式将其表示为数字形式。对于一个3*3的区域，经验上被推荐最多的形式是：
定义数字形式的拉普拉斯要求系数之和必为0
【相关代码】
1. CV_EXPORTS_W void Laplacian( InputArray src, OutputArray dst, int ddepth,
int ksize=1, double scale=1, double delta=0,
int borderType=BORDER_DEFAULT );
1. Mat abs_dst,
int scale = 1;
int delta = 0;
int ddepth = CV_16S;
int kernel_size = 3;
Laplacian( src_gray, dst, ddepth, kernel_size, scale, delta, BORDER_DEFAUL
convertScaleAbs( dst, abs_dst );
namedWindow( window_name2, CV_WINDOW_AUTOSIZE );
注意，边缘检测对噪声比较敏感，需要先用高斯滤波器对图像进行平滑。参考博文：【OpenCV】邻域滤波：方框、高斯、中值、双边滤波
Sobel 边缘检测
Sobel算子可以直接计算Gx 、Gy可以检测到边的存在，以及从暗到亮，从亮到暗的变化。仅计算| Gx |，产生最强的响应是正交 于x轴的边； | Gy |则是正交于y轴的边。
Laplace边缘检测
拉普拉斯对噪声敏感，会产生双边效果。不能检测出边的方向。通常不直接用于边的检测，只起辅助的角色，检测一个像素是在边的亮的一边还是暗的一边利用零跨越，确定边的位置。
范文八：第30卷第2期
菏泽学院学报2008年3月
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
JournalofHezeUniversityMar.　2008Vol.30　　No.2
文章编号:08)03-0001-04
一般球对称引力场中的拉普拉斯算子
(菏泽学院物理系,山东菏泽274015)
　　摘　要:从三维平直空间中的梯度算子出发,推导出四维弯曲空时中的梯度算子,进而推导出四维弯曲
空时中的Laplace算子;作为特例,得到了一般球对称引力场中的Laplace算子.
关键词:球对称;引力场;拉普拉斯算子;梯度算子;四维弯曲空时中图分类号:O175.3　　文献标识码:A
　　调和函数是满足Laplace方程的函数,而Laplace方程是偏微分方程中的重要内容;满足C-R条件两个调和函数构成的复变函数在区域D内解析,而解析函数是复变函数论研究的主要对象;Laplace方程与La2place算子直接相关.因此,Laplace算子是理论物理的重要内容之一.欧氏空间,乃至闵氏时空中Laplace算子已为人们所熟悉,但是弯曲空时中的Laplace算子尚未充分研究.
欧氏空间直角坐标系中的梯度算子为?=i+j+k,i,j,k分别为x,y,z方向的单位矢量.从欧
氏空间直角坐标xi,i=1,2,3变换到任意正交曲线坐标系qi,i=1,2,3需要引入Lame系数[1]5xj
Hi=,i,j=1,2,3.
由此可得欧氏空间任意正交曲线坐标系中梯度算子的表达式为
5=ei,i=1,2,3.
H15q15q25q3Hi5qi
上式最后一步采用了Einstein记号,凡重复指标均表示求和;式中ei,i=1,2,3.为qi坐标轴上的坐标基.
在四维弯曲空时中,标量、协变矢量和逆变矢量的梯度定义各不相同.标量φ(x)的梯度定义为[2]
φ=5μx,?μ
5x这是一个协变矢量.协变矢量aμ和逆变矢量a的梯度分别定义为
?νaμ=aμ,ν-Γμνaα,
中,Γ=64个分量.μν有4
=a,ρ+Γνρa.
式中Γμν叫做空时联络,是由于弯曲空时中相邻两点时空性质的差异而引入的一个系数;在四维弯曲空时
本文中我们首先从(2)式出发推导出欧氏空间任意正交曲线坐标系中的Laplace算子,再利用(5)式推导出四维弯曲空时中的Laplace算子;最后,作为特例,得到一般球对称空时中的Laplace算子.
1　四维弯曲空时中的Laplace算子
1.1　欧氏空间任意正交曲线坐标系中的Laplace算子
作者简介:张建华(1946-),男,山东单县人,教授,研究方向:黑洞物理和宇宙学.
范文九：2011年第7期福建电脑
基于拉普拉斯边缘检测算子的图像分割
张建光1，李永霞2
（1.衡水学院数学与计算机系河北衡水053000
2.衡水学院教育系河北衡水053000）
【摘要】：通过分析作为二阶梯度的拉普拉斯公式，得出可应用到实践图像分割中的拉普拉斯边缘检测算子，并通过VC++6.0加以实现。分析图像分割结果，并对拉普拉斯边缘检测算子进行利弊分析。
【关键词】：拉普拉斯算子；梯度；图像分割
1.拉普拉斯边缘检测算子理论基础
分辨率，不过由于噪声，结果可能不会很精确．可把拉拉普拉斯算子是二阶导数的二维等效式[1]．函数普拉斯算子变为为：
f(x,y)的拉普拉斯算子公式为
??1?1-2f?2??1??2
f?f??18?1??x2?
