切割磁感线运动 【范文十篇】
切割磁感线运动
范文一：专题九
导体切割磁感线的运动
1．楞次定律：
推广可以具体简化为以下三种情况：①阻碍原磁通的变化；②阻碍导体间的相对运动；③阻碍原电流的变化．?
2．应用法拉第电磁感应定律时应注意：?
ΔΦnBΔS①一般用E = nE = E = Blυ求瞬时电动势，但当Δs
ΔtΔtΔΦ
随Δt均匀变化时，由于电动势恒定，平均电动势和瞬时电动势相等，可用E = n求某一
Δt时刻的电动势；
②匀强磁场中，B、l、υ相互垂直，导体平动切割磁感线时E = Blυ，绕固定转轴转动1
时E = 2ω．
【例1】如图所示，在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个质量为m、半径为r、电阻为R的均匀圆形导线圈，线圈平面跟磁场垂直（位于纸面内），线圈与磁场边缘（图中虚线）相切，切点为A，现在A点对线圈施加一个方向与磁场垂直，位于线圈平面内的，并跟磁场边界垂直的拉力F，将线圈以速度υ匀速拉出磁场．以切点为坐标原点，以F的方向为正方向建立x轴，设拉出过程中某时刻线圈上的A点的坐标为x．?
（1）写出此时F的大小与x的关系式；?
（2）在F-x图中定性画出F-x关系图线，写出最大值F0的表达式．
【解析】由于线圈沿F方向作切割磁感线运动，线圈上要产生顺时针方向的感应电流，从而要受到与F方向反向的安培力Ff作用，由图可知，此时线圈切割磁感线的有效长度l = 2r-(r-x)2?
线圈上感应电动势，感应电流i =
线圈所受安培力大小为Ff = Bil，方向沿x负方向?
因线圈被匀速拉出，所以F = Ff? 8B2υr4B2υ2解上各式得F = x?
（2）当x = r时，拉力F最大，最大值为F0 = ?
R图线如图所示．
训练题如图（甲）所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l＝0.20m，电阻R＝1.0Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感强度B＝0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下，现用一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图（乙）所示，求杆的质量m和加速度a．
答案：a=10m/s2，m=0．1kg
【例2】如图所示，两根相距l平行放置的光滑导电轨道，与水平面倾角均为α轨道间有电阻R，处于磁感应强度为B方向竖直向上的匀强磁场中，一根质量为m、电阻为R/4的金属杆ab，由静止开始沿导电轨道下滑．设下滑中ab杆始终与轨道保持垂直，且接触
良好，导电轨道有足够的长度，且电阻不计，求ab杆沿轨道下滑可达到的最终速度．?
【解析】当ab杆沿轨道加速下滑至速度υ时，ab杆上的电动势为E = BLυcosα ab杆与导电轨道组成的回路中的电流为I =
4B2l2?cos?
ab杆受到的安培力为F = BIl =
方向水平向右．
当ab杆的速度增大至某一值υm时，ab杆受到的合外力F合恰减为零，此时ab杆的加速度a也减为零，之后ab杆保持速度υm沿轨道匀速下滑．速度υm即是ab
杆沿轨道下滑
可达到的最终速度．
据共点合力平衡条件，有mgsinα = Fcosα
4B2lmcos?5mgRsin?
即mgsinα = ·cosα，解得：υm = ．
4B2l2cos2?5R
训练题如图所示，具有水平的上界面的匀强磁场，磁感强度为B，方向水平指向纸内，一个质量为m，总电阻为R的闭合矩形线框abcd在竖直平面内，其ab边长为L，bc边长为h，磁场宽度大于h，线框从ab边距磁场上界面H框下落时，保持ab边水平且线框平面竖直．已知ab后，cd大值，此时cd边距上边界为h1，求：
（1）线框ab边进入磁场时的速度大小；
（2）从线框ab边进入磁场到线框速度达到最大的过程中，线框中产生的热量；?
答案：（1）v=（2gh）1/2
（2）Q=mg（H+h+h1）—m3R2g2/2B4L4
105感应强度为B．直升飞机螺旋桨叶片的长度为l，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动．螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图所示．如果忽略到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则
A．E = πfl2B，且a点电势低于b点电势?
B．E = 2πfl2B，且a点电势低于b点电势? C．E = πfl2B，且a点电势高于b点电势?
D．E = 2πfl2B，且a点电势高于b点电势2．如图是电磁驱动的原理图，把一个闭合线圈放在蹄形磁铁的两磁极间，蹄形磁铁和闭合线圈都可以绕OO′轴转动．当转动蹄形磁铁时，线圈将（
B．跟随磁铁一起转动? C．向与磁铁相反的方向转动
D．磁铁的磁极未知，无法判断
3．如图所示，C是一只电容器，先用外力使金属杆ab贴着水平平行金属导轨在匀强磁场中沿垂直磁场方向运动，到有一定速度时突然撤销外力．不计摩擦，则ab以后的运动情况可能是 （ C
A．减速运动到停止
B．来回往复运动?
C．匀速运动
D．加速运动
4．在匀强磁场中放一电阻不计的平行金属导轨，导轨跟大线圈M相接，如图所示，导轨上放一根导线ab，磁感线垂直导轨所在的平面，欲使M所包围的小闭合线圈N产生顺时针方向的感应电流，则导线的运动可能是
A．匀速向右运动
B．加速向右运动
C．减速向右运动
D．加速向左运动
505年南京）有一根裸金属棒ab，中，今从静止起用力拉金属棒(保持棒与导轨垂直)经时间t1后ab的速度为v，加速度为a1若拉力的功率恒定，经时间t2后ab的速度也为v，加速最终速度也可达2v。求a1和a2满足的关系。（不计其他电阻）
答案：a2=3a1
6（05年如东）水平固定的光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。
（1）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求通过电阻R的电量和电阻R中产生的热量
（2）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求金属棒通过的位移
（3）如果将U型金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，其他条件不变，如图所示。求金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）
答案：（1）由动量定理得??0?mv0
0?m0 v 所以q?
由能量守恒定律得Q?
BLs??B?SBLs
qRmv0R? BLB2L2
（3）当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，
当ab棒以稳定速度v匀速运动时，BLv=UC=Qc/C 而对导体棒ab利用动量定理可得
—BLQc=mv-mv0
由上述二式可求得： v?
Ec?mv02?mv2?mv02?m()
2222m?B2L2C
705年宿迁）两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R（金属导轨及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的
匀强磁场中。
（1）现把金属棒ab锁定在导
轨的左端，如图甲，对cd施加与导轨平行的水平向右的恒力F，使金属棒cd向右沿导轨O
运动，当金属棒cd的运动状态稳定时，金属棒cd的运动速度是多大？
（2）若对金属棒ab解除锁定，如图乙，使金属棒cd获得瞬时水平向右的初速度v0，当它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒ab的电量是多少？整个过程中ab和cd相对运动的位移是多大？
答案：⑴当cd棒稳定时，恒力F和安培力大小相等，方向相反，以速度v匀速度运动，有：
联立得： v?22
⑵ab棒在安培力作用下加速运动，而cd在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失，ab，cd棒开始匀速运动。
设这一过程经历的时间为t，最终ab、cd的速度为v′，通过ab棒的电量为Q。 则对于ab棒由动量守恒：BILt＝2mv′
即：BLQ＝2 mv′
同理，对于cd棒：－BILt＝mv′－mv0
即： BLQ＝m（v0-v′）得：Q?2mv0
3BL设整个过程中ab和cd的相对位移为S，由法拉第电磁感应定律得：
tt流过ab的电量：Q?
805如图，光滑平行的水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间 接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO1O1 4mv0RE
′O′矩形区域内有垂直导轨平面竖直向
下、宽为d的匀强磁场，磁感强度为B。一质 0
量为m，电阻为r的导体棒ab，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d0。现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）。求： （1）棒ab在离开磁场右边界时的速度； （2）棒ab通过磁场区的过程中整个回路所消 耗的电能；
（3）试分析讨论ab棒在磁场中可能的运动情况。
答案：（1）ab棒离开磁场右边界前做匀速运动， 速度为vm，则有
（2）由能量守恒可得：
F(d0?d)?W电?mvm
W电?F(d0?d)?
