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第2章线性时不变系统
第2章 线性时不变系统线性时不变（简称LTI，Linear， Time-invariant）系统为什么引入LTI ？如果不对系统的性质加以限制，那么分析 一个系统将是十分困难的。 给系统加上线性和时不变性的限制，那么 系统的分析将变得十分简便。 LTI系统的分析还为非线性系统的分析方法 提供了思路。例如，线性时不变系统可以 用冲激
响应来表达，非线性系统可以用 Volterra级数来表达。需要说明的问题？真实的系统，严格地讲，绝大多数是非线性和时 变的。（例如:铁心的存在使得电感非线性） 线性和时不变性可以认为是对现实系统的近似或 者理想化。 这样的近似是合理的，一般来说，实际系统的时变 性是可以忽略的，例如，在很多弱电系统中，电阻 随着温度的变化可以忽略；在小信号的情况下，某 些器件的非线性也可以用局部线性的方法分析，例 如，晶体管的小信号模型就是其中的例子。 因此，线性时不变系统的分析方法是实用的。2.1离散时间LTI系统的卷积分析? 一个经常遇到的问题是，给定一个输入信号，怎 样求出系统的输出信号。 ? 分析这个问题之前，我们先从输入信号入手。 ? 如果我们能够将输入信号分解成为基本的信号， 或者说用基本的信号来表示任意的信号，再利用 叠加性质，那么LTI系统的分析将会十分简单。2.1.1用单位冲激函数表示离散时间信号从波形的角度来观察离散时间信号，它可以 看成是由许多加权了的单位冲激信号组合 而成的
x[n] ? x[1]? [n ? 1] ? x[0]? [n] ? x[?2]? [n ? 2]对于任意的离散时间信号：累加序号 自变量加权值 移位的冲激信号x[n] ?k ? ??? x[k ]? [n ? k ]?上式应该理解为许多以为n自变量的函数的相 加，而不是数值相加。许多移了位的冲激信号的加权和，构成了x[n] 。特别地，我们有u[n] ?? ? [n ? k ]k ?0?2.1.2 卷积和任何一个序列都可以表示为移位的冲激序列的线 性组合。以此为基础，我们来表达系统的输出信 号。 首先我们定义一个特殊的输出信号，即系统在单 位冲激信号的激励下的系统输出信号? [n] ? h[n]单位冲激响应由时不变性可得：? [n ? k ] ? h[n ? k ]利用LTI系统的齐次性可得:x[n]? [n ? k ] ? x[n]h[n ? k ]利用LTI系统的叠加性和式：y[n] ?k ? ??? x[k ]h[n ? k ]?上式称为卷积和或者简称卷积。我们为卷积运算引入一个运算符号：*y[n] ? x[n] ? h[n]卷积和是离散时间信号（或者说函数）之间的一种 运算，两个以n为时间变量的信号的卷积运算的结果，是 一个以n为时间变量的信号? 从实用的观点来说，如果对于任何输入，我们都能够 求出系统的输出，这就说明我们对该系统有了足够的了 解。?求解系统响应的卷积方法是系统分析的重要工具。?单位冲激响应h[n]完全描述了线性时不变系统的变换 规律。不同的系统输入，都在h[n]的作用下产生相应的 响应，因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应h[n]就 等于给定了该系统。从计算某一个特定点的角度来看yynn] ? [[ 0k ? ?? k ? ??? x[k ]h[n ??kk]]0? ?看成常量求和变量进一步说明h[n ? k ]h[?k ]h[k ]kh[?(k ? n)] ? h[n ? k ]knkh[?(k ? n)] ? h[n ? k ] [k ] ] kk先反转后平移 当然，我们也可以先平移后反转，但是这种 方式不容易操作，容易出错。例题2.1 已知一个LTI系统的输入信号为，x[n] ? ? （nu[n]0 ?? ?1），该LTI系统的单位冲激响应为， ，试求该LTI系统的输出h[n] ? u[n]x[n]y[n]h[n]解：y[n] ? x[n] * h[n] ?k ? ??? x[k ]h[n ? k ]?h[n]h[k ]nh[?k ]kh[n ? k ]knkh[n ? k ]x[k ]……nkn?0y[n] ? 