简单的概率题,最好能把步骤写下,我不会打那些字母~设随机变量X～N(3,4) ,求(1)p(2
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随机变量及其分布方法总结(经典习题及解答)
概率、统计案例知识方法总结一、离散型随机变量及其分布列 1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量 叫做离散型随机变量。常用大写英文字母 X、Y 等或希腊字母 ξ、η 等表示。 2.分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为： x1，x2，…，x3，…， ξ 取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为 P(? ? xi ) ?
pi ，则称表 ξ P x1 P1王新敞奎屯 新疆x2 P2… …xi Pi… …为随机变量 ξ 的分布列 3. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！ 二、热点考点题型 考点一: 离散型随机变量分布列的性质 1．随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(ξ＝n)＝ 5 ξ＜ )的值为 2 A． 2 3 B． 3 4 C． 4 5 D． 5 6 a 1 (n＝1，2，3，4)，其中 a 是常数，则 P( ＜ 2 n(n＋1)答案：D 考点二：离散型随机变量及其分布列的计算 2．有六节电池，其中有 2 只没电，4 只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有 电没电为止，所要测试的次数 ? 为随机变量，求 ? 的分布列。 解：由题知 ? ? 2，3，4，5 ∵ ? ? 2 表示前 2 只测试均为没电，∴ P(? ? 2) ?2 A2 1 ? 2 A6 15 1 1 2 C2 C4 A2 2 ? 3 15 A6∵ ? ? 3 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ P(? ? 3) ?∵ ? ? 4 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏， ∴ P(? ? 4) ?1 2 3 4 C2 C4 A3 A4 1 1 4 ? ? ? ? 4 4 15 5 15 A6 A6∵ ? ? 5 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好-1-∴ P(? ? 5) ? ∴ 分布列为1 3 4 1 3 4 C2 C4 A4 C2 C4 A4 8 ? ? 5 5 15 A6 A6?P23451 152 154 158 15三、 条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布 1．条件概率：称 P( B | A) ?P( AB) 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。 P( A)2. 相互独立事件：如果事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，这样 的两个事件叫做相互独立事件。①如果事件 A、B 是相互独立事件，那么，A 与 B 、_A 与 B、 A 与 B 都是相互独立事件___②两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。 我们把两个事件 A、 B 同时发生记作 A? B， 则有 P（A? B）= P（A）? P（B） 推广：如果事件 A1，A2，…An 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。 即：P（A1? A2?…?An）= P（A1）? P（A2）?…?P(An)3.独立重复试验: 在同样的条件下， 重复地、 各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验 中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的 概率都是一样的. 4.如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 kk n k 次的概率计算公式：Pn（k）=C k ,其中，k=0,1,2，…,n. n P （1－p）－5.离散型随机变量的二项分布: 在 一 次 随 机 试 验 中 ， 某 事 件 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 ， 在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的 概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是k k n ?k （k＝0,1,2,…，n， q ? 1 ? p ） ． Pn (? ? k ) ? Cn p q ，于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下：ξ P 00 0 n Cn pq11 1 n ?1 Cn pq… …kk k n?k Cn p q… …nn n 0 Cn p qk k n?k 由 于 Cn p q 恰好是二项展开式0 0 n 1 1 n?1 k k n ?k n n 0 (q ? p)n ? Cn p q ? Cn p q ? L ? Cn p q ? L ? Cn pq中 的 各 项 的 值 ，所 以 称 这 样 的 随 机 变 量 ξ 服 从 二 项 分 布 ，记 作 ξ ～ B ( n ， p ) ，其中 n， p-2-k k n?k 为参数，并记 Cn p q ＝b(k；n，p)．6. 两点分布： X P 0 1－p 1 p7.超几何分布： 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则k n?k CM CN ?M P( X ? k ) ? , k ? 0,1,?m, m ? min{M , n}, 其中， n ? N , M ? N 。 n CN称分布列 X P 00 n ?0 CM CN ?M n CN11 n ?1 CM CN ?M n CN… …mm n?m CM CN ?M n CN为超几何分布列， 称 X 服从超几何分布。 四、热点考点题型 题型 1. 条件概率 [例 1] 一张储蓄卡的密码共有 6 位数，每位数字都可从 0～9 中任选，某人在银行自动提款 机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： ⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率； ⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率； ⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2 次就按对的概率 解析：设事件 Ai (i ? 