（3）设棒刚进入磁场时速度为v
棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论：
F(R?r)2d0B4l4
（或F?），则棒做匀速直线运动；
B2l2m(R?r)2F(R?r)2d0B4l4
（或F＞），则棒先加速后匀速；
B2l2m(R?r)2F(R?r)2d0B4l4
?（或F＜＝，则棒先减速后匀速。 B2l2m(R?r)2
范文二：电磁感应现象 导体切割磁感线运动
一、 知识梳理 1、 电磁感应现象
（1）定义：闭合回路中产生
的现象。产生的电动势叫
，产生的电流叫
（2）产生感应电流的条件：①
发生变化。
【理解】①电路不闭合时，只有
。②要穿过闭合电路的
【思考】①磁场不变能否产生感应电流？②磁场变化能否不产生感应电流？③磁通量的变化可以由哪些变化引起？
2、 右手定则
导体切割磁感线产生的
方向用右手定则判定。 【思考】左手定则与右手定则的有什么异同点？
3、 导体切割磁感线产生的感应电动势的大小
（1）切割磁感线运动的导体相当于一个电源，感应电动势由其
极。 （2）公式：E=
，式中三个物理量相互
。 【思考】“该式也可以理解为导体单位时间内扫过的磁通量”，这句话如何理解？
（3）说明：①若导线是曲折的，则L应为
。②若v为一段时间内的平均速度，则感应电动势为
，若v为瞬时速度，则感应电动势为
，③导体绕导体一端转动切割产生的感应电动势公式为E=
，用B、L、ω表示。 【推导】
④线圈转动电动势E=
，（发电机模型，用B、L、S表示）。 【推导】
二、 例题精析
1、感应电动势方向的判断和大小的计算 【例题1】（多）如图所示为地磁场磁感线的示意图，飞机在我国上空匀速巡航，机翼保持水平，飞行高度不变。由于地磁场的作用，金属机翼上有电势差，设飞行员左方机翼末端处的电势为φ1，右方机翼末端处的电势为φ2，则（
） A、 若飞机从西往东飞，φ1>φ2 B、 若飞机从东往西飞，φ1φ2 D、 若飞机从北往南飞，φ1<φ2
2、感应电流的计算 【例题2】粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行。现使线框以相同大小的速度沿四个不同方向移出磁场，则在移出的过程中线框的一边ab两点间的电势差的绝对值最大的是（
【例题3】如图所示，在磁感应强度为B=0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置的两平行金属导轨，相距为L=0.1m,导轨电阻不计，在导轨的右端连着一只电阻阻值为R=0.3Ω，导轨上跨放着一根长为0.2m的金属棒，其每米长的电阻为2Ω，棒与导轨垂直，并以v=4m/s的速度向左匀速运动，则金属棒两端的电压为多大？
【例题4】如图所示，日字形导线框由7根长均为L ，电阻 r的导线组成，受拉力作用以速度v匀速通过宽为L，磁感应强度为B 的匀强磁场，线框平面始终与磁场方向垂直，由ab边刚进入磁场开始，求：线框在第一根边进入、第二根边进入和第三根边进入磁场区域的三个不同位置时（1）流过导体ab 的电流（2）导体ab 两端的电压。
【例题5】如图所示，一边长为2L，每边电阻为R 的正方形导线框abcd以速度v匀速从磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场区向右穿过宽为L 的无磁场区，进入磁感应强度为2B，方向垂直纸面向外的匀强磁场区，试讨论线框中感应电流随位移的变化情况，并画出其变化图线。
【例题6】如图所示，把总电阻为2R和R的两根粗细均匀的电阻丝焊接成直径分别为2d和d 的两个同心圆环，并将它们水平固定在绝缘桌面上，在大小两环间的区域内穿过一个竖直向下，磁感应强度为B 的匀强磁场，一长度为2d、电阻为R 的粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，与两圆环始终保持良好接触，当金属棒以恒定速度v向右运动，经过环心O时，求：（1）金属棒MN中产生的总感应电动势（2）金属棒MP中电流的大小和方向（3）棒与小圆环的接触点P、Q间的电压（4）大小圆环消耗的功率之比。
范文三：1.如图，导体框内有一垂直于框架平面的匀强磁场，磁感应强度为
0.12T，框架中的电阻R1＝3Ω，R2＝2Ω，其余部分电阻均不计，导
体棒AB在磁场中的长度为0.5m，当AB以10m/s速度匀速沿着导体
框移动时，所需外力F＝_______，产生功率P＝_______，通过R2
上的电流I2＝_______.
2. 如图所示，竖直平行导轨间距l=20cm，导轨顶端接有一电键K。
导体棒ab与导轨接触良好且无摩擦，ab的电阻R=0.4Ω，质量m=10g，
导轨的电阻不计，整个装置处在与轨道平面垂直的匀强磁场中，磁感
强度B=1T。当ab棒由静止释放0.8 s后，突然接通电键，不计空气
阻力，设导轨足够长。求ab棒的最大速度和最终速度的大小。（g取
3.材料、粗细相同，长度不同的电阻丝做成ab、cd、ef三种形状的导
线，分别放在电阻可忽略的光滑金属导轨上，并与导轨垂直，如图所示，
匀强磁场方向垂直导轨平面向内.外力使导线水平向右做匀速运动，且
每次外力所做功的功率相同，已知三根导线在导轨间的长度关系是Lab
＜Lcd＜Lef,则 (
(A) ab运动速度最大 (B)ef运动速度最大
(C)因三根导线切割磁感线的有效长度相同，故它们产生的感应电动势相同
(D)忽略导体内能变化，三根导线每秒产生的热量相同
4. ．如图16-1-5所示，两根和水平方向成?角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直轨道平面的匀强磁场，磁感强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，不计轨道电阻，则
A．如果B增大，vm将变大
B．如果?增大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
5. 如图所示，一矩形闭合金属框abcd从高处自由下落，进入一个水平方向的匀强磁场，在
金属框穿过磁场的边界MN的过程中，其运动速度与时间的关系图像可能是图中的
6. 水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆，如图，金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场垂直纸面向内，用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，金属杆最终将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v和F的关系如图16-2-23（取重力加速度g=10m/s2）。问：
（1）金属杆匀速运动之前做什么运动？
（2）若m=0.5kg,L=0.5m,R=0.5?,磁感应强度
（3）由v-F图线的截距可求得什么物理量？
其值为多少？
7、把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成半径为a的圆环，水平
固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图16-2-19所示，
一长度为2a、电阻等于R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与
圆环始终保持良好的接触。当金属棒以恒定速度v向右移动经过环
心O时，求：
（1）棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN；
（2）在圆环和金属棒上消耗的总热功率
8、半径为a的半圆弧形硬质导线PQ以速度v
在水平放置的平行导轨上运动。匀强磁场的磁
感应强度为B，方向与导轨平面垂直并指向纸
里(如图5)。R是固定电阻。设导轨、导线和
PQ的电阻以及PQ与导轨的摩擦均可忽略，当
导线PQ作匀速运动时，外力的功率是
9、在如下情况中，求出金属杆ab上的感应电动势E，回答两端的电势高低． （1）ab杆沿轨道下滑到速度为v时（图甲），E＝
端电势高．（图中α、B、L均为已知）
（2）ab杆绕a端以角速度ω匀速转动时（图乙），E＝
甲 乙 （图中B、L均为已知）
10. 如图12-1-3所示，电阻不计的平行金属导轨MN和OP
放置在水平面内.MO间接有阻值为
R=3Ω的电阻.导轨相距d=lm，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感强度B=0.5T.质量为m=0.1kg，电阻为r=lΩ的导体棒CD垂直于导轨放置，并接触良好，现用平行于 MN的恒力F=1N向右拉动CD，CD受摩擦阻力f恒为0.5N.求
(1)CD运动的最大速度是多少?
(2)当CD达到最大速度后，电阻R消耗的电功率是多少?
(3)当CD的速度为最大速度的一半时，CD的加速度是多少?
范文四：电磁感应中的力学问题中，我们经常会遇到导体棒在磁场中做切割磁感应线运动，导体棒在导电滑轨上做切割磁感线运动时，会产生感应电动势，从而使闭合电路中的导体棒有感应电流流过；而有电流流过的导体棒又要受到安培力作用，因此常涉及到物体的受力分析、物理过程分析、牛顿运动定律、能量以及闭合电路欧姆定律等内容，有一定的难度，由于此类问题综合性很强，本文仅对几种典型的基本情况举例说明. 　　一、导体棒平动切割磁感线 　　导体棒平动切割磁感线时产生的电动势E=BLvsinθ，其中L指的是与速度垂直的有效切割长度，θ表示磁场与切割速度之间的夹角. 　　例1材料、粗细相同，长度不同的电阻丝做成ab、cd、ef三种形状的导线，分别放在电阻可忽略的光滑金属导轨上，并与导轨垂直，如图1，匀强磁场方向垂直导轨平面向内.外力使导线水平向右做匀速运动，且每次运动的速率相同.已知三根导线在导轨间的长度关系是Lab　　（A） Lef 最大，所以ef产生的感应电动势最大 　　（B） Lef 最大，所以ef中的感应电流最小 　　（C） 因三根导线切割磁感线的有效长度相同，故它们产生的感应电流相同 　　（D） 忽略导体内能变化，三根导线每秒产生的热量相同 　　解析：尽管导线的实际长度各不同，但是接入两轨间垂直于速度v的有效长度是相同的，故每根导线所产生的电动势相同.由于其他因素一样，所以Rab　　点评：导体与磁场发生相对切割时也一样使用以上关系式，有效切割长度是指连入电路中的垂直速度方向的长度，同样地，速度v也是有效切割速度，即与磁场垂直的速度. 　　例2如图2所示，在竖直向下的磁感强度为B的匀强磁场中，有两根水平放置相距L且足够长的平行金属导轨AB、CD，在导轨的AC端连接一阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，ab棒与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻不计，若用恒力F沿水平向右拉棒运动，求金属棒的最大速度. 　　解析：当金属棒所受合力为零时，加速度为零，速度最大 　　点评：水平导体棒在外力作用下运动，或竖直导体棒在重力作用下运动，则闭合电路中的磁通量发生变化→导体产生感应电流→导体受安培力和其他力作用→导体加速度变化→速度变化→感应电流变化→加速度减小至零→速度达到最大→导体做匀速直线运动. 　　二、导体棒转动切割磁感线 　　如果导体棒是转动切割磁感线，如图3，有E=BL[AKv-D]=BL0+ωL2= 　　12BL2ω，据右手定则，O点电势高于A点电势. 　　例3如图4所示，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R（指拉直时两端的电阻），磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为R2的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为（ ） 　　（A） Bav3 （B） Bav6 　　（C） 2Bav3 （D） Bav 　　解析：摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E=B·2a·（12v）=Bav，由闭合电路欧姆定律得：UAB=ER2+ 　　R4·R4=13Bav，故选 　　（A）.答案：（A）. 　　点评：导体棒以端点为轴在垂直于磁感线的匀强磁场中匀速转动，计算此时产生的感应电动势须注意棒上各点的线速度不同，应用平均速度（即中点位置的线速度）来计算. 　　三、导体棒切割磁感线的同时磁场发生变化 　　回路中的磁场变化（产生的电动势叫感生电动势）和导体切割磁感线（产生的电动势叫动生电动势）导致磁通量变化都会产生电磁感应现象，统称为感应电动势，如果两种情况同时发生总电动势为两部分电动势的代数和. 　　例4如图5，足够长的两光滑导轨水平放置，导轨相距为d，左端MN用阻值不计的导线相连，金属棒ab可在导轨上滑动.导轨单位长度的电阻为r0，金属棒电阻不计.整个装置处于竖直向下的均匀磁场中，磁感应强度随时间均匀增加，B=kt，其中k为常数.金属棒在水平外力作用下，以速度v沿导轨向右做匀速运动.t=0时，金属棒与MN相距非常近.求t=t0时，水平外力的大小F和闭合回路消耗的功率. 　　解析：据题意，有t=t0时，B=kt0 　　联立求解得 E0=2kdvt0 　　E总R 　　所以F=BId=Bkdr0d=k2d2t0r0. 　　由F=BId得I=FBd，P=I2R=F2RB2d2. 　　点评：如果磁场变化的情况是B=B0-kt，即从某一值开始减小，那么感应电动势的值为 　　E总=Bdv-ΔBΔtS，也就是注意两种情况下电源的正接和反接问题；无论是切割还是磁场变化，公式中的物理量都应该运用某时刻的瞬时值.在求t=t0时刻闭合回路消耗的功率时，不能认为闭合回路所消耗的能量全部来自于外力所做的功的P=Fv，由于此题中电动势是两种情况产生的，而实际上磁场的变化也对闭合回路提供能量. 　　陕西省定边县第四中学 （718600）
范文五：谈导体棒切割磁感线运动问题的命制
（《物理教学》核心期刊2011年10月）
物理学是一门崇尚理性、重视逻辑推理的科学，其命题必须遵循事实。电磁感应在高中物理中占有非常重要的地位，其中导体棒切割磁感应线类问题更为常见，在该类问题中除涉及楞次定律、法拉第电磁感应定律等电磁感应本身内容外，在该类问题中还常与电路、动力学、能量等知识进行综合考查，在历年各地高考中是屡屡出现。因此，在平时的备考训练中也经常命制这类问题，本文推导出了常见导体棒切割磁感线运动的一般规律，明确了在此过程中几个物理量间必须满足的关系，为科学命制这类问题提供参考。
一、导体棒切割磁感应线运动的一般规律
如图所示，光滑平行金属导轨水平放置且足够长，两导轨间距离为L，
磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，阻值为r的电阻连接于
导轨左端，质量为m的金属棒ab垂直于导轨放置，导体棒在与导轨平面
平行且与导体棒垂直的恒力为F作用下运动，其初速度为v0。
对ab棒列出牛顿第二定律微分方程为 dB2L2vF??mv rdt
经分离变量化简得
tBLv0r(F?)1?erB2L222?