0n?01?? y[n] ? ? x[k ]h[n ? k ] ? ?? ? 1?? k ?0 k ?0n n k n ?1那么输出信号可以写成1?? y[n] ? u[n] 1??n ?11 1??n?卷积公式是无穷多项求和，而我们实际遇到的常 常是有限长度序列，特别是在计算机离线处理的场 合，因为计算机不可能处理无穷多的信息。 ?在进行有限长度的序列的卷积时候，长度为N和M 的2个序列作卷积时，反转序列从左到右进入重叠 直至移出重叠，只有存在重叠项时，卷积和才可能 非零。 ?卷积序列的长度为M+N-1。MNM+N-1举一个限长度序列卷积的例子。例题2.2 试求：其中，y[n] ? x[n] ? h[n]x[n] ? ? [n] ? ? [n ? 1] ? ? [n ? 2] ? ? [n ? 3]h[n] ? ? [n] ? ? [n ? 1] ? ? [n ? 2] ? ? [n ? 3]000y[n] ? ? [n] ? 2? [n ? 1] ? 3? [n ? 2] ? 4? [n ? 3] ? 3? [n ? 4] ? 2? [n ? 5] ? ? [n ? 6]2.2 连续时间LTI系统的卷积分析本小节我们讨论连续时间信号通过LTI系统的情况。2.2.1 用冲激函数表示连续时间信号对于连续时间信号而言，我们也可以 利用冲激函数的抽样性质来推导系统输出 的卷积表示。冲激函数的选择性质是这样的：x(t )? (t ? t0 ) ? x(t0 )? (t ? t0 )由于冲激函数是偶函数，? [t ? t0 ] ? ? [?(t ? t0 )] ? ? [t0 ? t ]于是有，????x(? )? (t ? ? )d? ? ? x(t )? (t ? ? )d??? ? ???? x(t )? ? (t ? ? )d?=1? x(t )我们就得到了一个结论，可以将连续时间函数x(t ) 表示为：x(t )＝????x(? )? (t ? ? )d?2.2.2 卷积积分我们定义一个特殊的输出信号，? (t ) ? h(t )单位冲激响应由LTI系统的时不变性：? (t ? ? ) ? h(t ? ? )由LTI系统的线性，我们有x(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d????y(t ) ?????x(? )h(t ? ? )d?卷积积分或者简称卷积。y (t ) ? x(t ) ? h(t )卷积是连续时间信号（或者说函数）之间的 一种运算，两个以为t时间变量的信号的卷积 运算的结果，是一个以t为时间变量的信号。单位冲激响应同样完全刻画了LTI系统的变 换规律。 不同的系统输入，都在单位冲激响应的作 用下产生相应的响应; 因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应， 就等于给定了该系统。例题2.3 已知给定的LTI系统的输入信号为x(t ) ? e??tu(t )h(t ) ? u (t )? ?0该系统的单位冲激响应为试求该系统的输出信号 y(t )x(t ) ? e，??tu(t )h(t ) ? u (t )解：y(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d????x(? )h(? )h(?? )h(t ? ? )th(? ? t h(??)) ? )tx(? )tt?0y(t ) ? 0t?0y (t ) ??t0x(? )h(t ? ? )d???t0e???d??? e ????| ?t 01?(1 ? e??t)y (t ) ?1?(1 ? e??t)u (t )y(t )1/ ?2.3 卷积的性质引入了卷积的概念以后，本节介绍卷积 算子的基本性质。2.3.1交换律(Commutative Property)x[n] * h[n] ?k ? ??? x[k ]h[n ? k ]? r ? ???r ?n?k常量? x[n ? r ]h[r ] ? ? h[r ]x[n ? r ] ?r ??? ????? h[n] * x[n]x(t ) * h(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d?? ?t ??