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矩阵对角化的讨论.doc
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3秒自动关闭窗口?1,?2线性相关，这与?1,?2为A的分别属于；当k3?0时，k1?1?k2?2?k3?3?0为；令P???1,?2,?3?；??100???；时，由题意有：A??1,?2,?3????1,?；?001???；??100?；??；AP?P?011?.；?001???；因为?1,?2,?3线性无关，所以?1,?2,?；??100?；???1；于是，PAP??
?1,?2线性相关，这与?1,?2为A的分别属于特征值?1,1的特征向量相矛盾.
当k3?0时，k1?1?k2?2?k3?3?0为k1?1?k2?2?0，因为?1,?2是互异特征值所对应的特征向量，故线性无关，于是要使k1?1?k2?2?0成立，必有k1?k2?0. 综上：在k1?1?k2?2?k3?3?0中，只有当k1?k2?k3?0时，才能成立. 于是，由定义可知?1,?2,?3线性无关.
令P???1,?2,?3?
时，由题意有：A??1,?2,?3????1,?2,?3??011?，即
AP?P?011?.
因为?1,?2,?3线性无关，所以?1,?2,?3?0，从而P???1,?2,?3?可逆.
于是，PAP??011?.
例28．已知A,B为四阶矩阵,若AB?2B?0,r?B??2,且行列式E?A?E?2A?0,(1)求A的特征值;(2)证明A可对角化;(3)计算行列式A?3E. 解:由E?A?E?2A?0??1??1,?2??
,对应的特征向量为:?1,?2. 2
令B??b1,b2,b3,b4?,则AB?2B?0?Abi??2bi?i?1,2,3,4?.即，bi?i?1,2,3,4?是A的属于特征值???2的特征向量.又由r?B??2?bi中有两个向量线性无关,不妨设为
b1,b2是A的属于特征值?3??2(至少二重根)的特征向量,故A有四个线性无关的特征向
量:?1,?2,b1,b2,且它们所对应的特征值为:?1??1,?2??
,?3??4?2. 2
于是, A可对解化.当A有特征值?时,?A?3E?必有特征值:??3,即:2,
点评：解题思路如下：（1）对于抽象矩阵可通过定义Ax??x或行列式?E?A?0
确定相应的特征值;（2）只须证明存在4个线性无关的特征向量即可,注意利用不同特征值对应的特征向量线性无关的结论;（3）可先求出?A?3E?的特征值或利用相似矩阵有相同的特征值进行计算.本题考查特征值的概念,求法;可对角化的条件;及由A的特征值求多项式f?A?的特征值的方法;由矩阵特征值求矩阵行列式的方法.关键步骤是：由r?B??2?bi(i?1,2)中有两个向量线性无关,不妨设为b1,b2及由AB?2B?0可得，AB??2B，即Abi??2bi(i?1,2)，从而得出:?3??4??2.
例29．设A,B为n阶矩阵，其中A为可对角化的矩阵且满足：
A2?A?0,B2?B?E,r(AB)?2,则行列式A?2E?
解：设法求出A的特征值即可.由A?A?0可确定A的特征值应满足条件，而根据
B2?B?E,可知B可逆，因此r(AB)?r(A)?2,再根据A可对角化，最后可确定A的特
B2?B?E?B(B?E)?E?B?0?B可逆.因此r(AB)?r(A)?2.
设?为A的任一特征值，则由A?A?0?????0???0,?1.
由A可对角化，及r(A)?r(0E?A)?2???0为?n?2?重特征根；???1为2重特征根.故?A?2E?有特征值1（二重）和2（n-2重），于是A?2E?
点评：本题考查（1）A可对角化的充要条件r(?iE?A)?n?ni（其中：ni为特征值?i的重数）；（2）当A有特征值?时，多项式f(A)必有特征值f(?)；（3）当B可逆时，r(AB)?r(A)?2.
例30．设矩阵A???14?3?的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可
相似对角化.
解：先求A的特征多项式.?E?A?
??22???1??4
????21??43????2?1??33????2??2?8??18?3a.
?1?a??5?1?a?1??5
若??2是A的二重特征根，则将??2代入??8??18?3a?0成立，于是a??2.
当a??2时，A的特征值为2,2,6.考虑属于特征值??2的线性无关的特征向量.为此将??2代入齐次线性方程组??E?A?x?0，其系数矩阵为：
?2E?A???1?23?，2?. 显然r?2E?A??1.故A可对角化.即，A~?
???12?3?6?????
例31．已知???a1,?,an??0，???b1,?,bn??0?n?1?，?T??1.记A???T
a2b2?a2bn?
.（1）求出A的全部特征值；（2）A能否与对角矩阵相似？若?????
anb2?anbn??
能请写出一个与A相似的对角矩阵；若不能请说明理由.