① ）x??vdt 0?B2L2v0Frmr2
?22t?44(F?)(1?erBLBLB2L2tmr)。
二、常见导体棒切割磁感应线运动问题类型分析
B2L2v0类型1：当F?时 r
导体棒在动力F等于阻力安培力作用下做匀速运动，由①式得v?v0，由②式得x?v0t。
B2L2v0类型2：当0?F?时 r
导体棒在动力F小于阻力安培力作用下减速运动，由①式知速度随时间成指数函数规律减小，经过时间t=∞时，导体棒速度v趋近于最小值
移与时间关系趋近满足 Fr，由②式知位移随时间成指数函数规律增加，此时导体棒位22BL
B2L2v0Frmr2
x?22t?44(F?)
x与t间成线性关系，即x-t图像无限趋近于该直线。
B2L2v0类型3：F?时 r
导体棒在动力F大于阻力安培力作用下加速运动，由①式知速度随时间成指数函数规律增加，经过时间t=∞时，导体棒速度v趋近于最大值
移与时间关系趋近满足 Fr，由②式知位移随时间成指数函数规律增加，此时导体棒位22BL
B2L2v0Frmr2
x?22t?44(F?) rBLBL
x与t间成线性关系，即x-t图像无限趋近于该直线。
类型4：当F=0，v0>0时 导体棒只在阻力安培力作用下减速运动，由①式得v?v0e
经过时间t=∞时，物体速度v趋近于最小值0，由②式得 ?B2L2tmr，速度随时间成指数函数规律减小，
x?mrv01?eB2L2?B2L2tmr ）
此时位移趋近于定值x?
类型5：当F0时 mrv0。 B2L2
导体棒在阻力F和阻力安培力共同作用下减速运动，由①式知速度随时间成指数函数规律减小，经过B2L2v0mr)时，导体棒速度v=0，由②式知位移随时间成指数函数规律增加，此时定值时间t?22ln(1?FrBL
B2L2v0B2L2v0mr2
Fln(1?)?）导体棒的位移x?44为定值。 FrrBL
三、导体棒切割磁感应线运动问题命制注意事项
在以上5种类型问题中类型1问题为匀速状态太简单，通常不考；在类型2、3、4中存在极限过程，在类型4、5中存在定量过程。在命题中必须注意以下三个方面：
1．物理量间同时满足以下三个自洽性方程
（1）动力学方程 B2L2x?m(v?v0)
③ 由①②两式推导得Ft?r
（2）电学方程
q?It??BLvBLx
（3）功能关系
Fx?12m(v2?v0)?Q
2．极限过程的问题常设置为字母题
在这类问题中任何具体数值内都达不到极值状态，一般还将导轨长度设置为无限长。纵观08年、09年、10年三年全国高考题，这类问题共有6题，且6题都是字母题。
3．具体数值题必须将数值代入通式进行检验
一方面使其尽量接近理论值，减小问题设置误差；另一方面使基本物理量间真实的相对大小关系得到满足，并保证用不同算法得到的结果相同，提高问题设置的自洽性。在09年上海20题设置了汽车以恒定功率行驶问题，汽车以恒定功率运动规律与常见导体棒切实磁感线运动规律极为相似（都存在极限过程），在该题中将经过无限长时间才到达最大速度状态设置成了在72s时到达最大速度。若在该问题中设置68s之前到达最大速度，不同计算方法的结果是存在矛盾的。由此可见高考题的科学性是极强的，在设置问题时都注意到了这方面的要求。
四、典型错题分析及重置
【例题】：（创新设计·二轮对点突破训练（江苏专用）P27例2）如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨JK、PQ倾斜放置，两导轨间距离为L=1.0 m，导轨平面与水平面间的夹角为θ=30°，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨的J、P两端连接阻值为R=3.0 Ω的电阻，金属棒ab垂直于导轨放置并用细线通过光滑定滑轮与重物相连，金属棒ab的质量m=0.20 kg，电阻r=0.50 Ω，重物的质量M=0.60 kg，如果将金属棒和重物由静止释放，金属棒沿斜面上滑的距离与时间的关系图象如图乙所示，不计导轨电阻，g=10 m/s2.求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)在0.6 s内通过电阻R的电荷量；
(3)略（问与解与下面问题讨论无关而忽略）。
参考解析：(1)由图乙可以看出最终金属棒ab将匀速运动，匀速运动的速度v??x?3.5m/s ?t
E R?r感应电动势E＝BLv，感应电流I?
B2L2v金属棒所受安培力F?BIL? R?r
B2L2v?mgsin??Mg 匀速运动时，金属棒受力平衡，则可得R?r
联立解得B5T。
（2）0.6s内金属棒ab上滑的距离x=1.4m
通过电阻R的电荷量q?BLx25C。 ?R?r5
问题讨论：关于（2）0.6s内通过电阻R的电荷量还可以用以下方法解得：
对ab棒与物块整体在极短时间△t内列动量定理得
(Mg?mgsin?)?t?BIL?t?（M?m）?v
在0.6s内对上式积分由（M?m）?v得 ?(Mg?mgsin?)?t??BIL?t??
(Mg?mgsin?)t?BLq?（M?m）v 代入数据得q?15C，该值是参考答案值的。 1025
以上两种解法从原理上都是无懈可击的，那问题出在何处呢？将本题相关量代入自洽性动力学方程③式得该题的动力学数据必须满足的关系式为
B2L2x(Mg?mgsin?)t??（M?m）v R?r
而将相关量代入该式发现等号两边数值并不相等，问题原来在于题目设计的数据不自洽。
B2L2x?（M?m）v中M、m、R、r、x、t问题重置：笔者试图将动力学方程(Mg?mgsin?)t?R?r
改动任一个数据使题目自洽，在改动中发现任意改动一个值都将引起（1）问中B值的变化而无法验证，可见该题改动是牵一发而动全身啊！
就本题设计意图来讲，通过最后匀速阶段得到磁场强度B值，可以将B值当作已知值，将题目相关数据代入位移通式②式，发现随着运动时间的增加，导体棒的位移s与时间t关系趋近于s?3.5(t?0.56)m。显然，在图象乙中0.35s时到达速度极限是错误的：极限状态时的时间若低于0.56s对应位移值将为负值。
因此，本题到达极限的时间应设置超过0.56s，此时位移由匀速状态位移通式s?3.5(t?0.56)计算得出。比如将乙图中到达极限的时间设成0.7s，此时位移设置成0.49m，以后直线部分图像还按斜率为3.5标识其它数据，这样用不同算法计算电量得到的结果才都是一样的。
范文六：专题九
导体切割磁感线的运动
1．楞次定律：
推广可以具体简化为以下三种情况：①阻碍原磁通的变化；②阻碍导体间的相对运动；③
阻碍原电流的变化．
2．应用法拉第电磁感应定律时应注意
ΔΦnBΔS①一般用E = nΔt（或E = ΔtE = Blυ求瞬时电动势，但当Δs随Δt均匀变化时，由于电动势恒定，平均电动势和瞬时电动势相ΔΦ
等，可用E = nΔt
②匀强磁场中，B、l、υ相互垂直，导体平动切割磁感线时E = Blυ，绕固1
定转轴转动时E = 2Bl2ω．
【例1】如图所示，在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个质量为m、半径为r、电阻为R的均匀圆形导线圈，线圈平面跟磁场垂直（位于纸面内），线圈与磁场边缘（图中虚线）相切，切点为A，现在A点对线圈施加一个方向与磁场垂直，位于线圈平面内的，并跟磁场边界垂直的拉力F，将线圈以速度υ匀速拉出磁场．以切点为坐标原点，以F的方向为正方向建立x轴，设拉出过程中某时刻线圈上的A点的坐标为x．
（1）写出此时F的大小与x
的关系式； （2）在F-x图中定性画出F-x关系图线，写出最大值F0的表达式．
【解析】由于线圈沿F方向作切割磁感线运动，线圈上要产生顺时针方向的感应电流，从而要受到与F方向反向的安培力Ff作用，由图可知，此时线圈切割磁感线的有效长度l = 2r-(r-x
线圈上感应电动势，感应电流i = R
线圈所受安培力大小为Ff = Bil，方向沿x负方向
因线圈被匀速拉出，所以F = Ff 8B2υr4B2υ2
解上各式得F = x
（2）当x = r时，拉力F最大，最大值为F0 =
R图线如图所示．
训练题如图（甲）所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l＝0.20m，电阻R＝1.0Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感强度B＝0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下，现用一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图（乙）所示，求杆的质量m和加速度a．
答案：a=10m/s2，m=0．1kg
【例2】如图所示，两根相距l平行放置的光滑导电轨道，与水平面倾角均为α轨道间有电阻R，处于磁感应强度为B方向竖直向上的匀强磁场中，一根质量为m、电阻为R/4的金属杆ab，由静止开始沿导电轨道下滑．设下滑中ab杆始终与轨道保持垂直，且接触良好，导电轨道有足够的长
【解析】当ab杆沿轨道加速下滑至速度υ时，ab杆上的电动势为E = BLυcosα
ab杆与导电轨道组成的回路中的电流为I =
度，且电阻不计，求ab
杆沿轨道下滑可达到的最终速度．
4B2l2?cos?
ab杆受到的安培力为F = BIl =
方向水平向右．
当ab杆的速度增大至某一值υm时，ab杆受到的合外力F合恰减为零，此时ab杆的加速度a也减为零，之后ab杆保持速度υm沿轨道匀速下滑．速度υm即是ab杆沿轨道下滑可达到的最终速度．
据共点合力平衡条件，有mgsinα = Fcosα
4B2lmcos?5mgRsin?
