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关于简单函数极限值问题
如下图函数，当函数x趋向于0时候，其极值是什么？最好给出推导步骤吧，谢谢了。
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优化指导 2013高考数学（大纲）总复习课件：12.3函数的极限与连续性
课 时 作 业　 第三讲　函数的极限与连续性 考点 考纲要求 考查角度 函数极限、函数的连续性 函数极限；左右极限；函数的连续性；连续函数的性质 了解函数极限的概念，了解左右极限的概念；掌握函数极限的四则运算法则，会求函数的极限；了解函数连续的意义；了解闭区间上连续函数有最大最小值的性质 求函数的极限；求函数连续的条件 趋近于
2．函数f(x)在区间上连续 (1)函数f(x)在开区间(a，b)上连续：函数f(x)在开区间(a，b)上每一点处都连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)上连续． (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续：函数f(x)在区间(a，b)上连续，且在x＝a处右连续，在x＝b处左连续，就说函数f(x)在闭区间[a，b]上连续． 注意： (1)函数f(x)在点x0处连续与函数f(x)在点x0处有极限的联系与区别．联系是连续依据极限来定义，区别是函数在某点处连续比在该点处有极限要求条件更高，连续要求在该点处有极限且其极限值等于该点处的函数值，而有极限对于该点是否在定义域内，或者极限值是否等于函数值都不要求，所以函数在一点处连续必有极限，但有极限不一定连续．
(4)利用连续函数的性质可以得到根的存在性定理：如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)?f(b)<0，则在开区间(a，b)内至少有一点x0，使f(x0)＝0，即x0是方程f(x)＝0的一个根． 答案：C 2．下列结论： (1)若f(x)在x0点连续，则f(x)在x＝x0点必有极限 (2)若f(x)在x＝x0点有极限，则f(x)在x＝x0点必连续 (3)若f(x)在x＝x0点无极限，则f(x)在x0点一定不连续 (4)若f(x)在x0点不连续，则f(x)在x＝x0点一定无极限其中正确的有(　　) A．1个
D．4个 答案：B 答案：－1
【题后总结】这是一个已知函数极限要确定参数值的问题，解决该类问题的关键是探求函数如何存在极限来确定参数值． 一、函数的极限1．当x→∞时，函数f(x)的极限(1)当x→＋∞时，函数f(x)的极限：当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作f(x)＝a，也可记作当x→＋∞时，f(x)→a.(2)当x→－∞时，函数f(x)的极限：当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作f(x)＝a，也可记作当x→－∞时，f(x)→a.(3)当x→∞时，函数f(x)的极限：如果f(x)＝a且f(x)＝a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作f(x)＝a，也可记作当x→∞时，f(x)→a.2．当x→x0时，函数f(x)的极限(1)函数极限定义：一般地，当自变量x无限趋近于常数x0(但x不等于x0)时，如果函数f(x)无限趋近于一个，就说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限是a，记作：f(x)＝a，也可记作：当x→x0时，f(x)→a. f(x)也叫做函数f(x)在x＝x0处的极限．(2)当x→x时，函数f(x)的极限：如果当自变量x从点x＝x0左侧(即x<x0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作f(x)＝a.(3)当x→x时，函数f(x)的极限：如果当自变量x从点x＝x0右侧(即x>x0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作f(x)＝a.3．函数极限的四则运算法则如果f(x)＝a，g(x)＝b，那么 [f(x)±g(x)]＝； [f(x)?g(x)]＝； ＝(b≠0)．注意：(1)对函数极限与数列极限的理解，要注意它们的联系与区别，数列极限只是函数极限的一种特殊情况．(2)注意几种不同类型的函数极限的异同点．f(x)＝a，f(x)＝a，f(x)＝a，以及f(x)＝a，f(x)＝a，f(x)＝a的区别在于自变量x的变化方式和过程不同．相同之处在于尽管自变量x按不同的方式变化，但函数f(x)的变化趋势相同，都无限趋近于常数a.(3)当x→x0时，f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否有定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0.也就是说：函数f(x)在x0处有定义是f(x)存在的既不充分也不必要条件．如P(x)＝在x＝1处无定义，但 P(x)存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．二、函数的连续性1．函数f(x)在点x＝x0处连续(1)如果函数f(x)在点x＝x0处及其附近有，而且 f(x)＝，就说函数f(x)在点x0处连续．(2)如果函数f(x)在点x＝x0处及其右(左)侧有定义，而且f(x)＝f(x0)( f(x)＝f(x0))，就说函数f(x)在点x0处右(左)连续．