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　　导读本文是2007年5月南开大学数学科学学院顾沛教授在数学文化节讲座中的精彩演讲，顾沛教授通过九个具体形象的例子从不同的角度体现了数学文化和素养的魅力。 原标题顾沛：漫谈数学文化 & 十三年的数学学习后，那些数学公式、定理、解题方法也许都会被忘记，但是形成的数学素养却终身受用。&由于数学教学方式和内容的局限，尽管一个人经历至少长达13年的数学学习，但对数学的精髓却毫无概念，在宏观上把握数学的能力较差，也就是所谓的数学素养较差。甚至误以为学数学就是为了解题，考试，而不了解数学在实际生产生活中的应用。
　　谈到数学素养的问题时，顾沛讲到自己已经成功地在南开大学开设了数学文化课程，他说，之所以开设这门课程正是为了克服数学教学中忽视数学文化的这一弊病。 那什么是数学素养呢？通俗地说，数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西。& 现实生活中，经常会用到一些数学的思维去解决问题。这种解决问题的方法就是数学素养的一种体现。&微软公司招聘员工的一道考题。&一个屋里有50个人，每 人带一条狗，其中部分是病狗。主人只能通过对其它狗的观察得知自己的狗是否是病狗，并在发现当天用枪打死自己的狗，第一天没有听到枪声，第二天没有听到枪 声……直至第十天听到一片枪声，问屋里有多少病狗。&可是这道看似脑筋急转弯的题目其实是一道巧妙的数学应用题。正确的解答需要结合运用反证法和数学归纳 法，答案的揭晓使每个人都能感觉到数学的奥妙。 下面几个具体形象的例子从不同的角度体现了数学文化和素养的魅力。 “例一：芝诺悖论与无限――从初等数学到高等数学很 多人都听过芝诺悖论中的&阿基里斯永远追不上乌龟&的问题，顾沛在分析这个问题时，指出这一悖论的症结在于混淆了有限与无限的问题。芝诺认为阿基里斯在追 赶乌龟的过程中，首先要到达乌龟原先的位置A，而这时乌龟已经到了位置B，阿基里斯继续追赶则要先到达B，这时乌龟又到达了位置C，以此类推，阿基里斯似 乎永远也追不上乌龟了，可是芝诺却忽视了一个问题，无限长度或时间的和，可能是有限的。 另 一个与无限有关的是&有无限个房间的旅馆&问题，一个有无限个房间的旅馆客满后来了一个客人，应该怎样安排他？答案很简单，让原先住在1号房的客人搬进2 号房，原先住在2号房的客人住进3号房，以此类推，让原先住在K号房的客人住进K+1号房，这样就空出了1号房给新来的客人。同理，来了一个团的无穷个旅 客，一万个团的无穷个旅客甚至无穷个团的无穷个旅客也应对自如了。在场的许多同学都有所领悟，给出了精彩的解答。 奇妙的数学，从有限到无限，不可能的也成了可能。 扩展
　　阅读《芝诺悖论：阿基里斯能追上乌龟吗？ 》， 回复 088查看“例二：海岸线的长度问题――分形与混沌首先是分形问题。B．B．Mandelbrot发现英国的海岸线永远也无法测量，为什么呢？柯赫曲线的几何现象说明了这个问题。（组图略）