即mgsinα = ·cosα，解得：υm = ．
4B2l2cos2?5R
训练题如图所示，具有水平的上界面的匀强磁场，磁感强度为B，方向水平指向纸内，一个质量为m，总电阻为R的闭合矩形线框abcd在竖直平面内，其ab边长为L，bc边长为h，磁场宽度大于h，线框从
磁场上界面H高处自由落下，线框下落时，保持ab且线框平面竖直．已知ab边进入磁场以后，cd时cd边距上边界为h1，求：
（1）线框ab边进入磁场时的速度大小； 热量；
答案：（1）v=（2gh）1/2
（2）Q=mg（H+h+h1）—m3R2g2/2B4L4
（2）从线框ab边进入磁场到线框速度达到最大的过程中，线框中产生的
105直向上，磁感应强度为B．直升飞机螺旋桨叶片的长度为l，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动．螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图所示．如果忽略到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则
A．E = πfl2B，且a点电势低于b
B．E = 2πfl2B，且a点电势低于b
点电势 C．E = πfl2B，且a点电势高于b
D．E = 2πflB，且a点电势高于b点电势2．如图是电磁驱动的原理图，把一个闭合线圈放在蹄形磁铁的两磁极间，蹄形磁铁和闭合线圈都可以绕OO′轴转动．当转动蹄形磁铁时，线圈将（
．跟随磁铁一起转动 C．向与磁铁相反的方向转动
D．磁铁的磁极未知，无法判断 3．如图所示，C是一只电容器，先用外力使金属杆ab贴着水平平行金属导轨在匀强磁场中沿垂直磁场方向运动，到有一定速度时突然撤销外力．不计摩擦，则ab以后的运动情况可能是 （
A．减速运动到停止
．来回往复运动
C．匀速运动
D．加速运动
4．在匀强磁场中放一电阻不计的平行金属导轨，导轨跟大线圈M相接，如图所示，导轨上放一根导线ab，磁感线垂直导轨所在的平面，欲使M所包围的小闭合线圈N产
生顺时针方向的感应电流，则导线的运动可能是
A．匀速向右运动
B．加速向右运动
C．减速向右运动
D．加速向左运动
505如右图所示，光滑的水平平行放置的导轨左端连有电阻R，导轨上架有一根裸金属棒ab，整个装置处于垂直轨道平面的匀强磁场中，今从静止起用力拉金属棒(保持棒与导轨垂直)，若拉力恒定，经时间t1后ab的速度为v，加速度为a1，最终速度可达2v；若拉力的功率恒定，经时间t2后ab的速度也为v，加速度为a2，最终速度也可达2v。求a1和a2满足的关系。（不计其他电阻）
605U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。
（1）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求通过电阻R的电量和电阻R中产生的热量
（2）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求金属棒通过的位移
（3）如果将U型金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，其他条件不变，如图所示。求金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）
705年宿迁）两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R（金属导轨及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。
（1）现把金属棒ab锁定在导轨的左端，如图甲，对cd施加与导轨平行的水平向右的恒力F，使金属棒cd向右沿导轨运动，当金属棒cd的运动状态稳定时，金属棒cd的运动速度是多大？
（2）若对金属棒ab解除锁定，如图乙，使金属棒cd获得瞬时水平向右的初速度v0，当它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒ab的电量是多少？整个过程中ab和cd相对运动的位移是多大？
805年南通）MN、PQ相距l，在M点和P点间
接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO1O1′O′矩形区域内有垂直导轨平面竖直向
下、宽为d的匀强磁场，磁感强度为B。一质量为m，电阻为r的导体棒ab，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d0。现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）。求： （1）棒ab在离开磁场右边界时的速度；
（2）棒ab通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能； （3）试分析讨论ab棒在磁场中可能的运动情况。
4CD 5.答案：a2=3a1
6.答案：（1）由动量定理得??0?mv0
由能量守恒定律得Q?
BLs??B?SBLs
qRmv0R?22 BLBL
（3）当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，
当ab棒以稳定速度v匀速运动时，BLv=UC=Qc/C 而对导体棒ab利用动量定理可得
—BLQc=mv-mv0
由上述二式可求得： v?
Ec?mv02?mv2?mv02?m()
2222m?B2L2C
7.答案：⑴当cd棒稳定时，恒力F和安培力大小相等，方向相反，以速度v匀速度
运动，有：
联立得： v?22
⑵ab棒在安培力作用下加速运动，而cd在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失，ab，cd棒开始匀速运动。
设这一过程经历的时间为t，最终ab、cd的速度为v′，通过ab棒的电量为Q。 则对于ab棒由动量守恒：BILt＝2mv′
即：BLQ＝2 mv′
同理，对于cd棒：－BILt＝mv′－mv0
即： BLQ＝m（v0-v′）得：Q?2mv0
3BL设整个过程中ab和cd的相对位移为S，由法拉第电磁感应定律得：
流过ab的电量：Q?
8.答案：（1）ab棒离开磁场右边界前做匀速运动， 速度为vm，则有
（2）由能量守恒可得：
F(d0?d)?W电?mvm
W电?F(d0?d)?
（3）设棒刚进入磁场时速度为v
棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论：
F(R?r)2d0B4l4
（或F?），则棒做匀速直线运动；
B2l2m(R?r)2F(R?r)2d0B4l4
（或F＞），则棒先加速后匀速；
B2l2m(R?r)2F(R?r)2d0B4l4
?（或F＜＝，则棒先减速后匀速。 B2l2m(R?r)2
范文七：３ ３卷 第 １ Ｏ期　 ２ ０ １ １年 １ Ｏ月 　
Ｖｏ １ ． ３３ 　 ＮＯ ． １ ０ 　
Ｏｃ ｔ ．２ Ｏ １ ｌ 　
ＰＨ ＹＳＩ ＣＳ 　 ＴＥＡＣＨＩ ＮＧ　
谈导体棒切割磁感线运动问题的命制 　
张前 军 （ 沭阳高级中学 江苏 ２ ２ ３ ６ ０ ０ ） 　
式知速度 随时Ｉ 司成 指 数 函 数 规 律 减 小 ， 经 过时Ｉ 司 ｔ－ 二 。 。时 ， 　
物 理 学 是 一 门崇 尚理 性 、 重 视逻 辑推理 的科 学 ， 其 命 题　
必 须 遵 循 事 实 。 电磁 感 应 在 高 中物 理 中 占有 非 常 重 要 的地　
位， 其 中导体棒切割磁感应 线类 问题更 为 常见 ， 在 该 类 问 题　
中除 涉 及 楞 次 定 律 、 法 拉 第 电磁 感 应 定 律 等 电磁 感 应 本 身 内　 容外 ， 还常与电路 、 动力 学 、 能量 等知识 进行 综合考 查 ， 在 历　 年 高 考 中屡 屡 出 现 。 因此 ， 在 平 时 的 备 考 训 练 中也 经 常 命 制　
导 体 棒 速 度 　 趋 近 于 最 小 值 未 寺， 由 ② 式 知 位 移 随 时 问 呈 　
指 数 函数 规 律 增 加 ， 此 时 导 体 棒 位 移 与 时 间关 系趋 近 满 足　
山 　Ｂ 　 Ｌ 　 。 　 蔫 Ｂ Ｌ 　 Ｆ 一 　ｒ 　７ ） 　
ｚ 一 　 一
这 类 问题 。本 文 推 导 出 了 常 见 导 体 棒 切 割 磁 感 线 运 动 的 一　
般规律 ， 明 确 了在 此 过 程 中 几 个 物 理 量 问必 须 满 足 的关 系 ， 　
ｚ与 ｔ 间成线性关 系， 即 ｚ— ｔ图象 无 限趋 近 于该 直 线 。 　
类型 ３ ： 当Ｆ＞ 堡　
为科 学 命 制 这 类 问题 提供 参 考 。 　
导体 棒在 动力 Ｆ大 于阻力安 培力 时做加 速运 动 ， 由 ①　
导体 棒切 割磁 感应 线运 动的 一般 规律　
式 知 速 度 随 时 间成 指 数 函 数 规 律 增 加 ， 经 过 时 间 ｔ一 。 。时 ， 　
如图 １ 所示 ， 光滑平行 金属 导轨 水平放 置且 足够 长 ， 两　
导 轨 间 距离 为 Ｌ， 磁 感 应 强 度 为 Ｂ的 匀 强 磁 场 垂 直 于导 轨 平　
面 向下 ， 阻 值 为 ｒ的 电 阻 连 接　 于导轨左端 ， 质 量 为 ｍ 的 金 属　 棒ａ ６垂 直 于导 轨 放 置 ， 导 体 棒　 在 与 导 轨 平 面 平 行 且 与 导 体　 棒 垂 直 的恒 力 Ｆ 作 用 下 运 动 ， 　
导 体 棒 速 度 　 趋 近 于 最 大 值 未 台， 由 ② 式 知 位 移 随 时 间 成 　
指 数 函数 规 律增 加 ， 此 时 导 体 棒 位 移 与 时 间关 系 趋 近 满 足　
×　 ×　一
× 　Ｂ 一 　） 　