常量? ????x(t ? ? )h(? )(?d? )? ? x(t ? ? )h(? )d????? h(t ) * x(t )类似于乘法运算，卷积运算也服从交换律，即x[n] * h[n] ? h[n] * x[n]x(t ) * h(t )＝h(t ) * x(t )利用卷积的交换律，可能会大大简化卷积的计算过程。在Matlab中，卷积计算函数conv只能计算有限长度序列的卷 积，而且默认这些序列是从0开始的，所以，一旦遇到起始点 不为零的序列进行卷积的情况，我们必须利用LTI系统的时不 变性，将序列的起始点移位到0，卷积完成以后再移位回来。 利用时不变性，我们有：y[n ? m] ? x[n ? m] * h[n]再利用交换律，我们有：y[n ? m] ? x[n] * h[n ? m]下面我们将举例说明，两个起始点不为0的序列的卷积。 例题2.3 求卷积：y[n] ? x[n] * h[n]x[n] ? ? [n ? 1] ? ? [n] ? ? [n ? 1] ? ? [n ? 2]h[n] ? ? [n ? 2] ? ? [n ? 3] ? ? [n ? 4] ? ? [n ? 5]解：x[n]0 0h[n]x[n ? 1]0 0h[n ? 2]x[n ? 1] h[n ? 2]起始点为零的序列。z[n] ? x[n ? 1] * h[n ? 2]z[n] ? ? [n] ? 2? [n ? 1] ? 3? [n ? 2] ? 4? [n ? 3] ? 3? [n ? 4] ? 2? [n ? 5] ? ? [n ? 6]z[n ? 1] ? x[n] * h[n ? 2] z[n ? 1 ? 2] ? x[n] * h[n] ? y[n]y[n] ? z[n ? 1 ? 2] ? z[n ? 1]y[n] ? ? [n ? 1] ? 2? [n ? 2] ? 3? [n ? 3] ? 4? [n ? 4] ? 3? [n ? 5] ? 2? [n ? 6] ? ? [n ? 7]例题2.5 已知信号x1 (t ) ? (1 ? t )[u(t ) ? u(t ?1)]x2 (t ) ? u(t ?1) ? u(t ? 2)求卷积y(t ) ? x1 (t ) * x2 (t )x1 (? )123x2 (t ? ? )t ?1y(t ) ? 0? ??t ?31? t ? 2t ?1 0y(t ) ? ? x1 (? ) x2 (t ? ? )d?t ?1 0y(t ) ? ? x1 (? )d? ? ? (1 ? ? )d? ? (t ? 1) ? (t ? 1) 2 / 2? t / 2 ?1/ 222?t?3y(t ) ? ? x1 (? )d? ? ? (1 ? ? )d? ? (1 ? t ? 2) ? (1 ? (t ? 2) ) / 22 t ?2 t ?2 1 11 2 3 ? ? t ?t ? 2 2解2:y(t ) ? x1 (t ) * x2 (t ) y(t ? 1) ? x1 (t ) * x2 (t ? 1)x1 (? )123t?0y(t ? 1) ? 0t?20 ? t ?1y(t ? 1) ? ? x1 (? )d? ? ? (1 ? ? )d? ? t ? t / 22 0 0 t t1? t ? 2y(t ? 1) ? ? x1 (? )d? ? ? (1 ? ? )d? ? (1 ? t ? 1) ? (1 ? (t ? 1) 2 ) / 2t ?1 t ?1 1 11 2 ?? t ?2 2t ?1y(t ) ? 0t ?31? t ? 2y(t ) ? (t ?1) ? (t ?1) / 2 ? t / 2 ?1/ 22 22?t ?31 1 2 3 2 y (t ) ? ? (t ? 1) ? 2 ? ? t ? t ? 