????1?1?1??
计算一阶导数的边缘检测器，如果所求的一阶导
使用差分方程对x和y方向上的二阶偏导数近似数高于某一阈值，则确定该点为边缘点。这样做会导致如下：检测的边缘点太多。拉普拉斯算子是一种更好的方法，
f-G?通过求梯度局部最大值对应的点?x?-，并认定它们是边缘?x??(f[i,j?1]?f[i,j])点，一阶导数的局部最大值对应着二阶导数的零交点
这意味着在边缘点处有一阶导数的峰值，同样地，有二??f[i,j?1]?f[i,j](2)阶导数的零交叉点．这样，通过找图像强度的二阶导数?x?
?x的零交叉点就能找到边缘点。?(f[i,j?2]?2f[i,j?1])?f[i,j]
3.拉普拉斯边缘检测算子的算法流程图及实验结果
这一近似式是以点[i,j+1]为中心的．用j-1替换j，本文的测试图像采用经典细胞图，如图2。实验环
境为：Intel(R)core(TM)2DuoCPU；实验工具为：VC++?2f?x2?(f[i,j?1]?2f[i,j])?f[i,j?1](3)6.0。图1显示的是C++语言下的拉普拉斯边缘检测算子的算法流程图，图3给出了本文方法边缘检测的结它是以点[i,j]为中心的二阶偏导数的理想近似式，果。类似地，
?y2-(f[i?1,j]?2f[i,j])?f[i?1,j](4)
2.拉普拉斯边缘检测算子常用形式
把上述两个式子合并为一个算子，就成为下面能用来近似拉普拉斯算子的模板[2]：
???1?41???
有时希望邻域中心点具有更大的权值，比如下面图2原始图像
的模板就是一种基于这种思想的近似拉普拉斯算子：
?????4?204?(6)??
当拉普拉斯算子输出出现过零点时就表明有边缘
存在，其中忽略无意义的过零点(均匀零区)．原则上，过零点的位置精度可以通过线性内插方法精确到子像素
拉普拉斯算子流程图
图3拉普拉斯算子效果图
(下转第101页)
2011年第7期
(10)outputJR
3、实验结果及分析
本实验中使用的硬件环境为：IntelCore2Pentium4DuoCPU2.67GHz,2GB内存。实验中使用的闪存三星K9K8G08U0M芯片，容量为8GB，一个块包含64个页，每个页大小为2KB。软件环境如下：操作系统为Windows7，编译环境为vc++20085编程语言为C++语言；数据库管理系统采用的是开源的MySQl。进行连接的两个关系分别为R和S，空间大小分别为1G和3G，元组个数分别为25M条和50M条。
在不同的选择率和缓冲区大小的情况下，本文以DigestJoin算法和FlashJoin算法作对比，进行了多组对照实验，实验结果如下图1所示。
以上的结果在一定程度上说明，本文提出的Su-perbJoin算法在不同的选择率及设定不同大小的缓冲区的情况下，查询性能都优于DigestJoin算法和FlashJoin算法。在选择率较低的情况下，SuperbJoin的性能优势还不明显，这是因为选择率较低时有效访问的密度还不高。随着选择率的增大，SuperbJoin算法的优势更为明显，这体现了行存储的性能优势以及Su-perbJoin采用索引进行连接的高效性。4、总结
随着闪存技术的发展和实际应用对数据处理速度要求的提高，闪存数据库系统具有重要的理论价值和广阔的应用价值。本文提出的SuperbJoin算法可以大幅度提高列存储模式下的等值连接效率，是对现有闪存查询技术的补充。在选择过程中缓冲区的分配将是下一步研究工作。
参考文献：
[1]MyersD.OntheUseofNANDFlashMemoryinHighPerfor-manceRelationalDatabases[D].Massachusetts，USA：MassachusettsInstituteofTechnology，2008.
[2]向小岩．闪存数据库若干关键问题研究[D]：[博士学位论文].天津：中国科学技术大学计算机科学与技术学院，2009
[3]LiYu，OnST，XuJianliang，etal.DigestJoin：ExploitingFastRandomReadsforFlash-basedJoins[C].Proc.ofthe10thInter-nationalConferenceonMobileDataManagement：IEEEComputerSocietyPress，1.
[4]DimitrisTsirogiannis，StavrosHarizopoulos，MehulA.Shah，JanetL.Wiener，GoetzGraefe.ProcessingTechniquesforSolidStateDrives[C].Proc.ofthe35thSIGMODinternationalconferenceonManagementofdata，2009.