一 　 一 筹 百 可Ｉ （ 　 Ｆ 一 　 — 　 一 ） Ｊ 　
ｚ与 ｔ间成 线 性 关 系 ， 即－ ｚ— ｔ图象 无 限趋 近 于该 直 线 。 　
类 型 ４： 当Ｆ一０ ， Ｖ Ｏ ＞ ０时　
其 初 速 度 为　 。 　
导 体 棒 只在 阻 力 安 培 力 作 用 下 做 减 速 运 动 ， 由 ① 式 得　
。一 　 ｒ
对ａ ｂ 棒 列 出 牛 顿第 二 定 律微 分 方 程 为　
速度 随 时 间 成 指 数 函 数 规 律 减 小 ， 经 过 时 间　
Ｂ　Ｌ。 口
一＿ 经分离变量后 ， 积 分 可 得　
ｔ 一。 。时 ， 物 体 速 度　 趋 近 于 最小 值 ０ ， 由② 式 得　
ｚ　 ｚ 　
ｍ ｒｖ ｏ
Ｂ 　 Ｌ　 （ Ｌ １ 一 ｅ 一　 一 　 一 ‘ ） Ｊ 　
＋ 　 （ Ｆ 一 　
） （ 　 一 ｅ － 　
此 时 位 移 趋 近 于 定 值 　ｚ 　 ≥。 　
类 型 ５： 当 Ｆ＜ ０ ， Ｖ ｏ ＞ ０时　
导 体 棒 在 阻 力 Ｆ 和 阻 力 安 培 力 共 同 作 用 下 做 减 速 运　
百 　 了 　 一 　 － Ｂ ｅ Ｌ ｙ 　 ｆ Ｉ 　 Ｆ 一— Ｂ ｚ — Ｌ 　 — ｚ 　 一Ｊ Ｖ ｏ 　 １ ×（ ｘ（ 　 １ 一ｅ 一。 　 譬　 ）②
动， 由① 式 知 速 度 随 时 间 成 指 数 函数 规 律 减 小 ， 经 过 定 值 时　
二 、常见导 体棒 切割 磁感 应线 运动 问题 类型分 析　
类型 １ ： 当 Ｆ一 — Ｂ ２ Ｌ ｏ时　
间 　 一 　 ｌ ｎ （ １ ～ 堡 　） 时 ， 导 体 棒 速 度 　 一 。 ， 由 ② 式 　
知 位 移 随 时 间 成 指 数 函数 规 律 增 加 ， 此 时 导 体 棒 的 位 移　
导体棒 在动 力 Ｆ等 于阻力 安培 力时做 匀速 运动 ， 由 ①　
式 得　 一 　 ，由② 式 得 ｚ 一 　 ￡ 。 　
筹［ Ｆ ｌ ｎ （ 　 一 　 ） ＋ 　 ］ 　
为定值 。 　
类型 ２ ： 当 ｏ＜ Ｆ＜ — Ｂ ２ Ｌ ０时　
三 、导体 棒 切 割磁 感 应线 运动 问题 命制 的注 意事 项　
在 以 匕５种 类 型 问 题 中 ， 类 型 １问 题 为 匀 速 状 态 太 简　
导体棒 在动 力 Ｆ小 于 阻力安 培力 时做减速 运动 ， 由 ①　
３ ３卷 第 １ ｏ期　
２ Ｏ １ １ ． １ Ｏ 　
单， 通 常不 考 ； 在类型 ２ 、 ３ 、 ４中存 在 极 限 过 程 ， 在类 型 ４ 、 ５中 　
参 考 解析 ： （ １ ）由图２ （ 乙） 可以看出最终金属棒 ａ ｂ 将　
匀速运 动 ， 匀 速 运 动 的速 度　 一 　 一３ ． ５ 　 ｍ／ ｓ 。 　 。 　
存 在 定 量 过 程 。在 命 题 中必 须 注 意 以 下 三 个 方 面 ： 　
１ ．物 理 量 间 同 时 满 足 以 下 三 个 自洽 性 方 程　
（ １ ）动力 学 方 程　 由 ① ② 两 式 推 导 得　
Ｒ — Ｂ２ Ｌ２ ｘ　
感 应 电 动势 ｓ —Ｂ Ｌ 　， 感 应 电流 Ｊ 一　
ｍ（ 　一 Ｖ ０ ） 　
金 属 棒 所 受 安 培 力 Ｆ — Ｂ ｆ Ｌ 一 　 等。 　
匀速运动时
， 金 属 棒受 力 平 衡 ， 则 可 得　
（ ２ ）电学 方 程　
Ｂ Ｌ ｘ 　
旦 ＋ ｍｇｓ ｓ ｉ ｎ ０： Ｍｇ Ｒ　 — ＋　 — ｒ十 １ ｎ 　 Ｍｇ 　
联立解 得 Ｂ一√ ５ 　 Ｔ。 　
（ ３ ）功 能 关 系　
（ ２ ）０ ． ６ 　 ｓ 内金属棒 ｎ ６ 上 滑 的距 离 ｚ 一 １ ． ４ 　 ｍ。 　
Ｆ ｘ一 ÷ ｍ（ 　 ～ 硝） ＋Ｑ 　
通 过 电 阻 Ｒ 的 电荷 量　
２ ．极 限过 程 的 问题 常设 置 为 字母 题　
在 这 类 问题 中任 何 具 体 数 值 内都 达 不 到 极 值 状 态 ， 一 般　 将 导轨长度设置 为无 限 长。纵观 ２ ０ ０ ８年 、 ２ ０ ０ ９年 、 ２ ０ １ ０年　 三 年 全 国高 考 题 ， 这类问题共有 ６ 题， 且 ６题 都 是 字 母 题 。 　
ｑ— Ｒ ＋ ｒ 　 １■ 乙 　
Ｂ Ｌ ｘ 　
２ ０ 亏 　
问题 讨 论 ： 关 于（ ２ ） ｏ ． ６ 　 ｓ内通过 电阻 Ｒ 的电荷量还可　
以用 以下 方 法 解 得 ： 　
３ ．具 体 数 值 题 必 须 将 数 值代 入 通 式 进 行 检 验　
对ａ ６ 棒 与 物块 整体 在 极 短 时 间 　
内列 动 量 定 理 得　
方面使其尽量接 近理 论值 ， 减 小 问题设 置误 差 ； 另 一　
（ Ｍｇ — ｍｇｓ ｉ ｎ 　） Ａ ｔ — ＢＩ ＬＡ ｔ一 （ Ｍ ＋ ｍ） △ 　
方 面 使 基 本 物 理 量 间 真 实 的 相 对 大 小 关 系得 到 满 足 ， 并 保 证　
在 ０ ． ６ 　 ｓ 内对 上 式 积 分 由 　
用不同算法 得到 的结 果 相 同 ， 提 高 问 题 设 置 的 自洽 性 。在　 ２ ０ ０ ９年 上 海 卷 ２ Ｏ题 设 置 了汽 车 以恒 定 功 率 行 驶 问 题 ， 汽 车　 以 恒 定 功 率 运 动 规 律 与 常 见 导 体 棒 切 割 磁 感 线 运 动 规 律 极　
∑（ Ｍ ｇ —ｍ ｇ ｓ ｉ ｎ 　 ０ ） Ａ ｔ 一∑ Ｂ Ｉ Ｌ ￣ ｔ 一∑ （ Ｍ＋ｍ ） Ａ ｖ 　
（ Ｍｇ— ｍｇｓ ｉ ｎ 　 Ｏ ） ｔ — ＢＬｑ＝ （ Ｍ ＋ ｍ） 　
为相似（ 都存在 极限过程） ， 在该题 中将经过无 限长 时间才到　
达最大速度状态设置成 了在 ７ ２ 　 ｓ时 到 达 最 大 速 度 。若 在 该　
问题中设置 ６ １ ． ５ 　 ｓ 之 前 到 达最 大 速 度 ， 不 同计 算 方 法 的 结 果　
代 人 数 据 得 ｇ一 ４ 　 ５ 　 Ｃ
该 值 是 参 考 答 案 值 的　 ａ 　
以上 两 种 解 法 从 原 理 上 讲 都 是 无 懈 可 击 的 ， 那 问题 出 在　 何 处 呢 ？将 本 题 相 关 量 代 人 自 洽 性 动 力 学 方 程 ③ 式 得 该 题　
是存 在 矛 盾 的＿ １ ］ 。 由此 可 见 高 考题 的 科 学 性 是 极 强 的 ， 在 设　 置 问 题 时 都 注 意 到 了 这方 面 的 要 求 。 　
的动 力 学 数据 必 须
满 足 的 关 系式 为　
四、典 型错题 分 析及 重 置　
【 例题 】 ： （ 创新设计 ? 二轮对 点突破训练 （ 江苏专用） Ｐ ２ ７ 　
例２ ） 如图２ （ 甲） 所示 ， 足 够 长 的光 滑 平 行 金 属 导 轨 Ｊ Ｋ、 ＰＱ 　
（ Ｍ ｇ － ｍ ｇ ｓ ｉ ｎ 　一 黠 一 （ Ｍ ＋ 　
而将相关量代 入该式发现等号两边数值并 不相等 ， 问题　
原 来 出在 题 目设 计 的数 据 不 自洽 。 　
倾 斜放置 ， 两导 轨 间 距 离 为 Ｌ 一 １ ． ０ 　 ｍ， 导 轨 平 面 与 水 平 面　
问 的 夹 角 为 ０— ３ ０ 　 ， 磁 感 应 强 度 为 Ｂ 的 匀 强 磁 场 垂 直 于 导　
问题 重 置 ： 笔 者试 图将动力学方程　
（ Ｍｇ — ｍｇｓ ｉ ｎ 　 一　 一 （ Ｍ ＋　
轨平 面 向 上 ， 导 轨的 Ｊ 、Ｐ两 端 连 接 阻值 为 Ｒ 一 ３ ． ０ 　 Ｑ 的 电　
阻， 金属棒 口 ６ 垂 直 于 导 轨 放 置并 用 细 线 通 过 光 滑 定 滑 轮 与 重　 物相连， 金 属棒 口 ６的质 量 ｍ 一 ０ ． ２ ０ 　 ｋ ｇ ， 电阻 ｒ 一０ ． ５ Ｏ 　 Ｑ， 重　 物 的 质量 Ｍ 一 ０ ． ６ ０ 　 ｋ ｇ ， 如 果 将 金 属 棒 和 重 物 由静 止 释 放 ， 　
中 Ｍ、 ｍ、 Ｒ、ｒ 、ｚ 、 ｔ 改 动 任 一 个 数 据 使 题 目 自洽 ， 在改动 中 　
发 现 任 意 改 动一 个 值 都 将 引 起 （ １ ） 问 中 Ｂ 值 的 变 化 而 无 法 验　 证， 可 见 该 题 改 动 是 牵 一 发 而 动全 身 啊 ！ 　 就 本 题 设 计 意 图来 讲 ， 通 过 最 后 匀 速 阶 段 得 到 磁 场 强 度　 Ｂ值 ， 可 以 将 Ｂ 值 当作 已 知 值 ， 将 题 目相 关 数 据 代 入 位 移 通　 式②式 ， 发 现 随 着 运 动 时 间 的增 加 ， 导体棒 的位移 ｓ 与 时间 ｔ 　 关 系 趋 近 于 ｓ一 ３ ． ５ （ ￡ 一０ ． ５ ６ ） ｍ。 显然 ， 在图（ 乙） 中０ ． ３ ５ 　 ｓ 　
金 属 棒 沿 斜 面 上 滑 的 距 离 与 时 间 的关 系 图 象 如 图 ２ （ 乙） 所　
示， 不计导 轨电阻 ， ｇ一 １ Ｏ 　 ｍ／ ｓ 　 。 求： 　 （ １ ）磁 感 应 强 度 Ｂ 的大 小 ； 　 （ ２ ）在 ｏ ． ６ 　 ｓ内通 过 电 阻 Ｒ 的 电荷 量 ； 　 （ ３ ）略 （ 问与解与下面问题讨论无关 而忽略） 。 　
时 到 达 速 度 极 限是 错 误 的 ： 极 限状 态 时 的 时 间 若 低 于 ０ ． ５ ６ 　 ｓ 　 对应位移值将为负值 。 　 因此 ， 本 题 到达极 限的时 间应设 置超过 ０ ． ５ ６ 　 ｓ ， 此 时 位　 移 由匀 速 状 态 位 移 通 式 ｓ 一３ ． ５ （ ￡ ～０ ． ５ ６ ） 计 算 得 出 。 比如　
将 图（ 乙） 中 到达 极 限 的时 间设 成 ０ ． ７ 　 ｓ ， 此 时 位 移 设 置 成　
０ ． ４ ９ 　 ｍ， 以后直线部分图像 还按 斜率 为 ３
． ５标 识 其 他 数 据 ， 　
（ 甲） 　
（ 乙） 　
这 样 用 不 同算 法 计 算 电量 得 到 的 结 果 才 都 是 一 样 的 。 　
４１ 　? 　
