【图文】平面向量的数乘运算_百度文库
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平面向量的数乘运算
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&&平​面​向​量​的​数​乘​运​算
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Learning OpenCV（10）
伸出右手，使拇指与四指垂直，四指指向a的方向，弯向b的方向，则大拇指指的方向就是a*b的方向
也叫点积，它是向量与向量的乘积，其结果为一个标量。几何上，数量积可以定义如下：
设、为两个任意向量，它们的夹角为，则他们的数量积为：
数量积被广泛应用于物理中，如做功就是用力的矢量点乘位移的矢量，即 。
也叫，，它也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量，但由于其结果是由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。
设有向量、，
则其向量积的矩阵表达式可写作：
我们需要找到三角形的法线（normal）。它是一个向量，是三角形平面上的一条垂线，如图
&&&&&&&& 法线是到达三角形表面的一条垂线
我们可以通过该平面的两个向量计算出它们的外积（cross product）从而求出这条法线。两个向量的积是一条垂直于这两条向量的新向量。我们将使用的这两条向量是点 A和B，点 B和C 之间的连线。每个向量都用有带有 x, y, z的 Object 持有。
var ab:Object = new Object();
ab.x = pointA.x - pointB.x;
ab.y = pointA.y - pointB.y;
ab.z = pointA.z - pointB.z;
var bc:Object = new Object();
bc.x = pointB.x - pointC.x;
bc.y = pointB.y - pointC.y;
bc.z = pointB.z - pointC.z;
然后计算法线，即另一个向量。求该对象的法向量（norm）。下面的代码用于计算向量ab和bc的外积：
var norm:Object = new Object();
norm.x = (ab.y * bc.z) - (ab.z * bc.y);
norm.y = -((ab.x * bc.z) - (ab.z * bc.x));
norm.z = (ab.x * bc.y) - (ab.y * bc.x);
参考知识库
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(1)(2)(4)(24)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(1)(3)(1)(4)(1)(2)(2)(10)(10)平面向量数乘公式 多项式乘法怎么证明(b-c) ・（b-c）=b² +c² -2 |b| |c| cosα（α为b、c向量的夹角）例如这个，怎么证明向量数乘可以用多项式乘法公式。。。。
这个例题，你画个三角形，用余弦定理可解
为您推荐：
扫描下载二维码& & 　在数学中，几何向量指具有大小（magnitude）和方向的几何对象，它在线性代数中经由抽象化有着更一般的概念。向量在编程中也有着及其广泛的应用，其作用在图形编程和游戏物理引擎方面尤为突出。
　　 本文以二维向量为例，基于面向对象编程语言，我们创建一个二维向量的类(Class),就能够在编程中轻松实现向量的表示及其运算
&1.构造函数
　　1.这里，将类的名称命名为"Vector2D"，
　　2.添加两个属性X和Y，分别表示二维向量的两个分量
　　3.实现构造函数，实例化时即初始化X,Y的值
Public Class Vector2D
Public Property x As Double 'x分量
Public Property y As Double 'y分量
''' &summary&
''' 二维向量类，能够实现平面向量的表示与运算
''' &/summary&
''' &param name="nX"&向量的X初始值,不填写默认为0&/param&
''' &param name="nY"&向量的Y初始值,不填写默认为0&/param&
Public Sub New(Optional nX As Double = 0, Optional nY As Double = 0)
&2.四则运算函数
　　1.添加Public方法"Add()"，实现向量与向量加法
''' &summary&
''' 加上一个向量
''' &/summary&
''' &param name="aVector"&要加的向量&/param&
''' &remarks&&/remarks&
Public Sub Add(ByVal aVector As Vector2D)
x += aVector.x
y += aVector.y
　　2.添加Public方法"Minus()"，实现向量与向量减法
''' &summary&
''' 减去一个向量
''' &/summary&
''' &param name="mVector"&要减的向量&/param&
''' &remarks&&/remarks&
Public Sub Minus(ByVal mVector As Vector2D)
x -= mVector.x
y -= mVector.y
　　3.添加Public方法"Multiply()"，实现向量与标量乘法
''' &summary&
''' 乘以一个标量
''' &/summary&
''' &param name="mNum"&要乘的标量&/param&
''' &remarks&&/remarks&
Public Sub Multiply(ByVal mNum As Double)
　　4.添加Public方法"Divide()"，实现向量与标量除法
''' &summary&
''' 除以一个标量
''' &/summary&
''' &param name="dNum"&要除的标量&/param&
''' &remarks&&/remarks&
Public Sub Divide(ByVal dNum As Double)
&3.重载四则运算符
　　1.利用运算符可以更简便的实现向量运算（而不是调用方法)，这就需要我们在类里重载运算符。
'重载向量与向量加法运算符
Public Overloads Shared Operator +(ByVal LeftVector As Vector2D, ByVal RightVector As Vector2D) As Vector2D
Return New Vector2D(LeftVector.x + RightVector.x, LeftVector.y + RightVector.y)