2 2 22.3.2 分配律(Distributive Property)类似于乘法运算，卷积计算对加法还具有分配律x[n] *[h1[n] ? h2 [n]] ? x[n] * h1[n] ? x[n] * h2 [n]x(t ) *[h1 (t ) ? h2 (t )] x(t ) * h1 (t ) ? x(t ) * h2 (t ) ＝利用卷积运算的分配律，我们可以简化两个LTI系统的并联。h1 [ n]x[n]h2 [n]y[n]y[n] ? x[n] ? h1[n] ? x[n] ? h2 [n] y[n] ? x[n] ?[h1[n] ? h2 [n]]x[n]h1[n] ? h2 [n]y[n]2.3.3 结合律(Associative Property)通过证明，我们还可以看到，类似于乘法运算，卷积计 算还服从结合律，即x[n] ?{h1[n] ? h2 [n]} ? {x[n] ? h1[n]}? h2[n]x(t ) *[h1 (t ) * h2 (t )] [ x(t ) * h1 (t )]* h2 (t ) ＝x[n]h1 [n]x[n] * h1[n]h2 [n]y[n] ? {x[n] * h1[n]}* h2 [n] y[n] ? x[n] *{h1[n] * h2 [n]}x[n]h1 [n]* h2 [n]y[n]x[n] x[n]h2 [n]* h1[n]y[n]h2 [n]h1 [n]y[n]R1C1C2R2R1C1C2R2C2R2R1C12.4 LTI系统的性质LTI系统可以由其单位冲激响应或者来刻划 或者说描述。 下面通过冲激响应与系统性质的关系，进 一步说明这个观点。 本节用卷积算子来重新讨论一下LTI系统的性 质。我们将看到，可以用单位冲激响应的 性质来描述LTI系统的性质。2.4.1 LTI系统的记忆性质系统就是对信号的变换.y(t ) ? S[ x(t )]从函数集到函数集的映射无记忆系统：一个系统的每一时刻的输入仅仅取决于该时刻 的输入。数值（输入信号的值）无记忆系统数值（输出信号的值）变换S ?CCS?RR从一个函数集到函数集的映射，退化为一个复数集到 复数集（或者是实数集到实数集）的映射。进一步地，无记忆的LTI系统还具备线性：y (t ) ? Kx(t )y[n] ? Kx[n]h[n] ? K? [n]h(t ) ? K? (t )LTI系统无记忆的必要条件任何信号与冲激信号的卷积的结果都是该信号本身，所以， 上式也是LTI系统无记忆的充分条件。LTI系统为无记忆系统的充分必要条件是：其单位冲激响应 与单位冲激信号成正比。 一个反例来说明这个必要条件y[n] ?y[n] ?k ? ???? x[k ]h[n ? k ]? k ? ???h[n] ? ? [n] ? ? [n ? 1]k ? ??? x[k ]? [n ? k ] ? ? x[k ]? [n ? 1 ? k ]? x[n] ? x[n ? 1]2.4.2 LTI系统的可逆性x(t ) * ? (t ) ? ?? ?????x(? )? (t ? ? )d? ? ? x(t )? (t ? ? )d????? x(t )? ? (t ? ? )d? ?x(t )x(t ) ? ? (t ) ? x(t )x[n] * ? [n] ? x[n]恒等系统的单位冲激响应就是单位冲激信号。卷积运算里面， 单位冲激函数的地位，相当于1在乘法里面的地位。利用时不变性x(t ) * ? (t ? t 0 ) ? x(t ? t 0 )x[n] * ? [n ? n0 ] ? x[n ? n0 ]下面我们再来讨论LTI系统的可逆性x(t )y(t )h(t )、h ?1 (t )x(t )x(t )x(t )h(t ) * h ?1 (t ) ? ? (t )LTI系统为可逆系统的充要条件是：h(t ) * h (t ) ? ? (t )?1h[n] * h [n] ? ? [n]?1例题2.7 求延时器 y(t ) ? x(t ? t 0 ) 的逆系统解：x(t ) *? (t ? t0 ) ? x(t ? t0 )y(t ) ? x(t ) * ? (t ? t 0 )h(t ) ? ? (t ? t 0 )? (t ? t 0 ) * ? (t ? t 0 ) ? ? (t ? t 0 ? t 0 ) ? ? (t )h ?1 (t ) ? ? (t ? t 0 )y(t ) ? x(t ) * ? (t ? t 0 ) ? x(t ? t 0 )例题2.8 试确定累加器y[n] ?k ? ??? x[k ]n的逆系统。