范文八：导体棒的切割磁感线运动
例1. 如图所示，平行放置的金属轨道间距L=0.4m，放在磁感应强度B=0.1T、方向垂直于纸面的匀强磁场中．轨道间接一电阻R=0.4Ω，并放置一根电阻r=0.1Ω的导体棒ab．若在导体棒上施加水平拉力，使它以v=5.0m/s的速度向右匀速运动. ab棒就相当于电路的电源部分，忽略棒与轨道间的摩擦.则：
(1)导体棒ab的哪一端相当于电源的正极？ (2)电阻R两端的电压U多大？ (3)为保证导体棒能做匀速运动，水平拉力应为多大？
(4)在分析本题涉及的功率问题时，某同学算出了水平拉力
F的功率P1=Fv=0.08W，电源的电功率P2=IE=0.08W，
第34题电路消耗的功率P3=I2(R+r)= 0.08W，他计算得到的结果
说明了什么物理规律？ 图
例2.如图所示，在磁感强度B为0.5 T的匀强磁场中，有两条相距0.4 m的平行金属导轨，
匀强磁场垂直于导轨所在平面，两导轨右端接有电阻R1=12Ω、R2=6Ω，金属棒ab电阻为1Ω，在0.04N的水平恒定外力作用下向左运动，不计金属
棒与导轨之间的摩擦以及导轨的电阻，棒与导轨接触良好．求：
⑴定性导体棒将做什么运动。 R1
⑵求导体运动的最大速度。（要求分别用两种方法：①用力学平衡观点②用能量观点） ⑶求电路中的最大电功率（要求分别作两种方法）
例3.如图11—21所示为矩形的水平光滑导电轨道abcd，ab边和cd边的电阻均为5Ro，ad边和bc边长均为L，ad边电阻为4R。，bc边电阻为2R，整个轨道处于与轨道平面垂直的匀强磁场中，磁感强度为B．轨道上放有一根电阻为Ro的金属杆mn，现让金属杆mn在平行轨道平面的未知拉力F作用下，从轨道右端以速率v匀速向左端滑动，设滑动中金属杆mn始终与ab、cd两边垂直，且与轨道接触良好．ab和cd边电阻分布均匀，求当mn滑到ab中点时拉力F的牵引功率．
例4.如图所示，在匀强磁场中有竖直放置的两平行光滑导轨，其间距L=0.5m，导轨间接有
-电阻R=0.2Ω．现有一质量m=5×102kg的金属棒在重力和安培力作用下，水平
地沿导轨下滑，当下降h=16m时达到最大速度，此时通过电阻的电流I=2A，导轨和棒的电阻不计，它们接触良好，求： ⑴匀强磁场的磁感应强度； ⑵导体棒所能达到的最大速度；
⑶从开始运动到达到最大速度过程中R上产生的焦耳热．
例5.图13各情况中,阻R=0.lΩ,运动导线的长度都为l=0.05m,作匀速运动的速度都为v=10m／s．除电阻R外,其余各部分电阻均不计(在(d)中,R1=R2=R)．匀强磁场的磁感强度B=0.3T．试计算各情况中通过每个电阻R的电流大小和方向．
例6.（06高考上海卷）、如图2所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻R1和R2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面．有一导体棒ab，质量为
B m，导体棒的电阻与固定电阻R1和R2的阻值均相等，与导轨之间
的动摩擦因数为μ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为 V时，受到安培力的大小为F．此时 Fv
（B）电阻 R。消耗的热功率为．
（A）电阻R1消耗的热功率为
（C）整个装置因摩擦而消耗的热功率为μmgvcosθ．
（D）整个装置消耗的机械功率为（F＋μmgcosθ）v·
例1.如图所示,平行且光滑的水平导轨MN与M′N′间距为L且都足够长,将其放置在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中,在导轨上放置导体棒AC和DE.已知AC棒质量为m1,DE棒质量为m2,开 始时DE棒静止在导轨上,给AC棒一向右的初速度v1,求DE棒从静止到稳定运动的过程中通过它的电量和它上面产生的热量.
例。光滑的平行金属导轨长L=2m，两导轨间距d=0.5m，轨道平面与水平面的夹角θ=30o，导轨上端接一阻值R=0.5Ohm的电阻，其余电阻不计，轨道所在空间有垂直轨道平面的匀强磁场，磁感应强度B=1T，如图所示，有一不计电阻的金属棒ab的质量m=0.5kg，放在导轨最上端。当ab棒从最上端由静止开始自由下滑到达底端脱离轨道时，电阻R上产生的热量Q=1J。取g=10m/s2,则 （1）当棒的速度为v=2m/s时，它的加速度是多少？ （2）棒在下滑的过程中最大速度是多少？
例1.如图所示，光滑平行导轨仅其水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，一根质量为2m的金属杆cd静止在水平轨道上，另一根质量为m的金属杆ab从斜轨道上高为h处由静止开始下滑，运动中两根杆始终与轨道垂直且接触良好，两杆之间未发生碰撞．若导电轨道有足够的长度，在两根金属杆与导电轨道组成的回路中所产生的热量是多少？通过cd棒的电量是多少?
例1. (2003年高考新课程理综)两根平行的金属导轨，固定在同一
水平面上，磁感强度B＝0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l＝0.20m。两根质量均为m＝0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金
1 属杆的电阻为R＝0.50Ω。在t＝0时刻，两杆都处于静止状
态。现有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力F作用于金
属杆甲上如图1所示，使金属杆在导轨上滑动。经过t＝5.0s，金属杆甲的加速度为a＝1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？
［例2］如图所示，两根相距d＝0.20 m的平行金属长导轨，固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的感应强度B＝0.20 T．导轨上面横放着两根金属细杆，构成矩形回路，每根金属细杆的电阻r＝0.25 Ω，回路中其余部分的电阻可不计．已知两金属细杆在平行于导轨的拉力作用下，沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v＝5.0 m/s．不计导轨上的摩擦．
（1）求作用于每根金属细杆的拉力的大小；
（2）求两金属杆在间距增加ΔL＝0.40 m的滑动过程中共产生的热量．
范文九：专题九
导体切割磁感线的运动
1．楞次定律：
推广可以具体简化为以下三种情况：①阻碍原磁通的变化；②阻碍导体间的相对运动；③阻碍原电流的变化．?
2．应用法拉第电磁感应定律时应注意：?
①一般用E = n（或E = ）求平均电动势，用E = Blυ求瞬时电动势，但当Δs随Δt均
ΔtΔtΔΦ
匀变化时，由于电动势恒定，平均电动势和瞬时电动势相等，可用E = 求某一时刻的电动势；
②匀强磁场中，B、l、υ相互垂直，导体平动切割磁感线时E = Blυ，绕固定转轴转动时E = 2ω．
【例1】如图所示，在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个质量为m、半径为r、电阻为R的均匀圆形导线圈，线圈平面跟磁场垂直（位于纸面内），线圈与磁场边缘（图中虚线）相切，切点为A，现在A点对线圈施加一个方向与磁场垂直，位于线圈平面内的，并跟磁场边界垂直的拉力F，将线圈以速度υ匀速拉出磁场．以切点为坐标原点，以F的方向为正方向建立x轴，设拉出过程中某时刻线圈上的A点的坐标为x．?
（1）写出此时F的大小与x的关系式；?
（2）在F-x图中定性画出F-x关系图线，写出最大值F0的表达式． 【解析】由于线圈沿F方向作切割磁感线运动，线圈上要产生顺时针方向的感应电流，从而要受到与F方向反向的安培力Ff作用，由图可知，此时线圈切割磁感线的有效长度lr-(r-x)2?
E线圈上感应电动势，感应电流i =
线圈所受安培力大小为Ff = Bil，方向沿x负方向? 因线圈被匀速拉出，所以F = Ff? 8B2υr4B2υ2
解上各式得F = x-?
（2）当x = r时，拉力F最大，最大值为F0 =
R图线如图所示．
训练题如图（甲）所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l＝0.20m，电阻R＝1.0Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感强度B＝0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下，现用一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图（乙）所示，求杆的质量m和加速度a．
答案：a=10m/s2，m=0．1kg
【例2】如图所示，两根相距l平行放置的光滑导电轨道，与水平面倾角均为α轨道间有电阻R，处于磁感应强度为B方向竖直向上的匀强磁场中，一根质量为m、电阻为R/4的金属杆ab，由静止开始沿导电轨道下滑．设下滑中ab杆始终与轨道保持垂直，且接触良好，导电轨道有足够
的长度，且电阻不计，求ab杆沿轨道下滑可达到的最终速度．?