　　这样的一组图具有自相似性，在测量海岸线时，如果尺子的长度精确度不同，那么海岸线的形状就可以无限分形，当然无法准确测量了。正是这样一个问题，发展成了数学界一个非常重要的分支。 混沌问题。这个问题是E．N．Lorenz在做天气预报中发现的。大家都知道的&蝴蝶效应&，也是一种混沌现象，由此可见，数学问题无处不在。 扩展阅读《分形几何学简介》，回复 089查看《数学之美 | 分形图形动画演示欣赏，美！》，回复 090查看 “例三：历史上的数学危机――数学的思想大解放牛顿为了计算瞬时速度，创立了微积分学，可是贝克莱却对牛顿发难：无穷小作为一个量，究竟是否为0？ 在算式s/t=gt+1/2g(t)中，贝克莱质疑道：如果无穷小量等于0，则等号左端无意义，若不等于0，则右边的后一项不能随意取掉，因此，反驳贝克莱成了一个棘手的问题。 直到数百年后，柯西的极限理论的出现，&ξ-σ&语言的出现。才消除了这一危机。 由此可见，在数学中，知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的。 扩展阅读《数学史上的三次危机》，回复 091查看 “例四：周髀算经与勾股定理――中国和世界数学的骄傲很多人都知道北京2008年举行奥运会，但2002年在北京举行的&国际数学家大会&，也是我国许多世界顶尖数学大师和政府争取来的荣誉。这次大会的会徽就选择了周髀算经中勾股定理证明的图形。 美国宇航局的一次寻找外星人的行动中，也带去了一个证明勾股图形的黄金制品，可见勾股定理的证明是世界的骄傲。至今勾股定理的证明已经多达380种了，而很多人，仍在探寻新的方法。 “例五：蒲丰投针问题――什么是创新1777 年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于平行线距离的一半的针，让 他们随意投放。事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，共投针2212枚，与直线相交的704枚，两者相除，正好等于圆周率。求圆周率是一个几何问题，而蒲丰 却用概率的方法解决了，完全不相同的两个领域被神奇地联系起来，这就是某种意义上的创新。 “例六：类比的方法――举一反三4个平面最多把空间分成多少个部分？答案是15个，但绝对不是由&4*4-1&得出的。方法是这样的，四个平面的情况中最复杂的是这四个平面组成了一个四面体，然后将四面体平展成一个平面，于是主要问题就集中在四面体的棱把这个平面分成几份了。 将陌生的复杂的问题用熟悉的简单的问题来类比，同样也是生活中的数学应用。 “例七：哥尼斯堡七桥问题――抽象的观点如 何将哥尼斯堡的一条小河上的7座桥一次性走完呢？居民在多次尝试无果后，来请教大数学家欧拉。于是聪明的欧拉将居民的问题抽象为一笔画问题，在他的图纸 上，线条的交点被分为奇界点和偶界点，并得出了一笔画问题能成功的充要条件：奇界点≤2个。这就是抽象的观点的精髓：抓住问题本质，突出问题本质。
　　扩展阅读《哥尼斯堡七桥问题》，回复 七桥问题查看 “例八：&变中有不变&的观点――数学的生命力数学大师陈省身先生，曾指出&三角形内角和为108度&这个命题不好，而认为&n边形的外角和为360度&是个好命题，因为它的变中有不变。 扩展阅读《多边形外角和等于 360& 的一种直观解释》，回复 083 查看 “例九：数学中的审美的思想――数学的艺术数学中有很多种类的美，简洁美、对称美、统一美、奇异美……顾教授给同学们展示了埃尔兰根纲领，欧拉公式，黄金比，斐波那契数列等许多让人匪夷所思的数学现象，着实让在座的每一位倾倒于数学的无限魅力。 顾沛，男，南开大学数学科学学院教授，首届“国家级教学名师”，教育部数学与统计学教学指导委员会副主任。
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两点一线教育机构金牌教师，家教辅导专家单老师。两点一线教育...