End Operator
'重载向量与向量减法运算符
Public Overloads Shared Operator -(ByVal LeftVector As Vector2D, ByVal RightVector As Vector2D) As Vector2D
Return New Vector2D(LeftVector.x - RightVector.x, LeftVector.y - RightVector.y)
End Operator
'重载向量与标量乘法运算符
Public Overloads Shared Operator *(ByVal LeftVector As Vector2D, ByVal RightNum As Double) As Vector2D
Return New Vector2D(LeftVector.x * RightNum, LeftVector.y * RightNum)
End Operator
'重载标量与向量乘法运算符(交换律)
Public Overloads Shared Operator *(ByVal LeftNum As Double, ByVal RightVector As Vector2D) As Vector2D
Return New Vector2D(RightVector.x * LeftNum, RightVector.y * LeftNum)
End Operator
'重载向量与标量除法运算符
Public Overloads Shared Operator /(ByVal LeftVector As Vector2D, ByVal RightNum As Double) As Vector2D
Return New Vector2D(LeftVector.x / RightNum, LeftVector.y / RightNum)
End Operator
&4.模的计算
　　1.添加Public函数"Magnitude()"，实现计算模长
''' &summary&
''' 返回向量的模长
''' &/summary&
''' &returns&&/returns&
Public Function Magnitude() As Double
Return Math.Sqrt(x * x + y * y)
End Function
　　2.添加Public方法"SetMag()"，实现设定模长
''' &summary&
''' 指定向量的模长
''' &/summary&
''' &param name="sPutNum"&指定的长度&/param&
Public Sub SetMag(ByVal sPutNum As Double)
Dim tempMag As Double = Me.Magnitude
x = x * (sPutNum / tempMag)
y = y * (sPutNum / tempMag)
　　3.添加Public方法"LimitMag()"，实现限制模长
''' &summary&
''' 限制向量模长,小于或等于某一值
''' &/summary&
''' &param name="lUponNum"&指定的最大值&/param&
Public Sub LimitMag(ByVal lUponNum As Double)
Dim tempMag As Double = Me.Magnitude
If tempMag & lUponNum Then
x = x * (lUponNum / tempMag)
y = y * (lUponNum / tempMag)
&5.夹角与旋转
　　1.添加Public Shared函数"GetHeading()"，实现计算向量的方向角
''' &summary&
''' '求向量的方向角
''' &/summary&
''' &param name="gVector"&指定的向量&/param&
''' &returns&&/returns&
Public Shared Function GetHeading(ByVal gVector As Vector2D) As Double
Dim Angle As Double
Angle = Math.Asin(gVector.x / Math.Sqrt(gVector.x * gVector.x + gVector.y * gVector.y)) * (180 / Math.PI)
Return Angle
End Function
　　2.添加Public Shared函数"GetAngleBetween()"，实现计算两个向量的夹角
''' &summary&
'求两向量的夹角
''' &/summary&
''' &param name="gLeftVector"&第一个向量&/param&
''' &param name="gRightVector"&第二个向量&/param&
''' &returns&&/returns&
Public Shared Function GetAngleBetween(ByVal gLeftVector As Vector2D, ByVal gRightVector As Vector2D) As Double
Dim Angle As Double
Angle = Math.Asin((gLeftVector.x * gRightVector.x + gLeftVector.y * gRightVector.y) /
(Math.Sqrt(gLeftVector.x * gLeftVector.x + gLeftVector.y * gLeftVector.y) *
Math.Sqrt(gRightVector.x * gRightVector.x + gRightVector.y * gRightVector.y))) *
(180 / Math.PI)
Return Angle
End Function
　　3.添加Public方法"Rotate()"，实现向量旋转
''' &summary&
''' 向量旋转
''' &/summary&
''' &param name="gAngle"&指定旋转的角度，弧度制&/param&
Public Sub Rotate(ByVal gAngle As Double)
Dim x1, y1 As Double
x1 = x * Math.Cos(gAngle) - y * Math.Sin(gAngle)
y1 = y * Math.Cos(gAngle) + x * Math.Sin(gAngle)
阅读(...) 评论()（1）实数与向量的运算法则：设?、?为实数，则有；2）分配律：(???)??a??a，?(a?b)；2）(?a)?b??(a?b)??a?b?a(?；e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这；对实数?1,?2，满足a??1e1??2e2；（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：a?b；（5）平面向量的运算法则；1）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,
