矩阵乘法有什么四元数乘法的几何意义义或实际意义没有

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-01-04 22:30 标签： 复数乘法 几何意义
求教线性代数高手,矩阵乘法为什么那么奇怪?以及所谓的线性映射是什么几何意义?我几何很好,不懂代数!1左边行数等于右边列数才能乘,左乘和右乘还不一样,我只明白y=f(x)这种映射,那么矩阵A*B是什么映射意思啊!就是说这个矩阵乘法这样定义本质理由是什么才造成这奇怪的结果(比如没有交换律).2可逆到底什么玩意儿,可逆的意义又在哪里?矩阵如果是一个空间几何体（我不懂啊）,那这个几何体可逆是什么意思!
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我之前也和楼主一样有很多的疑惑,最近看了相关书籍自己思考很久,很多困惑解开了,毕竟我们的教学很没劲,线性代数的很多本质都没给我们解释,大家只是学会了解题,让我很不爽.我用比较直观形象的语言来解释一下吧,可能语言不太精确,望谅解1.这个矩阵乘法就是这么定义的,所以左乘与右乘不一样.矩阵可以理解为线性变换的描述,如A*a=b（A为矩阵,a和b是向量）,即a向量做了一个线性变换变为b,A这个矩阵就是来描述这个变换的,或者说a映射到b,那么A就是来描述这个映射的（当然不能将映射和变换等同,这里我只是大概的点到下意思）.那么A*B=C,你可以把B看出列向量组,那么就相当于对这个列向量组里的每一个列向量做了同样的线性变换（用矩阵A来描述）,最后得到的新的矩阵C由新的列向量组成,每个列向量都是经由相同的线性变换得来的.当然还可以理解为两次线性变换的叠加效果,比如说A*B*b=c,就是说b向量先做A这种线性变换再做B这种线性变换最后变为c向量,那么如果用结合律,（A*B）*b=c,即C*b=c,也就是说做两次线性变换的效果等同于做一次C这种线性变换.所以说矩阵是一个用来描述线性变换的向量组（语言肯定不如数学语言描述的精确,但是大概就是这意思了,相信这样讲楼主也更能明白些）2.可逆是什么玩意?前面说了矩阵就是一种线性变换的描述,那么你把一个向量线性变换成另外一个向量,然后你要再把它变回来,肯定要另外一种线性变换吧,对于那个将向量变回来的线性变换的描述就是矩阵A的逆喽.那么A矩阵可逆就是说A所对应的线性变换很好,可以找到一种线性变换将被改变的向量变回来了,不可逆就是找不到变回来的途径喽!这么解释楼主应该明白了吧.至于矩阵是几何体?这种说法至少在这里没有体现,也不存在几何体可逆的说法.当然不同的时候矩阵有不同含义,既然矩阵是一个向量组,那么这些向量展开当然可以构成几何体（不对.展开成的是空间.扯远了）其实这丫就是一个数表嘛.我也在学习线代中,望共同进步!
追问这里打字多一些！之前晚上我自己悟出来了、和你的一模一样！几何体是在超空间内的应该。一句话英雄所见略同！很高兴认识你！
我是在考研，现在才第一次认真学线代，以前上课时候也很让我不爽，知其然不知其所以然根本一下就忘记了。呵呵。实质我总结了：矩阵确实是数表，代表的意思则是一种变换。把向量或者向量组左乘这种变换，就是把几何体旋转平移或拉伸。不过至今不懂左乘，我就当做平时写习惯写ax表示a倍化x而不写xa.
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建议你看一下《线性代数的几何意义》一书,还有孟岩博客中的《理解矩阵》一文,很有启发性!
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& 综合 & 正文
向量、矩阵乘法的几何意义（二） 矩阵乘法（Matrix Multiplication）
一、旋转（rotation）
1、矩阵与向量相乘
由向量内积（两个向量相乘）出发，考虑的情况。以二维平面空间为例，设X=(x1, x2, …, xn), xi=(xi1,xi2)T, i=1, 2, …,n为样本矩阵，w=(w1,w2)T为向量（二维平面中的一个有向线段）。矩阵与向量相乘可表示为：
2、矩阵与矩阵相乘
令为两个向量组成的矩阵，将上述XS与W相乘，可表示为：
如果将w1、w2看成二维空间中的有向线段，z1、z2则是X向w1、w2表示的有向线段投影的结果。W可看作旋转矩阵。图1、 2、3分别表示数据点集Xs经旋转矩阵W旋转后得到的点集Z。这里的旋转矩阵是正交矩阵，其两个列向量是正交的（内积为0）。这样的旋转称为正交旋转（orthogonal rotation, rigid rotation），正交旋转将数据点集旋转到新的坐标系，且并不改变数据点集的形状和大小（rotate the configuration to a new orientation while preserving its essential size and shape）。
图2旋转矩阵W
图3旋转后的数据Z
图2中的旋转矩阵将坐标系逆时针（counterclockwise）旋转了45度。通常，我们可以通过如公式（3）的旋转矩阵完成角度为θ的顺时针（clockwise）正交旋转。
当然，也不一定所有的旋转都要是正交的。
二、伸缩（Stretching and Shrinking）
第一部分介绍的数据矩阵与旋转矩阵相乘得到矩阵保持了原有数据点集的形状和大小分布，由图3可知，旋转后的数据z1和z2分量的方差相差很大。令矩阵D为对角线元素Si=Var(zi)的对角矩阵。如公式（4）所示，将Z与D-1相乘，Z的两个分量z1和z2分别被伸缩至方差为1的分量，结果如图4所示。
图4 标准化后的数据点集
对《Analyzing Multivariate Data》第二章中的WOMEN数据X（如图1所示）进行若干向量运算，结果如图5所示。
图5.1为原始数据X；图5.2为将数据X的中心移至0的零均值数据Xd；图5.3为将Xd每一维的数据伸缩为1的方差标准化数据Xs；图5.4为将Xs向向量w=(0.707; 0.707)投影后的一维向量z；图5.5为将Xs与旋转矩阵相乘后得到的旋转后的数据Zs；图5.6为将Zs方差标准化后的数据Zss。
Xs的协方差矩阵，可见方差标准化只是使数据每一维的方差为1并没有消除数据各维之间的相关性（如图5.3所示，数据呈现椭圆形分布）。将Xs经过适当的正交旋转得到Zs，计算Zs的协方差矩阵，我们可以发现数据各为之间的相关性消失了。而将Zs方差标准化的结果Zss，其协方差矩阵为理想的单位矩阵（如图5.6所示，数据呈现圆形分布）。
图5 WOMEN数据矩阵操作实验
The Geometric interpretation of Vector and Matrix Operations:
(1)Scalar multiplication has the effect of uniformly stretching or shrinking the data configuration.
(2)Vector multiplication has the effect of projecting the data point onto a single line defined by the vector.
(3)Matrix multiplication has the effect of rotating the configuration onto a new set of axes. In some special cases (where the columns of the matrix are orthogonal), the rotation preserves the overall shape of the configuration.
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【上篇】【下篇】两个矩阵相乘有什么几何意义,麻烦说详细一点!谢谢
血刺_小孩纸DRS
你得先搞明白一个矩阵有什么几何意义。。。m*n的矩阵表示m维线性空间到n维线性空间的线性映射，相乘则表示又做了一次映射。
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