注意：函数f(x)在点x＝x0处连续必须满足三个条件：函数f(x)在点x＝x0处有定义；函数f(x)在点x＝x0处的极限存在；函数f(x)在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即 f(x)＝f(x0)．(2)如果函数f(x)，g(x)在x0处连续，那么函数f(x)±g(x)，f(x)?g(x)，及(g(x)≠0)在点x0处都连续．函数f(x)在点x0处连续反映在函数的图象上是在点x0处图象是连着的，不间断的．(3)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么函数f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值，在开区间(a，b)内则没有这个性质．1．下列说法正确的有(　　)f(x)是否存在与函数f(x)在x＝x0是否有定义无关；f(x)与f(x)有一个不存在，则f(x)就不存在；f(x)与f(x)都存在，则f(x)也存在．A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　D．3个解析：根据x→x0时函数极限定义知，正确，错误，f(x)与f(x)都存在，并且相等f(x)才存在，答案为C.解析：由函数连续性的定义知函数f(x)在点x0处连续应满足三个条件：在x0处有定义，f(x)存在；f(x)＝f(x0)．由此可知，(1)正确，(2)不正确，(3)正确，(4)不正确．3．已知函数f(x)＝，在点x＝2处连续，则常数a的值是(　　)A．2
D．5解析：f(x)＝ ＝ (x＋2)＝4，f(2)＝a＋log22＝a＋1，由函数的连续性定义知f(2)＝f(x)＝4，可得a＝3.答案：B4. ＝______.解析： ＝ ＝ ＝ ＝.答案：5．
＝______.解析： ＝ ＝ (sin2x－sin x－1)＝－1.求下列函数的极限．(1)
.【自主解答】(1)
＝ ＝＝3；(2)
＝ ＝ ＝；(3)原式＝ ＝ (cos ＋sin )＝；(5)因为 ＝1，而 ＝－1，故 ≠ .所以 不存在．【题后总结】只有当f(x)和f(x)都存在且相等时f(x)才存在并且f(x)＝f(x)＝f(x)．当x→x0时，对于∞－∞，，等不同形式的极限问题主要涉及的解题方法有：“消因子法”，即分解出(x―a)型因式，消去公因式；“因式有理化”，即题目中有无理式，先乘以有理化因式后，消去因式.已知mN*，a，bR，若 ＝b，求a?b的值．【自主解答】(1＋x)m＝C＋Cx＋…＋Cxm，　　　＝ (C＋Cx＋…＋Cxm－1)＝C＝m＝b.a?b＝－m.【活学活用】 1.f(x)为多项式，且 ＝1， ＝5，求f(x)．解：f(x)是多项式，且 ＝1，可设f(x)－4x3＝x2＋ax＋b(a，b为待定系数)，即f(x)＝4x3＋x2＋ax＋b.又 ＝5，即 (4x2＋x＋a＋)＝5，，即f(x)＝4x3＋x2＋5x.(12分)已知f(x)＝，若函数f(x)在R上是连续的函数，求实数a，b满足的条件．【规范解答】 ＝ f(x)＝f(x)＝4，且f(x)＝f(1)，a＋b＝4，6分又f(x)在x＝0处连续，f(x)＝lif(x)＝f(0)，9分即a×0＋b＝0，b＝0.a＝4，即a，b满足的条件是a＝4，b＝0.12分【题后总结】f(x)＝a f(x)＝f(x)＝a，与如果f(x)在x0处连续，则f(x)＝f(x0)是解决与函数连续性有关问题的基本依据，一般是依据这两点建立方程或方程组，求出相应的参数的值．【活学活用】 2.已知函数f(x)＝.(1)求f(x)；(2)若f(x)存在，求a，b的值；(3)若函数f(x)在x＝1处连续，求a，b所满足的条件．解：(1)f(x)＝ ＝＝1.(2)若f(x)存在，则f(x)＝f(x)，而f(x)＝ (ax2＋2)＝a＋2，f(x)＝ ＝ ＝，a＋2＝，a＝－，b可为任意实数．(3)若f(x)在x＝1处连续，则f(x)＝f(x)＝f(1)，则a＝－，b＝.易错点：忽视函数连续性满足的条件致误判断函数f(x)＝在点x＝－1处的连续性．[错解]f(x)＝1－3＋2＝0，f(x)＝1－3＋2＝0，f(x)＝f(x)，f(x)在x＝－1点连续．【错因分析】函数f(x)在x＝x0处连续的条件是f(x)＝f(x)＝f(x0)，而错解中恰好没有验证f(x)＝f(x0)是否成立．【规范解答】f(x)＝1－3＋2＝0，f(x)＝1－3＋2＝0，f(x)＝f(x)＝0，但f(－1)＝2，f(x)≠f(－1)，f(x)在x＝－1处不连续．【状元笔记】函数f(x)在点x＝x0处连续的定义：如果函数y＝f(x)在点x＝x0处及其附近有定义，而且f(x)＝f(x0)，就称函数f(x)在点x0处连续．判断函数的连续性要严格依据定义，才可得出正确结论．　【纠错体验】 设f(x)＝问a，b为何值时，f(x)在定义区间内连续？解：f(x)＝ (x＋a)＝a＝f(0)．f(x)＝ (x2＋1)＝1，a＝1时，f(x)在x＝0处连续．f(x)＝ (x2＋1)＝2＝f(1)，f(x)＝ ＝b.b＝2时，函数f(x)在x＝1处连续，而初等函数在其定义域内均为连续函数，当a＝1，b＝2时，f(x)在(－∞，＋∞)内连续．优化指导 2013高考数学（大纲）总复习课件：12.3函数的极限与连续性--博才网
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这个函数应该是再x趋于0的时候没有极限的,因为函数的左极限不存在,有极限是2,左右极限不相等.但是函数是有右极限的,为2.
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