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数学在生活中的应用
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高中数学课堂教学中“生活实例”运用状况的调查研究
（日期： 17:00:22&
阅读数：522人）【字体：
高中数学课堂教学中“生活实例”运用状况的调查研究
The Research on Application of the Live Instance in Mathematics Classroom Teaching of
摘& 要：加强数学与生活的联系是高中数学新课程的教学理念。高中数学教师对“生活实例”在课堂教学中所起的作用认识片面，其运用多在教学的“课堂引入”环节。大多数高中数学教师认识到“生活实例”运用于教学会致使他们的教学方式的改变。“生活实例”与数学及其教学的有机结合需要教师们积极转变和更新观念、积极寻找“好”的生活化素材、积极尝试将知识运用于解决实际问题。
关键词：数学教学，生活实例，运用状况
The teaching philosophy of the
is strengthening the links math and life. Senior high school math teachers had d
the Live Instance in the classroom teaching unilaterally,it was used for class introduction.Many senior high school math teachers
the changes in their way of teaching because the Live Instance is used for teaching. That the Live Instance ,maths and teaching
the teachers need
,find good living material,try to use
Key words: Live Instance , investigation, Math Classroom&
1.调查研究的对象与方法
1.1研究对象
在某地区随机抽取了60名高中数学教师。他们由32名男教师和28名女教师组成，其中教龄在5年以下的教师16人，5至10年的21人，10年以上23人，并且他们来自高中各年级，其中高一的24人，高二的22人，高三的14人。
1.2研究方法
主要采用调查问卷和深度访谈的研究方法。
问卷设计了三个维度：“教师对课堂教学中运用‘生活实例’作用的理解”；“教师对课堂教学中‘生活实例’的使用情况”；“教师对课堂教学中运用‘生活实例’导致‘教学方式’变化的认知程度”。深度访谈主要运用于探究问卷结果背后所承载的更本质的认知、更深入的缘由。
2.调查研究的结果分析
2.1教师对课堂教学中运用“生活实例”作用的理解
据分析50%的高中教师对课堂教学中“实例”作用的理解只是“利于新课引入”；有23.9%的教师认为“实例”有利于数学生活化；还有10.9%的教师认为是“使课堂生动”以及16.2%的教师认为是“吸引学生注意”（如表1）。另外，在访谈过程中，普遍的教师认为教学中“实例”作用就是将生活实例引入数学课堂教学，使许多数学问题更贴近生活的东西；也有部分教师认为“案例”不仅能将数学问题生活化，也能将数学应用到生活中去。
表1& 教师对“实例”作用的理解
2.2教师课堂教学中“生活实例”的使用情况
在平时的教学中，教师在考虑课堂教学与生活实例的整合这个方面，“时间紧，偶尔考虑”的占65.2%，只有23.8%的教师“经常考虑”，甚至还有6.5%的教师“没有考虑”，说明大部分高中教师对此不是很重视（如表2）。
表2& 教师对课堂教学与生活实例整合的运用