解：ny[n] ?kk ? ??? x[k ] ? x[n] ? u[n]单位冲激响应nu[n] * h [n] ? ? [n]?1?u[n] ? u[n ? 1] ? ? [n]公因式? u[n] *? [n] ? u[n] *? [n ? 1]? u[n] *[? [n] ? ? [n ? 1]]h [n] ? ? [n] ? ? [n ? 1]?1可得累加器的逆系统的解析表达为y[n] ? x[n] ? h [n]?1? x[n] ? x[n ? 1]求和运算的逆过程就是差分运算2.4.3 LTI系统的因果性y[n]x[k ] k ? ny[n] ?k ? ??? x[k ]h[n ? k ]?k ? n h[n ? k ] ? 0 0 ? n ? k h[n ? k ] ? 0离散时间LTI系统因果的充分必要条件为：h[n] ? 0, n ? 0类似地，连续时间LTI系统为因果系统的充分必要条件为：h(t ) ? 0, t ? 02.4.4 LTI系统的稳定性我们知道，系统的稳定性条件，可以形式地描述为：?M : ?n :| x[n] |? M ? ?B : ?n :| y[n] |? BX[n]有界 y[n]有界| y[n] |?|k ? ??? x[k ]h[n ? k ] |???k ? ??? | x[k ] || h[n ? k ] |?Mk ? ??k? ? n ? k? | h[n ? k ] |?Mk ? ???? | h[k ] |?离散时间LTI系统稳定的充分条件为：k ? ??? | h[k ] | ? ??可以证明，式(2-27)也是离散时间LTI系统稳定的必要条件对于连续时间LTI系统有| y(t ) |?| ? x(? )? (t ? ? )d? |???? ? | x(? ) || h(t ? ? ) | d????? M ? | h(t ? ? ) | d????? M ? | h(? ) | d????连续时间LTI系统稳定的充分条件为：????| h(t ) | dt ? ?可以证明，式(2-28)也是连续时间LTI 系统稳定的必要条件下面再看看2个例子，y[n] ? x[n ? n0 ]n ? ??h[n] ? ? [n ? n0 ]该LTI系统稳定。? | h[n] | ? 1 ? ?t ???y(t ) ? ? x(? )d?h(t ) ? ? ? (? )d? ? u (t )??t????| h(t ) | dt ? ? dt ? ?0?该LTI系统不稳定。2.5单位阶跃响应当输入信号为单位阶跃信号时，LTI系统的响应称 为该LTI系统的单位阶跃响应。许多早期的文献是以单位阶跃响应为支点来讨论LTI系统 的。物理上，阶跃响应比冲激响应容易得到，电路一合上， 给出的就是一个阶跃信号，而冲激信号则涉及无穷大的数 值和无限短的时间，实现起来很困难。 本小节讨论单位阶跃响应与单位冲激响应之间的关系。如 果我们可以在物理上求得阶跃响应，然后，在数学上通过 阶跃响应求得冲激响应，这将是一种非常理想的情况。u(t )LTIs (t )u[n]LTIs[n]单位阶跃响应依据LTI系统的单位阶跃响应的定义s[n] ? u[n] * h[n]u[n] ? u[n ? 1] ? ? [n] ? u[n] *[? [n] ? ? [n ? 1]]s[n] *{? [n] ? ? [n ? 1]} s[n] ? u[n] * h[n] ? u[n] * h[n] *{? [n] ? ? [n ? 1]} ? h[n] * ? [n] ? h[n]相当于u[n]的倒数h[n] ? s[n] ? s[n ? 1]s(t ) ? u (t ) * h(t ) ? ? h(? )d???tds (t ) h(t ) ? s (t ) ? dt'可以通过LTI系统的单位阶跃响应求出该系统的单位冲激响应。
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