[5]梁智超，周大，孟小峰.Sub-Join：面向闪存数据库的查询优化算法[J].计算机科学与探索，)：401-409.
[6]倪志鹏.基于连接索引的查询优化研究[D]：[硕士学位论文].武汉：华中科技大计算机科学与技术学院，2006.
(a)缓冲区=50M，元组大小=2KB
(b)缓冲区=200M，元组大小=2KB
图1SuperbJoin与DigestJoin和FlashJoin性能对比图
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(上接第99页)4.总结与展望
本文通过分析拉普拉斯算子理论基础，实现了其在图像边缘检测上的应用，但是拉普拉斯算子作为线形二次微分算子，在边缘处会产生一个陡峭的零交叉，对噪声点会很敏感，而且容易出现双边缘，我们会在以后的工作中通过实验，寻找更为理想的算法，克服拉普拉斯算子的这些缺点。
[1]张艳丽,张建光,刘洁晶;基于二次采样小波变换的拉普拉斯图像边缘检测[J];衡水学院学报;2010年04期;14-16
[2]段瑞玲,李庆祥,李玉和;图像边缘检测方法研究综述[J];光学技术;2005年03期;95-99
范文十：！ 里 　
≥ 》 ； 　
拉普拉斯算子在文档碎片举自动拼接上的应用　
◆ 朱 兆梁 马朝翰 张超然 李 健　
摘 要 ：常规 文 档碎 片拼 接 方法一般 碎 片边 缘 的特征 （ 如 尖 角特征 ，几何特 征 等 ），而后 将各 纸 片的特 征进 行　 匹配拼接。本文基于拉普拉斯算子及Ｈ ｏ ｕ 曲变换获取边缘灰度特征，从而提 出一种新型文档碎片半 自动拼接方法。 　 关键词 ：拉普拉斯算子 ；Ｈ ｏ ｕ ｇ ｈ 变换 ；文字碎 片拼接　
边缘 连接时得 到是在Ｈ ｏ ｕ ｇ ｈ 变换下 的正 弦曲线 。 　
拉普拉斯算子　
三 、Ｃａ ｎ ｎ ｙ 法　
在对 所有 图像 实现边 缘检 测后 ，就 可 以利用 Ｈ ｏ ｕ ｇ ｈ 变换　 进行边 缘连 接 ，利用ＭＡ Ｔ Ａ Ｌ Ｂ 将 碎片 文件 图像 的边缘检 测分　 别 与 其他碎 片文 件 图像 的边 缘检测 图像 进行左 连接 ，然 后将　 连接后 的进行Ｈ ｏ ｕ ｇ ｈ 变换 ，检验对应 的拼接是 否合理 。 　 边 界 的Ｈ ｏ ｕ ｇ ｈ 变 换集 中在８ ＝ ０ 附件 ，越 往 两端 ，图像 越　 发散 。同样也 可以通过 Ｈ ｏ ｕ ｇ ｈ 变换所 返 回的（ ｐ ， 　 数来 确定 ， 　 如果 （ ｐ ， 　） 对 越 多 ，那 么 图像 在 左 连 接 时 灰度 值 变化 为 直　
线 ，也 即二个 图像 左连 接的效果越 好 。 　
拉普拉 斯算 子是一种 二 阶导 数算子 ，对一个 连续 函数　
ｆ （ ｘ ， Ｙ ） ，其在（ 　 ， 　） 处的拉普拉斯算子定义如下 ： 　
Ｖ 　 厂＝ 　 ＋ 　
在 图像 处理过 程 中 ，函数 的拉普 拉斯 算子也 是借 助模板　 来 实现 的 ，这里对 模板 有一 个基 本要 求 ：模 板 中心 的系数 为　
正 ，其余相邻系数为负，所有系数的和应该为零 ，常用的二　
个模 板为 ： 　
拉普 拉斯 算子 边缘检 测方 法通 常产生 双像素 边界 。在利　 用拉 普拉 斯算 子对 碎 片文件 图像进 行边 缘检 测之后 ，还需要　 进行 碎 片图像 之 间的边 缘连 接 。进 行 图像边 缘连 接 的方 法有　
很多 ，本文采 用 的是 Ｈｏ ｕ ｇ ｈ 变换 。 　
四、步骤总结　
１ ． 利用 基 于拉 普拉 斯 算子 的Ｃ ａ ｎ ｎ ｙ 法 对碎 片文 件 图像 进　 行 边缘 检测 ，得 到碎 片 图像 的边缘 特征 ；２ ． 通过 检测 随机 二　
个碎片文件接缝处像素的灰度值是否是连续变化来确定这二　
个 碎 片文 件是 否 可 以拼接 在一 起 ；３ ． 利用 Ｈｏ ｕ ｇ ｈ 变换 检验 接　