进一步研究发现高一年级约80%的教师会应用书上或者课外的一些生活实例作为新课引入，高二年级50%左右的教师在新课引入中用到了少部分生活实例，而高三年级只有少部分用到生活实例，各年级的其余教师在整个教学过程中都几乎不采用生活实例。通过进一步访谈，发现出现这种现象的原因有以下几点：（1）高一、高二年级新课多，为了让学生更吸收大量的新知识，教师们认为结合一定的生活实例能让学生更乐于学习，接受知识；（2）高三年级由于大部分是复习课，为了高考抢进度，必要使“数学生活化”；（3）不采用生活实例的教师则认为，至从新课改后，高一要学四本书的内容，课时很紧张，为了充分利用好时间，“数学生活化”方面几乎不现实；（4）学校教学条件不允许。
2.3 教师对课堂教学中运用“生活实例”导致教学方式变化的认知程度
由数据可知，有95.7%的教师认为教学方式或多或少会有变化，他们认为高中课程设置了大量的实例，结合这些实例的讲解能让学生产生深厚的兴趣，认识到数学的来源与应用，认为课堂上应该针对这些“数学生活化”的内容采取相应的教学方式。还有4.3%的教师却不认为教学方式会有变化，他们认为“生活实例”的作用对于学生掌握数学内部体系没有多大的帮助，为此而改变教学方式是没有必要的。
表3 教师对教学中运用“生活实例”导致教学方式变化的认知程度
（1）高中教师对课堂教学中“实例”作用的理解各有分歧，但大部分教师对“实例”作用的理解片面，赞同其作用只在于“利于新课引入”。
（2）高中教师主要因为课程内容多课时紧，所以只是偶尔考虑课堂教学与生活实例的整合。
（3）在“数学生活化”方面，大部分教师认同数学教学与生活相结合后，教学方式会一定变化。
3．教学建议
3.1积极转变和更新观念
教师的数学观对其教学行为有着非常重要的影响，也对学生学习数学的态度和兴趣有着潜移默化的影响。教师的数学观不能一成不变，它应当随着社会的发展、教育的发展、数学的发展等做出相应的改变。要正确的看待“数学生活化”这一理念，教师需要积极更新自己的教学观念，具体的说，教师要在以下几个方面做出适当的改变：首先，学生是学习活动的主体，学生应当是主动探索数学知识的“建构者”，而不是模仿者，教学活动应当尊重学生已有的知识和经验，并提倡自主、合作、探究的学习方式。其次，教师应该强调知识的应用性和实践性。最后，教师要改变只关注学习结果的观念，要重视教学过程中的思想方法总结和态度情感体验。“数学生活化”理念所提倡的生活化情境教学要求教师在教学中要引导学生学会从实际问题中提取数学本质，学会用数学的观点和方法思考实际问题，在这个过程中必然伴随着数学思想方法的渗透，否则生活化的教学就会流于形式。
3.2积极寻找“好”的生活化素材
什么是“好”的生活化素材?简单地说，就是生活化素材的选取要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，符合学生的心理特征和认知水平，具体的说，就是要符合文章第四部分所述的“生活化情境的基本标准”。总之，教师不但要善于观察和发现生活化素材，还要注意思考素材与数学知识的联系，思考素材是否符合自己所教学生的情况，要对比与同一数学内容有关的不同生活化素材的优缺点，从中选择更“好”的生活化素材。
3.3积极尝试将知识运用于解决实际问题
当学生在运用所学到的知识时，他们对这些知识的理解就会加深，当学生看到他们所学的知识能运用到现实生活中时，他们会感受到课堂上所学到的知识很有意义，会更喜欢学习数学，所以教师应该从自身做起，积极尝试将所教授的知识应用于实际生活，发展学生的应用意识，给学生树立善于应用的榜样。
[1] 数学课程标准研制组.全日制义务教育数学课程标准解读(实验稿)[M〕.北京:北京师范大学出版社，2002.
[2] 李晶.中学“数学生活化”的若干问题研究[J].陕西师范大学学报出版.2011.
[3] 高文君，张小慧. 中学数学课堂探究水平现状调查及分析[J].数学教育学报.2010年第5期
[4] 曹敏.[J]. 中国校外教育出版.2012年第22期.