1， 2) 表示第 i 次按对密码 ⑴ P ( A2 A1 ) ?1 9 9 1 1 ? ? 10 9 10⑵事件 A1 A2 表示恰好按两次按对密码，则 P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 A1 ) ?⑶设事件 B 表示最后一位按偶数，事件 A ? A 1?A 1A 2 表示不超过 2 次按对密码，因为事件A1 与事件 A1 A2 为互斥事件，由概率的加法公式得：P( A B) ? P( A1 B) ? P( A1 A2 B ) ? 1 4 ?1 2 ? ? 5 5? 4 5说明：条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件 A 发生的条件下 事件 B 发生的概率可以看成在样本空间为事件 A 中事件 B 发生的概率，从而得出求条件概率 的另一种方法――缩减样本空间法 题型 2.相互独立事件和独立重复试验 [例 2]某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、-3-“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一 类票的概率都为1 ，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则 3决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资． （Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率； （Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；解析： （Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率 P= ( ) ＝1 331 271 2 1 7 （Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为 P＝C32( )2( )＋C33( )3＝ 3 3 3 27 答: （Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率为 7 （Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为 . 27说明： 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有 k 次发生与指定 k 次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的k k 概率为 Cn p (1 ? p)n?k ,后者的概率为1 27pk (1 ? p)n?k题型 3: 两点分布与超几何分布的应用 [例 3] 高二（十）班共 50 名同学，其中 35 名男生，15 名女生，随机从中取出 5 名同学参加 学生代表大会，所取出的 5 名学生代表中，女生人数 X 的频率分布如何？5 0 5 解析：从 50 名学生中随机取 5 人共有 C50 种方法，没有女生的取法是 C15 ，恰有 1 名女 C35 1 4 2 3 3 2 生的取法是 C15 ，恰有 2 名女生的取法是 C15 ，恰有 3 名女生的取法是 C15 ，恰有 4 C35 C35 C35 4 1 5 0 名女生的取法是 C15 ， C35 ，恰有 5 名女生的取法是 C15 C35因此取出的 5 名学生代表中，女生人数 X 的频率分布为： X P 00 5 C15 C35 5 C5011 4 C15 C35 5 C5022 3 C15 C35 5 C5033 2 C15 C35 5 C5044 1 C15 C35 5 C5055 0 C15 C35 5 C50题型 4: 独立重复试验与二项分布的应用 例题 4：在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数 ξ 的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数 η 的分布列. 解： （1）不放回抽样时，抽到次品数 ξ 服从参数为 10,2,3 超几何分布： P（ξ=0）=3 C8 3 C10=C1 C 2 7 C1 C 2 1 7 ，P（ξ=1）= 2 3 8 = ，P（ξ=2）= 8 3 2 = ， 15 15 15 C10 C10所以 ξ 的分布列为-4-?P0127 157 151 15（2）放回抽样时，抽到次品数 η : B（3,0.2） ：k P（η=k）=C 8 ? 0.83 k? 0.2k（k=0，1，2，3） ，所以 η 的分布列为－?P00123C 8 0.83C 8 0.82? 0.21C 8 0.8? 0.222C 8 0.233五、离散型随机变量的期望和方差 1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … …则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? … ? xn pn ? … 为 ξ 的数学期望，简称期望． 2.期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 3.若 ξ : B（n,p） ，则 Eξ=np2王新敞奎屯 新疆4.方差: D? ＝ ( x1 ? E? ) ? p1 ＋ ( x2 ? E? ) ? p2 ＋…＋ ( xn ? E? ) 2 ? pn ＋…．25.标准差: D? 叫做随机变量 ξ 的标准差． 6.方差的性质： D(a? ? b) ? a 2 D? ； 7.若 ξ～B(n，p)，则 D? ? np(1-p) 六、热点考点题型 题型一：离散型随机变量的期望与方差 例题 1：为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植 了 n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 ? 为成活沙柳的株数，数学期 望 E? ? 3 ，标准差 ?? 为6 。 2（Ⅰ）求 n,p 的值并写出 ? 的分布列； （Ⅱ）若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率-5-2 解析： (1)由 E? ? np ? 3, (?? ) ? np(1 ? p ) ?3 1 1 , 得 1 ? p ? ,从而 n ? 6, p ? 2 2 2? 的分布列为?P01234561 646 6415 6420 6415 64得6 641 64(2)记”需要补种沙柳”为事件 A,则 P( A) ? P(? ? 3),P ( A )?1 ? 