解：（1）显然，当???a1,?,an??0，???b1,?,bn??0?n?1??1?i,j?n?时，
?a1b1??ab??21
有A?0n?n，所以1?r(A)?r??
??min?r(?),r(?)??1，则r(A)?1.
据此，A?0，且齐次线性方程组Ax?0的基础解系为n?r(A)?n?1个解向量构成，这表明0是A的一个特征值，A的属于0的线性无关的特征向量有n?1个，所以0至少是A的n?1重特征值，故有?1??2????n?1?0.设A的另一个特征值为?n，则
??n；另一方面??i?tr(A)??T??1.
所以A的全部特征值为：0,0,?,0,tr(A).其中：tr(A)?
（2）由第（1）小题知，A的属于0的线性无关特征向量有n?1个，记为?1,?,?n?1，记A的属于特征值1的特征向量为?n，则?1,?,?n?1,?n线性无关，这表明A有n个线性无
? 0关的特征向量，所以A能与对角形矩阵?相似，且?可以是?
点评：（1）当n阶矩阵A满足条件r(A)?1时，A的全部特征值为：0,0,?,0,tr(A)；（2）
设?i为A的ni?i?1,2,?,m?重特征值，
?1?.向量例32．已知A为实对称矩阵，且存在正交矩阵Q，使QAQ???2????1?
???1?是齐次线性方程组A??Ex?0的基础解系，求正交矩阵Q与矩阵A.
解：显然，矩阵A的特征值为?1??2??1，?3?2，A?2.
于是A的特征值为：?2,?2,1.显然，???1?是A的与特征值1所对应的特征向量，
也是A对应于特征值2的特征向量.设A的对应于特征值-1的特征向量为x??x2?，则
?Tx?x1?x2?x3?0.这个齐次线性方程组的基础解系，即为A的对应于特征值-1的线
2????1??1?
性无关的两个特征向量，为?1?，?0?，将其正交化、单位化得：?1??2?，
?0??1??0?????
???6????1?
????1，将单位化得：??3???.
6?3??1?????2?1??????6?3??
??1???1?????T
?1?，于是A?Q??1?QT 令Q???1,?2,?3?，则QAQ????2?2?????1?1??0
????10?1?. ??1?10???
例33．已知矩阵A??13a?，线性方程组Ax??2?无解，求正交矩阵Q，使QTAQ为
解：对线性方程组Ax??2?的系数矩阵作初等行变换，有：
2a?11?，当a?1时，r(A)?r???，故无解. ?13a2???0
?1aa3??0a?3?00?????111?
此时，A??131?.令?E?A?0，得?1?1,?2?4,?3?0.
?????????1,??2,??解得对应的无关的特征向量为：1??2??3?0?.将?1,?2,?3标准化，得：
?1??1???1????????1??1??1?
?1???1?,?2??2?,?3??0?.
11??????1?
4令Q???1,?2,?3?，则有QAQ?QAQ???. ?0???
例34．已知矩阵A??x1y?能相似于对角矩阵，（1）讨论x,y应满足的关系；（2）求
可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵. 解：（1）因为?E?A????1?
???1?，故A的特征值为：?1??2?1，?3??1.若A能
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倩女幽魂00025
幸福软弱无力,她睡眠、呼吸而一无所知……它透过松林和坟丛,悸动而闪亮.在缓慢的秋天和红色的树枝旁,在月亮的灰烬中在我活着的友人的脸上,这个至桑榆易中茫,行为失当然由缰哈哈
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|A-λE| =1-λ 2 -3-1 4-λ -31 a 5-λr2-r11-λ 2 -3-2+λ 2-λ 01 a 5-λc2+c11-λ 3-λ -3-2+λ 0 01 a+1 5-λ= (2-λ)[(3-λ)(5-λ)+3(a+1)]= (2-λ)[λ^2-8λ+3a+18]由已知,A的特征方程有一个二重根,下分两种情况:(1) 2是A的特征方程的二重根则 2^2-8*2+3a+18 = 0.得 a = -2.此时,|A-λE|= (2-λ)[λ^2-8λ+12] = (2-λ)^2(6-λ).A 的特征值为 2,2,6.A-2E =-1 2 -3-1 2 -31 2 3r(A-2E) = 1.故此时A可对角化.(2) 2是A的特征方程的单根则 λ^2-8λ+3a+18 是一个完全平方其判别式 (-8)^2 - 4(3a+18) = 0得 a = -2/3λ^2-8λ+3a+18 = (λ-4)^2此时 4 是A的二重特征值.A-4E =-3 2 -3-1 1 -31 -2/3 1r(A-4E)>=2.故此时A不能对角化.另:在欧氏空间R^3中定义线性变换σ 那个题目还没处理
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