【解析】当ab杆沿轨道加速下滑至速度υ时，ab杆上的电动势为E = BLυcosα ab杆与导电轨道组成的回路中的电流为I =
4B2l2?cos?
ab杆受到的安培力为F = BIl =
方向水平向右．
当ab杆的速度增大至某一值υm时，ab杆受到的合外力F合恰减为零，此时ab杆的加速度a也减为零，之后ab杆保持速度υm沿轨道匀速下滑．速度υm即是ab杆沿轨道下滑可达到的最终速度．
据共点合力平衡条件，有mgsinα = Fcosα
4B2lmcos?5mgRsin?
即mgsinα = ·cosα，解得：υm = ．
4B2l2cos2?5R
训练题如图所示，具有水平的上界面的匀强磁场，磁感强度为B，方向水平指向纸内，一个质量为m，总电阻为R的闭合矩形线框abcd在竖直平面内，其ab边长为L，bc边长为h，磁场宽度大于h，线框从ab边距磁场上界面H高处自由落下，线框下落时，保持ab边水平且线框平面竖直．已知ab边进入磁场以后，cd边到达上边界之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值，此时cd边距上边界为h1，求：
（1）线框ab边进入磁场时的速度大小；
（2）从线框ab边进入磁场到线框速度达到最大的过程中，线框中产生的热量；?
答案：（1）v=（2gh）1/2
（2）Q=mg（H+h+h1）—m3R2g2/2B4L4
105年如东）一直升飞机停在南半球某处上空．设该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B．直升飞机螺旋桨叶片的长度为l，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动．螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图所示．如果忽略到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则
A．E = πfl2B，且a点电势低于b点电势?
B．E = 2πfl2B，且a点电势低于b点电势? C．E = πfl2B，且a点电势高于b点电势?
D．E = 2πfl2B，且a点电势高于b点电势2．如图是电磁驱动的原理图，把一个闭合线圈放在蹄形磁铁的两磁极间，蹄形磁铁和闭合线圈都可以绕OO′轴转动．当转动蹄形磁铁时，线圈将（
B．跟随磁铁一起转动? C．向与磁铁相反的方向转动
D．磁铁的磁极未知，无法判断
3．如图所示，C是一只电容器，先用外力使金属杆ab贴着水平平行金属导轨在匀强磁场中沿垂直磁场方向运动，到有一定速度时突然撤销外力．不计摩擦，则ab以后的运动情况可能是 （ C
A．减速运动到停止
B．来回往复运动?
C．匀速运动
D．加速运动
4．在匀强磁场中放一电阻不计的平行金属导轨，导轨跟大线圈M相接，如图所示，导轨上放一根导线ab，磁感线垂直导轨所在的平面，欲使M所包围的小闭合线圈N产生顺时针方向的感应电流，则导线的运动可能是
A．匀速向右运动
B．加速向右运动
C．减速向右运动
D．加速向左运动 505年南京）端连有电阻R，导轨上架有一根裸金属棒ab，整个装置处于垂直轨道平面的匀强磁场中，今从静止起用力拉金属棒(保持棒与导轨垂直)，若拉力恒定，经时间t1后ab的速度为v，加速度为a1，最终速度可达2v；若拉力的功率恒定，经时间t2后ab的速度也为v，加速度为a2，最终速度也可达2v。求a1和a2满足的关系。（不计其他电阻）
答案：a2=3a1
605年如东）水平固定的光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒一个初速v0
，使棒始终垂直框架并沿框架运动，
如图所示。
（1）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求通过电阻R的电量和电阻R中产生的热量 （2）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求金属棒通过的位移
（3）如果将U型金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，其他条件不变，如图所示。求金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）
答案：（1）由动量定理得??0?mv0
所以q?0?m0 v由能量守恒定律得Q?
BLs??B?SBLsqRmv0R
q??t???所以s?
?t?t?tBLB2L2RR
（3）当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，
当ab棒以稳定速度v匀速运动时，BLv=UC=Qc/C 而对导体棒ab利用动量定理可得
—BLQc=mv-mv0
由上述二式可求得： v?
Ec?mv02?mv2?mv02?m()2
7（05年宿迁）两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R（金属导轨及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。
（1）现把金属棒ab锁定在导轨的左端，如图甲，对cd施加与导轨平行的水平向右的恒力F，使金属棒cd向右沿导轨运动，当金属棒cd的运动状态稳定时，金属棒cd的运动速度是多大？
（2）若对金属棒ab解除锁定，如图乙，使金属棒cd获得瞬时水平向右的初速度v0，当它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒ab的电量是多少？整个过程中ab和cd相对运动的位移是多大？
答案：⑴当cd棒稳定时，恒力F和安培力大小相等，方向相反，以速度v匀速度运动，有：
联立得： v?22
⑵ab棒在安培力作用下加速运动，而cd在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失，ab，cd棒开始匀速运动。
设这一过程经历的时间为t，最终ab、cd的速度为v′，通过ab棒的电量为Q。 则对于ab棒由动量守恒：BILt＝2mv′
即：BLQ＝2 mv′
同理，对于cd棒：－BILt＝mv′－mv0
即： BLQ＝m（v0-v′）得：Q?2mv0
3BL设整个过程中ab和cd的相对位移为S，由法拉第电磁感应定律得：
tt流过ab的电量：Q?
805年南通）MN、PQ相距l，在M点和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO1O1′O′矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的匀强磁场，磁感强度为B。一质量为m，电阻为r的导体棒ab，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d0。现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）。求： （1）棒ab在离开磁场右边界时的速度； （2）棒ab通过磁场区的过程中整个回路所消 耗的电能；
（3）试分析讨论ab棒在磁场中可能的运动情况。 答案：（1）ab棒离开磁场右边界前做匀速运动， 速度为vm，则有
（2）由能量守恒可得：
F(d0?d)?W电?mvm
W电?F(d0?d)?
（3）设棒刚进入磁场时速度为v
棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论：
F(R?r)2d0B4l4
（或F?），则棒做匀速直线运动；
B2l2m(R?r)2F(R?r)2d0B4l4
（或F＞），则棒先加速后匀速；
B2l2m(R?r)2F(R?r)2d0B4l4
?（或F＜＝，则棒先减速后匀速。 B2l2m(R?r)2
范文十：第３ ５卷 第 ４期　
２ Ｏ１ ４年 　
教 　 师　
Ｖｏ ｌ ＿ ３ ５ 　 Ｎｏ ． ４ 　
（ ２ Ｏ１ ４） 　
Ｐ Ｈ Ｙ ＳＩ Ｃ Ｓ　Ｔ Ｅ Ａ Ｃ Ｈ Ｅ Ｒ　
如 何 快 速 判 断 导体 是 否切 割磁 感线 运 动　
（ 江 苏 省扬 州 市 新 华 中 学 ， 江 苏 扬 州　 ２ ２ ５ ０ ０ ９ ） 　
在 电磁 感 应 现 象 中 ， 导体 切 割 磁 感 线 运 动 会 产 生 感 应　 电动势 ， 但什 么样的情 形才算 是 导体切 割磁 感线 运 动呢？ 　 关 于 这 个 问 题 各 种 教 材 或 教 参 都 没 有 给 出 比较 明 确 统 一　 的说明． 笔 者认 为 ， 导 体 是 否 切 割 磁 感 线 运 动 可 以 按 以 下　
方式进行快速判断． 　
图１ （ ｄ ） 磁 感 应 强度 Ｂ的 方 向垂 直 纸 面 向里 ， 导 体　 Ｌ在 纸 面 内 ， 沿 导 体 所 在 直 线 运 动． 磁 感 应 强 度 Ｂ、 导　
体 Ｌ 和 速 度　 所 在 ３条 直 线 所 构 成 的 平 面 垂 直 于　
纸 面． 　
例２ ． 磁 感 应 强 度 Ｂ、 导 体 Ｌ 和速 度　 所 在 ３条直 线 两　 两垂 直 ， 导体 垂 直 切 割 磁 感 线 运 动， 其 动 生 电 动 势　
Ｅ ： ＢＬ　． 　
要 判 断 导体 是 否 切 割 磁 感 线 运 动 ， 只需要 研究 导体 Ｌ 　