二 、Ｈｏ ｕ ｇ ｈ 变换　
Ｈ ｏ ｕ ｇ ｈ 变 换是 利用 碎 片文件 图像 的全 局特 征将 边缘 像素　
连接 起来 形成 封 闭边界 的一 种连接 方法 ，假设 需要 从二 个碎　
缝 处像 素点灰 度值
是否 在 同一 条直 线上 ，从而 检验 拼接 图像　
的合理性 。 　
片 文 件 图像 中各 取 一些 点 ，判 断 这些 点是 否 在 同一 直线 上　 （ 即二个 图像边 缘文 字部 分是 否 匹配 ，在短距 离 内 ，文 字 的 　
五、优 缺点分析　
利用 Ｃ ａ ｎ ｎ ｙ 方 法对 图片进行 基 于拉普 拉斯 算子 的边 缘 特　 征分 析 ， 旨在 找 出各 个碎 片文 件图像 边缘 部分 的文字 形状 ， 　 然后 利用 Ｈ ｏ ｕ ｇ ｈ 变 换检 验二 个碎 片文 件接 缝处 像素 点 的灰度　
值是 否连 续来 判断 这二个 图片 是否 可 以拼 接 ，在此过 程 中将　
曲线可以近似处理为直线 ），可以将其看成是根据已知直线　
上 的若 干点来 检测直 线的 问题 。 　
Ｈ ｏ ｕ ｇ ｈ 变 换 的思想 是利 用点 与直 线 的对偶性 的特点 ，在　
图像空间中所有过点（ 　 ， 　） 的直线都满足以下方程： 　
短距 离 内文字 图像 的 曲线 近似 为直线 ，这 样讲 拼接 问题转 化　 为 寻找二 个碎 片文 件接缝 处像 素点灰 度值是 否在 通一 条直 线　
上 ，模型 在不 失正确 解决 问题 的情况 下 ，更 加容 易理解 。模　
其 中　 表示 直线 的斜率 ，６ 为截距 。用极坐 标表示 为　
Ｐ ＝ ｘｃ ｏ ｓ Ｏ ＋ｙｓ ｉ ｎ０ 　
型存 在 的缺点 即是需 要将所 有碎 片文 件进行 拼接 搜索 ，这使　 得程序 的执行效 率有所 降低 。 　
参考 文献　
【 １ 】 罗智 中． 基于线段 扫描 的碎 纸片边界检验 算法研 究Ｉ Ａ 】 ． ２ ０ １ ２ ． 　 【 ２ ］ 陶波． 图像 的 自动拼接 ［ Ｉ 】 ． 中国生物 医药学报 ， １ ９ ９ ７ 　 ［ ３ 】 韩愈． 基 于颜 色和纹理特征 的计算机 自 动拼 图研 究［ Ｄ ］ ． 首都 师 范 　 大学， ２ ０ ０ ８ 　 ． 【 ４ 】 王磊． 基 于ｃ ａ ｎ ｎ ｙ 理论 的边缘提 取改善 方法 Ｕ ｊ ． 中国图像 图形学　
报， １ ９ ９ ６ ． 　
其 中（ ｐ ， ０ ） 定 义 了一个 从 原点 到 直线 上最 近点 的 向量 ， 　
该 向量 与直 线垂 直 ，该 式 就是直 线 的Ｈｏ ｕ ｇ ｈ 变换 。显然 ，ｘ － ｙ 　
平 面 中的任 意一条 直线都 与 Ｐ— ｅ 空 间 的一 个点相 对应 。也 就　 是说　 ． ｙ 平 面 中任 意直 线 的Ｈｏ ｕ ｇ ｈ 变换 就是参 数空 间 中的一 个　
点 ，在　 平面中，过点　， 　） 的直线有很多条，每一条都应　
该对 应 参 数 空 间 的一 个 点 ，此 时 ，可 以将 直 线方 程 中 的　 ， 　
看成是参数空间中的常数 ，那么在　 ． 　 平面 中过点（ 　 ， 　） 的　
直线 所对 应 的点就 在参数 空 间 中形 成一 条正 弦 曲线 。通过 以 　
［ ５ ］ 严磊． 基 于
特 征 匹配 的全 自 动 图像 拼接算法研 究【 Ｄ 】 ． 中国科 学技　
术大学， ２ ０ ０ ９ 年． 　 ［ ６ ］ 周振环 ＿ 图像特征提取及应 用研 究［ Ｄ 】 ｌ 华中科技大 学， ２ ０ ０ １ ． 　
上分析可以得出，如果二个碎片文件图像边缘的是可以拼接　 的，那么他们图像边缘的灰度值是连续的，也 即二个在进行　
（ 作 者单 位 ：中国人 民解 放军信息 工程大 学 ） 　
信息系统工程 Ｉ 　 ２ ０ １ ４ ． ２ ． ２ ０ 　 ９ ３