（1）实数与向量的运算法则：设?、?为实数，则有： 1）结合律：?(?a)?(??)a。
2）分配律：(???)??a??a，?(a?b)??a??b。 （2）向量的数量积运算法则： 1）a?b?b?a。
2）(?a)?b??(a?b)??a?b?a(?b)。 3）(a?b)?c?a?c?b?c。 （3）平面向量的基本定理。
e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一
对实数?1,?2，满足a??1e1??2e2。
（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：a?b?|a||b|cos?，数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos?的乘积。
（5）平面向量的运算法则。
1）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a+b＝(x1?x2,y1?y2)。 2）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a-b＝(x1?x2,y1?y2)。
????????????
3）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1)。 4）设a＝(x,y),??R，则?a＝(?x,?y)。
5）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a?b＝(x1x2?y1y2)。 （6）两向量的夹角公式：
（a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)）。
（7）平面两点间的距离公式：
A,B＝|AB|（A(x1,y1)，B(x2,y2)）（8）向量的平行与垂直：设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，且b?0，则有： 1）a||b?b＝?a?x1y2?x2y1?0。
2）a?b （a?0）? a?b＝0?x1x2?y1y2?0。 （9）线段的定比分公式：
?P(x,y)(x,y)P(x,y)PP设P，，是线段的分点，是实数，且PP??PP2，则
?x?????y???
??????????????????????????OP??OP211??）。 ?(1?t)OP?OP?1?OP?tOP12（t?1??y1??y21??
（10）三角形的重心公式：
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则△ABC的重心的坐标为G(
x1?x2?x3y1?y2?y3
（11）平移公式：
?????????????'?x'?x?h?x?x'?h??'
?OP?OP?PP 。 ???''
y?y?ky?y?k????
（12）关于向量平移的结论。
1）点P(x,y)按向量a＝(h,k)平移后得到点P'(x?h,y?k)。
2）函数y?f(x)的图像C按向量a＝(h,k)平移后得到图像C':y?f(x?h)?k。 3）图像C'按向量a＝(h,k)平移后得到图像C:y?f(x)，则C'为y?f(x?h)?k。 4）曲线C:f(x,y)?0按向量a＝(h,k)平移后得到图像C':f(x?h,y?k)?0。
设a=（x，y），b=(x'，y')。 1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法 OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。[1] 2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被
向量的减法
a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、向量的数乘
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且OλaO=OλO?OaO。 当λ&0时，λa与a同方向 当λ&0时，λa与a反方向；
向量的数乘
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当λ&1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ&0）或反方向（λ&0）上伸长为原来的OλO倍
当λ&1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ&0）或××反方向（λ&0）上缩短为原来的OλO倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。[2] 4、向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a，b〉=a?b / |a|?|b|）；若a、b共线，则a?b=±OaOObO。 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) （a+b)?c=a?c+b?c（分配律） 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。（该公式证明如下：|a?b|=|a|?|b|?|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a?b|≤|a|?|b|） 向量的数量积与实数运算的主要不同点
1．向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2．向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c (a≠0)，推不出 b=c。 3．|a?b|与|a|?|b|不等价
4．由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积
向量的几何表示
（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“?”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：Oa×bO=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则a×b=0。
包含各类专业文献、中学教育、高等教育、各类资格考试、应用写作文书、行业资料、12向量的运算法则等内容。　
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