所在直线 、 速 度　 所 在 直 线 与 通 过 以 上 两 直 线 交 点 的 一 根　
磁感线 Ｂ 　 ３者 之 间 的 位 置 关 系 ． 若 ３线 共 面 则 导 体 不 切 割　 磁感线运动 ， 如例 １ ； 若 ３线 不 共 面 则 导 体 切 割 磁 感 线 运　 动． 在 ３线 不 共 面 的 情 况 下 ， 若 ３线 两 两 垂 直 ， 则 称 为 导 体　 垂 直 切 割磁 感线 运 动 ， 如例 ２ ； 反 之 则 称 为 导 体 斜 切 割 磁 感　
线 运动 ， 如例 ３ ． 　
图２ （ ａ ） 磁 感 应 强 度 Ｂ 的方 向水 平 向 右 ， 导 体 Ｌ 垂 直 于　
磁感应强度 Ｂ放置 ， 垂 直 纸 面 向外 运 动 ． 磁 感 应 强 度 Ｂ、 导　
体 Ｌ和 速 度　 所 在 ３条 直 线 两 两 垂 直 ． 　 图２ （ ｂ ） 磁 感 应 强 度 Ｂ 的 方 向 竖 直 向上 ， 导 体 Ｌ垂 直　 于纸面 ， 水 平 向右 运 动 ． 磁 感 应 强 度 Ｂ、 导 体 Ｌ 和 速 度　 所　
在 ３条直 线 两 两 垂 直 ． 　
例 １ ． 磁 感 应 强 度 Ｂ、 导 体 Ｌ 和 速 度　 所 在 ３ 条 直 线 共　
面， 不切割磁感线运动 ， 其 动 生 电动 势 Ｅ一 ０ ． 　 图 １ （ ａ ） 磁感 应 强 度 Ｂ 的 方 向 水 平 向 右 ， 导 体 Ｌ垂 直 于　
磁 感 应 强度 Ｂ放 置 ， 水平 向右运动． 磁 感 应 强 度 Ｂ、 导体 Ｌ 　
和 速度　 所 在 ３ 条 直 线 共 面所 构 成 的平 面为 纸 面 ． 　
（ ａ １ 　
●　 ●　 ●　
（ ｂ ） 　
Ｘ 　 Ｘ　 Ｘ 　 Ｘ 　 ￡ 　 ×　 ×　 ×　 ×　 ￡ 　
－ ＿ 　 —’　
——＿—一
Ｘ 　 Ｘ 　 Ｘ　 Ｘ　
×　 ×　 ×　 ×　
（ ｃ ） 　
（ ｄ ） 　
（ ｃ ） 　
图 １ （ ｂ ） 磁感 应强度 Ｂ的方 向水平 向右 ， 导 体 Ｌ 与 磁　 感 应 强 度 Ｂ 的方 向之 间 的 夹 角 为 ａ ， 沿 垂 直 于 导 体 Ｌ方 向 　 斜 向右 下 方 运 动 ． 磁 感 应 强 度 Ｂ、 导 体 Ｌ 和速 度 ７ ｄ 所在 ３ 条　 直线所构成的平面为纸面． 　 图１ （ ｃ ） 磁 感 应 强 度 Ｂ 的 方 向垂 直 纸 面 向 里 ， 导 体 Ｌ垂　 直纸面 ， 水 平 向右 运 动 ． 磁感 应 强 度 Ｂ、 导 体 Ｌ和 速 度　 所　
在 ３条 直 线 所 构 成 的 平 面 垂 直 于 纸 面 ． 　
图２ （ ｃ ） 磁 感应 强 度 Ｂ 的方 向垂 直 纸 面 向外 ， 导 体 在 纸　 面 内， 导 体 的 运 动 方 向 与 导 体 垂 直 向上 ． 磁 感 应 强 度 Ｂ、 导　 体 Ｌ 和速 度　 所 在 ３条 直 线 两 两 垂 直 ． 　 例３ ． 磁 感 应 强 度 Ｂ、 导 体 Ｌ 和 速度　 所 在 ３ 条 直 线 不　 共面 ， 也 不 两 两垂 直 ， 导体斜切割磁感线运动． 　 图３ （ ａ ） 磁 感 应 强度 Ｂ和 导 体 Ｌ 的夹 角 为 ０ ｔ ， 导 体 垂 直　
纸面向外运动． 速 度　 的方 向垂 直 于 磁 感 应 强 度 Ｂ和 导 体　
８ ９ 一　
Ｖｏ １ ． ３ ５ 　 ＮＯ ．４ 　
（ ２ Ｏｌ ４） 　
物　 理 　 教 　 师　
Ｐ Ｈ Ｙ ＳＩ Ｃ Ｓ　 Ｔ Ｅ Ａ Ｃ Ｈ ＥＲ 　
第 ３ ５卷 第 ４期　
２ ０１ ４焦　
同 　 考试 题 中的 约束 临界 问题 例 析　
罗建 明 　
（ 浙 江 省 宁 波 市 鄞 州 区 姜 山 中学 ， 浙 江 宁 波　 ３ １ ５ １ ９ １ ） 　 摘　 要 ：约束 临界 问题 在 平 时 的 习题 或 高 考题 中时 有 出现 ． 本 文 从 教 材 中 的 习题 入 手 ， 以高考试题 为载体 ， 根 据　 约束条件限制的个数和约束条件的隐蔽性 ， 将 约 束 临 界 问 题进 行 了分 类 ， 并 重 点分 析 了其 中的 ３种 类 型． 　
关 键 词 ：高 考 ； 约束； 临 界　
约 束 临 界 问 题 是 指 物 理 过 程 需 要 满 足 一 定 约 束 条 件　 的 临 界 问题 ． 根 据 约 束 条 件 限 制 的个 数 ， 可 以 把 约 束 临 界　 问 题 分 为单 条 件 约束 与 双 条 件 约 束 ． 根 据 约 束 条 件 的 隐 蔽　 性， 又可以把约束 临界 问题分 为显性 约 束与 隐性 约束． 有　 些 物 理 过 程 受 到 的 约 束 条 件 比较 明显 ， 可 以 在 原 题 中 直 接　 找
到 临 界条 件 ， 我们 通 常把这类 约 束 叫做显 性约 束． 有 些　 物 理 过 程受 到 的 “ 约束” 条 件 比较 隐 蔽 ， 需 要 通 过 分 析 推 理　 后， 才能找到临界 条件 ， 我们 通常 把这类 “ 约束 ” 叫 做 隐 性　
虽 然 现 行 的 物理 教科 书 没 有 明确 提 出“ 约束” 的概念 ， 　 但 是在 教科 书《 物理 》 必修 ２ 第 ７章 第 ９ 节“ 实验 ： 验 证 机 械　 能守恒定律 ” 的课 后 “ 问 题 与 练 习” 第 ２题 中 已 经 将 其 特 点　
展 现 出 来． 　 原 题． 游乐场 的过 山车 可以 底朝上 在 圆轨道 上 运行 ， 　
在 圆轨 道 的最 高 点处 ， 根据牛顿第二定律 ， 有　
Ｆ　￣ ｒ ａ ｇ一　 ? 　 （ ２ ） 　
游 客 却 不会 掉 下 来 （ 如图 １ ） ． 我们把 这种 情况 抽象 为 图 ２ 　
的模 型 ： 弧形轨 道的下 端与 竖直 圆轨道 相接 ， 使 小 球 从 弧　 形 轨道上端滑下 ， 小球 进入 圆轨 道下端 后沿 原 轨道 运动． 　
欲使 小 球 顺 利 地 通 过 圆 轨 道 的 最 高 点 ， 则 小 球 在 最　 高 点处 时 ， 必须满足条件 Ｆ 　 ≥０ ， 即　
实验发 现 ， 只 要　 大 于 一 定 值 ， 小 球 就 可 以 顺 利 通 过 圆 轨　 道 的最 高 点 ． 如 果 已知 圆轨 道 的半 径 为 Ｒ， ｈ至 少 要 等 于 多　 大 ？不 考 虑 摩擦 等 阻 力 ． 　 解析： 设 小 球 的 质 量 为 ｍ， 小 球 运 动 到 圆 弧 最 高 点 时　 的 速度 为　 ， 受到圆轨道 的压 力为 Ｆ 　 ． 小 球 下 滑 过 程 中 只　
有 重力做功 ， 机 械能守 恒． 取 圆轨 道 最 低 点 为 重 力 势 能 的　 零 参考平面 ， 则 在这 个 过 程 中 ， 根据机械能守恒定律 ， 有　
≥ Ⅲｇ ? 　
（ ３ ） 　
联立 （ １ ） 、 （ ３ ） 两 式 可 得　 ≥　 Ｒ ． 　
因此 ， 为 了使小球 顺利地 通过 圆轨道 的最高点 。 ｈ至　
少 应 为 ÷ Ｒ． 　
点评 ： 要让小球顺利通 过圆轨 道的最 高点 ， 从 机 械 能　 守恒 的角度来说 ， 只要 小 球 初 始 高 度 满 足 ＾ ≥２ Ｒ， 小 球 在　
ｍ ｇ ｈ 一 Ⅲ ｇ ． ２ Ｒ ＋ ￣ － ｍ ｕ ２ ． 　
（ １ ） 　
圆 轨 道 最 高 点 的 速 度　≥ ０ ， 就 可 以顺 利 通 过 圆 轨 道 的最　
Ｌ所 构 成 的 平 面 ， 其 动 生 电动 势 为 Ｅ一 （ Ｂ ｓ ｉ ｎ ａ ） Ｌ ｖ— 　
Ｂ Ｌ ｖ ｓ ｉ ｎ ｃ ＊ ． 若 速 度　 的方 向 与 磁 感 应 强 度 Ｂ 和 导 体 Ｌ 所 构　 成的平面的夹 角为 ０ ， 则 其 动 生 电 动 势 为 Ｅ＝ （ Ｂｓ ｉ ｎ ａ ） Ｌ? 　
（ ｖｓ ｉ ｎ ０） 一 ＢＬｖ ｓ ｉ ｎｃ ￣ ｓ ｉ ｎ Ｏ ． 　
图３ （ ｂ ） 磁 感
应 强 度 Ｂ和 速 度　 的 方 向 之 间 的 夹 角 为　
ａ ， 导 体 Ｌ垂 直 于 磁 感 应 强 度 Ｂ 和 速 度　 所 构 成 的 平 面 ， 　
其 动 生 电动 势 Ｅ—Ｂ Ｌ（ ｖ ｓ ｉ ｎ ａ ） 一Ｂ Ｌ ｖ ｓ ｉ ｎ ａ ． 若 导 体 Ｌ 与 磁 感　
（ ａ ） 　
应 强 度 Ｂ 和 速 度　 所 构 成 的 平 面 的 夹 角 为 口 ， 则 其 动 生 电　
×　 ×　 ×　 ×　
■■●■一
动 势 Ｅ—Ｂ（ Ｌ ｓ ｉ ｎ Ｏ ） （ ｖ ｓ ｉ ｎ ａ ） 一Ｂ Ｌ ｖ ｓ ｉ ｎ ａ ｓ ｉ ｎ Ｏ ． 　 图３ （ ｃ ） 导体 Ｌ和 速 度 ７ ７ 的夹角 为 ａ ， 磁 感 应 强 度 Ｂ 垂　 直于纸面 ， 即 垂 直 于 导 体 Ｌ 和 速 度　 所 构 成 的 平 面 ， 其 动　 生 电动 势 Ｅ—Ｂ Ｌ（ ｖ ｓ ｉ ｎ ａ ） 一Ｂ Ｌ ｖ ｓ ｉ ｎ ａ ． 若 磁 感 应 强 度 Ｂ 与 导　 体 Ｌ 和速 度　 所 构 成 的 平 面 的 夹 角 为　 ， 则 其 动 生 电 动 势　
Ｅ一 （ Ｂ 　 ｓ ｉ ｎ ０ ） Ｌ（ ｖ ｓ ｉ ｎ ａ ） 一 ＢＬｖ ｓ ｉ ｎ ａ ｓ ｉ ｎ Ｏ ． 　
Ｉ ［ 　 Ｉ ■■●
×　 ×　 ×　 ×　
（ ｃ ） 　
此 方 法 较 为直 观 、 简洁 ， 便 于学生理解 、 记 忆 和掌 握 ． 　
（ 收 稿 日期 ： ２ Ｏ １ ３ —１ ２ —１ ７ ） 　
９ Ｏ 一