关于对《高中数学课堂教学中“生活实例”运用状况的调查研究》 一文的讨论
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利用数学模型解决生活实际问题实例
时间： 来源：学术堂 所属分类：
　　随着科学技术特别是信息技术的高速发展，数学的应用价值越来越受到人们的重视。利用数学知识解决生活中的实际问题已成为当今数学界普遍关注的课题。
　　因此，学生只掌握书本知识已不能满足社会的需求。教师应引导学生把所学的数学知识与生活中的实际问题相结合，开展数学建模活动应成为数学教学的重要方法之一。所谓数学建模是用数学方法建立数学模型。数学模型是反映特定的具体实体的内在规律性的数学结构，它是从客观原型中抽象概括出来的完全形式化和符号化了的模型，它比原形简单，又高于原形。因此，利用数学建模解决数学问题，往往会收到事半功倍的效果，下面举例对其加以浅析。【图1】
　　例1:（如图1），是一块长方形绿地，如果绿地长AB=40米，宽BC=20米，那么A、C两点间的距离是多少？
　　解析：要解决上述问题，只需以AB、BC为直角边，AC为斜边建立一个直角三角形数学模型（如图2所示），然后利用勾股定理进行计算。【图2】
　　例2:一个游戏题，甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛下象棋，到现在为止，甲赛了四盘，乙赛了三盘，丙赛了两盘，丁赛了一盘，小强赛了几盘？
　　解析：此题若建立数学模型，画出图形，答案将一目了然。
　　用点A、B、C、D、E分别表示甲、乙、丙、丁、小强，两人间的比赛用线段连接，那么根据题意，可建立如图3所示的数学模型，这样，小强赛了几盘的问题就转变成了从E点出发连了几条线段的问题。由图3可知，从E点出发的线段有两条，所以小强只赛了两盘。【图3】
　　例3:某校参加数学竞赛的学生中有120名男生、80名女生，参加英语竞赛的有120名女生、80名男生，已知该校共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么参加了数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有多少人？
　　解析：这个问题的已知条件比较复杂，但倘若我们画出如图4所示的数学模型，用A、B两个圆分别表示参加数学竞赛的男、女生人数，C、D两个圆分别表示参加英语竞赛的男、女生人数，那么问题将迎刃而解。【图4】
　　设 两 科 都 参 加 的 女 生 人 数 为 x ,那 么 只 参 加 数 学 竞 赛 的 男 生 人 数 是120-75=45,只参加英语竞赛的男生人数是80-75=5,只参加数学竞赛的女生人数是80-x,只参加英语竞赛的女生人数是120-x,则根据图4所示可得方程
　　（120-x）+（80-x）+x+45+75+5=260
　　解得x=65
　　故只参加数学竞赛的女生人数为80-x=15（人）。
　　例4:哥尼斯堡七桥问题
　　18世纪欧洲东普鲁士（现为苏联加里宁格勒）哥尼斯堡近郊有一条河，河中有两个岛，两岸与两岛之间架有七座桥（如图5）。当时城中居民热烈地讨论着这样一个问题：一个散步者怎样走才能不重复地走遍所有这七座桥并能回到原出发点？【图5】
　　这个问题初看起来似乎不太难，但谁也找不出问题的答案，而以失败告终。当时大数学家欧拉从众人的失败中想到，这样的走法可能根本就不存在。随后他用数学模型的方法证实了自己的猜想是正确的，并于1736年表发了图论的第一篇论文《哥尼斯堡的七座桥》。欧拉的证明方法的思路是：
　　第一步，用符号A,C表示两个岛；B,D表示两个岸；1,2,3,4,5,6,7分别表示七座桥。
　　第二步，将两个岸和两个岛看成四个点，七座桥看成七条线。
　　经过以上数学抽象，哥尼斯堡七桥问题就转化成数学模型图6所示的&一笔画&问题。【图6】
　　所谓&一笔画&是指能一笔画成的图形，需要满足以下三个条件：
　　（1）下笔后图形未完成前笔不能离开纸；
　　（2）每条线不能重复只能画一次；
　　（3）画时线条允许交叉。
　　欧拉进一步分析凡一笔画成的图形，如若起点和终点重合，则经过此点的线必是偶数条。然而图6是封闭的复连通域，而且经过A、B、C、D四个点的线条皆是奇数，所以图6不能一笔画成，因此，可断定哥尼斯堡七桥问题没有解。
　　综上所述，数学模型的建立，可使所解问题由难变易，由繁变简。巧妙地应用数学建模，不仅使解题变得简单，还能有效地培养学生抽象思维能力。在数学教学过程中渗透数学建模思想，可以让学生将其与数学方法相结合去解决实际问题，还可以使其对学习数学产生更大的兴趣。因此，教师在数学教学中，应适时渗透数学模型思想和方法，使学生能熟练地用其解决实际问题，以提高学生的数学素养。
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答: 嗯嗯,但是你写的是西安啊……好吧,面面吃不到了……还是睡觉吧,明早起来吃胡辣汤……哇哈
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