6? 1 ? 5 6420 ?21 15 ? 6 ? 1 21 , 或 P( A) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ? ? 32 64 32例题 2：一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件，其中有 2 件次品，用户先对产品进行抽检 以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子） ，若前 三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且 用户拒绝接收这箱产品. （1）求这箱产品被用户接收的概率； （2）记抽检的产品件数为 ? ，求 ? 的分布列和数学期望． 解： （1）设“这箱产品被用户接收”为事件 A ， P( A) ? 即这箱产品被用户接收的概率为 （2） ? 的可能取值为 1，2，3．8? 7 ? 6 7 ? . 10 ? 9 ? 8 157 ． 15P?? ? 1? =2 1 8 2 8 8 7 28 ? ， P?? ? 2? = ? ? ? ? ， P?? ? 3? = ， 10 5 10 9 45 10 9 45∴ ? 的概率分布列为：?P1238 28 45 45 1 8 28 109 ?2? ?3 ? ∴ E? = ? 1 ? ． 5 45 45 45七、正态分布 1. 正态总体的概率密度函数： f ( x) ? 体的平均数（期望值）与标准差。-6-1 51 2? ?e?( x?? )2 2? 2, x ? R, 式中 ? , ? 是参数，分别表示总x ? 1 当 ? ? 0，? =1 时得到标准正态分布密度函数： f ? x ? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 622.正态曲线的性质： ① 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，关于直线 x＝ ? 对称； ③ 曲线在 x＝ ? 处达到峰值 ④ 3. ① ②1? 2?；曲线与 x 轴之间的面积为 1；? , ? 是参数 ? , ? 与图象的关系: 当 ? 一定时，曲线随 ? 质的变化沿 x 轴平移； 当 ? 一定时，曲线形状由 ? 确定：? 越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；?越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。 (1)P ( ? ? ? ? x ? ? ? ? ) =0.683；(2)P ( ? ? 2? ? x ? ? ? 2? ) =0.954 (3)P (? ? 3? ? x ? ? ? 3? ) =0.997 八、热点考点题型 考点一： 正态分布的应用 例题 1：某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f ( x) ?1 2? ? 10e( x ?80 ) 2 200( x ? R) ，则下列命题不正确的是（）A．该市这次考试的数学平均成绩为 80 分； B．分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同； C．分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同； D．该市这次考试的数学成绩标准差为10. 答案：B 例题 2：设随机变量 ? 服从正态分布 N (2,9) ,若 P(? ? c ? 1) ? P(? ? c ? 1) ,则 c= ( A.1 答案:B B.2 C.3 D.4 )九、独立性检验与回归分析 1、独立性检验： 2 ? 2 列联表：为了研究事件 X 与 Y 的关系，经调查得到一张 2 ? 2 列联表，如 下表所示X1 X2合计2Y1 a c a?cY2 b d b?d合计a?b c?d n ? a?b?c?d卡方统计量，它的表达式是 ? ? 经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值： 3.841 与 6.635 . 当根据具体的数据算出的 ? ? 6.635 时，有 99% 的把握说事件 A 与 B 有关；2-7-当 ? 2 ? 3.841 时，有 95% 的把握说事件 A 与 B 有关； 当 ? 2 ? 3.841 时，事件 A 与 B 无关. 2、相关性检验⑴对于变量 x 与 y 随机抽取到的 n 对数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 关系数 r ? ⑵r 具有以下性质： ①当 r&0 时，表明两个变量正相关；当 r&0 时，表明两个变量负相关； ②当|r|≤1,并且|r|越接近 1 时，两个变量的线性相关程度越强； 当|r|越接近 0 时，两个变量的线性相关程度越弱; ⑶相关性检验的步骤： ① 作统计假设 ② 根据小概率 0.05 与 n ? 2 在附表中找出 r 的一个临界值 r0.05 ④ 用统计判断. ③ 根据样本相关系数计算公式算出 r 值( xn , yn ) 样本相当 | r |? r0.05 时有 95%的把握说两个变量间具有线性相关关系，当 | r |? r0.05 时二者无相关关系。 十、热点考点题型 1.独立性检验 为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取 50 名学生，得到如下 2× 2 列联表： 理科 男 女 13 7 文科 10 20已知 P（ ? 2 ≥3.841）≈0.05，P（ ? 2 ≥6.635）≈0.01. 根据表中数据，得到 ? 2 =50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7) 2 ≈4.844. 23 ? 27 ? 20 ? 30则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 . 答案 5% 2. 相关性检验 下列说法： ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ? =3-5x,变量 x 增加一个单位时，y 平均增加 5 个单位； ②设有一个回归方程 y?x ? a ? =b ? 必过（ x ， y ）; ③线性回归方程 y④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; ⑤在一个 2× 2 列联表中,由计算得 ? 2 =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%. 其中错误的个数是 答案 3 .-8-
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第2章 随机过程习题及答案
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